SCIENZA DELLE COSTRUZIONI II

Politecnico di Torino
I Facoltà di Ingegneria
Anno Accademico 2008/2009
Corso di SCIENZA DELLE COSTRUZIONI II
Titolare: Prof. Alberto Carpinteri
ESERCITAZIONI DI LABORATORIO CON IL
SOFTWARE AGLI ELEMENTI FINITI LUSAS
PARTE 3:
ANALISI DINAMICA LINEARE DI
ARCHI, TELAI, TRAVATURE RETICOLARI E GUSCI
ESERCIZI SVOLTI
Ing. Marco Paggi e Ing. Simone Puzzi
Politecnico di Torino
Dipartimento di Ingegneria Strutturale e Geotecnica

Esercizio 1) Vibrazioni libere di una trave-mensola
(elementi trave)
L
Fig. 1.1) Trave incastrata-libera (a) e sua sezione trasversale (b).
Si consideri la mensola incastrata di Fig. 1.1, avente le seguenti caratteristiche
geometriche:
• L = 1 m ;
• Sezione rettangolare (b=10 mm x h=10 mm), da cui si ottiene:
• A = 1 10 -4 m 2 ;
• Ix = 8,333 10 -10 m 4 .
Il materiale di cui è costituita è acciaio con le seguenti caratteristiche:
• E = 2,1 10 11 N/m 2 ;
• ν = 0,3
• ρ = 7850 kg/m 3 ;
Per la soluzione, si utilizzi una mesh con N elementi di tipo thin beam, con N = 5, 10, 20,
40.
TEORIA:
Dalla teoria delle vibrazioni flessionali di travi sottili, le frequenze dei modi naturali di
vibrazione valgono [1, pag.46]:
1
= α
2π
2
f i
i
EI
μ
(E1.1)
dove αι sono le soluzioni dell’equazione trascendente cos(αiL)cosh(αiL)+1=0 che fornisce lo
spettro degli autovalori e μ=Aρ=0,785 kg/m la densità lineare della trave.
b
y
(a) (b)
x
h
1

Nel caso della trave incastrata–libera i valori di αiL per i primi dieci modi di vibrazione
sono:
Modo αiL Modo αiL
1 1,8751 6 17,2788
2 4,6941 7 20,4204
3 7,8548 8 23,5619
4 10,9955 9 26,7035
5 14,1372 10 29,8451
RISULTATI:
Deformate modali (N=20):
Modo 1
Y
Z
X
Modo 2
Y
Z
X
Modo 3
Y
Z
X
2

Modo 4
Y
Z
X
Modo 5
Y
Z
e così via…
X
Frequenze modali:
Modo Teoria N=5 N=10 N=20 N=40 N=40
thick beam
1 8,33 8,33 8,33 8,33 8,33 8,33
2 52,24 52,33 52,23 52,22 52,22 52,21
3 146,26 148,41 146,36 146,22 146,22 146,11
4 286,61 301,92 287,53 286,51 286,51 286,07
5 473,80 540,42 478,10 473,66 473,66 472,38
6 707,77 933,08 722,06 707,83 707,83 704,71
7 988,54 1289,98 1026,84 989,46 989,46 982,7
8 1316,10 1668,32 1289,97 1289,97 1289,97 1290,05
9 1690,46 3381,42 1404,81 1319,33 1319,33 1305,95
10 2111,61 3873,94 1875,74 1698,64 1698,64 1674,01
(in grassetto un modo di vibrazione longitudinale, non flessionale)
OSSERVAZIONI:
1) Per N≥20 i risultati sono coincidenti: non ha senso raffinare oltre la mesh.
2) Compare un modo di vibrazione longitudinale intorno ai 1300 Hz (barra in
trazione/compressione).
3) Confronto tra elemento thin e thick beam: nel secondo caso le frequenze ottenute
sono di poco minori e le differenze contenute entro un 1%.
3

4) La teoria fornisce risultati accettabili solo se la sezione è sottile; si può verificare
con il seguente esempio numerico:
• L = 1 m ;
• Sezione rettangolare (b=10 cm x h=10 cm), da cui si ottiene:
• A = 1 10 -2 m 2 ;
• Ix = 8,333 10 -6 m 4 .
Modo Teoria N=20
1 83,34 83,19
2 522,36 515,44
3 1462,64 1289,97
4 2866,14 1417,77
5 4738,00 2710,04
6 7077,75 3869,92
7 9885,45 4346,05
8 13160,99 6271,11
9 16904,57 6450,04
10 21116,11 8434,00
In questo caso i risultati sono nell’ordine di errore dell’1% solo per i primi due modi di
vibrare, mentre nel caso della trave snella precedentemente studiata ciò era vero fino al
decimo modo naturale di vibrazione.
4

Esercizio 2) Vibrazioni libere di una trave-mensola
(elementi piani)
Si consideri nuovamente la mensola incastrata di Fig. 1.1, avente le caratteristiche
geometriche utilizzate nell’osservazione 4 dell’esercizio precedente:
• L = 1 m ;
• Sezione rettangolare (b=10 cm x h=10 cm), da cui si ottiene:
• A = 1 10 -2 m 2 ;
• Ix = 8,333 10 -6 m 4 .
Il materiale di cui è costituita è acciaio con le seguenti caratteristiche:
• E = 2,1 10 11 N/m 2 ;
• ν = 0,3
• ρ = 7850 kg/m 3 ;
Per la soluzione, si utilizzi una mesh con elementi quadrilateri di tipo plane stress, con
interpolazione quadratica, ed un numero di divisioni 20 x 4, come in Fig. 2.1.
P4
L4
S1
L3 P3
P1 L1
P2
Y
Z
X
Fig. 2.1) Mesh con elementi di tipo plane stress.
RISULTATI:
Deformate modali (e corrispondenti stati tensionali):
Modo 1
P4 L3
P3
L4 L2
Y
Z
P1
X
S1
L1
L2
P2
5

LOAD DUMP = 1
EIGENVECTOR = 1
RESULTS FILE = 1
EIGENVALUE = 0.2708E+06
STRESS
CONTOURS OF SX
-8.73303E9
-7.6414E9
-6.54977E9
-5.45814E9
-4.36651E9
-3.27488E9
-2.18326E9
-1.09163E9
P4
0
L3 P3
L4
1.09163E9
2.18326E9
L2
S1
3.27488E9
4.36651E9
P1 5.45814E9
6.54977E9
7.6414E9
L1
P2
Max 0.8733E+10 at Node 50
Y
Min -0.8733E+10 at Node 1
Z
X
Modo 2
P4 L3
P3
L4 L2
Y
Z
P1
X
LOAD DUMP = 1
EIGENVECTOR = 2
RESULTS FILE = 1
EIGENVALUE = 0.9750E+07
STRESS
CONTOURS OF SX
-52.3856E9
-45.8374E9
-39.2892E9
-32.741E9
-26.1928E9
-19.6446E9
-13.0964E9
-6.5482E9
0
6.5482E9
13.0964E9
19.6446E9
P4
26.1928E9
32.741E9 L4
39.2892E9
45.8374E9
Max 0.5239E+11 at Node 50
P1
Min -0.5239E+11 at Node 1
L1
P2
Y
Z
X
S1
S1
L1
L3 P3
L2
P2
6

Modo 3
Modo longitudinale
Modo 4
P4 L3
P3
L4 L2
Y
Z
P1
…e così via
X
Frequenze modali:
(in grassetto i modi di vibrazione longitudinali e non flessionali)
Modo Teoria N=20
(eserc. 1) (eserc. 2)
1 83,34 83,19 82,82
2 522,36 515,44 496,96
3 1462,64 1289,97 1291,61
4 2866,14 1417,77 1309,24
5 4738,00 2710,04 2379,80
6 7077,75 3869,92 3630,78
7 9885,45 4346,05 3872,03
8 13160,99 6271,11 5001,81
9 16904,57 6450,04 6443,64
10 21116,11 8434,00 6453,81
S1
N=20x4
OSSERVAZIONI:
1) In corrispondenza dei punti di flesso della deformata elastica si ottiene ovviamente
che la tensione normale σz si annulla su tutta l’altezza della trave.
2) Rispetto alla soluzione precedente le frequenze ottenute sono tutte minori (perché
teniamo conto in maniera più precisa della distribuzione spaziale della massa).
3) Le frequenze dei modi longitudinali sono vicine nell’ambito dell’1%.
4) Verifica delle frequenze di vibrazione longitudinale con la teoria elementare delle
barre:
L1
P2
7

Le frequenze naturali delle vibrazioni longitudinali di una barra incastrata ad un estremo
sono fornite dalla seguente equazione [2, pag.370]:
a
fi = i (E2.1)
4L
dove a=√(E/ρ)=5159,86 m/s è la velocità di propagazione delle onde sonore all’interno della
trave, i è un numero intero dispari.
Per i primi tre modi di vibrazione si ottiene:
f1=1293,05
f2=3879,15
f3=6465,24.
8

Esercizio 3) Vibrazioni libere di una trave-mensola
(elementi solidi)
Si consideri nuovamente la mensola incastrata di Fig. 1.1, avente le caratteristiche
geometriche utilizzate nell’esercizio 2 e costituita del medesimo materiale.
Per la soluzione, si utilizzi una mesh con elementi parallelepipedi di tipo stress, con
interpolazione quadratica, ed un numero di divisioni 20 x 2 x 2, come in Fig. 3.1.
Y
X
Fig. 3.1) Mesh con elementi parallelepipedi di tipo stress.
RISULTATI:
Deformate modali dei modi torsionali:
Modo 5 Modo 9
Y
X
Z
Y
X
Z
9

Frequenze modali:
(in grassetto i modi di vibrazione longitudinali o torsionali e non flessionali)
(in rosso i modi torsionali)
Modo Teoria N=20
N=20x4
N=20x2x2
(eserc. 1) (eserc. 2) (eserc. 3)
1 83,34 83,19 82,82 83,26
2 522,36 515,44 496,96 83,26
3 1462,64 1289,97 1291,61 499,56
4 2866,14 1417,77 1309,24 499,56
5 4738,00 2710,04 2379,80 739,84
6 7077,75 3869,92 3630,78 1294,46
7 9885,45 4346,05 3872,03 1316.13
8 13160,99 6271,11 5001,81 1316.13
9 16904,57 6450,04 6443,64 2219.59
10 21116,11 8434,00 6453,81 2392.73
OSSERVAZIONI:
1) Alcuni modi naturali (quelli flessionali) compaiono due volte, come si può osservare
dalla tabella con i valori delle frequenze. Ciò è dovuto alla simmetria della struttura.
Vibrazioni nel piano XZ e XY sono equivalenti.
2) Introducendo la terza dimensione nel modello, possiamo inoltre osservare i modi di
vibrare flessionali.
10

Esercizio 4) Vibrazioni libere di una trave con sezione ad “L”
(elementi solidi)
Fig. 4.1) Geometria della trave considerata
Si consideri la mensola incastrata di Fig. 4.1, avente le seguenti caratteristiche
geometriche:
• L = 3 m ;
• Sezione con: b=h=30 cm, s=10 cm, da cui si ottiene:
• A = 5 10 -2 m 2 ;
• Ix = 3,6167 10 -4 m 4 ;
• Iy = 3,6167 10 -4 m 4 ;
• Sistema di riferimento principale:
• θ = 45°;
h
• Iξ = 5,4167 10 -4 m 4 ;
• Iη = 1,8167 10 -4 m 4 .
s
b
Fig. 4.2) Discretizzazione usata per il modello con il software LUSAS.
l
Z
y
Y
X
x
11

Per la soluzione, si utilizzi una mesh con elementi parallelepipedi di tipo stress, con
interpolazione quadratica, ed un numero di divisioni come in Fig. 4.2.
RISULTATI:
Deformate modali
Modo1 Modo2
Y
Z
X
Modo 3 Modo 4
Y
Z
X
Modo 5 Modo 6
Y
Z
X
Y
Y
Y
Z
Z
Z
X
X
X
12

Modo 7 Modo 8
Y
Z
X
Modo 9 Modo 10
Y
Z
X
Frequenze modali:
Modo Freq. Tipologia Teoria
1 13,097 Flessionale 1,1 13,12
2 22,161 Flessionale 2,1 22,66
3 79,924 Flessionale 1,2 82,25
4 89,596 Torsionale 1
5 127,725 Flessionale 2,2 142,02
6 214,934 Flessionale 1,3 230,29
7 263,668 Torsionale 2
8 292,137 Estensionale 1 285,92
9 319,914 Torsionale 3
10 399,090 Flessionale 1,4 451,14
Y
Z
Y
X
Z
X
13

Esercizio 5) Vibrazioni libere di una trave con sezione
tubolare (elementi shell)
Fig. 5.1) Geometria della trave considerata
Si consideri la mensola incastrata di Fig. 5.1, avente le seguenti caratteristiche
geometriche:
• L = 5 m ;
• raggio R = 50 cm;
• spessore s = 10 cm, da cui si ottiene:
• A = 9,425 10 -2 m 2 ;
• Ix = 1,178 10 -2 m 4 ;
Il materiale di cui è costituita è acciaio con le seguenti caratteristiche:
• E = 2,1 10 11 N/m 2 ;
• ν = 0,3
• ρ = 7850 kg/m 3 .
Y
Z
X
L
R
Fig. 5.2) Mesh con elementi di tipo shell.
s
14

Per la soluzione, si utilizzi una mesh con elementi quadrilateri di tipo shell, con
interpolazione lineare, ed un numero di divisioni 14 (circonferenziali) x 15 (longitudinali),
come in Fig. 5.2.
RISULTATI:
Deformate modali
Modo 1 Modo 2
Y
Z
X
Modo 3 Modo 4
Y
Z
X
Modo 5 Modo 6
Y
Z
X
Y
X
Z
Y
Y
Z
X
Z
X
15

Modo 7
Y
Z
X
Modo 8 Modo 9
Y
Modo 10
Y
Z
X
Z
X
Y
Z
X
OSSERVAZIONI:
Ci sono dei modi “gemelli”, come si può osservare dalla tabella con i valori delle
frequenze. Ciò è dovuto alla simmetria cilindrica della struttura.
I modi evidenziano diverse tipologie:
- 1, 2 e 8, 9 sono flessionali,
16

- 3 e 4 corrispondono a un’ovalizzazione della sezione,
- 5 e 6 corrispondono a una doppia ovalizzazione su assi fra loro ortogonali,
- 7 è torsionale
- 10 è una tripla ovalizzazione.
Frequenze modali:
Modo Freq.
(14x15 t)
Freq.
(10x10 t)
Freq.
(4x10 t)
Freq.
(10x10 T)
1 38,13 38,41 38,14 38,92 Flex 1
2 38,13 38,41 38,14 38,92 Flex 1
3 84,29 86,60 101,87 85,76 Oval 1
4 84,29 86,60 125,38 85,76 Oval 1
5 115,45 116,51 160,90 120,02 Oval 2
6 115,45 116,51 182,80 120,02 Oval 2
7 156,89 160,92 182,80 160,46 Tors 1
8 182,87 183,91 205,75 188,39 Flex 2
9 182,87 183,91 233,13 188,39 Flex 2
10 214,24 211,83 250,34 231,09 Oval 3
BIBLIOGRAFIA
[1] A. Carpinteri: DINAMICA DELLE STRUTTURE, Pitagora Editrice, VIII + 209,
Bologna 1998.
[2] S. Timoshenko, D.H. Young, W. Weaver jr.: VIBRATIONS PROBLEMS IN
ENGINEERING, Wiley, New York, 1974
17

Esercizio 5) Vibrazioni libere di un telaio piano di civile
abitazione
Fig. 5.1) Telaio piano di civile abitazione (a) e sezione trasversale delle travi (b).
È assegnato il telaio di Fig. 5.1 in calcestruzzo. Le caratteristiche del materiale sono le
seguenti:
• E = 2,9 10 10 N/m 2 ;
• ν = 0,2
• ρ = 2500 kg/m 3 ;
Le caratteristiche geometriche della struttura sono:
• L = 5 m;
L L
(a)
• H = 3 m;
Le sezioni delle travi, tutte rettangolari, sono di quattro differenti misure: i ritti della prima
elevazione hanno sezione quadrata b = h = 50 cm; quelli della seconda elevazione b = h =
40 cm, mentre quelli della terza b = h = 30 cm. Le travi orizzontali hanno invece tutte una
sezione trasversale con b = 25 cm, h = 40 cm.
Ritti prima elevazione:
• b = 50 cm A = 2,5 10 -1 m 2
• h = 50 cm Ix = 5,20833 10 -3 m 4
Ritti seconda elevazione:
• b = 40 cm A = 1,6 10 -1 m 2
• h = 40 cm Ix = 2,1333 10 -3 m 4
H
H
H
b
y
(b)
x
h
18

Ritti terza elevazione:
• b = 30 cm A = 0,9 10 -1 m 2
• h = 30 cm Ix = 0,675 10 -3 m 4
Traversi:
• b = 25 cm A = 0,1 m 2
• h = 40 cm Ix = 1,333 10 -3 m 4
Si vogliono determinare:
• frequenze dei primi tre modi propri di vibrare della struttura;
• le corrispondenti deformate modali.
Per la soluzione, si utilizzi una mesh di tipo thin beam o thick beam, con N =10 elementi
per trave, come in Fig. 5.2.
Y
Z
X
Fig. 5.2) Mesh utilizzata.
RISULTATI:
Frequenze naturali:
Modo Thin beam Thick beam Thick beam Thick beam
N=10 N=5 N=10
N=15
1 6,41 6,33 6,33 6,33
2 10,98 10,86 10,86 10,86
3 24,67 24,32 24,32 24,31
Come si può osservare dalla tabella, già con 5 elementi per trave si ottengono dei risultati
buoni: non ha senso raffinare oltre la discretizzazione.
19

Deformate modali:
Modo 1 Modo 2
Y
Z
Modo 3
Y
Z
X
X
OSSERVAZIONI:
1) Nella prima forma modale non ci sono punti nodali e il moto vibrazionale è
prevalentemente orizzontale. Nel secondo modo, invece, la vibrazione è
prevalentemente verticale ed è presente un punto nodale sul pilastro di destra. Nel
terzo, infine, si può osservare la presenza di un punto nodale su ogni pilastro.
2) Confronto tra elemento thin e thick beam: nel secondo caso le frequenze ottenute
sono di poco minori e le differenze contenute entro un 1%.
BIBLIOGRAFIA
[1] A. Carpinteri: DINAMICA DELLE STRUTTURE, Pitagora Editrice, VIII + 209, Bologna
1998.
Y
Z
X
20

Esercizio 6) Vibrazioni libere di un telaio a traversi rigidi
L L L
Fig. 6.1) Telaio a traversi rigidi a tre piani e tre campate (a) e sezione trasversale delle
travi (b).
È assegnato il telaio a traversi rigidi di Fig. 6.1 a tre campate e tre piani, in calcestruzzo; le
caratteristiche del materiale sono le seguenti:
• E = 2,9 10 10 N/m 2 ;
• ν = 0,2
• ρ = 2500 kg/m 3 ;
Le caratteristiche geometriche della struttura sono invece:
• L = 5 m;
• H = 3 m;
Le sezioni delle travi, tutte rettangolari, sono di quattro differenti misure: i ritti della prima
elevazione hanno sezione quadrata b = h = 50 cm; quelli della seconda elevazione b = h =
40 cm, mentre quelli della terza b = h = 30 cm. Le travi orizzontali hanno invece tutte una
sezione trasversale con b = 30 cm, h = 70 cm.
Traversi:
• b = 30 cm A = 0,21 m 2
• h = 70 cm Ix = 8,575 10 -3 m 4
Si vogliono determinare:
(a)
• frequenze dei primi tre modi propri di vibrare della struttura;
• le corrispondenti deformate modali.
H
H
H b
y
(b)
x
h
(J = 4,6038 10 -3 m 4 )
21

Per la soluzione, si utilizzi una mesh di tipo thin beam o thick beam, con interpolazione
lineare e N =10 elementi per trave, come in Fig. 6.2.
Fig. 6.2) Mesh utilizzata.
RISULTATI:
Frequenze naturali:
Modo Thin beam Thick beam Thick beam Thin beam N=10 Thick beam N=10
N=10 N=5 N=10 (traversi rigidi) (traversi rigidi)
1 6,19 6,26 6,26 7,33 7,40
2 14,63 14,67 14,67 16,14 16,17
3 28,52 28,53 28,53 29,58 29,59
OSSERVAZIONI:
1) L’approssimazione di traversi rigidi fornisce risultati con frequenze più elevate.
2) Utilizzando l’approssimazione di sistema a masse concentrate, ed attribuendo ad
ogni piano l’intera massa dei traversi, più metà della massa dei pilastri che
collegano il piano in oggetto a quelli vicini, si ottengono frequenze ancora più
elevate:
Modo Frequenza
(masse concentrate)
1 7,98
2 17,66
3 31,46
22

Deformate modali:
Modo 1 Modo 2
Y
Z
X
Modo 3
Y
Z
X
OSSERVAZIONI:
1) Come si può vedere dalle forme modali, nel primo modo non ci sono punti nodali
nei pilastri; il secondo e il terzo ne presentano invece rispettivamente uno e due.
2) Confronto tra elemento thin e thick beam: le differenze sono contenute entro un 1%.
BIBLIOGRAFIA
[1] A. Carpinteri: DINAMICA DELLE STRUTTURE, Pitagora Editrice, VIII + 209, Bologna
1998.
Y
Z
X
23

Esercizio 7) Vibrazioni libere di un telaio spaziale
(2/5) L
Fig. 7.1) Telaio spaziale di civile abitazione.
È assegnato il telaio spaziale di Fig. 7.1, in calcestruzzo; le caratteristiche del materiale
sono le seguenti:
• E = 2,9 10 10 N/m 2 ;
• ν = 0,2
• ρ = 2500 kg/m 3 ;
Le caratteristiche geometriche della struttura sono invece:
• L = 5 m;
• H = 3 m;
Le sezioni delle travi, tutte rettangolari, sono di quattro differenti misure: i ritti della prima
elevazione hanno sezione quadrata b = h = 50 cm; quelli della seconda elevazione b = h =
40 cm, mentre quelli della terza b = h = 30 cm. Le travi orizzontali hanno invece tutte una
sezione trasversale con b = 25 cm, h = 40 cm.
Per la soluzione, si utilizzi una mesh di tipo thin beam o thick beam, con interpolazione
lineare e N =8 elementi per trave, come in Fig. 7.2.
Si vogliono determinare:
• frequenze dei primi nove modi propri di vibrare della struttura;
• le corrispondenti deformate modali.
L
L
L
H
H
H
24

Ritti prima elevazione:
• b = 50 cm A = 2,5 10 -1 m 2
• h = 50 cm Ix = 5,20833 10 -3 m 4 J = 8,80208 10 -3 m 4
Ritti seconda elevazione:
• b = 40 cm A = 1,6 10 -1 m 2
• h = 40 cm Ix = 2,1333 10 -3 m 4
Ritti terza elevazione:
• b = 30 cm A = 0,9 10 -1 m 2
• h = 30 cm Ix = 0,675 10 -3 m 4
Traversi:
• b = 25 cm A = 0,1 m 2
• h = 40 cm Ix = 1,333 10 -3 m 4
RISULTATI:
Frequenze naturali:
Modo Thick beam
N=8
1 3,83
2 5,19
3 5,90
4 10,66
5 11,66
6 12,01
7 13,28
8 13,59
9 15,31
Fig. 7.2) Mesh utilizzata
J = 3,6053 10 -3 m 4
J = 1,14075 10 -3 m 4
J = 1,27345 10 -3 m 4
25

Deformate modali:
Modo 1 Modo 2 Modo 3
Modo 4 Modo 5 Modo 6
Modo 7 Modo 8 Modo 9
OSSERVAZIONI:
1) I risultati ottenuti non variano significativamente infittendo ulteriormente la mesh.
2) Come nel caso precedente, i risultati non cambiano significativamente se si usano
elementi thin o thick beam.
26

3) Nelle figure precedenti si possono osservare le caratteristiche delle deformate
modali del telaio analizzato. Il primo modo consiste in una inflessione nel piano di
minima inerzia ed è privo di punti nodali. Il secondo consiste invece in
un’inflessione nel piano di massima inerzia ed è anch’esso privo di punti nodali. Il
terzo modo consiste in una torsione della sopraelevazione, associata ad un
trascurabile trascinamento del primo impalcato. Il sesto modo è una doppia
inflessione del telaio più alto e l’ottavo è analogo ad esso, ma le oscillazioni
avvengono nella direzione di massima inerzia. Il quarto modo è associato a
traslazioni nel piano di minima inerzia della parte più bassa del telaio, mentre il
quinto consiste in una deformazione della parte più alta. Il settimo modo è un
cosiddetto modo locale, in quanto interessa principalmente una porzione limitata
della struttura, ovvero la mensola. Infine, il nono ed ultimo modo consiste in una
doppia torsione della sopraelevazione.
BIBLIOGRAFIA
[1] A. Carpinteri: DINAMICA DELLE STRUTTURE, Pitagora Editrice, VIII + 209, Bologna
1998.
27

Esercizio 8a) Arco circolare
Esercizio 8b) Lastra circolare appoggiata al bordo
Esercizio 8c) Cupola emisferica
In questo esercizio si vogliono analizzare i modi propri di vibrare di tre differenti strutture:
un arco circolare, una lastra circolare ed infine una cupola emisferica.
Le tre strutture sono rappresentate nelle figure 8.1-8.3.
(a) (b)
R
Fig. 8.1) Arco circolare (a) e sua sezione (b).
R
Fig. 8.2) Lastra circolare.
R
Fig. 8.3) Cupola emisferica.
s
s
b
y
x
s
28

Le caratteristiche geometriche delle strutture sono riassunte dai seguenti parametri:
• R = 3 m;
• s = 5 cm;
• b = 5 cm.
Il materiale di cui le strutture sono costituite è acciaio con le seguenti caratteristiche:
• E = 2,1x10 11 N/m 2 ;
• ν = 0,3
• ρ = 7850 kg/m 3 ;
Riguardo i vincoli, si osserva che sia la lastra che la cupola emisferica sono appoggiate
lungo tutto il bordo.
Si vogliono determinare, per ognuna delle tre strutture assegnate:
• le frequenze dei primi modi propri di vibrare della struttura;
• le corrispondenti deformate modali.
In particolare, si commentino i modi propri di vibrare della cupola, in relazione a quelli
dell’arco e della lastra circolare.
Svolgimento 8a)
Nel primo caso, ovvero per l’arco, si utilizzi una mesh di tipo thin beam con almeno N =20
elementi per trave, come in Fig. 8.4.
Le caratteristiche geometriche della sezione, da inserire all’interno del software Lusas,
sono:
• s = 5 cm A = 2,5 10 -3 m 2
• b = 5 cm Ix = 5,20833 10 -7 m 4
Fig. 8.4) Mesh utilizzata per l’arco circolare.
29

RISULTATI:
Frequenze naturali:
Modo Thin beam
N=30
1 2,99
2 9,14
3 18,45
4 30,10
5 44,73
6 61,64
7 81,51
8 103,58
Deformate modali:
Modo 1 Modo 2
Modo 3 Modo 4
Modo 5 Modo 6
30

Modo 7 Modo 8
OSSERVAZIONI:
1) Come nel caso della trave appoggiata-appoggiata, al crescere del modo cresce il
numero di semi-onde nella deformata.
2) Non è tuttavia presente il modo con una sola semi-onda (in realtà esso esiste, ma è
associato a frequenze molto elevate, in quanto è un modo proprio con vibrazione di
tipo trazione/compressione.
3) Infine si può osservare come non ci siano veri e propri punti nodali; è infatti
presente una componente oscillatoria di tipo traslatorio (si veda la posizione del
punto in chiave dell’arco nei modi 1, 3, 5 e 7, associati con 2, 4, 6 e 8 semi-onde
rispettivamente. Questo effetto è particolarmente evidente nel primo modo e in tutti i
modi dispari.
Svolgimento 8b)
Per la mesh della lastra si utilizzino elementi di tipo thin plate, raffinando, se possibile, la
mesh verso il centro della lastra.
Si osservi che nel caso dell’analisi statica di una lastra circolare è sufficiente, nel caso di
simmetria assiale dei carichi, studiare solo un quarto della lastra. Nel caso di un’analisi
modale, invece, per non perdere nell’analisi i modi che presentano un asse di
antisimmetria, occorre studiare almeno metà lastra.
Fig. 8.5) Mesh utilizzata per la lastra circolare.
31

RISULTATI:
Frequenze naturali:
Modo 7X7 divisioni, 11x11 divisioni,
lastra completa mezza lastra
1 6,82 6,82
2 19,23 19,23
3 19,23
4 35,46 35,43
5 35,46
6 41,20 41,13
7 55,36 55,27
8 55,36
9 67,44 67,11
10 67,44
11 78,81 78,63
12 78,81
13 97,99 97,13
14 97,99
15 103,94 102,77
Come si può osservare dalla tabella soprastante, se si schematizza l’intera lastra circolare
si ottengono dei modi di vibrare gemelli, in virtù della simmetria della struttura. Modellando
invece solo metà lastra con gli opportuni vincoli di simmetria, ogni modo di vibrare
compare solo una volta.
Deformate modali:
(i diagrammi riportano lo spostamento verticale w).
Modo 1 Modo 2
32

Modo 3 Modo 4
Modo 5 Modo 6
Modo 7 Modo 8
Modo 9 Modo 10
33

Modo 11 Modo 12
Modo 13 Modo 14
Modo 15
OSSERVAZIONI:
1) Tutti i modi di vibrare possono essere interpretati come flessionali, con due direzioni
principali di inflessione: radiale e circonferenziale.
2) In ogni modo si possono individuare circonferenze nodali e/o diametri nodali. In
particolare, i diversi modi propri evidenziano:
- 1: nessun punto nodale
- 2 e 3: un diametro nodale
- 4 e 5: due diametri nodali
- 6: una circonferenza nodale
34

- 7 e 8: tre diametri nodali
- 9 e 10: un diametro nodale e una circonferenza nodale
- 11 e 12: quattro diametri nodali
- 13 e 14: due diametri nodali e una circonferenza nodali
- 15: due circonferenze nodali
Svolgimento 8c)
Per la mesh della cupola emisferica si utilizzino elementi di tipo thin shell. Nuovamente,
come nel caso della lastra circolare, non è sufficiente studiare un quarto soltanto della
struttura, ma occorre studiarne almeno metà.
Fig. 8.6) Mesh utilizzata per la cupola emisferica.
RISULTATI:
Frequenze naturali:
Modo 11x11 divisioni,
mezza cupola
Note
1 154,87 (simile al modo 1 dell’arco)
2
205,61
1 parallelo nodale
(simile a modo 1 arco e modo 6 lastra)
3 241,92 (simile a modo 3 dell’arco)
4
248,52
2 meridiani nodali
(simile a modo 4-5 della lastra)
5
250,00
2 paralleli nodali
(simile a modo 4 arco e modo 15 lastra)
6
257,62
3 paralleli nodali
(simile a modo 6 arco)
7 258,56 (simile a modo 5 arco)
8
261,89
3 meridiani nodali
(simile a modo 7-8 della lastra)
9
266,25
4 paralleli nodali
(simile a modo 8 dell’arco)
35

Deformate modali:
Modo 1 Modo 2
Modo 3 Modo 4
Modo 5 Modo 6
36

Modo 7 Modo 8
Modo 9
OSSERVAZIONI:
1) I modi di vibrare della cupola hanno caratteristiche simili a quelli dell’arco e della
lastra. Rispetto alla lastra, però, a parità di luce, le frequenze sono molto più
elevate: la struttura è più rigida.
2) Anche nel caso della cupola, così come nel caso dell’arco, non tutti i modi
presentano dei punti nodali, a causa delle componenti di spostamento orizzontale
(si vedano in particolare i modi 1, 3 e 7).
BIBLIOGRAFIA
[1] A. Carpinteri: DINAMICA DELLE STRUTTURE, Pitagora Editrice, VIII + 209, Bologna
1998.
37