Teoria ingenua degli insiemi (1) Lezioni MARZO 1. Insiemi e ...

Teoria ingenua degli insiemi (1)
Lezioni MARZO
1. Insiemi e relazioni su insiemi
2. Alcuni insiemi particolari
3. Le operazioni insiemistiche (l'algebra di insiemi)
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1. INSIEMI E RELAZIONI SU INSIEMI
Le nozioni di insieme e di elemento di un insieme
saranno assunte come primitive.
a, b, c, x,y,z,...elementi, individui,...
A,B,C,...insiemi
a ∈ B:
= "a appartiene all'insieme B";
"a è un elemento dell'insieme B".
a ∉ B:=
"a non appartiene all'insieme B";
"a non è un elemento dell'insieme B".
• Con S indicheremo l'insieme che costituisce in
quel momento l'universo del discorso. S viene
anche chiamato insieme ambiente.
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Come si genera un insieme?
1. Per enumerazione; ex.: = { 1,
5,
7,
8}
A , B = { a,
b,
c,...
} .
2. Per comprensione, o per proprietà caratteristica,
cioè specificando la condizione tale che il suo
essere soddisfatta da parte di un elemento è
condizione necessaria e sufficiente per
l'appartenenza di quell'elemento a quell'insieme.
Una generica condizione su un elemento x sarà
indicata con α (x)
. L'insieme determinato da α (x)
viene denotato con
x / α ( x)
{ }
Si legge: "l'insieme di tutti gli elementi
che soddisfano la condizione α ".
Sia α la condizione "essere minore o uguale a 4".
Allora l'insieme determinato da α è { x ∈N / x ≤ 4}
.
Si legge: "l'insieme di tutti gli elementi x in N tali
che x ≤ 4".
Principio di comprensione o di astrazione
Sia α (x)
una generica condizione su x. Allora:
z ∈
x / α( x)
↔ α(
z
{ } ).
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[Si noti che questo principio, senza restrizioni, è
contraddittorio!]
Esercizio 1.1:
a) Descrivere per enumerazione i seguenti insiemi:
(i) { x ∈N / x ≤ 6 ∧ x ≥ 2}
.
(ii) { x ∈ N / x divide 40}
.
b) Descrivere per enumerazione l'insieme dei
numeri primi compresi fra 5 e 15.
c) Descrivere per comprensione:
A = { 4,
6,
7,
8}
; B = { 1,
4,
9,
16,...
} ; "l'insieme dei naturali
multipli di 3".
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Un insieme può essere rappresentato mediante i
diagrammi di Venn-Euler:
Sia A = { a,
b,
c}
Insieme ambiente
S
• a
A • b
Definizione 1.1 Siano A,B due insiemi.
A = B sse ∀ x( x ∈ A ↔ x ∈B)
.
Definizione 1.2 Siano A,B due insiemi. A è un
sottoinsieme di B ( A ⊆ B)
sse ∀ x( x ∈ A → x ∈B)
. Si
dice anche che A è incluso in B.
Con A ⊆/ Bindicheremo
che A non è un sottoinsieme
di B.
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A
• c
B

Quindi:
A ⊆/ B sse ∃ x( x ∈ A ∧ x ∉B)
Chiaramente: A = B sse A ⊆ B e B ⊆ A.
Teorema 1.1 La relazione ⊆ è un ordine parziale:
a) ⊆ è riflessiva: A ⊆ A;
b) ⊆ è antisimmetrica: A ⊆ B ∧ B ⊆ A → A = B.
c) ⊆ è transitiva: A ⊆ B ∧ B ⊆ C → A ⊆ C .
Esercizio 1.2
a) Dimostrare il Teorema 1.1
b) Vale A ⊆ B ∨ B ⊆ A?
Se no, fornire un
controesempio.
c) Stabilire se le seguenti asserzioni sono vere o
false (S è l'insieme degli uomini):
1. L'insieme dei senatori italiani ⊆ l'insieme
dei cittadini italiani.
2. L'insieme degli studenti di Cagliari ⊆
l'insieme dei cittadini italiani.
3. L'insieme dei fratelli di Carlo ⊆ l'insieme
dei parenti di Carlo.
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4. L'insieme dei parenti di Carlo⊆ l'insieme
dei fratello di Carlo.
Definizione 1.3 Siano A,B due insiemi. A è un
sottoinsieme proprio di B ( A ⊂ B)
sse
( x ∈ A → x ∈B)
∧ ∃x(
x ∈B
∧ x A)
∀ x ∉ .
Si dice anche che A è incluso propriamente in B.
Quindi: A ⊂ B sse A ⊆ B e A ≠ B
Esercizio 1.3
a) Stabilire se la relazione ⊂ è un ordine
parziale.
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2. ALCUNI INSIEMI PARTICOLARI
Definizione 2.1 (insieme vuoto)
∅ : = x / x ≠ x
{ }
Teorema 2.1 Sia S un qualsiasi insieme (ambiente).
Allora, per ogni A ⊆ S , vale:
a) ∅ ⊆ A;
b) A ⊆ S .
Definizione 2.2
a) { a } : = { x / x = a}.
(insieme singoletto)
b) { a b}
: = { x / x = a ∨ x = b}
, (insieme coppia)
c) { a a ..., a } : = { x / x = a ∨ x = a ∨...
∨ x = a }
1 , 2,
n
1 2
Dalla definizione si ha subito che:
a) { a , a}
= { a}
.
a , b = b,
a .
b) { } { }
8
(n-pla di a 1 ,..., an)
n
.

Insieme potenza (o insieme delle parti)
Definizione 2.3 L'insieme potenza (o insieme delle
parti) di un insieme A (indicato con ℘ (A))
è
{ B B ⊆ A}
/ .
L'insieme potenza di A è quindi l'insieme che
contiene tutti e soli i sottoinsiemi di A.
Esempio 2.1 Sia A = { a,
b,
c}
.
Allora: ℘ ( A ) = { ∅,
{ a}
, { b}
, { c}
, { a,
b}
, { a,
c}
, { b,
c}
, { a,
b,
c}
}
N.B.: Se A un insieme finito che contiene n
n
elementi, allora ℘ (A)
contiene 2 elementi.
Esercizio 2.1
a) Calcolare ℘ ( { 2,
3,
4,
5})
.
b) Calcolare ℘ ( { 2})
.
c) Calcolare ℘ ( { ∅})
.
d) Calcolare ℘ (℘(
{ 2,
3}))
.
e) Dimostrare che per ogni insieme A:
A ∈ ℘(A)
.
f) Dimostrare che per ogni insieme A: ∅ ⊆℘(A
) .
g) Dimostrare che per ogni insieme A, B:
A ⊆ B sse℘( A)
⊆℘(
B)
.
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Teorema 2.2 Sia B un insieme qualsiasi. Allora
℘ ( B) ⊆/ B.
Teorema 2.3 Sia B un insieme qualsiasi. Sia
R( B)
: = { x / x ∈B
∧ x ∉x}
(R(B) è l' insieme di Russell per l'insieme B). Allora:
a) R( B)
⊆ B;
b) R( B)
∉B
.
Esercizio 2.2
a) Calcolare l'insieme di Russell dell'insieme
B = { 0,
1}
.
b) Calcolare l'insieme di Russell dell'insieme
B = { 0,
{ 0,
{ 0,...
} } .
c) Calcolare l'insieme di Russell dell'insieme
B = 0 .
{ }
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Teorema 2.4 (Paradosso di Russell, 1902)
Non esiste un insieme universale, cioè un insieme
che contiene tutti gli elementi.
Il paradosso di Russell può essere derivato
direttamente dal principio di comprensione:
Sia α (x)
la condizione "x non appartiene a se
stesso".
Allora, per il principio di comprensione:
∀ z( z ∈{
x / α( x)
} ↔ α(
z)
) .
Quindi, in particolare:
x / α( x)
∈ x / α(
x)
↔ x / α(
x)
∉ x / α(
x)
,
{ } { } { } { }
contraddizione!
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3. LE OPERAZIONI INSIEMISTICHE
(L'ALGEBRA DI INSIEMI)
Sia S un insieme prefissato. Sia ℘ (S)
l'insieme
potenza di S.
♦ Intersezione (∩ ) [congiunzione ∧]
Definizione 3.1 Sia A, B ∈ ℘(
S).
Quindi:
{ x x ∈ A ∧ x B}
A∩ B : = / ∈ .
intersezione B
A A∩ B
( x ∈ A∩
B ↔ x ∈ A ∧ x B)
∀ x ∈ .
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Teorema 3.1 Siano A, B,
C ∈ ℘(
S)
. Allora valgono le
seguenti proprietà:
a) A ∩ A = A.
(idempotenza)
b) A ∩ B = B ∩ A.
(commmutatività)
c) A ∩ ( B ∩ C)
= ( A ∩ B)
∩ C . (associatività)
d) A ∩ ∅ = ∅.
e) A ∩ S = A.
f) A ∩ B ⊆ A.
g) A ⊆ B sse A ∩ B = A.
Dimostrazione Esercizio.
N.B. Spesso per dimostrare che A = B,
si utilizza la
proprietà antisimmetrica della relazione ⊆. La
dimostrazione quindi consiste di due parti: (i)
A ⊆ B;
(ii) B ⊆ A.
Dimostriamo, come esempio, g).
1) Supponiamo A ⊆ B.
Dobbiamo dimostrare
A ∩ B = A.
Per l'antisimmetria di ⊆, è sufficiente dimostrare:
(i) A ∩ B ⊆ A e (ii) A ⊆ A ∩ B.
(i) Segue da f).
(ii) Supponiamo che a ∈ A.
Dobbiamo dimostrare
a ∈ A ∩ B.
Per ipotesi, A ⊆ B.
Quindi, a ∈ B,
poiché
a ∈ A.
Quindi, a ∈ A ∩ B.
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2) Supponiamo A ∩ B = A.
Dobbiamo dimostrare
A ⊆ B.
Supponiamo allora che a ∈ A.
Allora
a ∈ A ∩ B,
poiché A ∩ B = A.
Quindi, a ∈ B.
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♦ Unione (∪ ) [disgiunzione ∨]
Definizione 3.2
Sia A, B ∈ ℘(
S).
Quindi:
{ x x ∈ A ∨ x B}
A∪ B : =
unione
/ ∈ .
A A∪ B B
( x ∈ A∪
B ↔ x ∈ A ∨ x B)
∀ x ∈ .
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Teorema 3.2 Siano A, B,
C ∈ ℘(
S)
. Allora valgono le
seguenti proprietà:
a) A ∪ A = A.
(idempotenza)
b) A∪ B = B ∪ A.
(commmutatività)
c) A∪ ( B ∪C
) = ( A∪
B)
∪C
. (associatività)
d) A ∪ ∅ = A.
e) A ∪ S = S .
f) A ⊆ A ∪ B .
g) A ⊆ B sse A ∪ B = B.
Dimostrazione Esercizio.
Teorema 3.3 Siano A, B,
C ∈ ℘(
S)
. Allora valgono le
seguenti proprietà:
a) A ∩ ( A∪
B)
= A.
(assorbimento)
b) A ∪ ( A∩
B)
= A.
(assorbimento)
c) A∩ ( B ∪C)
= ( A∩
B)
∪ ( A∩
C).
(distributività di ∩ su ∪)
d) A∪ ( B ∩C
) = ( A∪
B)
∩ ( A∪
C).
(distributività di ∪ su ∩)
Dimostrazione Esercizio.
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Esercizio 3.1 Siano
A = { 2 , 3,
4,
5}
, B = { 2,
4,
6,
8}
, C = { 3,
5,
7,
9}.
Calcolare (ed esprimere la risposta per
enumerazione) e rappresentare con i diagrammi di
Venn-Euler:
a) A∩ B.
b) B ∩ A.
c) A∪ B.
d) B ∩ C .
e) ( A∩ B)
∪C
.
f) A∪ ( B ∩C
) .
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♦ Complemento (− ) [negazione ¬]
Ricordiamo che S è l'insieme "ambiente".
Definizione 3.3 Siano A, B ∈ ℘(
S)
.
A \ B : = x / x ∈ A ∧ x ∉B
{ }
Differenza fra A e B
A \
Teorema 3.4 Siano A, B,
C ∈ ℘(
S)
. Allora valgono le
seguenti proprietà:
a) ( A ∩ B)
= A \ ( A \ B).
b) A \ ( B ∪ C)
= ( A \ B)
∩ ( A \ C).
c) C ∩ A ⊆ C ∩ B sse C \ B ⊆ C \ A.
Dimostrazione Esercizio.
B
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Definizione 3.4 Sia A ∈ ℘(S
) .
Quindi:
− A : = S − A.
S
− A : = /
S
{ x x ∈S
∧ x ∉ A}
Complemento di A (relativo a S)
S
A − S A
Quindi:
∀ x( x ∈−
S A sse x ∉ A)
Assumeremo che S è un insieme fissato ma
arbitrario. Quindi, possiamo scrivere − A invece di
− A.
S
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Teorema 3.5 Siano A, B,
C ∈ ℘(
S)
. Allora valgono le
seguenti proprietà:
a) − −A
= A.
b) ∅ = −S
.
c) A ∪ −A
= S.
d) A ∩ −A
= ∅
d) − ( A∩ B)
= −A
∪ −B
. De Morgan
e) − ( A∪ B)
= −A
∩ −B
. De Morgan
f) A∩ B = ∅ sse A ⊆ −B
.
Dimostrazione Esercizio
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Nozioni logiche
∧
∨
¬
1 (Vero)
0 (Falso)
Tabella riepilogativa
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Interpretazione
insiemistica
Intersezione (∩)
Unione (∪)
Complemento (-)
Insieme totale (S)
Insieme vuoto (∅)