θ θ m2 m1 - Politecnico di Torino
θ θ m2 m1 - Politecnico di Torino
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Esercizio (tratto dal problema 7.52 del Mazzol<strong>di</strong> 2)<br />
Sul doppio piano inclinato <strong>di</strong> un angolo <strong>θ</strong> sono posizionati un <strong>di</strong>sco <strong>di</strong> massa <strong>m1</strong> e raggio R<br />
e un blocco <strong>di</strong> massa <strong>m2</strong>. I due oggetti sono collegati da un filo inestensibile; sulla rampa<br />
<strong>di</strong> sinistra c’è attrito mentre la rampa <strong>di</strong> destra è liscia. Il <strong>di</strong>sco scende con moto <strong>di</strong> puro<br />
rotolamento.<br />
<strong>m1</strong><br />
<strong>m2</strong><br />
<strong>θ</strong> <strong>θ</strong><br />
1. Disegnare le forze che agiscono sul corpo <strong>m2</strong> e scrivere la legge che determina il suo<br />
moto [2 punti];<br />
2. Disegnare le forze che agiscono sul corpo <strong>m1</strong> e scrivere le leggi che determinano il<br />
suo moto [6 punti];<br />
3. Risolvere le equazioni ottenute nei punti precedenti e determinare (in forma simbolica)<br />
l’accelerazione a del sistema e la tensione T del filo in funzione <strong>di</strong> <strong>m1</strong>, <strong>m2</strong>, e <strong>θ</strong><br />
[4 punti];<br />
4. Determinare i valori espliciti <strong>di</strong> a e <strong>di</strong> T nel caso particolare in cui <strong>m1</strong> = 6 Kg,<br />
<strong>m2</strong> = 1 Kg e <strong>θ</strong> = π/5 e commentare se il <strong>di</strong>sco sale o scende [1 punto];<br />
5. Se il <strong>di</strong>sco parte inizialmente da fermo, determinare il tempo t ∗ che impiega per<br />
ruotare <strong>di</strong> un dato angolo ϕ ∗ attorno al suo centro <strong>di</strong> massa (scrivere il risultato t ∗<br />
in forma simbolica in funzione <strong>di</strong> a, R e ϕ ∗ ) [2 punti];<br />
(momento d’inerzia del <strong>di</strong>sco I = 1<br />
2 <strong>m1</strong>R 2 )<br />
SOLUZIONE<br />
Osserviamo anzitutto che, siccome il filo è inestensibile, il sistema si muove solidalmente, e<br />
la velocità e l’accelerazione traslatorie (nelle rispettive <strong>di</strong>rezioni) sono le stesse per il <strong>di</strong>sco<br />
e per il corpo. Fissiamo un verso convenzionale per l’accelerazione del sistema (il testo<br />
suggerisce quello <strong>di</strong> <strong>di</strong>scesa lungo il piano per il <strong>di</strong>sco, e dunque <strong>di</strong> salita lungo il piano<br />
per il corpo, come mostrato in figura 1).<br />
1. Consideriamo le forze che agiscono sul corpo <strong>m2</strong>. Anzitutto scomponiamo la forza<br />
peso nelle componenti parallela al piano e ortogonale al piano:<br />
<br />
Fp2,|| = <strong>m2</strong> g sin <strong>θ</strong><br />
(1)<br />
Fp2,⊥ = <strong>m2</strong> g cos <strong>θ</strong><br />
dove la componenti normale è bilanciata dalla reazione vincolare del piano e non ha<br />
Dr. Fabrizio Dolcini<br />
Esercitazioni <strong>di</strong> Fisica I, Dipart. <strong>di</strong> Fisica del <strong>Politecnico</strong> <strong>di</strong> <strong>Torino</strong><br />
1
effetto. Inoltre, agisce la tensione T del filo. L’equazione della <strong>di</strong>namica per <strong>m2</strong>,<br />
lungo il piano,è la seguente<br />
−<strong>m2</strong>g sin <strong>θ</strong> + T = <strong>m2</strong>a (moto traslatorio <strong>di</strong> <strong>m2</strong>) (2)<br />
2. Consideriamo ora le forze che agiscono su <strong>m1</strong>. Scomponiamo la forza peso nelle<br />
componenti parallela al piano e ortogonale al piano:<br />
<br />
Fp1,||<br />
Fp1,⊥<br />
=<br />
=<br />
<strong>m1</strong> g sin <strong>θ</strong><br />
<strong>m1</strong> g cos <strong>θ</strong><br />
(3)<br />
dove la componenti normale è bilanciata dalla reazione vincolare del piano e non ha<br />
effetto. Inoltre, agisce la tensione T del filo (<strong>di</strong>retta in maniera opposta a quella su<br />
<strong>m2</strong>), ed infine sul <strong>di</strong>sco agisce anche la forza <strong>di</strong> attrito (dato che il <strong>di</strong>sco rotola) che<br />
si oppone al moto.<br />
F p1,||<br />
<strong>m1</strong><br />
<strong>θ</strong><br />
a<br />
T<br />
Fatt<br />
Fp1,⊥<br />
Figure 1:<br />
T<br />
Fp2,⊥<br />
<strong>m2</strong><br />
F p2,||<br />
• moto traslatorio del centro <strong>di</strong> massa del <strong>di</strong>sco;<br />
Il centro <strong>di</strong> massa si muove con un moto dettato dalla sommatoria <strong>di</strong> tutte le<br />
forze che agiscono sul corpo, come applicate al centro <strong>di</strong> massa stesso:<br />
<strong>m1</strong>g sin <strong>θ</strong> − T − Fatt = <strong>m1</strong>a (moto traslatorio <strong>di</strong> <strong>m1</strong>) (4)<br />
• moto rotatorio del <strong>di</strong>sco attorno al centro <strong>di</strong> massa;<br />
Si tratta della equazione del moto rotatorio<br />
M ′E = d L ′E<br />
dove M ′E e L ′E sono il momento delle forze e il momento angolare rispetto al<br />
sistema <strong>di</strong> riferimento (peraltro non inerziale) del centro <strong>di</strong> massa del <strong>di</strong>sco.<br />
Qui osserviamo che<br />
dt<br />
Dr. Fabrizio Dolcini<br />
Esercitazioni <strong>di</strong> Fisica I, Dipart. <strong>di</strong> Fisica del <strong>Politecnico</strong> <strong>di</strong> <strong>Torino</strong><br />
<strong>θ</strong><br />
(5)<br />
2
– per come sono <strong>di</strong>rette le forze, M ′E e L ′E sono <strong>di</strong>retti lungo l’asse perpen<strong>di</strong>colare<br />
al foglio (verso uscente), attorno a cui avviene la rotazione.<br />
Proiettando l’equazione vettoriale lungo questa <strong>di</strong>rezione abbiamo<br />
M ′E = dL′E<br />
dt<br />
– L’unica forza che applica un momento è quella <strong>di</strong> attrito (le altre hanno<br />
braccio nullo)<br />
M ′E = Fatt R (7)<br />
– Il momento angolare lungo l’asse ortogonale al piano del <strong>di</strong>sco (un asse<br />
principale) si scrive<br />
(6)<br />
L ′E = ID ω ⇒ dL′E<br />
dt = IDα (8)<br />
dove ID è il momento d’inerzia del <strong>di</strong>sco, e α è l’accelerazione angolare;<br />
– siccome il moto del <strong>di</strong>sco è <strong>di</strong> puro rotolamento, il punto <strong>di</strong> contatto è<br />
istantaneamente fermo, e dunque vale la relazione<br />
α = a<br />
R<br />
(con<strong>di</strong>z. moto <strong>di</strong> puro rotolamento) (9)<br />
(NOTA BENE: Siccome il punto <strong>di</strong> contatto rimane istantaneamente fermo,<br />
la forza <strong>di</strong> attrito che agisce su <strong>di</strong> esso è una forza <strong>di</strong> attrito statico. Essa<br />
sod<strong>di</strong>sfa dunque la relazione 0 ≤ Fatt ≤ µs<strong>m1</strong>g cos <strong>θ</strong>, dove µs è il coefficiente <strong>di</strong><br />
attrito statico. Pertanto µs<strong>m1</strong>g cos <strong>θ</strong> è il valore massimo consentito per Fatt, e<br />
in generale si ha Fatt = µs<strong>m1</strong>g cos <strong>θ</strong>. Il valore effettivo <strong>di</strong> Fatt è un’incognita che<br />
va determinata risolvendo il sistema <strong>di</strong> equazioni (ve<strong>di</strong> sotto). E’ inoltre importante<br />
notare la <strong>di</strong>fferenza tra il presente caso <strong>di</strong> un corpo rigido che rotola senza<br />
strisciare ed il caso <strong>di</strong> un punto materiale che scriscia lungo un piano scabro.<br />
Se al posto del <strong>di</strong>sco avessimo avuto un punto materiale <strong>di</strong> massa <strong>m1</strong>, la forza<br />
<strong>di</strong> attrito sarebbe stata <strong>di</strong> tipo <strong>di</strong>namico, e sarebbe stata pari a µd <strong>m1</strong>g cos <strong>θ</strong>,<br />
dove µd denota il coefficiente <strong>di</strong> attrito <strong>di</strong>namico.)<br />
In conclusione, dalle equazioni (6), (7), (8) e (9) ricaviamo che<br />
Fatt R = ID<br />
3. Abbiamo dunque ottenuto le seguenti equazioni [(2) (4), e (10)]<br />
⎧<br />
<strong>m1</strong>g sin <strong>θ</strong> − T − Fatt = <strong>m1</strong>a<br />
⎪⎨<br />
−<strong>m2</strong>g sin <strong>θ</strong> + T = <strong>m2</strong>a<br />
⎪⎩<br />
a<br />
R<br />
Fatt R = ID<br />
a<br />
R<br />
(moto rotatorio <strong>di</strong> <strong>m2</strong>) (10)<br />
(11)<br />
Dr. Fabrizio Dolcini<br />
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3
che costituisce un sistema <strong>di</strong> tre equazioni per le tre incognite a, Fatt e T . Risolviamo<br />
il sistema <strong>di</strong> equazioni; portiamo in evidenza T nella seconda equazione e <strong>di</strong>vi<strong>di</strong>amo<br />
la terza equazione per R, e<br />
⎧<br />
<strong>m1</strong>g sin <strong>θ</strong> − T − Fatt = <strong>m1</strong>a<br />
⎪⎨<br />
T = <strong>m2</strong>a + <strong>m2</strong>g sin <strong>θ</strong><br />
(12)<br />
⎪⎩<br />
Fatt = a ID<br />
R 2<br />
Sostituendo la seconda e la terza equazione nella prima e otteniamo<br />
<strong>m1</strong>g sin <strong>θ</strong> − <strong>m2</strong>a − <strong>m2</strong>g sin <strong>θ</strong> − a ID<br />
= <strong>m1</strong>a<br />
R2 ⇒ g sin <strong>θ</strong>(<strong>m1</strong> − <strong>m2</strong>) = (<strong>m1</strong> + <strong>m2</strong> + ID<br />
)a<br />
R2 ⇒ a = g sin <strong>θ</strong> <strong>m1</strong> − <strong>m2</strong><br />
<strong>m1</strong> + <strong>m2</strong> + ID<br />
R 2<br />
Ricordando ora che il momento d’inerzia <strong>di</strong> un <strong>di</strong>sco vale<br />
ID = 1 2<br />
<strong>m1</strong>R<br />
2<br />
otteniamo che<br />
a = g sin <strong>θ</strong> <strong>m1</strong> − <strong>m2</strong><br />
3<br />
2<strong>m1</strong> + <strong>m2</strong><br />
(15)<br />
Sostituendo ora l’eq.(15) nella seconda delle equazioni (12), otteniamo l’espressione<br />
per la tensione<br />
<br />
<br />
T = <strong>m2</strong> g sin <strong>θ</strong> <strong>m1</strong> − <strong>m2</strong><br />
3<br />
2<strong>m1</strong> + <strong>m2</strong><br />
<br />
5<strong>m1</strong><strong>m2</strong><br />
= g sin <strong>θ</strong><br />
3<strong>m1</strong> + 2<strong>m2</strong><br />
+ g sin <strong>θ</strong><br />
4. Sostituendo i valori numerici in (15) e in (16) otteniamo rispettivamente<br />
e<br />
a = 9.81 m π<br />
sin<br />
s2 5<br />
= 9.81 m π<br />
sin<br />
s2 5<br />
= 2.88 m<br />
s 2<br />
(6 − 1) Kg<br />
3<br />
=<br />
2 6 Kg + 1 Kg<br />
1<br />
2 =<br />
=<br />
(13)<br />
(14)<br />
(16)<br />
(17)<br />
T = 9.81 m π<br />
sin<br />
s2 5<br />
5 · 6 Kg · 1 Kg<br />
3 · 6 Kg + 2 Kg =<br />
= 9.81 sin π 3<br />
5 2<br />
Kg m<br />
s2 =<br />
=<br />
Kg m<br />
8.65<br />
s2 =<br />
= 8.65 N (18)<br />
Dr. Fabrizio Dolcini<br />
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4
5. Rispetto al centro <strong>di</strong> massa il <strong>di</strong>sco si muove <strong>di</strong> moto rotatorio uniformemente accelerato,<br />
con accelerazione α [ve<strong>di</strong> Eq.(9)]<br />
e dunque la legge oraria angolare è<br />
α = a<br />
R<br />
ϕ(t) = 1<br />
α t2<br />
2<br />
dove si è tenuto conto del fatto che il <strong>di</strong>sco inizialmente è fermo (ϕ = 0 e ω0 = ˙ϕ(t =<br />
0) = 0).<br />
Pertanto da (20) si deduce che il tempo t∗ necessario affinché il <strong>di</strong>sco ruoti <strong>di</strong> un<br />
angolo ϕ∗ è dato da<br />
t ∗ <br />
2ϕ∗ =<br />
(21)<br />
α<br />
Ricordando che α = a/R si ha ossia<br />
t ∗ =<br />
2R ϕ ∗<br />
a<br />
(19)<br />
(20)<br />
(22)<br />
Dr. Fabrizio Dolcini<br />
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