Lezione 9 - Corsi di Laurea a Distanza

A. Chiodoni – esercizi di Fisica II
LEGGE DI FARADAY, LEGGE DI LENZ, INDUTTANZA, ENERGIA MAGNETICA
Esercizio 1
2
Una bobina costituita da N=100 spire di area S = 100cm e resistenza complessiva
R = 5Ω
è posta tra le espansioni di un elettromagnete e giace in un piano ortogonale
alle linee di B r . Il campo magnetico, uniforme sui punti di S, varia nel tempo
aumentando linearmente del valore zero al valore B = 0.
8T
in un tempo t = 10s
.
Calcolare la f.e.m. indotta nella bobina e il lavoro totale speso nel tempo t0
.
→ Soluzione
La legge di variazione del campo magnetico è
attraverso la bobina vale:
r r
r
NSB0t
φ(
B)
= ∫ NB
⋅uˆ
ndS
= ∫ NB
cos( θ ) dS = NB∫
dS = NBS =
t
S
Il valore della fem indotta sarà:
(legge di Faraday)
S
ξ =
i
= −
fem i
La corrente indotta sarà parai a:
i =
fem
R
t
d ( B)
= − = −NS
dt
r
φ
S
dB
dt
0
0
B t
−4
NSB0 100 × 100 × 10 × 0.
8
−2
0
= −
r
−2
1 dφ(
B)
− 8×
10
−
= − = = −1.
6×
10
R dt 5
2
A
10
0
B = e di conseguenza il flusso
0
t
= −8×
10
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V
0
1

A. Chiodoni – esercizi di Fisica II
La corrente circola in verso tale da opporsi con il suo campo alla variazione di B r (legge
di Lenz). La potenza fornita dalla fem (dissipata sulla resistenza R) e il lavoro totale
valgono:
P i
= ξ . i = ( −8×
10
L 0 i
= Pt = ξ it
Esercizio 2
0
−2
−2
−3
) × ( −1.
6 × 10 ) = 1.
28 × 10 W
= 1.
28×
10
−2
J
Una bobina rettangolare di lati a = 10 cm e b = 5 cm è composta da N = 100 spire di
resistenza complessiva R = 2Ω
e giace nel piano xy. Un campo magnetico
x t u T agisce sulla bobina. Calcolare (a) la fem indotta
ˆ ) 25 . 0 ( 5
2 2
= −
ξ (t)
nella bobina
B z
(b) La corrente i(t) e la carica q(t) che circola nella stessa tra l’istante t=0 e t=0,5 s.
→ Soluzione
a) Calcoliamo innanzi tutto il flusso di B r e poi applichiamo la legge di Faraday.
r r
a
a
2 2
2
φ ( B)
= ∫ NBuˆ
ndS
= N∫
5x
( t − 0.
25)
bdx = N(
t − 0.
25)
b5∫
S
o
o
2 5bN(
t
x dx =
−2
3 −6
5× 5×
10 × 100×
10 × 10 2
−3
2
=
( t − 0.
25)
= 8.
33×
10 ( t − 0.
25)
=
3
−3
2
= 8.
33×
10 ( t − 0.
25)Wb
Quindi la fem indotta sarà:
fem i
r
dφ
B)
= − = ( −2
× 8.
33×
10
dt
( −3
−3
× t)
V = ( −16.
7 × 10
t)
V
2
− 0.
25)
a
3
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3
2

) Calcoliamo la corrente indotta:
−3
fem −16.
7 × 10 t
−3
i = =
= ( −8.
33×
10 t)
A
R 2
E infine, la carica q(t) si ricava da i(t):
r
t
φ1
dφ(
B)
1 1
q(
t)
= ∫ i(
t)
dt = ∫ − = ( φ0
−φ1
)
dt R R
to
φ 0
1
8.
33×
10
→ q(
t)
= ( φ ( 0)
− φ ( 0.
5))
=
R
3
Esercizio 3
−3
( −0.
25 −
0.
5
+
0.
25)
A. Chiodoni – esercizi di Fisica II
= −1.
04×
10
2
Una spira di raggio a=5cm, costituita da un filo conduttore di sezione S = 1mm e
−8
resistività ρ = 1,
7 × 10 Ωm
, viene portata da una regione in cui esiste un campo di
2
induzione magnetica uniforme B = 0, 5Wb
/ m diretto secondo un angolo α = 60°
rispetto alla normale al piano della spira, in una regione in cui il campo è nullo. Qual’è la
carica totale che percorre la spira in conseguenza di tale spostamento?
→ Soluzione
La corrente indotta nella spira ottenuta sfruttando la legge di Faraday, vale:
r
1 dφ(
B)
i = −
R dt
Mentre la carica totale (legge di Felici) verrà:
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−3
C
3

t
φ1
dφ(
B)
1
Q = ∫ i(
t)
dt = ∫ − = 0
1
Rdt R
t0
φ 0
r r
[ φ ( B)
−φ
( B)
]
A. Chiodoni – esercizi di Fisica II
Su questo caso, φ ( ) = 0 perchè la spira viene portata in una zona in cui il campo
1 B r
magnetico è nullo. Allora:
φ 0 ( B)
= ∫ B ⋅uˆ
ndS
= ∫ B cos( α)
ds = B cos( α)
∫ ds = B cos( α)
πa
r r
S
Quindi, ricordando che
S
l
R = ρ
S
1 r S
2 S
2 SB cos( α)
a
Q = φ0
( B)
= B cos( α)
πa
= B cos( α)
πa
=
R ρl
ρ2πa
2ρ
10
× 0.
5×
0.
5×
5×
10
8
2×
1.
7 × 10
−6
= −
−2
=
0.
37C
S
N.B. questo processo viene utilizzato per la misura di campi magnetici mediante
galvanometro balistico: noto Q si risale al valore di B.
Esercizio 4
E’ dato un sistema di conduttori costituito da un lungo filo rettilineo e da una spira
piana rettangolare disposti (nel vuoto) come in figura. Nel filo rettilineo fluisce una
corrente i=20A. Mediante l’apertura di un interruttore essa viene ridotta al valore 0
in un tempo ∆t = 0.
025 . Calcolare la fem indotta nella spira rettangolare ed indicare il
verso in cui fluisce la relativa corrente.
→ Soluzione
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2
4

c
A. Chiodoni – esercizi di Fisica II
Per conoscere il valore di i, sfruttiamo la legge di Faraday. Per la legge di Biot-Savart,
il campo magnetico generato dal filo vale:
µ 0 i
B = , con x distanza dal filo.
2π
x
Consideriamo un elemento infinitesimo della superficie della spira, di forma
rettangolare con lati b e dx:
Dunque:
r
φ(
B)
=
∫
c+
µ 0
= ib
2π
∫
c
r
dφ(
B)
=
a
dx
x
∫
S
r
B ⋅uˆ
dS =
µ 0 log( c + a)
= ib
2π
logc
n
c+
a
∫
c
µ
0
2π
i
x
bdx
Che è il flusso concatenato alla spira. Se i=20A si ottiene il flusso inizialmente
concatenato con la spira. La fem indotta sarà pari a :
∆φ(
B)
φ(
t = ∆t)
−φ
( t = 0)
fem = − = −
∆t
∆t
r
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x
5

−7
−2
ib 4π
× 10 × 20×
20×
10 15 1
−5
µ 0 ⎛ c + a ⎞ 1
= ⎜log
⎟ =
2π
⎝ c ⎠ ∆t
2π
log
5
0.
025
A. Chiodoni – esercizi di Fisica II
= 4.
39×
10
Per la legge di Lenz il verso della corrente indotto nella spira è orario; poiché il flusso
concatenato diminuisce, il verso della corrente deve essere tale da creare un nuovo
campo magnetico entrante nel piano della spira.
Esercizio 5
E’ dato il sistema di conduttori rappresentato in figura. Il conduttore PQ può
strisciare da sinistra verso destra sulle rotaie x’ e x’’, mantenendosi parallelo a se
stesso. Il sistema si trova in un campo magnetico uniforme B r perpendicolare al piano
definito dai conduttori.
Tutti i conduttori hanno uguale resistenza r per unità di lunghezza. a) Quale deve
essere la legge del moto del conduttore PQ, affinché la corrente i indotta nel circuito
chiuso APQB sia constante durante il moto? b) Supponendo che al tempo t=0 PQ
coincida con AB, qual’e il valore della sua velocità iniziale, se i=0,01A, R=0,1 Ω e
m
B = 0.
1Wb
2 ? Si trascuri la induttanza del circuito.
m
→ Soluzione
a) Il flusso di B r concatenato con il circuito varia come:
( B ) = Bax
v
φ , a = distanza AB
L’intensità di corrente sarà data da:
r
dφ(
B)
1 aB
i = − = −
dt R 2r(
a + x)
dx
dt
Separiamo le variabili e sfruttiamo il fatto che i=cost:
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V
6

dx − 2Ri
= dt
( a + x)
aB
dx − 2Ri
→ ∫ = dt
( a + x)
∫ aB
− 2Rit
ln( a + x)
= + cos( t)
→ a + x = e
aB
−2R
it
aB
⋅ cost
A. Chiodoni – esercizi di Fisica II
Ricaviamo il valore della costante di integrazione introducendo le condizioni iniziali
nell’equazione precedente, cioè x=0 a t=0:
0
a + 0 = e ⋅ cos t → cos t = a
−2R
it
aB
Quindi, la legge oraria del moto è x ( t)
= a(
e −1)
b) Calcoliamo ora la velocità iniziale:
dx ⎛ 2R
⎞
v = = a⎜−
i⎟e
dt ⎝ aB ⎠
v
0
dx
=
dt
t=
0
Esercizio 6
−2R
it
aB
⎛ − 2R
⎞ − 2Ri
−
= a⎜
i⎟
= =
⎝ aB ⎠ B
−2
−1
2 × 1×
10 × 1×
10
−2
0.
1
= 2×
10
Un circuito rigido quadrato ABCD di lato l=20cm è costituito da un filo di alluminio di
−8
2
resistività ρ = 2,
56.
10 Ωm
e sezione S=4mm . Esso è parzialmente immerso, nel
5
vuoto, in un campo magnetico uniforme di intensità H=3x10 A/m diretto
perpendicolarmente al piano del circuito (vedi figura). Tutto il circuito trasla con
velocità costante v=50cm/s nella direzione e nel verso indicato dalla freccia.
Determinare
a) L’intensità della corrente indotta nel circuito durante il moto.
b) La quantità di calore sviluppata nel circuito per effetto Joule per uno
spostamento h=10cm. Mostrare inoltre che detta quantità di calore è
equivalente al lavoro speso per compiere il suddetto spostamento h.
→ Soluzione
s
m
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7

A. Chiodoni – esercizi di Fisica II
a) Subito dopo l’inizio del moto il flusso del campo magnetico B concatenato con il
circuito vale:
φ( B) = µ 0Hl( l'−vt)
r
(ricordiamo che µ0H=B)
Dove l’ è la lunghezza della porzione dei lati AD e BC immersa nel campo magnetico a
t=0. La corrente indotta sarà quindi:
1 dφ(
B)
S
i = − = µ 0Hlv
R dt ρ4l
r
−7
5
−2
−2
−6
4π
× 10 × 3×
10 × 20 × 10 × 50 × 10 × 4 × 10
= = 7.
36A
−8
−2
4×
2.
56×
10 × 20×
10
La corrente circola in senso orario (si oppone alla variazione del flusso concatenato
che, in questo caso sta diminuendo e quindi deve circolare in modo tale da generare un
campo magnetico entrante nel piano della spira).
b) Il calore sviluppato per effetto joule à pari a:
2 2
Q = i Rt = i R
h
v
=
( 7.
36)
2
−8
2.
56×
10 × 0.
2×
4 0.
1
. = 5.
54×
10
−6
4×
10 0.
5
Sul lato AB della spira agisce una forza F = ilB che tende a risucchiare la spira
all’interno del campo magnetico. Il lavoro compiuto da tale forza vale:
L = µ ilHh = 4π
× 10
0
−7
5
−2
× 7.
36 × 0.
2 × 3×
10 × 0.
1 = 5.
5×
10 J
Pari cioè al calore dissipato per effetto joule. Infatti:
2 2 h ⎛ dφ(
B)
⎞ h h
Q = i Rt = i R = i ⎜−
⎟ = i(
µ 0Hlv)
= µ 0ilHh
= L
v ⎝ dt ⎠ v v
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=
−2
J
8

Esercizio 7
A. Chiodoni – esercizi di Fisica II
Una bobina rettangolare formata da N spire circolari di lati a e b è collegata a dei
collettori circolari e ruota intorno all’asse AA’ con velocità angolare ω in un campo
magnetico di induzione B r .
a) Ricavare l’espressione del flusso quando la bobina si trova nella posizione della
figura ( B r ortogonale al piano della spira) e della differenza di potenziale
massima tra i collettori, specificando la posizione della bobina rispetto al
campo.
b) Con i dati a=1cm, b=5cm, N=100, B=0.4T, calcolare a quale velocità angolare la
bobina deve ruotare per ottenere una d.d.p massima di 100V.
→ Soluzione
A
a) Il flusso magnetico concatenato è:
φ ( ) = N∫
B ⋅uˆ
dS = NBab cos( Bnˆ
) = NBab cos( θ ) = NBab cos( ωt)
r r
B n
S
r
se B // uˆ
n , come in figura, cos( ω t)
= 1 e quindi si avrà il massimo valore del flusso:
r r
φ ( B ) φ(
B)
= NBab
= max
r
dφ(
B)
La fem indotta è: fem = − = ωNBabsin(
ωt)
e sarà massima per sin( ω t)
= 1,
cioè per
dt
r
B ⊥ nˆ
: ( fem) = ωNBab
b) ω
( fem)
NBab
max
100V
=
100×
0.
4×
1×
5×
10
max
= −4
Esercizio 8
= 5000Hz
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A’
9

A. Chiodoni – esercizi di Fisica II
Sia dato un solenoide rettilineo di lunghezza l, sezione circolare S, numero di spire N
−4 2
(l=0.1m; S=5x10 m ; N=100). Calcolare:
a) Il coefficiente L di autoinduzione.
b) Di quanto varia L per un solenoide avente stesso diametro e lo stesso numero di
spire, ma lunghezza doppia.
c) Di quanto varia L per un solenoide avente la stessa sezione S e la stessa
lunghezza, ma un numero doppio di spire.
→ Soluzione
( B)
a) Poiché L
i
r
φ
N ( B)
= per una singola spira, per il solenoide si avrà L
i
r
φ
= , dove
N = numero di spire.
Ricordiamo che il campo magnetico in un solenoide vale B = µ oin (n=numero di spire
per unità di lunghezza) e scriviamoci la definizione di (B) r
φ :
r r r
φ ( B)
= ∫ B ⋅uˆ
ndS
= ∫ BdS
= BS = µ 0inS
spire, parallela a B.
Quindi:
N
L = µ 0inS
=
i
S
N
i
µ
0
S
, dove ûn
è la normale alla superficie del
2
−7
4
−4
Ni N 4π × 10 × 10 × 5×
10
−5
S = µ 0S
=
= 6.
28×
10
l l
0.
1
2
0 N Si L
−5
b) In questo caso, si ha L'=
= = 3.
14 × 10 H
i2l
2
µ
2
2N
µ 0i2NS
4N
µ 0S
−5
c) Infine, L''
=
= = 4L
= 25.
12×
10 H
i l l
Esercizio 9
Un lungo conduttore cilindrico di raggio a è percorso da una corrente continua i. Detta
µ la permeabilità magnetica del materiale, si calcoli l’energia per unità di lunghezza
Ue del campo magnetico presente all’interno del conduttore.
→ Soluzione
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H
10

A. Chiodoni – esercizi di Fisica II
Possiamo determinare il campo magnetico all’interno del conduttore utilizzando la
legge d’Ampere e scegliendo un cammino chiuso di integrazione di raggio r < a:
∫
r
2
2
r
πr
r
B ⋅ ds
= µ i'→
B2πr
= µ i = µ i 2
2
πa
a
r
→ B = µ i
2πa dove i’ = parte di corrente totale concatenata con la circonferenza scelta.
Possiamo ora determinare la densità di energia del campo magnetico come:
u B
L’energia magnetica sarà data da:
dU B B
B ∫
filo
B
=
1
2
2
2 2 2
B 1 µ i r
=
2
µ 2 µ 4π
a
2
4
2
µ i r
= 2
8π
a
= u dV → U = u dV ->> Integro su un tratto di filo lungo l.
Se considero 2πrl come volume
U
B
a
2
µ i
= ∫ u B 2πrldr
= 2πl
2 4
8π
a ∫
0
a
0
2 4
3 ⎡ µ i l r ⎤
r dr = ⎢ 4 ⎥
⎣4πa
4 ⎦
E infine, l’energia per unità di lunghezza:
Esercizio 10
U
e
U
=
l
B
a
0
2 4 2
µ i l a µ i l
= = 4
4π
a 4 16π
2
µ i
=
16π
Sia dato un circuito di resistenza R = 10Ω
ed autoinduzione L = 0.
05H
. E inserita una
fem Vo=50V. Si calcoli l’energia magnetica accumulata nell’autoinduzione L e la potenza
applicata all’autoinduzione nel momento in cui nel circuito passa una corrente i=1A.
→ Soluzione
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2
4
11

L’energia magnetica è direttamente calcolabile dalla formula:
U B
1 2
= Li
2
=
1
0.
05×
1 = 0.
025
2
J
A. Chiodoni – esercizi di Fisica II
Per determinare la potenza applicata all’autoinduzione possiamo ricavarla come
differenza tra la potenza erogata dal generatore e quella dissipata nella resistenza:
Esercizio 11
PL = Pfem
− PR
= V0
i − Ri
2
= 50 −10
= 40W
Una spira circolare di raggio a = 5cm e resistenza R = 1.
5Ω
è immersa in un campo
magnetico B uniforme perpendicolare al piano della spira, che varia nel tempo con la
legge B( t)
= α + βt
, con α = 0.
3T
e β = 0.
5T
. Calcolare: a) il flusso ( )
s
0 B φ all’istante t=0
b) la fem indotta ξ nella spira c) la potenza PR
dissipata dalla stessa.
→ Soluzione
Il flusso di B è dato da:
a) A t=0, abbiamo:
∫
S
( α + βt)
ds = ∫ αds
= απa
=
S
0.
3
b) A t generico
v r
φ ( B)
= B ⋅ uˆ
ds = B(
t)
ds = B(
t)
2
=
∫
2
× 3.
14 × 5 × 10
S
−4
∫
S
= 2.
36 × 10
−3
Wb
r
dφ(
B)
d 2
2
ξ = femind = − = − ( απa
+ βtπa
) =
dt dt
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∫
S
dS
12

2
−4
= −Bπa
= −0.
5×
3.
14 × 25×
10 = −3.
92mV
2
−3
2
ξ ( −3.
92×
10 )
−5
c) PR = =
= 1.
03×
10 W ≅ 10µ
W
R 1.
5
Esercizio 12
A. Chiodoni – esercizi di Fisica II
In figura è mostrato un conduttore a sezione quadrata di lato pari a 2cm. Nella
regione vi è un campo magnetico, in direzione normale e uscente dalla pagina, la cui
2
intensità è data da B = 4t
y , dove B è spesso in tesla, t in secondi e y in metri. Si
determini la fem indotta all’istante t=2,5 secondi.
→ Soluzione
Scriviamo dapprima il flusso di B r
v r
2
φ ( B)
= ∫ B ⋅uˆ
ndS
= ∫ BdS = ∫ 4t
ydS ;ma S = xy → dS = xdy
S
Allora
Quindi:
S
S
y
2
y
v 2 ⎡ 2 y ⎤ 2 2
φ ( B)
4t
yxdy 4t
x = 2t
xy ,
= ∫
0
= ⎢
⎣
r
dφ(
B)
d 2 2
2
−6
fem = − = − ( 2t
xy ) = −4txy
= −4
× 2.
5×
8×
10 = −80µ
V
dt dt
Esercizio 13
2
⎥
⎦
0
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13

A. Chiodoni – esercizi di Fisica II
In un solenoide rettilineo ed indefinito di raggio R=10cm. Il modulo del campo
2
magnetico B viene fatto crescere linearmente di 0,1 Wb/m al secondo variando in
modo opportuno l’intensità di corrente che circola nel solenoide.
a) si esprima il modulo E del campo elettrico indotto in funzione della distanza r
dall’asse del solenoide.
b) Si calcoli il valore di E per r=5cm
→ Soluzione
a) La forma elettromotrice indotta ottenuta dalla legge di Faraday implica la
presenza di un campo elettrico che può essere calcolato come:
r
dφ(
B)
= − =
dt ∫
fem i
v r v r
E ⋅ dl
, ( ⋅ dl
≠ 0 perchè Ei non è conservativo!).
E i
Calcoliamo il flusso di B attraverso una superficie delimitata da un cerchio di
raggio r < R.
φ ( ) = ∫ B ⋅uˆ
dS = πr
r r
B n
S
2
B
E calcoliamo l’integrale di linea dl campo elettrico indotto:
∫
r
dl
= E 2πr
Allora:
Ei i
2 dB
Ei 2π
r = −πr
→ Ei
dt
b) Se r = 5 cm,
r dB
= −
2 dt
r 0. 05
−3
E = 0.
1 = 2.
5×
10 V
2
m
Corsi a distanza – corso di laurea in INGEGNERIA LOGISTICA E DELLA PRODUZIONE
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