La probabilità non esiste - Pagine personali del personale della ...

La probabilità non esiste 

L’epistemologia soggettivista di 

Bruno de Finetti 

Hykel Hosni 

http://homepage.sns.it/hosni/ 

Scuola Normale Superiore, Pisa 

27 aprile 2010 

Hykel Hosni (SNS Pisa) La probabilità non esiste 27 aprile 2010 1 / 37

Bruno de Finetti 

Innsbruck, 13/06/ 1906 - Roma, 20/11/1985 


Un esempio attuale 

I ministri dei trasporti dell’UE hanno deciso di chiudere gran parte 

dello spazio aereo europeo per l’alta probabilità di malfunzionamento 

dei propulsori dovuta alla cenere vulcanica. 


Decisione in condizioni di incertezza 

La decisione della UE è stata estremamente costosa per l’economia e 

in termini di disagio arrecato a migliaia di viaggiatori. Oggi, con il 

senno di poi!, molti criticano i decision maker dell’Unione dicendo che 

hanno sovrastimato il rischio 


Decisione in condizioni di incertezza 

La decisione della UE è stata estremamente costosa per l’economia e 

in termini di disagio arrecato a migliaia di viaggiatori. Oggi, con il 

senno di poi!, molti criticano i decision maker dell’Unione dicendo che 

hanno sovrastimato il rischio 

Domande centrali 

La probabilità è uno strumento fondamentale in tutte le circostanze 

pratiche della vita quotidiana in cui ci troviamo a dover decidere in 

condizioni di incertezza. 

Ma come interpretare il concetto di probabilità? 

In che senso non possiamo dire che è oggettiva? 


Sommario 

1 Quali sono le domande? 

2 Definizioni e interpretazioni del concetto 

di probabilità 

3 La probabilità come grado di convinzione 

4 Dalla definizione alla misura 

5 Sviluppi e suggerimenti per approfondire 










Un sistema di coordinate 

La probabilità svolge un ruolo fondamentale nella matematica, nelle 

scienze naturali e in quelle sociali. 

Per questo è utile distinguere tra 

1 teoria delle probabilità 

2 calcolo delle probabilità 

3 inferenza probabilistica 


Un sistema di coordinate 

La probabilità svolge un ruolo fondamentale nella matematica, nelle 

scienze naturali e in quelle sociali. 

Per questo è utile distinguere tra 

1 teoria delle probabilità 

2 calcolo delle probabilità 

3 inferenza probabilistica 

Attenzione! 

Questa distinzione non corrisponde a una partizione in ambiti di 

ricerca indipendenti, al contrario! La grande lezione di de Finetti è 

proprio questa: soltanto attraverso una profonda riflessione 

sull’interazione tra questi tre livelli è possibile comprendere in modo 

sensato il problema del ragionamento in condizioni di incertezza. 


Teoria delle probabilità 

Domanda centrale 

Come si definisce, come si interpreta, e come si valuta la probabilità? 





Che vuol dire che la 

probabilità di pioggia domani 

è del 90%? 





Che vuol dire che la 

probabilità di pioggia domani 

è del 90%? 

Come si misura il grado di 

fiducia dei fisici sul fatto che 

l’LHC permetterà di decidere 

sull’esistenza del bosone di 

Higgs? 


Calcolo delle probabilità 


Quali sono le proprietà formali (i teoremi!) della probabilità? 


Calcolo delle probabilità 


Quali sono le proprietà formali (i teoremi!) della probabilità? 

Esempio 

P(H | E) 

P(E | H) = P(E) 

P(H) 


Ragionamento probabilistico 


Come possiamo/dobbiamo usare la probabiltià nell’inferenza 

induttiva? 

statistica 

logica induttiva / logica probabilistica 


Mettendo le cose insieme 

Affinché sia possibile applicare il calcolo delle probabilità ai problemi 

di ragionamento in condizioni di incertezza è necessario che entrambi 

siano sviluppati in accordo a un’adeguata teoria delle probabilità 

Esempio: Certezza pratica 

‘We were seeing things that were 25-standard-deviation events, 

several days in a row,’ said David Viniar, CFO of the smartest 

financial firm in the world, Goldman Sachs. According to Goldman’ s 

mathematical models, August, Year of Our Lord 2007, was a very 

special month. Things were happening that were only supposed to 

happen once in every 100,000 years. Either that [. . .] or Goldmans 

models were wrong a . 

a B. Bonner, Financial Times, 13/8/2007 










Classica/frequentista 

Definizione 

La probabilità di un evento è la sua frequenza relativa rispetto a una 

classe di eventi (indipendenti ed) equiprobabili. 



Definizione 



le frequenze relative sono estremamente importanti nel 

ragionamento induttivo (statistico) per la definizione della 

probabilità non sono 

◮ né necessarie: qual è la probabilità di una nuova eruzione del 

vulcano Eyjafjallajökull 

◮ né sufficienti: fallacia dei numeri ‘ritardatari’ 



Definizione 



le frequenze relative sono estremamente importanti nel 

ragionamento induttivo (statistico) per la definizione della 

probabilità non sono 

◮ né necessarie: qual è la probabilità di una nuova eruzione del 

vulcano Eyjafjallajökull 

◮ né sufficienti: fallacia dei numeri ‘ritardatari’ 

il riferimento all’equiprobabilità rende la definizione ovviamente 

circolare! 


Logicista 

Definizione 

La probabilità è una proprietà logica (analitica) degli eventi. Tutti gli 

individui che dispogono delle medesime informazioni devono quindi 

assegnare le medesime probabilità agli eventi. 

Critica: 

individui distinti valutano generalmente evidenze distinte 

anche nel caso in cui tutti gli individui dispongano della 

medesima evidenza, è perfettamente ragionevole che si trovino in 

disaccordo nella valutazione finale 


Assiomatica 

Definizione 

Data una tripla (W, E, P) dove W è un insieme qualsiasi e E 

un’algebra su W, definiamo la probabilità P come una funzione che 

soddisfa i tre assiomi di Kolmogorov: 

(K1) 0 ≤ P(E) ≤ 1, ∀E ∈ E 


Assiomatica 

Definizione 




(K1) 0 ≤ P(E) ≤ 1, ∀E ∈ E 

(K2) P(W) = 1, P(∅) = 0 


Assiomatica 

Definizione 




(K1) 0 ≤ P(E) ≤ 1, ∀E ∈ E 

(K2) P(W) = 1, P(∅) = 0 

(K3) Se E1, E2 sono elementi disgiunti E, allora 

P(E1 ∪ E2) = P(E1) + P(E2) 


Assiomatica 

Definizione 




(K1) 0 ≤ P(E) ≤ 1, ∀E ∈ E 

(K2) P(W) = 1, P(∅) = 0 

(K3) Se E1, E2 sono elementi disgiunti E, allora 

P(E1 ∪ E2) = P(E1) + P(E2) 

K3’) Per ogni sequenza numerabile di eventi logicamente indipendenti 

E1, E2 . . . vale 

P(E1 ∪ E2 ∪ . . .) = 

P(Ei). 

Hykel Hosni (SNS Pisa) La probabilità non esiste 27 aprile 2010 15 / 37 

i

Fatti, eventi e fenomeni 

De Finetti argomenta contro le interpetazioni oggettiviste e 

assiomatiche mettendo mettendo in evidenza come queste non 

caratterizzino in modo appropriato la nozione di evento e distingue 

tra 

1 evento: circostanza singola e ben definita su cui un individuo si 

pone una domanda 






tra 



◮ LHC dimostrerà l’esistenza del bosone di Higgs? 






tra 




2 fatto: insieme di circostanze che sussistono indipendentemente 

dal soggetto che si pone la domanda 






tra 






◮ L’ossigeno ha tre istopi stabili 






tra 







3 fenomeno: circostanze che associamo naturalmente in quanto 

simili 






tra 







3 fenomeno: circostanze che associamo naturalmente in quanto 

simili 

◮ Il primo Ryanair del giorno da STN a PSA è più puntuale del 

secondo 


Soggettivistmo (radicale) 

Riassunto dei concetti fondamentali: 

La probabilità misura il grado di convinzione (o fiducia, ecc.) di 

un agente su evento relativamente al proprio stato di 

informazione 

La probabilità non è una proprietà del mondo (degli eventi) ma 

uno stato psicologico di chi si interroghi circa l’esito di 

determinati eventi 

La valutazione soggettiva della probabilità avviene sempre alla 

luce dello stato di informazione corrente di un individuo 

Il concetto di ‘probabilità vera’ o ‘oggettiva’ è insensato 

Ciascuno a modo suo, purché in modo coerente 










Lo schema delle scommesse 

Idea 

La probabilità che un agente a assegna all’evento E è il prezzo equo 

p = P(E) che a è disposto a pagare per partecipare a una scommessa 

in cui 

 

a riceve 

1-p 

0 

se l’evento E si verifica 

altrimenti 


Dutch Book 

Idea 

Una valutazione di probabilità di una agente a si dice inconsistente se 

è possibile costruire un book contro a, cioé un insieme di scommesse 

tali che 

ogni scommessa è individualmente accettabile per a 

ma che prese congiuntamente portano a a perdita sicura 

Formalmente, una valutazione di probabilità si dice consistente se non 

esistono Si, Ti > 0, Ei, Ej ∈ E, pi < P(Ei), P(Ej) < qj, 

i = 1, . . . , m, j = 1, . . . , n tali che per ogni V 

n 

Si(V (Ei) − pi) − 

1=i 

m 

Tj(V (Ej) − qj) < 0, 

dove V (E) = 1 se l’evento E si verifica e 0 altrimenti. 

1=j 


La giustificazione 

L’argomento del Dutch Book si completa con il seguente risultato che 

ci fornisce una risposta epistemologicamente adeguata alla domanda 

‘come si formalizza il concetto di grado di convinzione razionale?’ 

Teorema (de Finetti 1931, de Finetti 1970) 

Le valutazioni di probabilità di un individuo in un book sono 

consistenti se e solo se soddisfano gli assiomi K1-K3. 









A meno di (non infrequenti!) appropriazioni indebite, l’espressione 

probabilità bayesiana si usa in riferimento a questa caratterizzazione 

della ‘convinzione come probabilità’ 









A meno di (non infrequenti!) appropriazioni indebite, l’espressione 

probabilità bayesiana si usa in riferimento a questa caratterizzazione 

della ‘convinzione come probabilità’ 

Concezioni analoghe si trovano per esempio in 

Savage, L. J. (1954). The Foundations of Statistics. Wiley. 

Ramsey, F. (1931). Truth and probability (1926). in R. Braithwaite (ed:) 

The Foundations of Mathematics and other Logical Essays. Kegan, Paul, 

Trence, Trubner & Co., London. 


Esempio 

Per far fronte alla minaccia di una nuova crisi finanziaria globale, la 

Banca Mondiale ha deciso di assumere un epistmologo. Supponiamo 

che alla competizione partecipino due filosofi bayesiani B e F che che 

il CFO della Banca assegni le seguenti probabilità 

PB = 0.60 , PF = 0.20 P = 0.70, dove P sta per ‘vince un 

bayesiano’. 


Esempio 






bayesiano’. Le seguenti scommesse sono eque: 

1 +40 se vince B, -60 se perde 

2 +80 se vince F, -20 se perde 

3 +30 se vince un bayesiano, -70 altrimenti 


Esempio 










Ma questo è un book contro CFO! 

In ogni caso vince una scommessa e se pere due, con una perdita 

netta di 10 E 


Esempio 










Ma questo è un book contro CFO! 

In ogni caso vince una scommessa e se pere due, con una perdita 

netta di 10 E 

Se invece avesse assegnato p = pB + pF questo non sarebbe successo! 


Coerenza come razionalità 

Il colpo di genio di de Finetti (e indipendentemente! di Ramsey) 

consiste nel far riferimento alla perdita sicura. 

una persona che consapevolmente si metta nella posizione di 

perdere indipendentemente dal corso degli eventi su cui 

scommette, di sicuro non agisce in modo razionale 

sotto l’ipotesi che il comportamento dipenda dalle convinzioni 

della persona se ne conclude l’inconsistenza 

al fine di evitare obiezioni metodologiche è necessario escludere i 

casi di ‘scommessa per amor del rischio’. 


Scommesse come contratti 

La scommessa che sta alla base della definizione di book è 

essenzialmete come un contratto completo tra due parti che decidono 

1 le condizioni di scommessa: quota e pagamenti 

2 le condizioni di pagamento: il contratto include le condizioni di 

verifica dell’evento oggetto di scommessa 

Il punto 2 è di importanza fondamentale per la logica degli eventi che 

è, per de finetti a tre valori. Una scommessa su E infatti può essere: 

vinta, se E si verifica 

persa, se E non si verifica 

annullata, se non si danno le condizioni di verifica di E (p.e. 

LHC viene chiuso per mancanza di fondi) 


Probabilità condizionale 

La logica a tre valori degli eventi è di importanza fondamentale 

nell’interpetazione operativa della probabilità condizionale definita da 

P(E2 | E1) = P(E2 ∩ E1) 

P(E1) 

Ovviamente la sensatezza della definizione dipende fal fatto che 

P(E1) > 0. Che succede, però se non si danno le condizioni di 

verifica di E1? 

V (E1) viene dichiarato nullo e la scommessa viene quindi annullata 

(ognuno riprende i propri soldi). 


Trieventi 

Riassumendo, per E1, E2 ∈ E 

⎧ 

⎪⎨ 0 se V (E1) = 1 e V (E2) = 0 

V (E2 | E1) = 1 

⎪⎩ 

∅ 

se V (E1) = 1 e V (E2) = 1 

se V (E1) = 0 


Trieventi 


⎧ 

⎪⎨ 0 se V (E1) = 1 e V (E2) = 0 

V (E2 | E1) = 1 

⎪⎩ 

∅ 

se V (E1) = 1 e V (E2) = 1 

se V (E1) = 0 

Osservazione 

La logica degli eventi (condizionali) ha la stessa semantica della 

logica tre valori di Kleene, ma non possiamo trattare | come un 

connettivo composizionale! Altrimenti incorriamo nel Teorema 

limitativo (Triviality) di D. Lewis. 


Trieventi 


⎧ 

⎪⎨ 0 se V (E1) = 1 e V (E2) = 0 

V (E2 | E1) = 1 

⎪⎩ 

∅ 

se V (E1) = 1 e V (E2) = 1 

se V (E1) = 0 

Osservazione 

La logica degli eventi (condizionali) ha la stessa semantica della 

logica tre valori di Kleene, ma non possiamo trattare | come un 

connettivo composizionale! Altrimenti incorriamo nel Teorema 

limitativo (Triviality) di D. Lewis. 

Lewis, D. (1976). Probabilities of Conditionals and Conditional 

Probabilities. The Philosophical Review, 85(3), 297. 

Lewis, D. (1986). Probability of Conditionals and Conditional Probabilities 

II. The Philosophical Review, 54(4), 581-589. 










Valutazione sincera di probabilità 

Lo schema delle scommesse permette di dare una definizione 

operativa del grado di convinzione razionale di una persona che si 

trovi a valutare l’esito di un evento E in condizioni di incertezza 

gli assiomi della probabilità ci mettono a riparo da valutazioni 

incoerenti 

ma non ci dicono nulla sul modo più appropriato di misurare tale 

probabilità 

Idea 

Cerchiamo uno strumento per forzare, nel suo proprio interesse, un 

agente a dichiarare sinceramente il propri valori di probabilità. In 

questo modo si elimina la componente strategica intrinseca nello 

schema delle scommesse. 


Regola di Brier 

L’idea centrale consiste nell’informare l’agente che deve valutare la 

probabilità di essere soggetto alla penalizzazione: 

 

(π) 

L = 

2 se E non si verifica 

(1 − π) 2 se E si verifica 

dove π rappresenta il valore indicato da a. 





 

(π) 

L = 




Proprietà fondamentale 

Ponendo π = p si minimizza la previsione di penalizzazione. 





 

(π) 

L = 




Proprietà fondamentale 

Ponendo π = p si minimizza la previsione di penalizzazione. 

Riferimenti: 

Lindley, D. V. (1982). Scoring Rules and the Inevitability of Probability. 

International Statistical Review, 50(1), 1-11. 

de Finetti, B. (1981). The Role of ’Dutch Books’ and of ’Proper Scoring 

Rules’. British Journal for the Philosophy of Science, 32(1), 55- 56. 

M D’Agostino, C Sinigaglia (2010) Epistemic Accuracy and Subjective 

Probability In: EPSA Epistemology and Methodology of Science Edited 


Argomento algebrico 

Supponiamo che un agente a reputi che la probabilità di un certo 

evento sia p ma che indichi invece π = p. 

Allora 

π 2 (1 − p) + (1 − π) 2 p = π 2 − π 2 p + (1 + π 2 − 2π)p 

= π 2 − π 2 p + p + π 2 p − 2πp 

= π 2 + p − 2πp. 

Se invece a avesse indicato p (e quindi π = p) sostuendo nell’ultima 

riga sopra avremmo che la sua previsione di penalizzazione sarebbe 

stata p 2 + p − 2p 2 = p − p 2 . Possiamo calcolare, quindi, la differenza: 

(π 2 + p − 2πp) − (p − p 2 ) = π 2 + p − 2πp − p + p 2 

= π 2 + p 2 − 2πp 

= (π 2 − p) 2 . 


Argomento geometrico 

ascisse: [0, 1] (codominio 

di P) 

ordinate: previsione di 

penalizzazione 

Pp(Lπ) = π 2 + p − 2πp = 

p(1 − 2π) + π 2 

la scelta ottima, per ogni 

p consiste nello scegliere il 

π che corrisponde alla 

retta che ha ordinata 

minima in p 










Epistemologia bayesiana 

L’area di ricerca che affronta questioni epistemologiche attraverso la 

concezione soggettivista della probabilità è nota con il nome di 

epistemologia bayesiana 

Domande centrali 

revisione delle convinzioni (belief revision) 

giustificazione e evidenza 

causalità 

coerenza 

Riferimenti: 

Luc Bovens and Stephan Hartmann (2003), Bayesian Epistemology Oxford: 

Clarendon Press. 

Talbott, W,, ‘Bayesian Epistemology’, The Stanford Encyclopedia of 

Philosophy (Fall 2008 Edition), Edward N. Zalta (ed.), http://plato. 

stanford.edu/archives/fall2008/entries/epistemology-bayesian 


Alcune critiche 

troppo permissivo 

◮ consistenza come condizione necessaria ma non sufficiente 

troppo restrittivo 

la consistenza non è necessaria per costruire una misura della 

convinzione razionale in condizioni di incertezza 


Alcune critiche 

troppo permissivo 

◮ consistenza come condizione necessaria ma non sufficiente 

troppo restrittivo 

la consistenza non è necessaria per costruire una misura della 

convinzione razionale in condizioni di incertezza 

Riferimenti: 

Paris, J. B. (1994). The uncertain reasoner’s companion: A mathematical 

perspective. Cambridge University Press. 

Halpern, J. Y. (2003). Reasoning about Uncertainty. MIT Press. 


Oltre la coerenza 

Massima entropia 

Paris, J. (1999). Common sense and maximum entropy. Synthese, 

Volume 117(1) , 75-93. 





Volume 117(1) , 75-93. 

Bayesianesimo oggettivo 

Williamson, J. (2010). In Defence of Objective Bayesianism. Oxford 

University Press. 





Volume 117(1) , 75-93. 

Bayesianesimo oggettivo 

Williamson, J. (2010). In Defence of Objective Bayesianism. Oxford 

University Press. 

Pluralismo probabilistico 

Gillies, D. (2000). Philosophical Theories of Probability. Routledge. 


Soggettivismo e logica del probabile 

Il calcolo delle probabilità è la logica del probabile. Come la 

logica formale insegna a dedurre la verità o falsità di certe 

conseguenze dalla verità o falsità di certe premesse, così il 

calcolo delle probabilità insegna a dedurre la maggiore o 

minore verosimiglianza o probabilità di certe conseguenze 

dalla maggiore o minore verosimiglianza o probabilità di 

certe premesse. Per chi attribuisca alla probabilità un 

significato obbiettivo, il calcolo delle probabilità dovrebbe 

avere un significato obiettivo, i suoi teoremi esprimere delle 

prorietà che nel campo del reale risultano soddisfatte. 


Ma è inutile fare simili ipotesi. Basta limitarsi alla 

concezione soggettiva, considerare cioé la probabilità come 

grado di fiducia sentito da un dato individuo nell’avverarsi 

di un dato evento, e si può dimostrare che i noti teoremi del 

caclolo delle probabilità sono condizioni necessarie e 

sufficienti perché le opinioni di un dato individuo non siano 

intrinsecamente contraddittorie e incoerenti. 1 

1 B. de Finetti, ‘Fondamenti logici del ragionamento probabilistico’, Boll. Un. 

Mat. Ital., 9, 258-261, 1930

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