Insegnamento e Apprendimento delle Coniche A049.pdf - Didattica.it

"ALMA MATER STUDIORUM UNIVERSITÀ DI BOLOGNA: SEDE DI BOLOGNA"
SCUOLA DI SPECIALIZZAZIONE PER L’INSEGNAMENTO SECONDARIO
INDIRIZZO FISICO-INFORMATICO-MATEMATICO CLASSE A049
SEDE DI BOLOGNA
DIRETTORE DELLA SCUOLA Prof. Roberto Greci
DIRETTORE SEZIONE DI BOLOGNA Prof. Antonio Genovese
Insegnamento e Apprendimento delle Coniche
con l’impiego di Macchine Matematiche
e oggetti d’uso comune:
un Percorso di Motivazione
in una prima Liceo Classico
Tesi di specializzazione
Presentata dal Dott. I Supervisori Proff.
Stefano Alberghi Grazia Grassi
Relatore Chiar.mo Prof.
Giorgio Bolondi
Anno Accademico 2006-2007
Giovanni Pezzi

Ringrazio il mio relatore, prof. Bolondi
e i miei due supervisori, prof.ssa Grassi e prof. Pezzi,
per la loro grande disponibilità e pazienza.
Sono grato inoltre alla mia tutor, prof.ssa Giovannoni,
per i preziosi consigli che mi ha dato, per le buone osservazioni,
e per la libertà d’azione che mi ha concesso.
Un grazie va anche ai ragazzi della classe 1A
per la loro gentilezza e accoglienza…oltre che per la maglietta!
Ma più di tutti ringrazio mia moglie Elena che mi ha sopportato in questi anni di SSIS
e nell’intenso periodo di preparazione della tesi.
Dedico la tesi a lei
... e al bimbo/a che sta dentro la sua pancia!
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Indice
Introduzione 7
1. Educazione, insegnamento, didattica 8
1.1. Pensieri su educazione e insegnamento 8
1.2. Il mestiere di insegnante 10
1.3. La matematica, la fisica e la loro didattica 11
2. Elementi di didattica relativa al tirocinio 13
2.1. Le macchine matematiche 13
2.1.1. Alcune note storiche 14
2.1.2. Caratteristiche e metodologie delle macchine matematiche 16
2.1.3. Didattica con le macchine matematiche 20
2.2. Glossario ragionato 22
3. Il tirocinio 28
3.1. Il contesto del tirocinio 28
3.2. Introduzione e considerazioni generali 28
3.3. Descrizione dell’attività di tirocinio 30
3.4. Considerazioni trasversali all’attività svolta 43
3.4.1. Tirocinio: obiettivi, speranze e timori 43
3.4.2. Analisi dettagliata per punti 43
3.5. Valutazione conclusiva 60
Conclusioni 63
Bibliografia 64
Allegati
Progetto di tirocinio III
Diario di tirocinio XXI
Materiale utilizzato XXIX
Materiale prodotto dagli studenti LI
Progetto di tirocinio virtuale LXI

Introduzione
Questa tesi è la tappa finale di un percorso durato due anni, ricco di esperienze vive e interessanti a cui
ho aderito e partecipato con curiosità e trasporto, tanto che sono arrivato alla fine esausto! (ed esaurito).
Stanco e felice dunque di essere in vista della meta agognata, debbo dire che, al di là della fatica e
dell’impegno che ha richiesto, questa esperienza di SSIS è stata per me il modo per accostarmi a quel
mondo della ricerca in didattica, che non conoscevo e che per nostra fortuna si trova (qui in Italia, e a
Bologna in particolare) ad un livello molto avanzato di raffinatezza, naturalmente per quanto riguarda le
discipline a cui mi riferisco, la matematica e la fisica, per la presenza di gruppi di ricerca con esperienza
pluridecennale. Se l’interesse per l’insegnamento e la comunicazione della scienza lo possedevo e lo
coltivavo già prima di seguire i corsi SSIS, la scuola che ho frequentato mi ha dato in più gli strumenti
per renderlo efficace e consapevole. Ho incontrato tra docenti e colleghi molte persone realmente
degne di stima, capaci, colte, e profondamente amanti del loro lavoro (presente o futuro). Persone che,
debbo dire, hanno lasciato una traccia in me, e che mi danno speranza riguardo alla professione che mi
accingo probabilmente a svolgere: fa sicuramente bene, infatti, sapere che esistono persone che
credono nel mestiere di insegnante e che sono capaci di mettere tutto se stesse in un impegno che in
fondo travalica il semplice mestiere…è quasi una vocazione!
La tesi che ho redatto comprende sì considerazioni sul tirocinio che ho svolto (il terzo capitolo riguarda
direttamente questo ed è il più corposo, come si può vedere), e sulla didattica della matematica specifica
del tirocinio (nel secondo capitolo), ma contiene anche (nel primo breve capitolo) considerazioni sul
mestiere di insegnante, sul suo ruolo educativo, sulla SSIS stessa e il contributo che essa dà alla
formazione dei docenti, oltre che sull’insegnamento della matematica e della fisica. Tutte riflessioni che
ritengo debbano entrare a pieno titolo in una tesi che appunto si pone come la conclusione di un
percorso di formazione integrale all’insegnamento. Molte cose erano già state dette nei progetti di
tirocinio (reale e virtuale) e ad essi si rimanda, come parte integrante della presente tesi, altre saranno
introdotte e spiegate nel corso dei vari capitoli.
Si vedrà inoltre come una grossa parte sia composta dall’Appendice, la quale contiene il materiale
(schede, esercizi, fotografie di oggetti, immagini tratte da software) realizzato per il tirocinio la cui
messa a punto, a dire il vero, ha occupato la massima parte anche del mio tempo di lavoro (e perciò
spero potrà essere utilizzato in futuro…).
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1. Educazione, insegnamento, didattica
1.1 Pensieri su educazione ed insegnamento
Sono convinto che vi sia un forte peso della didattica nell’educazione. Mi spiego: se per didattica
intendiamo tutte quelle attenzioni, cure, riflessioni che mettiamo nel nostro atto di insegnare e
trasmettere contenuti e abilità, e per educazione intendiamo il prendersi cura della buona crescita (a tutto
tondo) dell’educando, allora possiamo a mio avviso interpretare la stessa didattica come un mezzo
dell’educazione, un suo strumento, mentre essa viene a diventare perciò il fine ultimo che perseguiamo.
Si discute di come e quanto la scuola debba (e possa!) rivestire un ruolo educativo: essa è sicuramente
un agenzia educativa, ma quanto e come essa deve dedicarsi esplicitamente all’educazione integrale della
persona? Non rischia di mancare di compiere una sua funzione primaria che è prettamente ed
espressamente quella di istruire?
Oggi, specialmente con l’autonomia didattica, un certo numero di ore possono essere destinate (e
vengono destinate) a molte attività che si affiancano alle lezioni e alle materie tradizionali e che hanno
lo scopo di ampliare ed estendere il nucleo di concetti trasmessi dalla scuola, di avvicinare
maggiormente i ragazzi alle tematiche della vita quotidiana e alle problematiche della società moderna.
Del resto vi sono comprensibili lamentele sulla diminuzione relativa di peso che le materie
“tradizionali” subiscono nel complesso del monte ore che lo studente dedica alla scuola anche se d’altra
parte in certi casi la scuola tende a coinvolgere lo studente per sempre maggior tempo, in attività
pomeridiane o facoltative, rispetto alle ore disponibili nella sua giornata. Questa libertà di scelta è
naturalmente da gestire, e da gestire bene se non si vuole che la scuola perda il suo senso tradizionale
senza peraltro trovarne uno nuovo. Credo tuttavia che un processo di questo genere non sia da
fermare, tenuto conto che per il ragazzo, a parte la famiglia, la scuola è e rimane la principale fonte
(intenzionale), sì di conoscenza, ma anche di valori ed educazione, considerato che è l’istituzione
principale che segna e determina i suoi ritmi di vita da 6 anni sino alla maggiore età. Non si può quindi
naturalmente trascurare o non voler vedere il compito educativo che essa si trova ad avere per suo
costituzione (per sua natura?), e quindi tutte le potenzialità e tutti i rischi che questa enorme mole di
responsabilità comporta. Ciò implicherebbe naturalmente una revisione, una trasformazione profonda
non tanto dei programmi scolastici ma più che altro di tutto il modo di intendere la scuola e di
intendersi della scuola stessa, una rinnovata coscienza collettiva della comunità di insegnanti come
comunità di educatori, quindi una collaborazione tra docenti e con l’istituzione famigliare, eccetera
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eccetera. Cose non facili a pensare e tantomeno ad ottenere, e che non possono che aversi se non con
trasformazioni lente e graduali.
Come entrano i contenuti, e quindi l’istruzione in senso stretto, dentro questo panorama? Divengono
forse un orpello, o comunque soltanto un pezzetto magari neanche tanto fondamentale) di un sistema
educativo più vasto? Beh, non credo, anzi: proprio essi, accanto a nuovi insegnamenti, corsi, esperienze,
dovrebbero rivestire un ruolo fondamentale proprio nell’educazione dell’individuo (e non meramente nella
sua “spendibilità” nel mondo del lavoro). Il loro contenuto è educativo, e tutte le scelte didattiche e di
contenuti che si fanno dovrebbero in linea generale avere la consapevolezza della tensione a questa
missione. Vi è cioè, proprio per questo, bisogno di rivedere e ripensare dall’interno le discipline, c’è
bisogno di una loro trasformazione, di una trasformazione della loro didattica, proprio perché esse
hanno una enorme potenzialità educativa (già in sé) ed è un peccato che una cattiva didattica, che non sa
rendere significativa per lo studente l’esperienza di studio, non porti alla luce questa potenzialità: ciò
costituirebbe un grande peccato educativo, perché pretenderebbe di togliere tempo allo studente senza
dargli in cambio nulla che gli serva per la sua crescita come persona e come cittadino. Come peso della
didattica nell’educazione intendo proprio questo. Ciò che facciamo come docenti, per trasmettere in
modo sempre più autentico e significativo i contenuti dei nostri programmi, non va al solo fine di
trasmettere o di esaltare la matematica o la fisica nella società, ma lo facciamo proprio perché una
rilevanza essa ce l’ha davvero, per la persona e per la società, ed è fondamentalmente educativo renderne
consapevole lo studente, facendo in primo luogo conoscere la disciplina, con tutto ciò che di cognitivo,
relazionale, emotivo implicano i termini “conoscere” e “conoscenza”, o ancor meglio il termine
“sapere”.
La formazione all’insegnamento che da qualche anno si fa in Italia credo proprio abbia questo come
fine, cioè la creazione di un corpo docente consapevole, consapevole del proprio ruolo, delle proprie
competenze e della necessità di rinnovarle continuamente, consapevole della propria dimensione di
“corpo” e quindi di comunità dei docenti, un’appartenenza che se non si vuole venga considerata un
“crimine” (come afferma il protagonista - docente anch’egli- dell’ultimo film di Ermanno Olmi
“Centochiodi”), deve assumere la consapevolezza della propria responsabilità oltre che pretenderne il
riconoscimento dalla società 1 .
1 Da tutto il precedente discorso probabilmente emerge che chi lo scrive (il sottoscritto) non è (almeno per ora) un
docente: probabilmente un insegnante “navigato” avrebbe una percezione della scuola molto più concreta della mia,
perché l’ha vissuta sulla pelle per anni, e una pragmaticità maggiore. Ciononostante ho pensato utile, in primis per me,
buttare giù quelli che sono i miei pensieri, le mie speranze, le mie aspettative a “inizio carriera”: chissà che un giorno
non mi tornerà utile riguardare a quel che pensavo tanto tempo prima…prima di conoscere il mondo della scuola!
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1.2 Il mestiere di insegnante
Questa SSIS che ci apprestiamo a concludere ha sicuramente “segnato” un cammino molto
impegnativo e importante nelle nostre vite. Francamente, nonostante io ascolti spesso da SSISsini o ex-
SSISini molte critiche, in parte condivisibili, devo dire che mi trovo tra quelli che salvano l’idea della SSIS,
al di là delle sue realizzazioni concrete più o meno riuscite.
Anzi, personalmente la SSIS che ho vissuto, pur sembrandomi eccessiva nell’impegno che richiede a
persone già laureate e spesso con un lavoro, e al di là di qualche disfunzione (più o meno grossa, ma a
mio parere comunque sanabile) l’ho ritenuta una esperienza molto utile oltre che molto coinvolgente,
forse a differenza dell’impressione che hanno avuto colleghi di altri indirizzi. Insomma vorrei proprio
spezzare una lancia a favore di questa scuola di specializzazione all’insegnamento: la ritengo molto
buona nella realizzazione della sua struttura fondamentale (la parte di “area comune”, le didattiche
disciplinari, il tirocinio) e in particolare, nella mia esperienza, per quanto riguarda gli insegnamenti
disciplinari che ho ricevuto, e che credo gioveranno molto al mio bagaglio di insegnante. Senza parlare
dell’esperienza umana, sicuramente positiva.
L’unico peccato è che non abbia avuto la possibilità di frequentarla dopo qualche anno di insegnamento:
ritengo mi avrebbe giovato molto di più, così come ritengo sarebbe utile e doveroso, per me per ogni
insegnante che esce diplomato, non perdere i contatti con i colleghi e col mondo universitario della
didattica specifica della sua materia. La collaborazione stretta tra ricercatori in didattica e insegnanti,
eventualmente facendo compenetrare quando possibile i ruoli e le funzioni nello stesso individuo, credo
sia fondamentale per un insegnamento con basi e riferimenti solidi e aggiornati e per una ricerca
didattica fruibile dal corpo docente. Credo che il mantenere e il promuovere queste relazioni non possa
essere lasciato all’iniziativa dei singoli specializzati, ma che la SSIS (o ciò che diventerà) debba farsene
carico direttamente come istituzione (e questo come suggerimento per gli anni a venire…)
Al di là delle didattiche disciplinari mi sembra importante che, anche all’interno della SSIS, sia
sottolineato il ruolo di tutte quelle attenzioni che un docente deve prestare all’ambiente sociale in cui
opera, alla cultura, alla formazione della personalità e della psiche della persona, che “fanno” il mestiere
di insegnante, in senso integrale. Tale professione è infatti una professione complessa, nella quale
giocano molti fattori, di cui la didattica specifica della materia è solo uno: la gestione di una classe,
l’attenzione ai singoli, le considerazioni di didattica generale, le scelte pedagogiche, la capacità di
lavorare in gruppo, la capacità di rapportarsi con un’istituzione…. sono tutti aspetti che fanno parte
della professione di insegnante (a volte ne costituiscono la parte principale). Non si può pretendere che
un corso come quello che si sta concludendo possa formare completamente (né tantomeno
definitivamente!) a un tale ruolo, neanche nella sua sezione di “area comune” che forzatamente non
può comprendere tutti questi aspetti. Credo che l’esperienza e la pratica giochino qui un ruolo cardine.
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Purtroppo io non avendo mai insegnato non posso dire altro: lo sperimenterò in futuro! Posso però
testimoniare che anche soltanto l’esperienza di tirocinio permette di oggettivare le aspettative e i timori,
di demitizzare certi ideali e di concretizzare almeno in parte le idee ingenue (?) sulla professione.
Naturalmente ci sarebbe da disquisire sul significato e sull’obiettivo da attribuire al tirocinio: deve
simulare un’esperienza tipica da insegnante? deve essere una palestra dove formare i muscoli, altrimenti
difficilmente riformabili fuori da essa? Ne discuterò nella sezione introduttiva al tirocinio svolto. Per
quanto mi riguarda io ho cercato di interpretarlo nell’ottica di uno sviluppo di un’autonomia di
insegnamento, e ho quindi cercato di “cavarmela” il più possibile in varie situazioni come se io fossi il
docente incaricato, pur accettando la singolarità della situazione.
1.3 La matematica, la fisica e la loro didattica
Ho già discusso nell’introduzione dei progetti di tirocinio di matematica e di quello virtuale di fisica (in
appendice) la mia personale visione e immagine di queste due branche del sapere e del loro
insegnamento: rimando quindi alla lettura di tali progetti chi fosse interessato a conoscere il mio punto
di vista sulle singole discipline. Mi limito qui a considerare il valore dell’insegnamento simultaneo delle
due, il senso (positivo, a mio parere) del mantenimento dell’aggregazione di esse in un’unica cattedra in
matematica e fisica sotto il codice di insegnamento A049.
Il giovamento che ognuna delle due discipline può trarre da un buon insegnamento dell’altra è molto
grande. Per molti versi storicamente esse si sono sviluppate l’una sui risultati e dietro le esigenze
dell’altra, ed è quindi naturale che esse si compenetrino come tematiche (almeno per quanto riguarda i
programmi di scuola superiore) e si sostengano a vicenda nella stessa concettualizzazione delle idee
principali di entrambe: non si può fare la fisica senza matematica, o almeno si perde il suo aspetto di
“linguaggio della natura” in senso proprio; e non si può fare matematica senza fisica, o almeno si
perdono alcuni dei significati e dei motivi che hanno indotto scoperte o invenzioni in campo
matematico. Nella didattica è perciò molto utile sviluppare entrambe le discipline in maniera armonica,
in modo che una sia di supporto all’altra.
Può essere oggetto di dibattito, me ne rendo conto, il fatto che esse debbano essere insegnate
contemporaneamente allo studente. Si potrebbe obiettare, e lo si è fatto, che prima bisogna sapere
(addirittura) tutta la matematica e poi si fa la fisica, cioè che il linguaggio, la struttura logica, viene prima
ed è su essa e sulla sua potenza che si basa e si fonda la fisica, l’osservazione e la misura, e in fondo la
sistemazione della nostra conoscenza. Vi è inoltre il problema analogo nell’insegnamento: come
spiegare la fisica se lo studente non ha la capacità o gli strumenti per formalizzare, e quindi
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appresentare sinteticamente, collegare, generalizzare quello che gli viene mostrato? Eppure anche il
problema opposto vale: che senso possono rivestire per lo studente alcuni dei concetti spiegati in
matematica senza un modello a cui egli possa riferirli?
Ma in definitiva il meccanismo è simile a quello che mette in atto il bambino nell’apprendimento dei
termini e dei concetti, e a quello di ognuno di noi quando entra in contatto con un ambiente semantico
nuovo: non viene prima illustrato/studiato tutto il vocabolario e poi spiegate le connessioni tra i termini
(concetti), né viene prima mostrato tutto (i fatti) e poi viene dato a tutto il nome e la sistemazione. I
processi avvengono contemporaneamente, ed uno aiuta e rinforza l’altro, finché “ci si trova” (e mai
quindi definitivamente ci si trova) a conoscere termini e concetti, contenuto e linguaggio.
Ecco quindi che un insegnamento ben orchestrato di entrambe le materie può facilitare il
raggiungimento del doppio obiettivo di rendere significativa la matematica e rendere comprensibile (e
esteticamente bella) la fisica. Lo spazio di libertà (se sfruttato bene) che in un certo qual modo dà
l’insegnamento di entrambe le materie da parte di un unico docente può allora avere questo scopo e
trarre da esso il suo senso.
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2. Elementi di didattica relativa al tirocinio
2.1 Le macchine matematiche
Che cosa si intende quando si parla di macchine matematiche, in un contesto di didattica? Nel
documento dell’UMI “Il curricolo di matematica per il Ciclo Secondario (primo
e secondo biennio)” esse vengono introdotte come alcuni dei possibili costituenti di un “laboratorio di
matematica”, un laboratorio che non costituisce un nucleo di contenuto né uno di processo, ma si presenta come una
serie di indicazioni metodologiche trasversali, basate certamente sull’uso di strumenti, tecnologici e non, ma principalmente
finalizzate alla costruzione di significati matematici”. Esso “non è un luogo fisico diverso dalla classe, è piuttosto un
insieme strutturato di attività volte alla costruzione di significati degli oggetti matematici. Il laboratorio, quindi, coinvolge
persone (studenti e insegnanti), strutture (aule, strumenti, organizzazione degli spazi e dei tempi), idee (progetti, piani
di attività didattiche, sperimentazioni). L’ambiente del laboratorio di matematica è in qualche modo assimilabile a quello
della bottega rinascimentale…”
Le macchine matematiche vengono descritte nel seguente modo: “La possibilità di manipolare fisicamente
oggetti, come per esempio le macchine che generano curve, induce spesso modalità di esplorazione e di costruzione di
significato degli oggetti matematici differenti ma altrettanto interessanti e, sotto certi aspetti, più ricche di quelle consentite
dall’uso di software di geometria dinamica”. Tali macchine matematiche vengono peraltro affiancate, nel
laboratorio di matematica, da altri tipi di strumenti: appunto i software di geometria dinamica e di
manipolazione simbolica, i fogli elettronici, le calcolatrici grafico-simboliche e i materiali “poveri” 2 .
Una macchina matematica ha la funzione (pratica o meno) di obbligare un punto, o una figura, a
muoversi nello spazio o subire trasformazioni seguendo con esattezza una legge matematicamente
determinata [2]. In realtà non è affatto detto che una macchina sia stata costruita appositamente con tale
scopo: moltissimi oggetti che siamo abituati a vedere o utilizzare nella vita di tutti i giorni si
comportano in realtà come macchine matematiche, anche se non ci interroghiamo sui modi e le ragioni
del loro funzionamento. Ad esempio [6] la porta basculante del garage funziona in base ad un
meccanismo che le permette di tracciare un’ellisse (il meccanismo è quello dell’ellissografo di van
Schooten - vedi oltre), anche se ovviamente non è stata costruita a questo scopo! Dunque è il nostro
modo di vedere e concepire gli oggetti che può fare di essi vere e proprie “macchine matematiche”.
2 Riguardo questi ultimi si dice: “Il lavoro con fogli trasparenti, la piegatura della carta, l’uso di spilli, fogli
quadrettati non dovrebbe essere considerata un’attività esclusivamente riservata ad allievi del ciclo primario[…]
Inoltre l’uso di strumenti poveri, magari fatti costruire da gruppi di studenti, è un’attività particolarmente significativa
e consona a rinforzare quell’atmosfera da bottega rinascimentale, nel senso prima detto”.
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Un libro uscito di recente [2] porta appunto questo nome e fa riferimento all’esperienza del Museo e del
Laboratorio di Macchine Matematiche collocati presso il dipartimento di matematica dell’Università di
Modena. Naturalmente vi sono varie tipologie di macchine, tra le quali gli strumenti meccanici e i
prospettografi. Qui ci occuperemo soltanto dei primi, i quali a loro volta possono essere raggruppati in
sistemi articolati (a uno o due gradi di libertà) costituiti da aste rigide, perni e guide rettilinee, o in altri
tipi di strumenti (ad esempio strumenti a filo teso). Tutti questi strumenti sono atti a tracciare curve
(curvigrafi) ovvero a realizzare trasformazioni nel piano (come i pantografi).
L’interesse principale dell’esperienza di tirocinio descritta in questa tesi è la descrizione e lo studio delle
coniche; per tale motivo si tratterà di curvigrafi e in particolare di quei curvigrafi capaci di tracciare
coniche (conicografi) e del loro utilizzo didattico.
Ovviamente il primo curvigrafo che può balzare alla mente (primo per semplicità di costruzione e
d’uso, oltre che per ordine cronologico) è il compasso, che serve per un uso empirico (come tracciare
circonferenze) e per un uso più propriamente teorico (riportare distanze). Insieme alla riga determina
l’insieme dei problemi risolubili nella geometria elementare. Altri curvigrafi sono stati ideati e costruiti
già nella Grecia classica, e poi nel corso della storia, con fini e consapevolezze diverse, fino ai nostri
giorni.
2.1.1 Alcune note storiche
Fin dall’antichità l’uomo si è servito di strumenti per la soluzione di problemi geometrici, ma soltanto
nel ‘500-‘600 si è sviluppata una trattazione sistematica di questi all’interno di una teoria generale.
Dapprima essi sono costruiti sulla base di conoscenze pratiche, e come prove di intuito e di genialità,
per cui i loro creatori venivano considerati maghi, e le macchine stesse esposte e catalogate nei “teatri di
macchine”. Poi gli stessi strumenti vengono descritti sulla base di regole procedurali, spiegazione dei
principi concettuali, combinate con informazioni sui dettagli costruttivi, descrizioni del loro utilizzo e
degli scopi per cui erano state create. Principi concettuali (forme e relazioni tra le parti, spiegazioni
dell’oggetto matematico da loro individuato), regole di costruzione (materiali, raccomandazioni per la
manutenzione) e regole d’uso (dove mettere le mani, gli occhi, ecc) sono inscindibilmente legate. Man
mano, partendo dal ‘600 per arrivare fino all’800, si avvia la sistemazione moderna dei principi
concettuali e la struttura fisica si separa sempre più da quella concettuale 3 . La massima fioritura di questi
strumenti, in particolare dei meccanismi articolati, e dell’interesse per il loro aspetto teorico avviene
negli ultimi decenni dell’800, in particolare per quanto riguarda il tracciamento di curve algebriche
3 Non vi è dubbio tuttavia che in entrambe rimangano tracce, impronte storiche, di una e dell’altra.
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piane. Tale interesse decade nel primo novecento, ma rinasce recentemente nel settore della matematica
applicata, per la progettazione, ad esempio, dei movimenti di macchine automatiche o robot.
Per quanto riguarda in particolare le coniche, se dapprima sono descritte (come negli Elementi di
Euclide) come sezione piana di un cono, o tracciate per punti con riga e compasso, fin dall’antichità e
poi nei secoli si diffonde l’uso di strumenti meccanici che le traccino. Ma è in particolare dopo la
pubblicazione della “Geometria” di Cartesio che fiorisce lo studio e la creazione di tali “tracciatori”
(non solo di coniche). Viene infatti elaborata una vera e propria teoria degli strumenti nella soluzione dei
problemi. Per il cerchio e la retta nell’antichità vi era la completa sovrapposizione tra strumento e curva
(cosa che non avveniva per curve più complesse e meno “ammesse” nella geometria, come appunto le
coniche e gli strumenti che le tracciavano, per le quali l’uso pratico dello strumento rimane autonomo
rispetto allo studio teorico della curva). E per l’appunto Cartesio si chiede: quali linee possono essere
accolte in geometria, e cioè rispondono a requisiti di esattezza geometrica? Per distinguere tra curve
ammissibili o meno egli individua vari criteri specifici che dipendono anche dal modo di descrivere tale
curva: tramite equazione, per punti, con strumenti rigidi, con strumenti a filo. La descrizione tramite
equazione permette alle curve di entrare tra quelle ammesse e inoltre viene accolta la tradizione delle
curve costruite da strumenti tracciatori in quanto è sufficiente che sia “possibile immaginarle descritte da uno
o più movimenti continui, che si susseguono l’uno con l’altro..” . La continuità del moto assicura la possibilità, a
differenza delle curve tracciate per punti, di risolvere i problemi riconducibili all’intersezione di curve.
Nasce qui la cosiddetta “geometria organica” (nel senso di organo, strumento) che viene poi sviluppata
in svariati trattati ad opera di Cavalieri, van Schooten, l’Hospital, Newton e altri.
Curva, strumento ed equazione vengono quindi in certi casi equiparati. Ma la domanda rimane: quale è
un criterio generale per stabilire se una curva disegnata da un generico tracciatore è algebrica? E tutte le
curve algebriche sono “tracciabili”?
Cronologicamente prima che questo problema venga risolto trascorrerà molto tempo e, ormai in pieno
ottocento, la sua soluzione passerà per la messa in campo di un altro problema: come si inserisce in
tutto questo la curva (apparentemente) più semplice, ovvero la retta? Kempe si chiede infatti (in “How
to draw a straight line?”[15]): “Si può costruire uno strumento (un “compasso rettilineo”) in grado di
forzare uno dei suoi punti a percorrere una traiettoria rettilinea?)”. L’uso della riga non risolve
naturalmente il problema in quanto fa entrare in un circolo vizioso (come è stata costruita allora la
riga?) 4 . Tecnicamente il problema s’era posto tempo prima ad esempio per lo sviluppo di motori a
vapore e in generale per tutti i problemi di trasformazione di un moto circolare in un moto rettilineo,
ma ci si era accontentati di soluzioni approssimate, come quelle di Watt, Tchebichev o altri (si veda ad
esempio [2] o [6]). La soluzione esatta al problema arriva nel 1864 ad opera di Paucellier, che individua
4
Nella riga la retta è infatti fisicamente presente, a differenza che nel compasso, dove la circonferenza, inesistente
prima, viene generata dal movimento.
15

un sistema articolato a 7 aste in grado di “invertire” esattamente
una circonferenza in una retta. (v. figura).
Qualche anno dopo (1876) Kempe chiude il problema aperto
da Cartesio, dimostrando che:
“Data una curva algebrica piana di grado n e dato un qualsiasi punto
P su , esiste un sistema articolato che traccia in un intorno di P”
(Teorema di Kempe)
2.1.2 Caratteristiche e metodologie delle macchine matematiche
Inversore di Paucellier
L’esplorazione di macchine può costituire una traccia attraverso un percorso storico, durante il quale i
vari processi di studio di un oggetto matematico (ad esempio le coniche) come si è visto hanno lasciato
sedimenti nei termini, nelle definizioni, nei problemi, nelle rappresentazioni dell’oggetto stesso.
In realtà qualsiasi attività che richiede l’uso di artefatti (e quindi tipicamente ogni attività umana) porta
con sé questa polisemia e questa sovrapposizione di significati e significanti, derivanti appunto
dall’origine insieme teorica e pratica degli oggetti, sommata alle trasformazioni d’uso che esso ha subito.
In generale i prodotti esterni dell’attività umana collettiva si possono suddividere, secondo Wartofsky
[23] (citato in [2]), in artefatti primari, secondari e terziari. Quelli primari sono quelli utilizzati
direttamente nella produzione di mezzi d’esistenza e di sopravvivenza della specie, quelli secondari
sono quelli usati nella rappresentazione (al fine di conservazione o trasmissione) di tali mezzi e delle
abilità acquisite: essi sono quindi basati su sistemi semiotici convenzionali (cioè che si riferiscono a una
convenzione). Gli artefatti terziari prendono origine da questi ultimi, ma si svincolano dai fini primari per
cui i primi due tipi di artefatti sussistono, per costituire sistemi a sé stanti e autonomi. Esempio di
artefatto terziario sono le teorie matematiche.
Un modo parallelo di analizzare la questione è quello di differenziare gli utensili dagli strumenti,
attribuendo al primo termine il significato di artefatti che, per rispondere ad esigenze pratiche, non
fanno altro che prolungare o rinforzare le nostre membra o i nostri sensi; e dando invece al secondo
termine il significato ben più forte di “materializzazione del nostro pensiero”.
Nel caso delle macchine, Bartolini Bussi e Maschietto [2] identificano le macchine con gli artefatti
primari, le descrizioni del loro uso, funzionamento e costruzione con gli artefatti secondari, e le teorie
matematiche che li governano (e quindi tutta la geometria organica) con gli artefatti terziari.
Parallelamente (ma non in maniera identica) si può vedere come le stesse macchine, da utensili quali
erano nel ‘500, quando erano realizzate per prove ed errori e illustrate con descrizioni approssimative,
divengono nel ‘600 veri strumenti, il cui comportamento non è determinato da meri fini pratici, ma da
16

precise e rigorose regole teoriche (è il passaggio da un mondo pre-scientifico o a-scientifico ad uno
propriamente scientifico - vedi ad esempio in [20]).
L’introduzione di un artefatto qualsivoglia nell’utilizzo didattico è sempre un passo molto delicato, per
la “carica cognitiva” che esso porta con sé e che richiede all’utilizzatore, specialmente se si tratta di un
artefatto o di uno strumento che sintetizza in sé, per così dire, secoli di ricerca e di studio: le tecnologie
informatiche sono un esempio lampante di questo, e della delicatezza del rapporto utilizzatorestrumento.
Nessun artefatto è infatti dato in modo diretto all’utilizzatore, il quale deve invece
appropriarsene compiendo una elaborazione personale. Questo processo e questo tipo di rapporto
uomo-artefatto avviene e si ripete in maniera simile sia a livello della genesi storica dello strumento da
parte di una comunità umana, sia a livello dell’apprendimento del singolo studente che lo incontra nei
suoi studi.
Rabardel [18] schematizza il processo distinguendo due sotto-processi:
- il processo di strumentalizzazione, cioè tutti i cambiamenti, modifiche, utilizzi aggiuntivi, produzione di
funzioni che l’uomo compie sullo strumento;
- il processo di strumentazione, cioè tutti i cambiamenti di atteggiamento, gli adattamenti che l’uomo
assume nei confronti dello strumento, man mano che impara a usarlo.
Il primo è un processo diretto allo strumento, il secondo è relativo al soggetto utilizzatore. Ciascuno di noi
messo a contato con un nuovo strumento opera su questo doppio binario, e questo avviene ancora di
più per strumenti di nuova concezione, cioè strumenti che si trovano al loro “primo utilizzo”. In un
certo senso un processo riguarda il “fare le regole”, l’oggettivare un pensiero, mentre l’altro riguarda di
più il proprio comportamento di fronte a questa oggettivazione, il “seguire le regole”. Per fare
un’analogia, si può pensare al gioco dei bambini nel cortile: è più divertente per loro seguire le regole o
farle? È interessante vedere come essi alternano i momenti in cui giocano seguendo regole che si sono
dati, con i momenti di auto-imposizione di nuove “regole del gioco” (il momento del “facciamo che io
ero…e tu dovevi….?”) e tutto per ottimizzare, direi, il divertimento. Qualcosa di analogo avviene per
gli strumenti e per gli artefatti materiali (il gioco è un artefatto culturale), nel loro processo storico di
costruzione ed evoluzione, e nel processo di incontro con essi del giovane studente. In fondo è
possibile simmetricamente vedere entrambi questi processi come un “gioco” a cui l’umanità e il singolo
apprendista si sottopone volentieri. Trasformare l’artefatto, aggiungendo una manopola o un oculare,
ad esempio, apre a nuovi modi di utilizzo e quindi alla possibilità di nuove funzioni, che devono esse
stesse venire recepite e accolte dall’utilizzatore. Si crea cioè quel “ciclo d'insieme” (sempre Rabardel
[18]) che permette di incorporare le operazione sviluppate dagli utilizzatori di un artefatto, nell’artefatto
usato dalla successiva generazione. Una testimonianza letterale di questa” incorporazione”, cioè della
forte presenza del corpo e dei gesti nella pratica e nella descrizione delle macchine è data dalle
17

illustrazioni di ellissografi presenti nei trattati del seicento: v’è spesso disegnata con cura la posizione
delle mani nell’atto di utilizzare lo strumento (v. figure). Di per sé lo strumento, senza qualcuno che sa
come usarlo, è inutile, e decade dal ruolo di strumento al ruolo di insieme di oggetti.
Ellissografi e Parabolografo
Il parlare di incorporazione ci richiama subito alla mente la prospettiva dell’embodiment (o dell’embodied
mind) per cui, ad esempio nelle ricerche sulle metafore e sulle mappe concettuali, le strutture
concettuali astratte si manifestano in linguaggio e gesti del corpo. Tale prospettiva indaga appunto lo
stretto legame che vi è tra la conoscenza della mente e l’utilizzo (spesso inconscio) del corpo e come “i
meccanismi quotidiani siano usati nella concettualizzazione inconscia delle idee tecniche della
matematica” (Arzarello e Robutti [1]). Questo può riguardare da vicino proprio l’utilizzo delle macchine
matematiche, in quanto, se vi è questo stretto legame, il loro utilizzo nella didattica, facendo largo uso
del movimento spaziale (tracciatori) e del corpo (l’utilizzatore), non può che facilitare il processo di
apprendimento di proprietà e concetti che rischierebbero di rimanere astratti, immobili (quindi non
dotati anche di dinamica) e senza un fondamento corporeo e concreto su cui venire stabilmente costruiti.
Se una critica si può fare a questo approccio, o meglio a una sua esasperazione, è che “piuttosto che
l’origine, il corpo è una superficie di iscrizione di eventi storici segnata dal linguaggio […] Piuttosto che di esperienza
embodied parlerei di esperienza empracticed”, come sottolinea Radford [19], evidenziando la mediazione
semiotica e delle pratiche sociali, ancor più che l’origine biologica dei processi matematici.
18

Una ulteriore caratteristica di tutti gli artefatti, e quindi in particolare anche delle macchine
matematiche, come si accennava poc’anzi è quella della polisemia: la sedimentazione di usi e
interpretazioni concettuali, aspetti pratici, rappresentativi e teorici, che si sono susseguite nei secoli fino
alla produzione finale dell’artefatto in forma moderna, lascia traccia di sé e può generare al limite
interpretazioni contrastanti da parte di un esperto dello strumento e di un utilizzatore dello stesso come
utensile: se l’ “utente” non ne vede che le proprietà e gli scopi pratici, o le caratteristiche costruttive, l’
“esperto” (il matematico, o l’insegnante nel caso didattico) può avere difficoltà invece proprio a
separare le letture e a dare per scontato che la caratteristica matematica o teorica sia visibile da tutti, e
sia quasi “naturale”: egli lo vede soprattutto in quanto strumento e schiaccia la caratteristica di utensile
su quella strumentale.
Quanto è vero per gli artefatti materiali è vero anche per gli artefatti culturali, primo tra tutti il linguaggio:
come il linguaggio media significati, ed è strettamente connesso, anzi si sovrappone alle pratiche sociali,
alle convenzioni e alle intenzionalità comunicative, così anche ogni artefatto. In classe dunque il ruolo
della comunicazione, dell’interazione, dell’intenzionalità didattica divengono dunque fondamentali
anche per quanto riguarda la trasmissione di contenuti riguardanti lo strumento esplorato. Per Vygotskij
[22], infatti, gli strumenti e i sistemi di segni hanno alcune caratteristiche comuni e fondamentali (vedi
[2]):
-sono il prodotto raffinato di un’attività sociale;
-agiscono sul mondo esterno e insieme producono trasformazioni sul soggetto che li utilizza;
-incorporano elementi importanti del sapere.
Se il ruolo della comunicazione e del trasferimento di sapere dall’insegnante verso gli allievi è
fondamentale (non ci si aspetta che i discenti sappiano come comportarsi di fronte ad uno strumento o
ad un simbolo/segno nuovo) risulta dunque importante un adeguato bilanciamento tra il tempo e lo
“spazio” dedicato a tale passaggio di conoscenze e quello dedicato all’emersione delle voci degli
studenti, per consentire l’esplicitazione, l’oggettivazione dei concetti, la discussione matematica, e la
presa di coscienza in prima persona dei significati e delle modalità operative esaminate.
Vi è un ulteriore aspetto, che riguarda il percorso che verrà svolto con le macchine per lo studio delle
coniche. Ed è quello del rapporto privilegiato che nella matematica la geometria ha con la realtà. Essa
infatti è una disciplina teorica, ma dipende dalla realtà come modello di alcuni suoi aspetti [2]. Il
problema della definizione e poi della dimostrazione si riveste quindi di una natura particolare, arricchente
ma anche più difficile da gestire, per la presenza, negli oggetti geometrici, di due componenti, una
figurale, percettiva, ed una concettuale, teorica. Se le macchine (ad esempio un parabolografo)
condensano queste due componenti, che dovrebbero quindi interagire tra loro in modo armonioso, è
19

anche vero che esse portano anche alla luce il problema della gestione simultanea di tali componenti, e
della distanza che spesso intercorre tra i processi spontanei e i concetti intuitivi da una parte e i processi
matematici e il sistema teorico dall’altra.
È strettamente connesso al problema dell’unità cognitiva (come ad esempio delineato da Boero et al [3]),
ovvero, nella fattispecie, della continuità e della coerenza tra processo di argomentazione e processo di
dimostrazione. In generale quando c’è unità cognitiva c’è corrispondenza tra la natura e gli oggetti
dell’attività mentale coinvolti nel processo esplorativo - argomentativo e in quello logico - dimostrativo.
Se allo stesso modo nella formalizzazione del problema si assiste a importanti discontinuità per quanto
riguarda il linguaggio, i concetti espressi o i procedimenti, rispetto alla precedente parte descrittiva, o
esplorativa (nella quale cioè lo studente non è sottoposto al vincolo del rigore o della forma) allora si
può dire che l’unità cognitiva non vi è stata, ma al suo posto si è verificata piuttosto una rottura cognitiva.
Come ultima osservazione sugli strumenti metodologici che le macchine matematiche possono fornire
vi è la distinzione tra le due modalità in cui possono venire concepite le nozioni matematiche, e in
particolare quelle geometriche: quella strutturale, cioè come oggetti, e quella operativa, cioè come processi (si
veda Sfard [21]). Ad esempio la circonferenza può essere vista da un punto di vista strutturale come un
luogo di punti equidistanti da un punto dato, mentre dal punto di vista operativo essa è la curva
tracciata da un compasso durante la sua rotazione attorno ad un punto fisso. La differenza stessa che
riveste, nell’uso dei software di geometria dinamica, la funzione “traccia” dalla funzione “locus”
riprende in un certo senso questa distinzione (nonostante vi sia differenza tra tracciare tanti punti
separati e tracciare con continuità una curva…). Come si può ben vedere inserire le macchine
tracciatrici di curve in un contesto didattico più ampio in cui le stesse curve vengono definite e
esplorate anche in quanto luogo geometrico permette di accostare e fare interagire nella maniera più
diretta i due approcci. La natura duale dei concetti matematici presuppone infatti la distinzione sì, ma
anche la complementarietà tra questi. “Mentre la concezione strutturale è statica, istantanea e complessiva, quella
operativa è dinamica, sequenziale e particolareggiata” [21]. Il processo di apprendimento e di risoluzione dei
problemi dello studente trae vantaggio dall’esplicito esame della nozione attraverso entrambi gli approcci,
in quanto tale processo “consiste in un intricato intreccio fra concezioni operative e strutturali della stessa nozione”.
2.1.3 Didattica con le macchine matematiche
Uno strumento che non manca mai nei laboratori e di cui non si manca di servirsi nella didattica della
matematica (e non solo) è sicuramente il computer. Su di esso si sono sedimentati secoli di storia della
conoscenza e si può ben dire che esso ne incarni i risultati e le applicazioni. Esso è pertanto depositario
20

di un sapere complesso che allo stesso tempo esso incorpora nella sua stessa struttura e nella logica del
suo funzionamento, e che contemporaneamente può esplicitamente “rappresentare” attraverso appositi
software. Vi è perciò una notevole differenza tra strumenti “semplici”, come quelli che storicamente
sono stati usati per la misura o l’esplorazione nella ricerca matematica o fisica e quest’ultimo strumento
prodotto e utilizzato dalla comunità umana: differenze di semplicità d’uso, differenze di precisione e
immediatezza nei risultati, differenze nei requisiti scientifici che presuppone in chi li utilizza, differenze
in quanto essi mostrano di sé e del loro funzionamento. Si può dire che se il computer è più veloce,
preciso e alla portata di tutti, esso è anche molto meno “trasparente”, proprio in quanto si è separato
moltissimo, rispetto a strumenti precedenti, il grado di conoscenze necessario per utilizzarlo da quello
necessario per costruirlo. Ciò avviene in misura molto minore con strumenti semplici, in quanto in genere
una volta capito come si usano, si è anche in grado di riprodurli (e viceversa).
Questo è vero non solo per il computer in toto, ma anche per i singoli software che “girano” su di esso,
e in generale per tutti i prodotti complessi, ma di facile utilizzo. Un grafico oggi è dato molto
semplicemente agli studenti attraverso molteplici software e calcolatrici grafiche (si può costruire molto
facilmente ad esempio un grafico della velocità, attraverso sensori di moto), ma ciò non implica saper
disegnare un grafico. Il computer in effetti fornisce rappresentazioni della realtà fisica o di concetti
matematici, in un contesto di realtà simulata o virtuale, ma per acquisire un senso di queste
rappresentazioni può essere necessario passare per la realtà reale (questo è molto vero per la fisica, ma in
buona parte è vero anche per la matematica, in quanto molti dei concetti matematici si fondano su idee
e concezioni molto radicate nel corpo e nello spazio fisico, come detto prima riguardo l’embodiment -
si pensi alle “definizioni” degli enti geometrici primari negli “Elementi” di Euclide). Ecco allora che per
riempire questa lacuna tra rappresentazione e esperienza reale ci si può avvalere di artefatti “semplici”
come le macchine matematiche (vere, e non solo simulate con applicazioni Java o Cabri).
In realtà macchine matematiche o anche solo modelli reali (in gesso, fili, legno o altro) e manipolabili di
curve e superfici erano molto presenti un tempo nelle scuole e negli istituti di Matematica, in dotazione
ai laboratori: oggi a volte sono esposte in vetrine o conservate in magazzini. A volte sono abbandonati a
se stessi, ma a volte vengono recuperati con successo e riutilizzati nella didattica contemporanea.
Si ritiene a torto che l’utilizzo di supporti materiali o mobili o manipolabili non sia utile nè necessario
nella scuola superiore, dando per scontato che oggetti come questi possano interessare o avere un
effetto soltanto sui bambini delle elementari. D’altro canto i concetti e le proprietà di alcuni di questi
artefatti, così come ogni riflessione sui modelli della matematica, sono troppo complicate per essi e tali
artefatti finiscono per essere mostrati come “curiosità ” e a non essere integrate a pieno titolo in un
curricolo di matematica come strumenti storici, didattici e con contenuto epistemologico allo stesso
tempo.
21

Sul volume “Macchine Matematiche” [2] viene mostrata una rassegna internazionale di esperienze
didattiche di utilizzo delle macchine. In questa tesi (capitolo successivo) viene mostrata un’analoga
esperienza di tirocinio SSIS.
2.2 Glossario ragionato
In questa sezione viene brevemente sviluppato una sorta di glossario dei ulteriori termini e temi
(rispetto a quelli fin qui affrontati) connessi alla didattica relativi al tirocinio svolto: si tratta di quei
concetti chiave che sono emersi durante la stesura del progetto, nel corso dello svolgimento stesso del
tirocinio, oppure successivamente in fase di valutazione. Nell’ultima parte della tesi, nella quale si
discute e si valuta l’intero lavoro compiuto, sono presenti perciò vari riferimenti a questi termini. Non si
pretende di dare “definizioni” esaustive di ogni concetto, in quanto esso è costantemente approfondito,
discusso, ampliato, dibattuto, esemplificato in ogni articolo ed in ogni testo che tratti di didattica in
generale e di didattica della matematica in particolare. È piuttosto da intendere come una
contestualizzazione del significato del termine o dell’argomento nell’ambito del lavoro svolto,
un’occasione per aggiungere commenti o riflessioni, anche strettamente relative al tirocinio e per darne
qualche riferimento bibliografico.
Si è preferito questo metodo più sintetico e puntuale rispetto alla scelta di riportare in maniera
discorsiva e generica ampie sezioni di didattica della matematica che già si trovano su molti libri e che
necessiterebbero di molto spazio e di una trattazione generale (la quale esulerebbe dagli scopi e dal tema
della tesi, e verrebbe a coinvolgere temi e argomenti non direttamente connessi al tirocinio).
Competenze
Come delineato da OCSE/PISA le competenze sono abilità complesse riguardanti la matematica il suo
ruolo, il suo significato, il suo utilizzo. Vengono raggruppate (PISA2003) in 8 tipologie: Pensiero e
ragionamento, Argomentazione, Comunicazione, Modellizzazione, Formulazione e risoluzione di problemi,
Rappresentazione, Uso del linguaggio simbolico, formale e tecnico e delle operazioni, Uso di sussidi e strumenti.
Contratto didattico
Brousseau [4] lo definisce come “le abitudini del docente attese dallo studente ed i comportamenti dello
studente attesi dal docente”: esso consiste in tutte le regole (spesso implicite), le prassi, le attese, le
credenze che coinvolgono la vita scolastica e il rapporto didattico tra studenti e docente. In [9] si tratta
estesamente il problema e si danno esempi delle strategie che gli studenti mettono in atto per
22

ispondere a presunte aspettative del docente, come l’effetto “età del capitano”. Per esempio si sa che:
“un problema dato dall’insegnante ha sempre una soluzione”. Questo avviene tipicamente in situazioni
prettamente didattiche (vedi ancora [9] per la teoria delle situazioni) mentre viene indebolito durante
situazioni a-didattiche o di gioco. Edwards e Mercer [12] (citati in [2]) ad esempio riassumono così
alcune implicite regole di interazione docente-allievi in genere vigenti a scuola: “1. solo l’insegnante fa
domande; 2. l’insegnante conosce tutte le risposte; 3. domanda ripetuta equivale a risposta sbagliata”. È
solo un esempio, ma l’esperienza di tirocinio ha confermato l’esistenza di molte di queste regole: ogni
qualvolta ho ripetuto una domanda perché la risposta mi sembrava poco convinta o per sentire pareri
diversi da parte di altri studenti, la risposta si è automaticamente invertita (nonostante in certi casi fosse
giusta). In alcune attività ho cercato di creare una situazione didattica in cui queste regole non vigessero:
ad esempio presentando problemi senza soluzione, o facendo fare domande agli studenti o più spesso
organizzando attività che non richiedessero l’apprendimento di una procedura. La reazione degli
studenti è stata molto diversificata (dal disagio, al disinteresse, all’assunzione di maggiore autonomia).
Vi è peraltro da dire che non vige un contratto didattico di “subordinazione” né alla materia né al
docente, non vi sono particolari timori e c’è una certa “leggerezza” o “sportività” nei toni e nelle
aspettative che gli studenti nutrono su di sé, per cui non avvengono più di tanto tentativi “imitativi” del
linguaggio, dei modi, delle frasi espresse dal docente, se non come esplicito ed estremo tentativo di
salvezza in situazioni di difficoltà.
Delega formale
Si ha (vedi [9]) quando lo studente, letto il testo di un problema, individua i termini e le operazioni da
effettuare e comincia la procedura di calcolo, disinteressandosi da quel punto in poi del significato
originario della richiesta contenuta nel testo del problema. Si delega, appunto, interamente al calcolo o
alla formalizzazione un problema, dopo averlo tradotto in linguaggio matematico. È una clausola del
contratto didattico. Risulta naturalmente molto più semplice “affidarsi” ai calcoli (sempre che questi
non tradiscano) e alle procedure apprese (a volte automaticamente), piuttosto che mantenere attivo un
controllo e un’attribuzione di significato al calcolo svolto. Si incontra un fenomeno analogo, ad
esempio, quando si ha a che fare con una coesistenza di registri, alcuni più intuitivi (come quello
grafico) da cui si parte per “impostare” un problema, ed altri più tipici della matematica (come quello
algebrico) a cui si approda per la risoluzione del problema, ma da cui si rischia di non riuscire ad
affrancarsi per ottenere la soluzione al problema. Qualcosa di analogo è accaduto anche nel tirocinio in
oggetto.
23

Immagine della matematica
Si intende qui riferirsi a quel complesso di idee, convinzioni e in parte anche atteggiamenti, affettività ed
emozioni che riguardano i temi propri della matematica, i suoi metodi, il suo linguaggio, le persone che
la fanno, ne parlano o la imparano, l’aspetto sociale che ne scaturisce, la sua storia, la sua rilevanza o
importanza (per l’individuo o la collettività), le capacità o le possibilità che essa richiede, l’ambiente in
cui essa viene appresa o insegnata. Tutto ciò costituisce il “mondo della matematica” per come viene
visto e vissuto da una persona (che può essere nella fattispecie studente o insegnante) che si accosta ad
essa ed influisce profondamente sul rapporto (e sul significato dato ad esso) che la persona ha con la
disciplina. Dicono D’Amore e Giovannoni [14]: “per immagine intendiamo ciò che la parola
‘matematica’ evoca nell’individuo, le idee o le sensazioni che le vengono associate, le credenze e le
attese che le esperienze scolastiche o sociali vissute hanno costruito intorno ad essa” (si veda anche [8]).
Nella classe oggetto del tirocinio ad esempio l’immagine specifica della matematica, al di là degli aspetti
legati all’immagine dello studio in genere e della vita e dell’apprendimento scolastico, pare essere molto
esecutiva, con un insieme di procedure da imparare e da seguire o al più con qualche “regola” che
soggiace ai concetti e alle procedure. Non pare avere un particolare senso o interesse (o almeno non lo
danno a vedere…). Non è particolarmente temuta come materia di studio, né tantomeno odiata
(probabilmente anche per merito della docente) e gli studenti vi si sottopongono senza fastidio.
Naturalmente alcuni mostrano più interesse, mentre altri, pur non essendone intimoriti, si ritengono
tuttavia non capaci di ottenere molti risultati.
Immagine della scuola
Analogamente all’immagine della matematica chiunque vive, opera o ha a che fare con un ambiente
scolastico (e quindi studenti, docenti, genitori…) possiede una sua concezione della scuola, dei
comportamenti da tenere, del ruolo della valutazione e dei voti, dei fini, dell’importanza, del rapporto
col lavoro e con la vita, degli impegni e delle capacità che richiede, del suo ruolo educativo. Anche
questo incide pesantemente sul comportamento e sugli atteggiamenti che si mettono in atto nei
confronti dell’istituzione, delle altre persone che vi operano, dei docenti, dei pari (parlo degli studenti),
delle singole materie, del ruolo delle prove, dei compiti a casa, ecc. La classe del tirocinio fa ad esempio
parte di un liceo classico e ciò può determinare aspettative, ruolo e importanza dato alla scuola (il tipo
di curriculum, le aspettative di lavoro, il ruolo delle famiglie sono fattori importanti); nonostante questo
il “dovere dello studio” non è in questa classe particolarmente sentito, tuttavia vi è rispetto per gli
insegnanti, (senza un vincolo di particolare compostezza nei comportamenti…) e buon rapporto con la
vita scolastica, più che altro a livello sociale (oltre che compagni di classe sono amici, e fanno parte di
un unico gruppo, che si ritrova anche fuori dall’orario scolastico). L’immagine della scuola incide
24

naturalmente anche sull’atteggiamento nei confronti della matematica: l’aspetto “di gruppo” (ad
esempio la riuscita o la non riuscita dell’intera classe nelle verifiche) conta qui più del resto.
Linguaggio
Naturalmente la ricerca attorno al rapporto tra linguaggio e pensiero è talmente ampia che non vale la
pena soffermarvisi qui. Ciò che può interessare più direttamente questa tesi è il rapporto tra matematica
e linguaggio (argomento ampissimo anche questo) e i vari linguaggi presenti nell’insegnamento della
matematica. L’argomento è trattato estesamente in [9]: cito qui soltanto quello che D’Amore chiama
paradosso del linguaggio specifico e che ha a che vedere con la commistione, nel linguaggio d’aula, della lingua
specifica della matematica (la matematica possiede, anzi è un linguaggio specifico) con la lingua comune.
Vi è una sorta di paradosso in quanto da una parte l’insegnamento è comunicazione, e quindi dovrebbe
avvenire nel linguaggio più comprensibile ai discenti: il linguaggio comune; dall’altra l’apprendimento
della matematica passa proprio per l’apprendimento del suo linguaggio specialistico, che spesso si
affianca o si sovrappone al linguaggio comune, e che non è, come Vygotskij insegna, affatto intuitivo.
Come deve agire allora il docente? Nell’insegnamento è inevitabile il continuo passaggio tra linguaggi
evoluti e colloquiali [13], evitando però strane commistioni. La classe del tirocinio, non essendo
sottoposta ad un contratto didattico di “subordinazione” rispetto alla materia o al docente, non rischia
più di tanto le insidie del “matematichese”, quel linguaggio ibrido fatto di termini astrusi, gerundi ecc
[9], che gli studenti e i docenti rischiano di credere tipico della matematica. Vi sono però altri problemi di
linguaggio (anche nella classe suddetta) riguardanti la struttura sintattica della frase e la semantica. Tali
problemi, che nel caso della classe del tirocinio si presentano in più materie scientifiche e umanistiche,
vengono discussi ad esempio in [13], dove si sottolinea l’importanza della competenza linguistica
nell’apprendimento della matematica, a livello non solo grammaticale o lessicale, ma anche di
organizzazione del testo. Vengono ivi suggeriti alcuni obiettivi per un’educazione linguistica tra cui
quello di usare diversi registri semiotici e promuovere il passaggio da uno all’altro. Quanto svolto nel
tirocinio va in questa direzione. In [14] si aggiunge a ciò l’osservazione che, se il linguaggio è usato a fini
comunicativi, non vi è da sottovalutare la componente motivazionale, anzi vanno incentivate le strategie
atte a mettere il soggetto nella volontà di farsi capire, e quindi ad utilizzare un linguaggio corretto. Per una
più approfondita trattazione dell’argomento si può leggere la parte della tesi riguardante l’utilizzo delle
macchine matematiche e riferirsi al libro di Bartolini Bussi e Maschietto [2], nonché alle numerose
ricerche di Radford.
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Modello parassita
Modello intuitivo errato che scaturisce da una rappresentazione (parziale) persistente di un concetto(si
veda ad esempio [9]). Ne sono stati incontrati alcuni durante il tirocinio, in seguito a rappresentazioni
simili dello stesso oggetto (l’ellisse) più volte proposte da me agli studenti.
Motivazione
“Il processo attraverso il quale si formano le nostre intenzioni, cioè l’elaborazione delle ragioni che
inducono a fare qualcosa” (Pellerey [16]) e anche l’insieme dei “processi che incorporano le attese di
risultati desiderabili o non desiderabili e la percezione della capacità di raggiungere tali risultati”. Esso
“non include in sé la generazione dell’intenzione” ed è quindi da distinguere dalla volizione. Come
sottolineato in [14] vi è cioè da distinguere tra desiderio e realizzazione. Vi sono inoltre ricerche, delineate
in [17], che classificano le attribuzioni di causa (di un successo o di un insuccesso) in interne/esterne,
stabili/instabili/, controllabili/incontrollabili; tali attribuzioni condizionano la motivazione e le sue
disposizioni come l’autostima, la percezione di competenza, ecc. Quali strategie didattiche allora per
favorire la motivazione? D’Amore e Giovannoni [14], ad esempio, dopo aver discusso strategie che
rafforzano la motivazione intrinseca e aver sottolineato l’importanza di un contesto emozionale positivo,
delineano una possibile strategia (tra le varie possibili) che loro applicano in una classe di scuola media:
1. spiazzare l’attesa e mettere in crisi vecchie convinzioni riguardo la matematica; 2. convincere
implicitamente (cioè attraverso il compito assegnato) che chiunque è in grado di costruire la matematica
e quindi costruire nuove convinzioni; 3. includere nella valutazione (il passo motivazionale forte nello
studente) il prodotto di tale compito e il risultato di questa nuova convinzione. Una cosa simile si è
tentata di fare in questo tirocinio, seppur in un tempo molto inferiore, e quindi con obiettivi più limitati.
La classe infatti presenta, come descritto, problemi forti di motivazione allo studio in genere e allo
studio della matematica in particolare.
Registri semiotici
Strettamente connesso al tema del linguaggio e direttamente attinente alla presente tesi vi è la
caratterizzazione di registro semiotico che riguarda la rappresentazione dello stesso oggetto in sistemi
semiotici differenti, discorsivi (lingua naturale, formale) o non discorsivi (figure, grafici, schemi..). “Gli
apprendimenti richiedono un coordinamento dei diversi registri di rappresentazione che un dominio di
conoscenze mobilita”(Duval [11], citato in [9]) e “il coordinamento di registri è la condizione per la
padronanza della comprensione in quanto essa è la condizione per una differenziazione reale tra gli
oggetti matematici e la loro rappresentazione […] Questo coordinamento non ha niente di spontaneo”.
Vi è da distinguere tra rappresentazione semiotica di un oggetto (che può assumere varie forme nel
26

medesimo registro) e registro semiotico (e quindi conversione di rappresentazione dell’oggetto da un
registro all’altro) - si veda ad esempio [10].
Per quanto riguarda i registri esaminati nell’ambito del tirocinio sull’oggetto “coniche” si è visto quello
proposizionale, quello grafico (con o senza riferimento cartesiano), quello algebrico, quello tabulare e
quello dinamico-processuale.
Situazione a-didattica
Nella teoria delle situazioni didattiche di Brousseau è detta a-didattica una situazione in cui l’allievo sa
che il problema sottopostogli “è stato scelto per fagli acquisire una nuova conoscenza” ma anche che
egli “può costruire questa conoscenza senza fare appello a delle ragioni didattiche”; in altri termini
l’insegnante ha predisposto una situazione in cui egli non ha ruolo attivo e lo studente non ha obblighi
didattici, ma intergaendo con l’ambiente modifica il suo sistema di conoscenze [9]. Nel tirocinio sono
stati predisposti alcuni momenti di questo tipo.
Unità cognitiva
Qui si intende nel significato (generale) di continuità (contrapposto a rottura) per quanto riguarda il
linguaggio, i concetti espressi o i procedimenti coinvolti in una serie di processi. Essa esamina cioè la
corrispondenza tra la natura e gli oggetti dell’attività mentale relativa ad un processo cognitivo con
quella relativa ad un secondo processo. Nella esperienza di tirocinio un esempio si ha nel passaggio da
un’attività sui luoghi geometrici realizzata con macchine matematiche e uno studio algebrico degli stessi.
Volizione
“Il processo in base al quale le nostre intenzioni si attuano, cioè il concreto voler conseguire il fine
espresso dalle nostre intenzioni”, “un atto di interno consenso a per trasformare la finalità di un’azione
in un’esplicita intenzione d’agire” (Pellerey [16]). È perciò da distinguere dalla motivazione che ne è in
qualche modo premessa. Essa è influenzata da emozione e affettività e comporta, come delineato in
[17], l’assunzione di un controllo attivo di ordine metacognitivo.
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3. Il tirocinio
3.1 Il contesto del tirocinio
La classe in cui è stato svolto il tirocinio è la 1A del Liceo Classico “Torricelli” di Faenza, 19 ragazzi, di
cui 12 femmine e 7 maschi, e la cui docente è la prof.ssa Laura Giovannoni. La classe segue un
indirizzo PNI ed ha tre ore alla settimana di matematica, distinte in tre giornate separate 5 . Ho trovato la
scuola, le aule e le sue strumentazioni di un buon livello di funzionalità e fruibilità: ad esempio ho
utilizzato varie volte l’aula multimediale e il laboratorio di informatica e le ho trovare sempre
rispondenti alle necessità che avevo. Il rapporto con la classe è stato buono anche considerato che,
quando svolgevo il tirocinio osservativo, mi era stata dipinta come una classe molto indisciplinata, come
in effetti avevo avuto modo di vedere. In realtà i problemi di comportamento e di rapporto coi docenti
si sono in parte assorbiti durante il orso dell’anno, ed io non ho riscontrato particolari problemi. C’è da
dire che la tutor mi ha dato man forte ed è intervenuta in certi casi per sgridare o richiamare persone
rumorose o disattente. Tutto sommato credo di aver avuto un buon rapporto con gli studenti (dei
ragazzi ho avuto modo di parlarne nel progetto, a cui rimando). Essi apparivano attenti alle spiegazioni,
partecipativi e franchi anche con me nel fare domande. La classe ha comunque continuato a rivolgersi
alla tutor nel caso di problemi, segnale dopotutto della fiducia che probabilmente nutrono in lei.
3.2 Introduzione e considerazioni generali
L’idea di questo progetto è nata dalla volontà di trasmettere un senso, un significato e un gusto per la
geometria delle curve ad una classe che ritenevo che “subisse” un po’ lo studio della matematica, con lo
scopo poi di trasferire questo “gusto” anche all’incontro con la geometria analitica applicata alle
coniche, al suo studio e alla sua pratica. La passione per l’argomento l’ho scoperta io stesso durante la
preparazione delle idee e del materiale per il progetto di tirocinio 6 , andando a cercare e a leggere alcuni
libri divulgativi o espressamente didattici riguardanti la generazione di curve, i tracciatori, le macchine
matematiche: strumenti che a mio avviso non possono non appassionare. I libri che ho consultato (e per cui
5 Devo dire che questo è stato un limite a certe attività (ad esempio di gruppo)
6 e questo non è altro che un bene, in quanto ritengo che un insegnante appassionato abbia più possibilità (oltre che il
compito) di trasmettere questa passione ai suoi studenti
28

ingrazio tutor e supervisore che me li hanno segnalati) sono indicati in bibliografia con i numeri
[7],[2],[6]. Naturalmente tutto stava nell’organizzare questo materiale per renderlo fruibile ad una classe,
nel produrlo quando mancava o nel costruire schede che aiutassero a produrlo, ma soprattutto nel
disporre in maniera organica le lezioni (nel numero di ore che mi era dato) per contestualizzare
l’argomento in un programma scolastico di prima liceo classico (terzo anno, dunque):
un’organizzazione didattica di un materiale e di un percorso che, anche se attraente e bello di per sé
(almeno a mio giudizio), non per questo doveva costituire un esperienza significativa per lo studente.
Insomma per evitare che il progetto diventasse una serie di ore di semplice divulgazione matematica,
era necessaria una riflessione seria sugli snodi concettuali, sui pregi e sui rischi che comportava una
scelta didattica di questo tipo: in definitiva quella che si chiama una trasposizione didattica.
Come ho modo di spiegare qui di seguito il progetto sostanzialmente si articola in una serie di fasi nelle
quali da un’esplorazione libera di curve generate in svariati modi o di oggetti matematici (concreti!) di
vario tipo si passa poi ad un esame più dettagliato delle tre coniche sotto il profilo del luogo geometrico
che le definisce e della costruzione con vari strumenti, tra cui alcune “macchine matematiche”. Infine si
passa allo studio specifico di una conica, l’ellisse, studiandone l’equazione e le proprietà attraverso il
piano cartesiano.
Sicuramente le prime due sezioni avrebbero occupato buona parte del tempo (rispetto alle 20 ore totali,
o poco più, 5 o 6 sarebbero andate allo studio dell’ellisse nel piano cartesiano), e questo contrasta con la
prassi, che vuole che si dedichi al piano cartesiano e agli esercizi sull’equazione dell’ellisse (o delle altre
coniche) la stragrande maggioranza del tempo; del resto all’esame di maturità è probabilmente quello
che verrà richiesto. Tuttavia credo che svolgere parecchi esercizi sul piano cartesiano senza avere una
buona padronanza dell’oggetto “ellisse” (ad esempio) anche a livello tabulare, o grafico, o
proposizionale, non possa costituire un apprendimento molto significativo e durevole, e perlomeno
viene meno quell’aspetto di “senso” che invece, ritengo, può essere acquisito con la manualità richiesta
dal far funzionare un tracciatore o dalla consapevolezza che può dare il disegno a mano libera di punti di
un’iperbole (quella che chiamerei una “manualità mentale”). È sicuramente (almeno per ora) un
esperimento che ho voluto compiere, per vedere che effetti suscitava.
C’è da dire infatti che difficilmente un progetto di questo tipo può essere organizzato dal nulla durante
un anno scolastico da un insegnante in pieno servizio (e quindi con 18 ore settimanali, e svariate classi e
alunni da seguire): il lavoro di preparazione che mi ha richiesto è stato notevole e io stesso non avrei
potuto gestirlo per un tempo analogo se fossi stato nel ruolo di docente, anziché di tirocinante. Qui
naturalmente sta il pregio e il difetto, il privilegio e insieme l’irripetibilità’ del tirocinio SSIS: quello di
poter disporre di 20 ore e, d’accordo con tutor e supervisore, sostanzialmente fare quello che si desidera
(naturalmente con criterio) avendo a disposizione tutto il tempo che si desidera per preparare il lavoro,
o quasi. Lo stesso rapporto con gli studenti è viziato (o reso virtuoso, a seconda dei punti di vista) da
29

questo fatto: loro “mi hanno” per tre ore la settimana tra mille altre materie e impegni, io invece per
quel periodo ho solo loro. Alla fine il tempo che io dedico alla preparazione del tirocinio e al suo
svolgimento è molto molto maggiore del tempo che loro dedicano all’apprendimento. E questo, oltre
che dare un certo squilibrio all’intera vicenda, è sostanzialmente impossibile da ripetere per ogni
insegnante di professione.
Ciononostante e pienamente consapevole di questo ho pensato anche che quella del tirocinio in fondo
era una opportunità irripetibile 1) di preparare e svolgere un progetto in autonomia e disponendo di un
tempo che mai più avrò (in un singolo anno), per una cosa simile; 2) di essere seguito e valutato da
persone competenti. Dopo un primo momento di indecisione nella scelta tra un’esperienza ripetibile
(col pregio di poter esser replicata e col difetto di non poter quindi essere troppo atipica) ed una
irripetibile (almeno nella stessa formula) ho scelto la seconda(!). Devo perciò ringraziare molto la
docente tutor, professoressa Giovannoni, che ha acconsentito a lasciarmi svolgere questo progetto, anzi
mi ha aiutato nella sua formulazione, e che ha “regalato” tutto il tempo che mi era necessario per
ultimarlo, credendo nell’utilità (spero) di questo tipo di lezioni abbastanza “atipiche” e molto “time
consuming”, consapevole che poi sarebbe stata lei a dover fare il “lavoro sporco” di recupero delle
conoscenze diciamo “standard” eventualmente non apprese in maniera soddisfacente.
3.3 Descrizione dell’attività di tirocinio
Viene data qui una descrizione sintetica e in ordine cronologico delle attività effettivamente svolte e
degli argomenti trattati durante il tirocinio, confrontandoli volta per volta con quanto preventivato di
fare (si veda per questo il progetto di tirocinio in allegato). Per uno schema dettagliato di quanto
discusso lezione per lezione si veda il diario di tirocinio attivo, anch’esso in allegato.
Alla trattazione verranno allegate immagini di oggetti raccolti o prodotti da me e mostrati in classe,
oppure visti alla mostra, oppure costruiti dai ragazzi stessi, in modo da poter trasmettere un’idea più
precisa e dettagliata di quanto è stato realizzato (o di quanto si è tentato di realizzare).
Sezione 1 - fase esplorativa di curve e oggetti
Debbo dire che il mio tirocinio è iniziato un po’ in ritardo rispetto al previsto per cui, in previsione ed
in preparazione dell’imminente gita scolastica, ho dovuto affrettare e “piegare” le prime due lezioni in
modo da comprendere l’introduzione delle coniche (almeno come nomenclatura).
30

Ho tuttavia voluto iniziare questa fase mostrando alcuni oggetti quotidiani con l’intento di sottolineare
da subito il collegamento tra matematica e realtà, per parlare della schematizzazione e idealizzazione
della realtà fatta dalla matematica, e sperando anche, tra l’altro, che l’utilizzo di oggetti “inusuali” per
un’ora di matematica potesse attrarre l’interesse dei ragazzi
Ho inizia
7 .
to con un attaccapanni di quelli allungabili,
chiedendo loro liberamente di descriverne
caratteristiche geometriche. Ne è emersa la forma
romboidale dei tre quadrilateri di cui è composto, il
parallelismo dei lati (conservato anche dopo
l’allungamento), l’arco di circonferenza che il primo
piolo in alto descrive se tengo fermo il piolo di sinistra e
allungo l’attaccapanni (v. fotografia). Ci si chiede che
figura disegni il secondo piolo in alto, senza trovare
risposta (non è banale, ma si può dimostrare essere
proprio un’ellisse, tema del tirocinio).
Attaccapanni allungabile
Ho
poi presentato un secondo oggetto: una piccola vecchia bilancia
a bilanciere. Anche di questo secondo oggetto, più complesso, ho
chiesto di provare a darne una lettura “geometrica” (il primo era
nettamente più “geometrico”), e di provare a vedere se anche qui
non vi fossero quadrilateri con lati paralleli (quindi parallelogrammi,
o rombi) e che si mantenessero paralleli pur cambiando la
Bilancia a un piatto…
posizione del piatto. Mostrando il meccanismo sul retro è stato
“scoperto” che anche qui vi è un parallelogramma articolato,
al quale manca però un lato, che per i
ragazzi è stato facile identificare
con la distanza (fissa) che separa i due perni (quello alto e quello basso)
di destra. Ho poi chiesto perché è qui impiegato un parallelogramma, a che cosa serve, e ne è risultato
dopo breve discussione (guidata) che se un lato è fisso e verticale, anche il lato opposto rimane
verticale, come accadeva nell’attaccapanni e ciò serve per mantenere orizzontale il piatto.
7 Avevo inizialmente intenzione di mostrare il film di M.Emmer sulle spirali, ma la copia che avevo recuperato non era
in buono stato e non risultava quindi adatta come avvio di una serie di lezioni “motivanti”. Alcuni degli argomenti del
filmato sono però stati ripresi in seguito (da me e alla mostra)
31

…un altro esempio di quadrilatero articolato
A questo punto ho dato loro un primo compito per casa, quello di dare una “descrizione geometrica”
su di un terzo oggetto: un sottotegame allungabile. Ho fatto notare che se i lati non sono rettilinei forse
potrebbero essere schematizzati ugualmente come
tali, ma ho chiesto anche di cercare se “tutto
funziona bene” nella schematizzazione che essi ne
avrebbero fatto. In effetti non tutto “funziona”, nel
senso che esso non è descrivibile alla stregua di rombi
articolati (come era per l’attaccapanni): la lunghezza
della diagonale maggiore dei semirombi alle estremità
pare infatti fissata dalla forma rigida delle maniglie e
schematizzando l’oggetto in questo modo esso
teoricamente “non potrebbe” allungarsi o deformarsi. In
realtà lo può fare (per un breve tratto) in quanto esso non è un oggetto
rigido, a dispetto
di quel che
sembra.
Ho in seguito mostrato una
“figura
geometrica” generata
non attraverso il movimento
di qualcosa, ma dai raggi
solari
che colpiscono una
tazza
da latte: la cardioide.
Ho provato a farla riprodurre alla lavagna ed ho
a tale proposito distribuito una scheda
tratta da un articolo apparso sull’inserto Tuttoscienze della Stampa (v. allegato).
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Sottotegame “allungabile”
La cardioide

Ho dato poi un secondo compito: quello (molto libero ed essenzialmente per sondare la loro
disponibilità al mettersi in ricerca personale autodiretta) di trovare altri oggetti che descrivessero curve
o con “proprietà geometriche” particolari
(da individuare). Il risultato è che è stata trovata la parabola
descritta dal pallone da calcio, la circonferenza descritta da una porta che si chiude, il moto dell’asta del
pistone (circolare in un estremo, rettilineo nell’altro),
ecc.
Avevo in realtà preparato anche una brevissima
esperienza su un tracciamento di curve, che il tempo
non mihapermessodirealizzare:latraccialasciatada
un pennarello trascinato su un foglio di carta
attraverso uno spago la cui estremità scorre sul bordo
del banco (v. figura). Il senso sarebbe stato quello di
Trattrice di Huygens
far
notare che tale curva non è casuale ma, fissata la
lunghezza dello spago, e indipendentemente dal punto in cui si trova inizialmente il pennarello, il tratto
tracciato appartiene sempre ad una stessa curva chiamata
trattrice.
Ho poi proseguito col mostrare la generazione di “particolari” curve: la cicloide e alcune epicicloidi,
dandone la definizione in termini di “come la si può costruire” e usando sagome di cartone di varie
dimensioni per tracciarle
col gesso alla lavagna. Ho
in questo modo anche
mostrato un secondo
modo di generare una
cardioide (come epicicloide
generata da due
circonferenze identiche,
una che rotola senza
strisciare sull’altra) e
parlato della doppia
“definizione” per uno
stesso oggetto (lo vedremo poi anche con
le coniche).
Generare una epicicloide
Ho ritenuto, in questa prima fase, di poter
spaziare tra oggetti, curve e proprietà
geometriche in modo
abbastanza libero: lo scopo era infatti principalmente quello di parlare di
rapporto tra geometria e realtà,
di introdurre alcuni strumenti tracciatori di curve, di incuriosire e interessare gli studenti
(ho avuto
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alcune reazioni positive di “stupore”) e di stimolarli a piccole ricerche autonome. Ho cercato di
condurre le lezioni in modo dialogato favorendo il più possibile la
partecipazione e le domande (che comunque non sono mancate).
Se le ricerche personali lasciate
per compito hanno dato
qualche piccolo risultato,
nessuno è invece riuscito a dare
una descrizione corretta del
sottotegame allungabile, che ho
invece spiegato io.
Uno spirografo
Riprendendo le epicicloidi ho poi
accennato alle ipocicloidi (su cui ho anche lasciato
un esercizio per casa - si veda allegato) e mostrato un
ulteriore oggetto capace di costruirle, un giocattolo
che ho sottolineato essere stato creato apposta (a
differenza di oggetti d’uso comune) per questo scopo: uno spirografo (v. figura)
A questo punto ho proceduto ad introdurre le coniche, senza nominarle,
ed in continuità con quanto
fatto finora: ho cioè mostrato come un fascio di luce generato
da una
torcia elettrica descrive sul muro
curve di vario tipo, alcune chiuse, alcune apparentemente aperte. Ho evidenziato il fascio con un
imbuto di cartoncino, chiesto descrizioni delle curve sul muro (“a forma di uovo” è stato detto per
l’ellisse - si veda su questo la descrizione di Durer riportata
nel par.8.4 di Bartolini Bussi & Maschietto
[2] - e si è brevemente discusso di questo) e tentato di far trovare ai ragazzi con quale angolazione della
torcia la figura sul muro poteva passare dall’essere aperta all’essere chiusa.
Iperbole generata da un fascio di luce
Non è stato per loro semplice visualizzare un fascio di luce “di forma conica” né collegare l’angolazione
alle proprietà della figura (anche in seguito alcuni di loro hanno sempre trovato difficile, nonostante vari
miei tentativi, il concetto di intersezione di un piano con un cono e la visualizzazione stessa di queste
due superfici…); comunque ho poi spiegato io la differenza e il nome delle varie curve generate in tal
34

modo (circonferenza, ellisse, parabola e iperbole), evidenziandone la rispettiva angolazione della torcia
rispetto al muro, e chiamandole con il nome di “sezioni coniche”.
Il momento della gita scolastica (alla mostra “Oltre il Compasso” presso il “Giardino di Archimede” a
Firenze) è stato molto partecipato: anche a dispetto dei precedenti timori, i ragazzi si sono mostrati
interessati e attenti, oltre che “disciplinati”.
I mille volti della Cicloide (modi di generarla e proprietà brachistocrona e isocrona)
La cardioide Le sezioni coniche
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Specchi parabolici Generare una spirale di Archimede
La varietà di meccanismi e curve che si è avuto occasione di
rivedere o scoprire ha senz’altro arricchito la loro visione della
geometria, alimentato l’interesse, permesso di approfondire alcuni
temi, specialmente sulle coniche e sulle proprietà di riflessione (che
hanno colpito molti di loro e sulle quali siamo poi tornati
diffusamente in seguito) e fornito loro anche qualche idea nuova sul
“procedere matematico” (utilità e inutilità della matematica) e
quindi sulla storia di alcune scoperte (ad esempio i meccanismi per
il tracciamento di rette). Testimonianza di questo interesse è stata la
partecipazione attiva durante la visita e in classe il giorno
Studenti all’ingresso della mostra successivo. È inoltre capitato che alcuni studenti, che frequentavano
un corso di giornalismo a scuola, abbiano poi pubblicato su SetteSere
(il principale settimanale di Faenza) un resoconto di questa visita (si veda allegato).
A motivare i ragazzi all’attenzione alla spiegazione della guida e a dedicare del tempo libero (mezzora)
ad un ulteriore approfondimento personale ha
senz’altro contribuito la consegna che avevo loro
dato, ovvero quella di approfondire uno degli oggetti
in mostra (alcune tra le relazioni scritte, orali o in
forma di presentazione PowerPoint, sono risultate
molto accurate) e quella di preparare tre domande da
porsi in classe in una “Disfida” che si sarebbe svolta
al ritorno (si veda il materiale in appendice).
In effetti,
nonostante la classe non sia particolarmente
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“competitiva” (anzi…), durante la
disfida (tipico momento a-didattico) tutti avevano preparato
domande e la partecipazione è stata
attiva. Anche se mediamente le domande erano del tipo “come si
chiama…?” e quindi molto legate alla nomenclatura, vi sono comunque state alcune domande più
complesse o articolate. In palio come
1°, 2° e 3°premio vi erano tre “sezioni coniche” ricavate da coni
gelato (v. figura) tanto per “battere il chiodo”, oltre che qualche cioccolatino…
Sezioni “coniche”:
L’ellisse L’iperbole
La parabola
In tutto il lavoro svolto fino a questo punto sono emersi
i noti problemi di linguaggio della classe:
anche per questo motivo ho cercato di richiedere sempre
definizioni e interventi accurati nella forma, di
evidenziare quando possibile l’aspetto formale o più propriamente
matematico, che tuttavia è stato
approfondito più avanti. Sono inoltre sembrati più attivi e partecipativi gli studenti meno “scolarizzati”
e meno sensibili al giudizio del docente, con maggiore “successo”
(nelle discussioni libere, nei compiti,
nella disfida e nella verifica intermedia), tra questi, di quelli con maggiore intuito o predisposizione alla
materia. L’insieme dei ragazzi che sono “emersi” in questa prima parte non è infatti identico (anche se
in piccola parte si interseca) a quello che emergerà nella seconda, più esecutiva e più algebrica.
L’aspetto più propriamente storico, per quanto concerne l’ideazione, prima per utilità pratiche poi
soltanto
per fini teoretici, di un meccanismo tracciatore di rette è stato toccato alla mostra e da me
ripreso in seguito in alcuni esercizi, insieme a qualche cenno sull’evoluzione di strumento tracciatore di
curve (compasso, ellissografo) e sul suo significato (ricerca di precisione, idealizzazione geometrica).
Quanto fatto all’inizio sulla “schematizzazione”, e quanto detto su questo aspetto dalla guida al museo,
è stato ripreso e brevemente discusso successivamente. Sempre per quanto riguarda l’aspetto storico
non è stato invece possibile, per oggettiva mancanza di tempo e per non rischiare di allontanarsi troppo
dal filo conduttore, parlare di problemi classici non risolvibili con riga e compasso.
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Sezione 2 - le coniche come luogo geometrico
Per avvicinarsi ad una discussione più diretta delle coniche e per poter avere le conoscenze necessarie
per esaminarle con il supporto del piano cartesiano siamo poi passati alla seconda definizione per le
coniche, quella come luogo geometrico. Ho ritenuto necessario passare per una fase anch’essa
esplorativa, nella quale i ragazzi potessero prendere dimestichezza con tali definizioni esaminando e
determinando nello spazio della lavagna e “a occhio”, cioè senza strumenti quali compasso o altro, quali
punti potessero appartenere ad una conica determinata, di cui fossero dati i fuochi (o fuoco e direttrice,
nel caso della parabola). Insito in questa modalità vi è il rischio di trasmettere un messaggio di
pressapochezza nel determinare una curva; ciononostante ritengo essenziale far capire che anche in un
procedimento “a occhio” vi sono attenzioni da prestare; è inoltre fondamentale, credo, per poter
conoscere meglio una curva, sapere disegnarla a mano e sapere valutare se e in quali punti essa è stata
tracciata correttamente. Questo tipo di esercizio (un approccio “manuale”, corporeo alle coniche) l’ho
ripreso
in compiti dati a casa e nelle verifiche in classe. Qualche studente ha commentato tra l’altro che
la costruzione per punti potrebbe essere fatta più facilmente servendosi del piano cartesiano.
In effetti ho cercato di utilizzare la lavagna a quadretti soltanto quando ho trattato l’ellisse in termini di
rappresentazione cartesiana, mentre per le altre attività (ad esempio con riga e compasso) ho sfruttato la
lavagna libera.
Poiché in tutta questa fase mi sono mosso liberamente non ho neanche potuto appoggiarmi su un libro
di testo: gli esercizi e le semplici nozioni di teoria (definizioni, proprietà…) venivano perciò da me
prodotti su fogli e distribuiti agli studenti al termine dell’ora (si vedano gli allegati in appendice). Ciò è
servito anche a me per essere sicuro di comunicare esplicitamente e correttamente i concetti
fondamentali. Purtroppo non sempre e non da tutti queste note e questi esercizi sono stati sfruttati
(neanche sotto “l’incoraggiamento” dato dal chiamare alla lavagna), a volte per difficoltà oggettive a
comprendere la teoria o eseguire gli esercizi, più spesso perché la classe si muove solo sotto l’esplicita
“minaccia” del voto.
Ho anche utilizzato un’ora per un lavoro di gruppo: la
costruzione di un iperbolografo a filo, con materiale
“povero” che avevo portato e seguendo istruzioni che
avevo redatto. La consegna era di capire di quale
conicografo si trattava, di schematizzarlo, di descriverne
proprietà e dimostrare perché si trattasse proprio di
quel conicografo (si veda scheda in appendice). Il
materiale prodotto dagli studenti è stato buono (nella
costruzione materiale), anche se più lento e difficoltoso del previsto (seguire una
procedura scritta è compito molto arduo per alcuni): esso è mostrato in figura
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Iperbolografo

La dimostrazione della “legge geometrica” che lo
governa, nonostante i suggerimenti, è risultata
invece inaccessibile. Ho comunque approfittato per
discutere nuovamente dell’idealizzazione dello
strumento a filo appena visto, della differenza
rispetto allo strumento “riga e compasso”, della
precisione, e per chiedere in che senso esso traccia
esattamente un’iperbole.
Riprendendo un discorso
affrontato alla mostra (sul
Iperbolografi a filo teso
tracciamento di rette) si è anche discusso della
realizzati da gruppi di studenti
differenza tra lo strumento riga e lo strumento compasso.
Una costruzione di uno
strumento analogo (un parabolografo - vedi
scheda) è stata data per
compito a casa (facoltativo), ma, anche
senza la costruzione materiale,
molti sono stati in grado ugualmente
di dire che era un parabolografo
e di spiegare perché.
Si è poi proceduto in classe
alla costruzione per punti dell’ellisse con
il compasso data la distanza tra i fuochi e la somma
delle distanze di
un punto dell’ellisse da essi, utilizzando un compasso da lavagna; è
stato lasciato allo svolgimento individuale (guidato da una traccia, in
allegato) la costruzione della parabola, sempre con riga e compasso.
Questo procedimento è stato poi ripetuto in classe utilizzando
Un compasso da lavagna
Cabri (dopo averne illustrato le principali funzioni e la filosofia di
fondo), in maniera in parte guidata ed in parte autonoma a coppie. Non è stato ovvio o semplice per
39

alcuni capire il senso dell’utilizzo di Cabri, e si sono presentati i vari problemi connessi alla
rappresentazione di un dato elemento in contrasto
con la proprietà soggiacente tale elemento (ad
esempio rette “falsamente” perpendicolari, e così via), e questo nonostante gli avvertimenti che davo.
Naturalmente per molti era la prima volta che vedevano
le potenzialità del software di geometria
dinamica e ciò non ha mancato di suscitare interesse.
Sono state proposte semplici dimostrazioni della simmetria
assiale dell’ellisse e della parabola
(utilizzando la definizione come luogo geometrico e la congruenza dei triangoli), sottolineando che
queste erano tra le poche cose che non solo avevamo “visto” ma anche “dimostrato”, secondo il rigore
matematico. Questo però ha creato non pochi problemi,
in quanto la logica dimostrativa per molti di
loro non è stata bene assimilata e sono avvenute diverse confusioni tra ipotesi
e tesi. Non ho voluto
approfondire la questione.
Nella verifica intermedia (così come nel foglio di esercizi preparatori - per entrambi si veda in
appendice) ho voluto esplicitamente proporre domande
(era un test) che riprendessero le definizioni, le
proprietà di tutte e tre le coniche
viste in classe (anche con la geometria dinamica) e alla mostra, e porre
problemi, in particolare uno che conducesse ad una
relazione tra i semiassi e la distanza focale
dell’ellisse, che avremmo utilizzato in seguito. I risultati di tale verifica mi sono parsi soddisfacenti.
Sezione 3 - l’ellisse nella geometria analitica
Siamo quindi passati all’uso del piano cartesiano (che i ragazzi avevano già usato per la trattazione
della
retta) partendo da un luogo geometrico noto (l’asse di un segmento) e dalla costruzione della sua
equazione, per arrivare alla costruzione
dell’equazione dell’ellisse riferita agli assi. Da qui abbiamo
seguito il libro di testo, studiando grafico,
appartenenza di un punto, coordinate dei fuochi, ecc. Ho qui
chiesto cosa sarebbe successo all’ellisse
se si fossero spostati i fuochi tenendo fisso il semiasse
maggiore, ed ho così introdotto la nozione di eccentricità, studiandone i casi limite. C’è da dire che
questo aspetto che sembrava bene recepito dai ragazzi, e che ho trattato anche in un’intera lezione
successiva fatta con Cabri, ha creato invece problemi in fase di verifica finale, per il fatto che in quel
caso è stata posta loro la
richiesta inversa:
cosa accade all’ellisse se fisso la distanza focale e allungo un
semiasse.
Ho tuttavia continuato a trattare problemi algebrici sull’ellisse per un paio di lezioni, seguendo la traccia
(di teoria ed esercizi) proposta dal libro di testo. Purtroppo la classe ha problemi nella manipolazione
algebrica, problemi che non hanno avuto completamente modo di esplicitarsi nelle varie correzioni di
esercizi eseguite alla lavagna, e che sono risultati complessivamente determinanti nella verifica finale.
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In seguito a tali problemi e soprattutto dal momento che non era ancora stato fatto alcun esercizio
riguardante la circonferenza e l’intersezione tra curve (né tantomeno sulla tangenza) ho proposto
soltanto alcuni esercizi di questo tipo, senza riproporli nella verifica finale, per la valutazione della quale
non si è tenuto conto di un paio di esercizi che probabilmente
erano “fuori misura” per la classe e che
in effetti nessuno ha svolto correttamente.
Anche in questa fase “algebrica”, per non rompere cognitivamente in maniera troppo brusca con le fasi
precedenti, ho riproposto modalità che avevo già utilizzato (uso di Cabri) e ripreso argomenti visti. Ho
inoltre riproposto alcuni problemi di tracciamento di ellissi, basati sull’ellissografo di Proclo e di
VanSchooten, risolvibili semplicemente utilizzando proprietà dei triangoli simili e coordinate cartesiane
(si vedano i fogli di esercizi da me elaborati e distribuiti in preparazione alla verifica);
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Ellissografo di Van Schooten
avevo anche costruito uno di questi ellissografi da mostrare (v figure), per concludere infine il ciclo di
lezioni con la dimostrazione che l’attaccapanni presentato all’inizio non è altro che una variazione sul
tema di questi ultimi ellissografi, e perciò tutti i suoi punti tracciano dei tratti di ellissi (al limite
degeneri). Il problema (per me imprevisto) che sì è presentato e che non ha permesso a loro di trovare
la soluzione è stata la non conoscenza della proporzionalità tra i lati di triangoli simili. Ho allora
rinunciato a portare a termine questo tema, per evitare di forzare spiegazioni su un terreno che
meriterebbe sicuramente maggiore tempo ed attenzioni.
A valle della fase algebrica, a dispetto di quanto mi ero riproposto, non vi è stato tempo per riutilizzare
il piano cartesiano per tornare ad esaminare curve (non coniche) viste inizialmente; né è rimasto tempo
per il test di gradimento, che però ho chiesto all’insegnante di far svolgere in mia vece.
Per quanto riguarda le dimostrazioni eseguite con Cabri (che mi pare siano state seguite con attenzione)
avevo preparato alcuni progetti (alcune figure tratte da essi si trovano in appendice) per facilitare, ad
esempio, l’assimilazione del procedimento di costruzione riga e compasso dell’ellisse, o per mostrare la
variazione della forma del luogo (anche visualizzandone l’equazione) al variare dei parametri a, b e c, o
per calcolare il valore di questi parametri e di conseguenza quello dell’eccentricità, per mostrare la
“trasformazione” di ellisse in iperbole, e per discutere infine le sue proprietà ottiche. L’apprendimento
di alcuni di questi concetti e del loro significato è stato oggetto di verifica.
42

3.4 Considerazioni trasversali all’attività svolta
3.4.1 Tirocinio: obiettivi, speranze e timori
Parlerò qui di seguito dei principali obiettivi che mi ero proposto di raggiungere nella stesura del
progetto e durante lo svolgimento del tirocinio, e aggiungerò inoltre quelle “speranze”, attese o
aspettative
più o meno ingenue - e che in fondo sono obiettivi non dichiarati - che una persona che si
appresta a svolgere un’ attività porta con sé in maniera più o meno consapevole, oltre ad alcuni timori
riguardo
aspetti che ritenevo, a torto o a ragione, maggiormente “a rischio”. Tutto ciò a riguardo sia
della
didattica che mi ero prefisso di portare avanti, sia dell’esperienza di insegnamento in senso lato, sia
delle difficoltà o dei successi di apprendimento degli studenti. Ne descriverò l’attuazione e le eventuali
modifiche per poi valutarne passo passo l’efficacia e i risultati.
3.4.2 Analisi dettagliata per punti
Immagine della matematica
Premesse e obiettivi
Ero partito dalla constatazione, suggerita anche dall’insegnante, di quanto la classe fosse ancorata ad
un’immagine molto esecutiva (“come si fa?”) e procedurale della matematica (tra l’altro avevo svolto il
tirocinio osservativo nel periodo in cui essi studiavano le equazioni e disequazioni di secondo grado,
argomenti nei quali la procedura risolutiva degli esercizi tende a rivestire il ruolo principale) e di quanto
questa
convinzione dividesse la classe in coloro che accettavano tale modalità di studio e di esecuzione,
e che quindi cercavano continuamente “appigli” procedurali (“questo si fa così, quest’altro si fa cosà…
” ) in ogni compito che veniva loro proposto, e coloro che sostanzialmente rifiutavano questo approccio
(e con esso lo
studio complessivo della materia) sia per mancanza di interesse sia per constatazione di
incapacità
personale a gestire tali procedure. Per entrambi i gruppi il rendimento non era naturalmente
43

molto elevato. C’è inoltre da notare che per molti di loro vige la figura del “genio”, termine con cui vari
di loro designano uno che con poco studio e quanto basta di intuito riesce a cavarsela col 6. Alcuni di
loro (Alceste, Pietro, ad esempio) sono
dei “geni”, nonostante il loro rendimento complessivo non
molto soddisfacente, perché sanno ogni tanto dare la risposta giusta. Inoltre alcuni sono sempre alla
ricerca della “ regola”, che semplifica la vita: ad esempio durante la disfida una ragazza pone la domanda:
“perché in un’ellisse i raggi di luce che escono da un fuoco si incontrano nell’altro?” e uno risponde:
“ beh? è la regola dell’ellisse, no?”
La mia intenzione era perciò di agire anche su questa immagine proponendo in primo luogo attività
aperte o libere, come ricerche o approfondimenti, che lasciassero appunto libertà d’azione e di scelta al
singolo studente, in modo che ciascuno scegliesse modalità e quantità dell’impegno e dell’ingegno da
impiegare. In secondo luogo avevo in mente di condurre le lezioni nella maniera più aperta possibile a
domande sul “senso” di quello che veniva fatto e di stimolare io stesso riflessioni in merito. In terzo
luogo la mia intenzione era di proporre problemi, più ancora che esercizi, e possibilmente problemi che
potessero anche non essere risolti o che contemplassero soluzioni non banali. Intendevo inoltre,
stimolando la loro curiosità con argomenti inusuali o oggetti concreti, far passare il messaggio che la
matematica
e il fare matematica può comprendere anche queste cose, anzi che le comprende a pieno
titolo,
e che l’uso di oggetti, o macchine matematiche, lungi dal banalizzare l’argomento trattato lo
rende
ancora più profondo e a volte assai difficile: in pratica che non è detto che, a dispetto di quanto
credono
loro, il sapere eseguire correttamente procedure sia sempre necessario, né sia sempre sufficiente a
“fare matematica” o anche a svolgere un esercizio
di un compito in classe. Avevo intenzione perciò di
utilizzare
anche le verifiche per far passare questo messaggio, inserendo esercizi non meramente
esecutivi,
problemi e domande aperte o addirittura la richiesta di proprie valutazioni, in quanto avevo
notato quanto peso essi dessero al voto e alle verifiche rispetto al resto delle lezioni, e quindi quanto per
essi
il contenuto delle verifiche pesasse nella formazione e nel mantenimento di una certa immagine
della matematica.
Per quanto riguarda
me e la mia personale didattica ero abbastanza convinto che un modo di procedere
come quello sopra descritto (e che avevo già utilizzato in altre esperienze didattiche o divulgative, non
però in qualità di insegnante titolare di una cattedra) avrebbe sortito i suoi effetti, nonostante fossi
consapevole che una modifica radicale non può avvenire in tempi così brevi (ritengo che i tempi siano
sulla scala dell’anno e non del mese), anche se il lavoro poteva contribuire a ciò. L’argomento che
avevamo scelto si prestava notevolmente a questo scopo. Il timore principale era però che gli studenti
prendessero “sottogamba” una serie, come questa, di lezioni che non richiedesse l’apprendimento di
concetti standard o procedure risolutive, e che le considerassero un gioco (bello o brutto), comunque
esterno alla “vera” matematica. Mi ero perciò proposto (e il tempo speso per questo è stato tanto) di
44

tenere fin dall’inizio occupati e attenti i ragazzi con esercizi, problemi, anche di non facile o immediata
soluzione, e che avremmo corretto in classe.
Realizzazione
In pratica una buona fetta del mio tempo è stata impiegata anche nell’escogitare e ricercare relazioni
“nascoste” tra oggetti, o domande non banali da inserire negli esercizi, o osservazioni non scontate su
proprietà geometriche, nel tentativo e nella speranza che, dietro miei suggerimenti e stimoli, in buona
parte queste cose potessero essere fatte scoprire direttamente ai ragazzi. Ad esempio tutta la parte
esplorativa iniziale è stata costellata di domande e piccoli problemi: il meccanismo e il problema di
schematizzazione insito nel sottotegame allungabile, gli esercizi dati per compito sulle epi- ed ipocicloidi
(si vedano gli allegati), l’ellisse formata dall’attaccapanni, e così via.
La volontà di trasmettere un approccio meno “esecutivo” e più “problematico” o ragionato alla
geometria, con richieste di opinioni o di soluzioni a problemi aperti, discussioni, domande frequenti
rivolte alla classe e così via, se in quanto finalità era un obiettivo deliberato, in quanto alla modalità nel
fare lezione ho considerato fin dall’inizio naturale (e quindi non ho sottoposto a critica) il mio personale
modo di procedere, che contemplava anche in certi casi il porre problemi di non facile soluzione o
parlare di argomenti nuovi senza pretendere in cambio una risposta in termini di capacità procedurale o
di conoscenze acquisite, ma solo in termini di attenzione, curiosità e interesse.
Il condurre i ragazzi alla mostra “Oltre il compasso: la geometria delle curve” (esperienza risultata
molto positiva) si inseriva pienamente in questo tentativo di ampliamento di immagine: considerare
“parte della matematica” tutti gli oggetti e le curve incontrate alla mostra ha sicuramente contribuito a
far percepire la matematica come “più concreta ma più nascosta di quanto si pensi in genere” (vedi
articolo di giornale in allegato). Se solo si pensa alle aspettative dei ragazzi prima di visitare la mostra si
vede subito come esse non contemplassero, nell’idea di matematica che possedevano, molto di più che
una matematica scolastica, astratta e slegata dalla realtà: la domanda infatti è stata: “Alla mostra
vedremo il piano cartesiano?” Se in parte era una battuta essa però testimonia l’assenza di idee su cosa
possa essere mostrato in una mostra di matematica.
Tra le attività volte a dare spazio alla propria eventuale volontà di approfondimento vi sono state ad
esempio l’approfondimento “da esperto” su un argomento della mostra, o il preparare le tre domande
per la disfida (si veda la scheda di preparazione alla gita in allegato). A livello di partecipazione alle
discussioni e alle domande che io ponevo non posso che essere soddisfatto: sia di me e di come ho
cercato in molti momenti di spostare l’attenzione più sul senso di quello che si faceva, eventualmente
facendo un po’ di sconti alla forma di ciò che veniva detto e puntando di più (anche come tempo)
sull’aspetto qualitativo, anziché quantitativo(e questa può essere una pecca, specie in relazione al
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problema linguistico e formale - vedi oltre); sia di loro che ho quasi sempre sentito partecipi, disponibili
e franchi. In alcuni casi vi è stata anche qualche espressione di stupore (naturalmente smorzata da
ironia),
ad esempio al “riapparire” della cardioide (che in precedenza era stata vista nella tazza) come
epicicloide, oppure
in alcune costruzioni fatte con Cabri (la geometria dinamica è sempre
spettacolare…),
o ancora alla mostra nel tracciamento della spirale di Archimede. Per una classe un po’
apatica come questa (matematicamente parlando, si intende) ciò testimonia un discreto coinvolgimento,
e quindi attraverso esso una possibile esperienza di trasformazione di immagine della matematica.
Per ciò che concerne l’introduzione “a pieno titolo” negli esercizi dati per compito e nelle verifiche di
ciò che dicevamo o osservavamo in aula, credo che le schede in allegato testimonino i miei sforzi (…!):
ad esempio nella richiesta di fare disegni, individuare punti, nei riferimenti all’iperbolografo a filo, o alla
parabola costruita con Cabri. Tali riferimenti si possono trovare negli esercizi in preparazione alla
verifica intermedia (oltre che nella verifica stessa) e in parte anche nella verifica
finale, con l’esercizio 9
relativo ad una lezione tenuta con Cabri e col 10 in cui veniva chiesto un commento libero (che alcuni
hanno invece ritenuto meno importante perché non c’era - appunto - una risposta univoca “giusta”).
Valutazione
Complessivamente credo in certi momenti di aver decisamente “spiazzato” i ragazzi, almeno a vedere le
loro facce perplesse…A parte gli scherzi ritengo che perlomeno sia passata, almeno temporaneamente,
un’immagine della matematica “diversa” da quella che si aspettavano (un ragazzo, che pareva
appassionarsi ma che in genere stenta la sufficienza, mi ha detto che gli piaceva questo tipo di
matematica perché “è roba da genietti”, credo intendendo assieme che è divertente e che comporta
l’uso della testa…). Devo dire che forse la “stimolazione” con problemi, ragionamenti, richieste, è
risultata per taluni una mancanza di chiarezza su “che cosa dovevano imparare” e a poco sono serviti gli
esercizi che davo a casa, in quanto la poca chiarezza dell’obiettivo verso cui ci muovevamo, insieme alla
difficoltà eccessiva (per alcuni sempre, per tutti a volte) dei problemi e degli esercizi, combinate con
l’assenza (temporanea) di voto ha fatto sì che a volte alcuni testi non sono stati eseguiti o compresi (e
questo ha a che vedere con la motivazione - vedi oltre).
In effetti i problemi di eccessiva difficoltà si
sono manifestati su almeno due fronti: intanto la incapacità di affrontare problemi complessi o anche
molto semplici ma per i quali l’insegnante non ha già in classe tracciato il metodo risolutivo (ad esempio
nessuno è riuscito con l’esercizio dell’ipocicloide, uno solo con l’esercizio facoltativo della verifica
intermedia, nessuno con la dimostrazione sull’iperbolografo a filo, nessuno con gli esercizi relativi
all’ellissografo di Proclo o di VanSchooten; e questo nonostante i suggerimenti anche espliciti sulla
risoluzione: qui vi è non solo incapacità, ma forse mancanza di costanza e volontà). Uno mi ha
implorato dopo alcune lezioni: “…ma sono difficili. Lei ci sopravvaluta!”: in effetti avevo
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sopravvalutato la loro capacità di intuizione, di sapersi muovere in situazioni atipiche, e di volerlo fare,
dando per scontato che dietro un’immagine piatta della matematica che essi dimostravano avere, si
nascondessero però delle persone curiose o capaci. Beh, se lo è stato per alcuni, quelli con maggiore
attitudine o propensione per la materia, non lo è stato sicuramente per tutti. Il secondo fronte di
difficoltà si è manifestato in alcune semplici dimostrazioni che avevo dato, accorgendomi solo poi che
la logica dimostrativa non era stata bene assimilata dalla classe, per cui quasi nessuno è riuscito a
dimostrare ad esempio che l’ellisse è simmetrica rispetto agli assi (vedi foglio allegato), neanche dopo i
suggerimenti. Ho preferito non premere ulteriormente su questo punto (per me inaspettato), salvo
qualche annotazione.
Nonostante tutto ritengo che la verifica intermedia, che testava proprio anche questo tipo di
conoscenze intuitive e qualitative e la capacità di farle interagire e di saperle “spostare” su oggetti simili
ma non identici, sia andata complessivamente bene. In tutta la prima fase sono comunque emersi i più
intuitivi, quelli che in genere “appena se la cavano” nelle verifiche standard, mentre altri alla lunga
hanno manifestato disagio e la volontà di tornare alla più rassicurante matematica “normale”,
procedurale,
senza sorprese e senza tanti sforzi mentali (appena iniziata la terza sezione - la geometria
analitica - un
ragazzo, uno dei più problematici, ha esclamato: “ah, allora torniamo a fare gli esercizi
veri?”:
non c’è dubbio che per lui, nonostante la mia risposta che anche quegli altri erano veri, tutta la
prima parte non è stata altro che un’interruzione temporanea della matematica “vera”).
Motivazione
Premesse e obiettivi
Come ho già accennato in vari passaggi la classe ha problemi motivazionali, nel senso che per la
maggioranza dei suoi componenti ciò che determina lo scarso rendimento è la mancanza di interesse,
studio e attribuzione di significatività a quanto si fa (in generale a scuola, in particolare nelle materie
scientifiche). Ciò in un liceo classico può essere comprensibile per quanto riguarda la matematica, in
quanto l’attitudine e gli interessi di molti sono orientati ad altro; tuttavia la classe si presenta in maniera
abbastanza atipica anche nel contesto di un liceo classico, la cui immagine vuole gli studenti spesso
molto studiosi, motivati all’apprendere e molto scolarizzati. Nella classe sono presenti anche alcuni
elementi (alcuni tra l’altro col ruolo di leader) con problemi di mantenimento dell’attenzione, gravi
problemi di rendimento in varie materie, oltre che di motivazione in genere alle attività scolastiche.
Basti dire che uno solo di loro ha avuto al primo quadrimestre la sufficienza in tutte le materie.
Naturalmente la scelta che avevo fatto di condurre il tirocinio proprio in quella classe era stata fatta,
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non lo nascondo, anche nella speranza di poter agire positivamente proprio su quelle persone che
ritenevo avessero più problemi in matematica, e che risentissero nel loro rendimento della mancanza di
interesse o di senso dato alla scuola, oltre che di sfiducia nelle proprie capacità. Del resto quando la
tutor ha comunicato alla classe la mia scelta (verso la fine del tirocinio osservativo) uno di loro ha
osservato: “Gli piacciono le sfide!”. Beh, è vero.
Il tentativo era perciò, attraverso alcune attenzioni, di condurre gli studenti in un sapere matematico che
“valesse la pena” studiare, imparare e capire. La metodologia stessa con cui l’argomento “coniche”
sarebbe stato affrontato, e cioè attraverso l’esame di artefatti e tramite la produzione (attraverso essi) di
coniche, studiate per buona parte del tempo in maniera totalmente svincolata dall’algebra e più vicina
ad una percezione diretta, quasi corporea, a mio parere avrebbe dovuto essere un fattore motivante (si
veda il progetto di tirocinio), un fattore cioè che avrebbe dovuto creare alcune delle precondizioni per
cui uno studente decida di dedicarsi maggiormente allo studio, ad esempio, della geometria.
Naturalmente la motivazione non è l’unico problema: vi sono alcuni ragazzi che, pur nutrendo un certo
interesse per la materia, non sono abbastanza volitivi da mettere in atto azioni tese a superare le proprie
difficoltà. L’interesse non è sempre per loro sufficiente e deve intervenire qualche motivazione
estrinseca. Il voto è sicuramente la prima e principale forma di motivazione per la maggioranza di loro.
Quello che intendevo dunque dal mio tirocinio era intraprendere qualche azione motivazionale. A
questo scopo la mia intenzione e la mia speranza era anche infatti, attraverso attività di tipo non
strettamente
didattico, o comunque non molto “tipiche” (del resto è il tirocinio SSIS a dare questa
opportunità),
quella di coinvolgere, divertire, far giocare, stupire (lo stupore e il gioco sono porte molto
ampie per l’apprendimento),
insomma se possibile “trascinare” la classe in un apprendimento che non
fosse
pesante, ma anzi, al limite, divertente o comunque piacevole.
Come ho detto mi aspettavo in ogni caso partecipazione durante le ore di classe, in quanto in generale
la classe si dimostra attiva e comunicativa. I possibili problemi potevano semmai derivare dal
mantenimento di questa partecipazione e dall’impegno a medio e lungo termine che ciascuno degli
studenti sarebbe stato in grado o avrebbe voluto mettere in atto. In generale infatti tutta la classe, pur
dimostrando un interesse immediato agli argomenti e alle attività proposte, risulta essere molto
incostante e disomogenea nell’impegno che è disposta a dare.
Le strategie motivazionali che intendevo usare comprendevano la stimolazione dell’interazione fra di
loro, lo spazio dato a commenti e domande, lo spazio dato all’approfondimento personale, la
sottolineatura di legami stretti tra matematica e altre discipline culturali (umanistiche o scientifiche) o
ambiti più conosciuti o graditi dagli studenti (per tutto ciò si veda il progetto di tirocinio)
Un’ulteriore strategia, sempre a fini motivazionali (ma non solo), era quella di sottolineare la vicinanza
alla “vita quotidiana” di argomenti e procedimenti matematici, sottolineando da una parte applicazioni
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concrete, usi e riscontri nel mondo naturale o quotidiano di proprietà geometriche viste in classe, e
dall’altra utilizzando per “fare matematica” dei materiali poveri e comuni
Realizzazione
Come si può vedere da alcune immagini (nella sezione precedente) i materiali e gli oggetti usati sono
stati scelti tra oggetti d’uso comune; vi sono stati poi momenti di seminario (le presentazioni, alcune
fatte molto bene, sugli oggetti della mostra), la gita alla mostra, la “Disfida” (molto partecipata), un
momento di lavoro di gruppo per la costruzione dell’iperbolografo, momenti in laboratorio di
informatica (uno con lavoro a coppie e uno dimostrativo condotto da me), e frequentemente ho
chiamato alla lavagna i ragazzi, sia per testare la comprensione di cose dette sia per introdurne di nuove
(ho chiamato tutti almeno una volta). Ho approfittato di taluni esercizi (anche poiché non avevo avuto
il tempo a lezione) per comunicare analogie e legami di quanto fatto con altre discipline (come ad
esempio nell’es. 5 del foglio preparatorio alla verifica finale - in questo caso l’esempio è di fisica). Ne
avevo progettato altri (come il n.2.V. della verifica intermedia) per riferirmi a campi applicativi (quello
citato, in particolare, voleva fare riferimento ad un’applicazione che poteva interessare alcuni dei miei
studenti, i quali studiano musica - la camera a volta ellittica era stata vista materialmente alla mostra).
C’è da dire che in sede di progetto avevo sperato di poter avere più tempo per l’approfondimenti di tali
legami con altre discipline, e in genere per richiami culturali anche sulla stessa storia della matematica,
ma non è stato possibile se non episodicamente.
Valutazione
Debbo dire che questo (timido) tentativo motivazionale ha avuto effetti disomogenei e non costanti
sugli allievi: alcuni hanno inizialmente preso parte più attivamente alle lezioni proposte, per poi “venir
meno” alle prime difficoltà riscontrate sugli esercizi, altri hanno partecipato più o meno in tutto il corso
del tirocinio, ma per motivazioni già loro interne, altri infine spero abbiano acquisito un po’ di fiducia
nella proprie possibilità di fare matematica e un po’ di interesse per la materia. Poi vi sono alcuni che
dopo le prime lezioni e passato l’effetto novità sono tornati alle modalità di sempre. In particolare si è
presentato il problema della mancanza o scarsità del lavoro individuale che sono stati disposti a svolgere
(alcune volte esercizi sono stati completamente ignorati da tutta la classe - ad esempio la dimostrazione
della simmetria della parabola o alcuni degli esercizi tratti dal libro di testo - mentre alcuni regolarmente,
come loro solito, non facevano alcun esercizio), su cui io avevo fatto molto affidamento e a cui avevo
dato un certo peso. È stato per me necessario quindi, da un certo punto in poi, promettere il ritiro e il
controllo dei compiti ed usare la “minaccia del voto” per poter recuperare (poco per la verità)
49

quell’impegno necessario alla prosecuzione delle lezioni. Il fatto di non avere comunque il diritto
“pieno” di dare voti e di interrogare mi ha lasciato, debbo dire, un po’ disarmato su questo aspetto.
Naturalmente
nella vicinanza delle due verifiche la classe si è invece data molto da fare, richiedendo
(con
suppliche!) di fare esercizi e di correggerli.
La disponibilità
al coinvolgimento, al gioco e allo “stupore” dimostrata dalla classe, se non ha raggiunto
il livello sperato, è stata comunque buona, senza grossi problemi di mantenimento dell’attenzione e
della concentrazione, e quindi di gestione della classe da parte mia e della tutor, ed ha permesso la
produzione di buoni elaborati di ricerca personale, una partecipazione attiva alle discussioni e alla
“disfida” in aula, lo svolgimento senza problemi di alcune serie di esercizi dati per compito, e questo,
anche secondo la tutor, è stato comunque un buon risultato.
Complessivamente per quanto riguarda la mia volontà di trainare gli studenti con maggiori difficoltà, se
i miei tentativi non sono mancati, debbo dire che essi non sono appieno riusciti nell’intento che si
proponevano: naturalmente certi ruoli e certi comportamenti sono molto consolidati, sclerotizzati e assi
difficili da modificare. La stessa volontà e capacità di “stare a scuola” a volte non è sufficientemente
presente dopo molti anni di frequenza scolastica e pare molto difficile poterla stimolare in una breve
esperienza di un mese. Per questo alcuni dei ragazzi (un paio o poco più) che ritenevo più problematici
(per quanto riguardava la motivazione, l’attenzione, la costanza nello studio e il rendimento) se anche
hanno tratto giovamento dalle prime lezioni non hanno poi dimostrato costanza o interesse tale da
motivarli maggiormente allo studio dell’argomento, e, come detto, ho dovuto abbandonare i tentativi di
coinvolgimento, tornando alla più nota (per loro) modalità “minaccia di voto”. La classe
complessivamente ritengo abbia seguito con interesse,
ed alcuni in particolare credo si siano sentiti
spinti
allo studio dell’argomento; ai miei occhi sono però emerse altre singole situazioni problematiche,
che nel tirocinio
osservativo non avevo notato: si trattava magari di alcuni ragazzi o ragazze, che
silenziosamente prendevano appunti o facevano domande, ma che poi sono risultati molto carenti nella
comprensione e nel rendimento
Linguaggio
Premesse e obiettivi
In molte circostanze durante l’osservazione della classe sono state evidenziate difficoltà nel ripetere
definizioni di enti matematici, imprecisioni lessicali, pressappochismo nelle risposte, difficoltà a seguire
e a capire un testo o una lista di istruzioni, superficialità e disattenzione nel leggere la consegna di un
esercizio o addirittura nel notare la presenza di tale consegna. In poche parole molte difficoltà di
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linguaggio, a livello grammaticale, ma ancor di più a livello sintattico e nel riconoscere il ruolo relativo
dei vari termini. Questo è vero allo stesso modo per le espressioni pronunciate in italiano corrente, per
le frasi scritte, come per le formule matematiche.
Ora, non era questo un obiettivo primario del tirocinio, né esso si è affermato da subito come mio
scopo, ma essendo al corrente della situazione della classe (e in special modo di alcuni ragazzi) su
questo punto non ho potuto fare a meno di prestarvi attenzione e di notare questo deficit anche nelle
attività che svolgevamo. Parallelamente a questo e ad esso legato, uno dei principali argomenti del
tirocinio era la formulazione e la presentazione dello stesso oggetto (le coniche, l’ellisse) in una
molteplicità di registri linguistici (semiotici) differenti, allo scopo di accrescere la capacità dei ragazzi di
farli interagire, di passare fluidamente da uno all’altro, di imparare
a gestirli e, con essi, a conoscere
l’oggetto (astratto) in maniera più completa. Questo argomento naturalmente presuppone la capacità di
seguire e di gestire i linguaggi, di riconoscere le funzioni dei termini, di saperli utilizzare per formare o
comprendere una sentenza di senso compiuto.
Realizzazione
I miei tentativi sono spesso quindi stati volti da un lato a puntualizzare, ogniqualvolta potessi, la
precisione di una definizione (le ho chieste nella prima verifica - vedi) o a sottolineare l’esattezza di un
termine, dall’altro a integrare e fare interagire tra loro i vari registri (tabelle, disegni, grafici, definizioni,
equazioni, meccanismi tracciatori mobili…) con cui avevamo descritto in momenti diversi le varie
coniche. Esempi tipici di errori che ho incontrato sono ad esempio la mancata lettura (da parte di molti)
della consegna relativa agli esercizi nel foglio preparatorio alla verifica intermedia (la prima frase in alto
che indicava che più risposte potevano essere giuste) o, nella relativa verifica, la domanda VI
dell’esercizio 1, nella quale molti hanno barrato (sbagliando) la 1 e/o la 2, considerando nella 1 il verbo
“tagliano” alla stregua di “taglia”, e nella 2 l’articolo “il” come un “un”. Oppure, ancora, la difficoltà a
seguire
le istruzioni per la costruzione dell’iperbolografo. A livello dell’interazione definizione-disegno
ho
trovato problemi ad esempio nel fare valutare l’appartenenza o meno di certi punti alla parabola,
date direttrice e fuoco (come nell’esercizio V del foglio preparatorio alla verifica intermedia). A livello
del
registro di rappresentazione cartesiana alcuni, alla richiesta di “disegnare l’ellisse di equazione…”,
sono
partiti alla ricerca di tutti i punti dell’ellisse per poterla disegnare correttamente (nonostante ne
avessimo già abbondantemente
parlato e ne avessimo tracciato qualche punto con riga e compasso). A
livello algebrico ho incontrato molti errori di gestione e manipolazione delle equazioni, ad esempio
nell’esercizio 1 della verifica la semplificazione del 4 al denominatore nel primo membro col 4 al
numeratore nel secondo membro, o la delega formale al solo registro algebrico di compiti anche semplici
svolgibili nella compresenza di registro algebrico e grafico (come nella risoluzione solo tramite
51

sostituzione, da parte della totalità dei ragazzi, nell’esercizio 2 della verifica). Mi fermo con l’elenco degli
errori, per descrivere invece alcuni punti dell’attività svolta, su cui vi è da fare qualche annotazione. La
relazione “da esperto” che avevo proposto dopo la gita (insieme alla relazione sul lavoro di gruppo che
però non sono riuscito a far fare) voleva avere anche lo scopo di mettere lo studente “relatore” di
fronte ad una platea di pari che non conoscevano ciò di cui parlava e per cui il suo sforzo sarebbe stato
rivolto a farsi capire da essi, imponendosi quindi scelte precise di linguaggio. Vi è da dire che i ragazzi
(volontari) che si sono offerti per la relazione orale alla classe hanno redatto lavori abbastanza
soddisfacenti, la classe ha partecipato con attenzione ma senza troppe domande (o perlomeno fatte con
discrezione, per non mettere in difficoltà il compagno). Si notava tuttavia la fatica a rivolgersi veramente
alla classe, sia per la presenza mia e della docente a cui veniva spontaneo rivolgersi come in
un’interrogazione (nonostante i miei incitamenti a rivolgersi ai compagni), sia per la mancanza di reale
padronanza, in certi casi, dell’argomento trattato. Ciononostante vi sono state alcune presentazioni in
stile personale, in cui venivano raccontati in un linguaggio colloquiale i propri approfondimenti.
Anche
io personalmente ho usato in certi casi un linguaggio più colloquiale, rilassando certe precisioni e
rigorosità matematiche
allo scopo di farmi capire meglio e di rendere concreta e vicina la materia di cui
parlavo.
In pratica, accanto a puntualizzazioni sul rigore e l’esattezza dell’esposizione da tenere quando
si fa matematica, volte a correggere le disattenzioni o il pressappochismo degli studenti (e quindi ad
esempio avendo ripetuto varie volte quali fossero definizioni accettabili per, poniamo, la parabola) ho
accostato in fase di spiegazione mie espressioni meno matematiche e più vicine al linguaggio naturale
(ad esempio nella descrizione delle distanze e proprietà spaziali).
Valutazione
Se quest’ultima scelta (che mi è parsa “naturale”) mi sembra buona per poter trasmettere “la vita” che si
cela dietro le formule, tuttavia forse ha un po’ involontariamente smorzato il tentativo di “rigorizzare” il
linguaggio dei ragazzi ed avvicinarlo al mondo della matematica istituzionale (è un po’ quel fenomeno
chiamato “paradosso del linguaggio specifico”).
Vi è stato inoltre qualche intoppo per quanto riguarda la descrizione dell’ellisse nel registro algebrico, in
quanto la gestione faticosa dell’algebra da parte degli studenti non ha permesso di dedicare attenzione,
nel tempo che avevo programmato di impiegare, all’esercizio e alla pratica del “cambio di registro” tra
algebra e geometria. Non posso dire quindi di aver avuto modo di far svolgere tutti gli esercizi e le
prove che avrei voluto per abituarli e familiarizzarli alla doppia trattazione dell’oggetto, né che loro
siano riusciti ad acquisire pienamente questa abilità.
Complessivamente, se è impossibile valutare a breve termine competenze così generali come quella
linguistica, si può però dire che per quanto riguarda l’argomento svolto, errori algebrici e di calcolo a
52

parte, la verifica finale ha evidenziato una discreta comprensione degli argomenti svolti e una discreta
capacità di integrazione tra registri semiotici diversi, come avevo cercato di testare ad esempio negli
esercizi 3 e 8. Per quanto riguarda l’esercizio 9, a cui ho accennato nel resoconto nei paragrafi
precedenti, molti errori sono stati dovuti (specialmente nella prima domanda) all’idea che l’ellisse fosse
come formata da un filo o un elastico, che tirato da una parte si restringe forzatamente dall’altra: questo
testimonia una scarsa comprensione da un punto di vista visivo e dinamico del comportamento
dell’ellisse (che non è intuitivo in questo caso, come invece lo è in altri) e di uno scarso zoccolo
algebrico a cui appoggiarsi (bastava la relazione tra i semiassi e i fuochi a descriverne il
comportamento).
Conoscenze e abilità specifiche
Per gli obiettivi e le metodologie relative a questo punto si rimanda interamente al progetto di tirocinio,
al diario di tirocinio, al materiale prodotto per lavori, esercizi e verifiche (tutto questo è in appendice),
oltre che alla descrizione del tirocinio svolta nei precedenti paragrafi. L’apprendimento di tali concetti e
abilità è stato verificato principalmente in due prove da me redatte e corrette e in seguito consegnate
alla classe e discusse e alle quali ho infine attribuito un voto che dipendeva in parte dal raggiungimento
degli obiettivi da parte loro e in parte anche da parte mia, nel senso che ho valutato attraverso esse il
mio operato (se sufficiente o meno a seconda dell’argomento o della procedura particolare) e aggiustato
il voto di conseguenza, eventualmente non contando affatto un esercizio che tutti avevano sbagliato
(come è accaduto
per l’esercizio 7 della verifica finale, in cui avevo sopravvalutato le loro capacità
pregresse
di manipolazione algebrica).
La prima verifica consisteva in due serie di test a risposta multipla, più tre domande aperte (ma con
risposta “chiusa” - cioè c’era una risposta corretta) e un problema. Essa era atta a verificare quanto fatto
nella prima sezione relativamente alle coniche. Riporto in tabella i risultati (che sono stati considerati
dalla tutor validi per l’orale).
La verifica conclusiva invece comprendeva dodici esercizi, di cui due sostituibili con altri due a scelta e
due facoltativi in aggiunta. Uno (l’11) era un problema assegnato ma mai corretto in classe, il 10
consisteva in 3 domande aperte (una chiusa e due libere), mentre l’8 e il 9 erano due serie di domande a
risposta chiusa. Tale verifica, riguardante l’ellisse e la sua rappresentazione in geometria analitica, è stata
considerata valida per lo scritto e i suoi risultati sono in tabella. Come si può vedere il risultato medio è
calato, rispetto alla verifica intermedia (e ciò al di là del
voto assegnato, come già detto).
Le persone che si sono distinte (nel bene e nel male) nelle due verifiche non sono le stesse, se non in
piccola parte, e complessivamente il risultato delle singole persone ha subìto variazioni da una all’altra,
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segno anche della differenza di conoscenze e abilità richieste nelle due prove (su questo si veda uno dei
punti seguenti). Si noti infatti come ad esempio gli studenti n° 8 e 18 e gli studenti n° 2, 10, 12, 15 e 17
modifichino parecchio il proprio risultato tra le due verifiche (in positivo i primi, in negativo i secondi).
Voti ottenuti dagli studenti nelle due verifiche (intermedia e finale): ogni bin comprende i risultati approssimabili
con quel particolare voto (ad esempio il bin 5 comprende i voti dal 4 ½ compreso al 5 ½ escluso). Sono inoltre
indicati per ogni bin dei numeri, ognuno dei quali corrisponde ad uno studente: ciò al fine di evidenziare gli
“spostamenti” di rendimento interni tra le due verifiche
Al di là delle verifiche principali vi sono tuttavia molte altre occasioni per osservare e valutare
l’apprendimento o le difficoltà di apprendimento delle varie nozioni, delle varie terminologie e delle
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varie procedure. Ad esempio durante gli esercizi alla lavagna, o nel ritirare ed esaminare i compiti svolti
a casa. Riporto qui alcune considerazioni (sparse) su fatti che ho notato e che mi sembrano rilevanti.
Quando si affrontano per la prima volta l’ellisse, l’iperbole e la parabola nel piano cartesiano
vengono presentate in genere nella loro forma più semplice (l’ellisse con i fuochi sull’asse x, la parabola
con la direttrice orizzontale, l’iperbole con l’asse orizzontale) anche perché sono proprio queste che
presentano l’equazione più semplice. Dal momento che volevo inizialmente svincolare da qualsiasi
riferimento lo studio delle coniche ed esaminarle puramente come luoghi o come curve su fogli di carta
bianca, ho cercato fin da subito di porre molta attenzione nel disegnarle alla lavagna in modo che si
trovassero disposte secondo svariate orientazioni, spesso appositamente oblique, per rendere bene
questa idea (vedi figure, relative all’iperbolografo a filo e alla costruzione riga e compasso della parabola.
Ho purtroppo mancato di avere questa attenzione anche per l’ellisse, che ho disegnato invece più volte
come in figura, e cioè “orizzontale”.
Nel momento di trattare nel piano cartesiano
l’ellisse con i fuochi sull’asse y
mi è venuta in mente questa mancanza
e ho allora provato, prima di
iniziare, a disegnare sulla lavagna non
quadrettata un’ellisse verticale (v
figura) e a chiedere alla classe se quella fosse un’ellisse: beh, qualcuno ha
risposto “no”!Allora l’ho disegnata un po’ obliqua rispetto all’orizzontale e
ho ripetuto la domanda. Questa volta la risposta è stata affermativa (forse
poiché domanda ripetuta equivale a risposta
sbagliata…- vedi contratto
didattico), ho disegnato i fuochi e ho “trascinato” l’ellisse da “stesa” a “in
piedi”, con i suoi fuochi disegnati (che costituiscono l’appiglio concettuale
in quanto richiamo alla definizione come luogo geometrico
av o
8 ). Questo per dire che si è trattato a mio
viso di un tipico esempio di modello parassita dovuto ad una immagine parziale di un oggett
8 Tra l’altro (per dire quanto l’insegnante possa veicolare messaggi errati senza rendersene conto e quanto lo studente
sia vincolato a rigido nella sua immagine mentale) avevo sempre disegnato i fuochi abbastanza “centrali”: quando si è
andati a misurarne la posizione o a trovarne le coordinate cartesiane e ci si è accorti di quanto più esterni fossero per
55

matematico che, se non messa prontamente “in conflitto” con altre immagini corrette, avrebbe rischiato
di alimentare una misconcezione.
Analogamente ho notato come sia stato un po’ disagevole per taluni pensare agli assi cartesiani su cui
era centrata l’ellisse come delle rette e non come dei segmenti (continuavano a pensarli e a disegnarli
come se fossero gli assi dell’ellisse)
Un’ altra questione a cui accennavo e che riguarda la verifica finale (esercizio 2) è come nessuno
abbia eseguito l’esercizio trovando dapprima (a mente) le coordinate dei vertici e poi decidendo se fosse
necessario utilizzare il calcolo dell’ordinata “per sostituzione” nell’equazione. Tutti si sono
immediatamente affidati alla delega formale, che ha naturalmente reso più complicato lo svolgimento
dell’esercizio e causato numerosi errori (soprattutto quando si doveva affermare una mancanza di
soluzione)
La doppia definizione che è stata data delle coniche (come sezione di cono e come luogo
geometrico) ha prodotto qualche confusione in alcuni (che avevano avuto problemi con la intersezione
di piano e cono): la generatrice del cono è spesso stata confusa con la direttrice della parabola, non solo a
livello lessicale, ma anche a livello concettuale: se la parabola come sezione è prodotta dall’intersezione
col cono di un piano parallelo ad una generatrice finisce che la parabola disegnata è “parallela” alla
direttrice e quindi è una retta parallela all’asse della parabola (incredibile ma vero - almeno questa è la
spiegazione che ne abbiamo dato…)
Di nuovo nella verifica finale (esercizio 3): innanzitutto dire “le distanze dai punti” anziché “le
distanze dai fuochi” mette subito in moto meccanismi e riferimenti concettuali specifici della
terminologia cartesiana: alcuni infatti non riconoscono la definizione di ellisse (per cui la soluzione
sarebbe stata pressoché immediata) e tentano di calcolare la distanza con la “regola della distanza” sul
piano cartesiano; inoltre la stragrande maggioranza pone inconsapevolmente i fuochi sull’asse x anziché
sull’asse y: in questo caso, come nell’es. 5, la rappresentazione grafica non balza subito agli occhi e
sarebbe stato più opportuno da parte mia esplicitare maggiormente il procedimento risolutivo
aggiungendo richieste intermedie, come quella di “disegnare i fuochi…”. In generale forse non è stata
sottolineata a sufficienza la distinzione tra i diversi registri usati, dando ad essi un nome specifico e
richiamandolo ogni volta che veniva utilizzato.
Ulteriori osservazioni sono riportate in appendice, insieme ad alcuni protocolli
degli studenti.
l’ellisse con quella data eccentricità “tipica” del mio disegno, alcuni studenti si sono stupiti e credevano ci fosse un
errore!
56

Altri commenti
Aggiungo qui alcuni cenni ad altri temi emersi nel corso della preparazione, dello svolgimento e della
valutazione del tirocinio.
Accennando all’immagine della scuola degli studenti, vi è da notare che la classe vive l’esperienza
scolastica con una forte componente sociale e relazionale, almeno a quanto ho avuto modo di vedere,
con una bassa competitività tra compagni e poca importanza data al giudizio esterno (gli adulti, i
professori). A livello disciplinare sanno di non essere i più bravi e “si accontentano” (o almeno lo
danno a vedere). Sono invece molto attaccati al voto spicciolo, anche se non fanno tragedie per brutti
voti presi. Tutto ciò vale per tutte le materie (si veda il progetto di tirocinio). Vi sono alcuni meno
“scolarizzati”
degli altri, più rumorosi e agitati, per il cui comportamento e rendimento l’insegnante mi
diceva
avere un ruolo importante la famiglia. Mi sono chiesto però come mai, in assenza di una famiglia
“direttiva”, la scuola dopo tanti e tanti anni non pare aver avuto alcun peso positivo nella loro
educazione, prima ancora che nella loro istruzione. Per quanto mi riguarda non sapevo cosa attendermi
dalla loro risposta in termini di studio, immagine dell’attività e della vita scolastica, immagine del
docente. Per quel poco che mi era dato, il mio tentativo era quello di trasmettere l’immagine di un
docente che non si mettesse “contro” gli studenti, ma che facesse capire la sua volontà di ascoltare e
prendere in considerazione realmente le loro richieste o le loro
difficoltà: questo ha significato per me
non alzare la voce e non fare “ramanzine” in certi momenti, ma piuttosto chiedere spiegazioni su
quanto avvenuto (ad esempio se non avevano fatto i compiti) e portare le mie ragioni. Credo che si usi
troppo spesso la sgridata (a volte come sfogo), mentre funzioni di più e sia più educativo il mettere i
ragazzi di fronte alle loro responsabilità parlando loro e ascoltandoli in quanto persone, appunto,
responsabili. Naturalmente in tutto questo ci vuole una misura che non può che essere acquisita man
mano dall’insegnante. L’ “arrischiarsi” a portarli in gita scolastica (era la prima che facevano in tre anni,
l’avevano sempre saltata per “cattiva condotta” e gli insegnanti che ci hanno accompagnato erano un
po’ tesi per come sarebbe andata) è però ad esempio stata una esperienza molto positiva: il dare loro
fiducia da parte del consiglio di classe è stato premiato dal loro comportamento equilibrato e attento e
questo non può che aver avuto benefici influssi
sul loro rapporto con la scuola oltre che sulla loro
autopercezione. Oltre tutto questo volevo agire sullo scollamento che c’è tra la loro vita vissuta e gli
argomenti
scolastici (si vede che i loro interessi sono in buona parte altri) mostrando, per quanto
possibile,
come la scuola possa anche essere vicina ai loro interessi. Quanto ciò sia riuscito non so.
Quello
che cercavo era perlomeno di privilegiare l’aspetto “interesse e curiosità ” a quello “voto e
giudizio” anche se le domande sul voto (e non sugli errori
commessi) dopo le verifiche sono state assai
pressanti!
57

Un “naturale” timore che non nego di avere avuto (e che credo abbia chiunque si esponga per la
prima
volta ad un pubblico) era relativo al grado di accettazione e di fiducia che la classe mi avrebbe
accordato. Riguardo questo, nonostante creda che in certi momenti, di fronte a consegne che essi
avevano ritenuto troppo ardue,
gli studenti si siano sentiti un po’ a disagio e si siano rivolti alla
professoressa
per avere conferme o aiuti, complessivamente la classe è stata molto “accogliente” col
tirocinante, essendo in generale composta da buoni caratteri e pervasa da un bello “spirito di gruppo”.
Durante il tirocinio ho avuto anche occasione di riflettere su quanto attività e richieste “inusuali”
per gli studenti (per quanto fossero pensate per ampliare l’immagine un po’ monotona e procedurale che
essi hanno della matematica) possano di converso rischiare di minare la loro sicurezza e il loro senso di
padronanza della materia. Il mio timore era che se il senso di “spiazzamento” fosse stato troppo, alcuni di
loro avrebbero potuto perdere la bussola e gettare la spugna, o decidere che non ne valeva la pena. In
effetti in alcuni, specialmente all’inizio, e specialmente in chi sapeva di essere instabile nel rendimento, vi è
stato credo un certo senso di spaesamento: l’abitudine a cercare di capire fin da subito “quello che
l’insegnante vorrà nel compito” (vige infatti un contratto didattico molto forte) ha portato un certo
disagio allo studente quando egli era messo di fronte a ragionamenti o considerazioni che non avevano un
fine preciso (“che cosa debbo studiare, quindi? che cosa debbo sapere, quindi?”) o una applicazione
concreta (“come si fa, quindi?”). Non credo tuttavia che il senso di padronanza ne sia stato intaccato
(l’esperienza è breve), semmai questo fatto può aver determinato un basso coinvolgimento in qualcuno.
Direi però che in alcuni ha stimolato sicuramente la ricerca personale e ampliato qualche orizzonte.
Naturalmente mi riproponevo di mantenere le lezioni e le richieste ad un livello adeguato per la
classe e di pretendere la “giusta” dose di lavoro e impegno personale (né troppo né troppo poco). Se per il
livello di difficoltà non temevo di richiedere troppo, non avendo esperienza di insegnamento e non
conoscendo bene la classe all’opera ero invece senza molti riferimenti per quanto riguarda la gestione della
quantità di lavoro e dei tempi a loro richiesti (nei compiti e nelle verifiche). Il timore era di non saper
sfruttare appieno il ruolo dei compiti a casa. Anche l’organizzazione dei miei tempi (cioè le scelte di
dedicare più o meno tempo ad un determinato argomento o esperienza), pur essendo stata
predeterminata in sede di progetto, ritenevo che sarebbe stata sicuramente da aggiustare. In realtà la
gestione dei miei tempi è stata per me soddisfacente (anche perché flessibile), così pure la mole di
impegno personale a loro richiesto (compiti). Anche il tempo preventivato per le varie attività si è rivelato
per la maggior parte delle volte adeguato (forse un po’ sottostimato quello dedicato ai lavori di gruppo e
globalmente quello dedicato all’algebra). Più spesso invece ho preteso un po’ troppo dalle loro capacità,
sia per sopravvalutazione delle loro conoscenze precedenti (come nel caso dell’esercizio sui triangoli
simili), sia per sopravvalutazione della loro autonomia (o volontà) di gestione di fronte a situazioni nuove.
Ad esempio
la strategia di proporre spesso problemi (più o meno complessi) anziché ripetere esercizi ha
58

tolto
per certi versi ad alcuni di loro la possibilità di partecipazione (oltre che non aumentare il gusto per
l’apprendimento)
Come obiettivo, che sapevo essere “a rischio”, vi era anche quello di permettere di stabilire un
collegamento, un nesso, tra una matematica più “intuitiva” ed una più formale. Senza in verità pormi
troppe domande, ho scelto in certi casi, durante la prima parte del tirocinio, la forma della dimostrazione di
una proprietà già vista intuitivamente, come modo per parlare della relazione tra metodo matematico e
intuito
matematico. Nella seconda parte, più algebrica, tale richiamo e tale sottolineatura ho inteso darla
tramite espliciti richiami alle nozioni e ai metodi di indagine usati nella prima parte: lo scopo era quello,
utilizzando l’algebra su un terreno noto, perché già indagato, di collegare due mondi (uno più intuitivo e
uno più formale) che tendono in genere a rimanere separati. Proprio riguardo ciò mi ero prefisso
l’obiettivo di tenere il più possibile assieme le due parti: temevo che la prima potesse essere vissuta come
un divertente giochino, o peggio come una “vacanza”, e nella seconda si potessero ri-incontrare tali e
quali i soliti problemi. Avevo quindi posto molta attenzione a dosare bene l’impegno richiesto in
entrambe, e a curare i collegamenti concettuali, perché entrambe fossero pienamente percepite da tutti
come vere “ore scolastiche di matematica”, e non vi fosse discontinuità nell’impegno, nell’immagine, né vi
fosse una eccessiva rottura cognitiva tra esse. Se la scelta del procedimento dimostrativo non ha avuto molto
successo per i problemi suddetti, in generale ritengo soddisfacente la realizzazione dei miei propositi sia
nella prima che nella seconda parte (frequenti sono stati gli accenni alla dimostrabilità o meno di quello
che vedevamo, così pure i richiami alla prima parte, e il richiamo all’utilizzo del ragionamento, e non
solo
dell’ applicazione di regole, anche nella seconda). Ritengo inoltre di essere riuscito a richiedere un impegno
costante ed equilibrato tra la prima e la seconda parte e ritengo che l’aver condotto prima estesamente
un’analisi e un’esplorazione dell’ellisse dal punto di vista della definizione, del suo disegno, dei suoi
“movimenti” abbia poi giovato notevolmente all’introduzione della sua equazione e alla sua descrizione
cartesiana: il passaggio è stato rapido e senza problemi, e, finché l’algebra è stata semplice, i ragazzi hanno
svolto gli esercizi senza problemi. Naturalmente però loro sono “duri a intendere”, e come pensavo lo
scollamento (intuito vs. formalismo) in molti di loro permane e la divisione tra le due parti è stata molto
avvertita da alcuni (taluni che hanno subìto un forte disagio e quindi un certo spiazzamento nella prima,
essendo essa non abituale per loro; altri che hanno fatto faville, o quasi, nella prima, e sono tornati ai soliti
meccanismi “di sopravvivenza” e di autodifesa nella seconda). Alcuni (vari) però ritengo siano riusciti a
mantenere l’unità cognitiva e ad integrare le due forme di pensiero. L’impegno è stato comunque variabile
inversamente alla difficoltà percepita (+difficile -impegno) e da parte mia verso la fine ha avuto poco
modo di essere testato regolarmente, per mancanza di tempo.
Se un obiettivo era quello di sottolineare, della matematica che presentavo, anche la dignità
culturale in senso pieno, una modalità che avevo deciso di adottare era quello di non presentarla avulsa dal
contesto storico, ma anzi trattarne esplicitamente qualche aspetto che ne sottolineasse ad esempio
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l’evoluzione del metodo, il procedere continuo e sempre vivo della ricerca matematica e così via. A questo
aspetto, che in realtà mi aspettavo sarebbe stato trattato più diffusamente nella visita alla mostra di
quanto
non è stato, ho dedicato qualche accenno e qualche richiamo (ben riuscito, mi pare, a giudicare
anche da alcune risposte avute in aula e nelle verifiche). In sostanza 1) che la matematica è viva anche oggi
e che non è stato gia tutto scoperto nel passato lo ha ricordato la guida al museo, dicendo che ci sono
problemi ancora aperti anche di semplice formulazione (e ha citato la congettura di Goldbach, e il
premio in palio, tanto che poi uno studente al rientro mi ha chiesto informazioni - forse attratto dal
premio…?); 2) l’utilizzo degli strumenti riga e compasso, oppure la mano libera o ancora un ellissografo,
per disegnare un’ellisse è stato discusso, è stato accennato al ruolo dei primi presso i Greci, il perché si
consideri esattamente un’ellisse quella disegnata da un ellissografo, nonostante l’imperfezione dello
strumento, l’impossibilità con riga e compasso di tracciare tutti i punti dell’ellisse; 3) la differenza tra la
riga e il compasso, mostrando che il compasso non ha la forma della circonferenza che traccia, mentre
la riga possiede già la forma della retta, è stata evidenziata, mostrando la differenza tra un bicchiere e un
compasso (con entrambi si possono disegnare cerchi), e, riferendosi a quanto visto alla mostra, si è poi
passati a parlare dei meccanismi sorti nella rivoluzione industriale per tracciare rette, senza bisogno di rette
generatrici (si era visto il meccanismo di Tchebitchev, di Watt e di Paucellier) al fine del buon
funzionamento delle macchine a vapore; 4) su questo punto si è poi ripercorso quanto brevemente
accennato dalla guida,ovvero il discorso dell’ utilità-inutilità della matematica: se i primi meccanismi
erano imperfetti ma avevano uno scopo pratico (la matematica utile), l’inversore di Paucellier traccia
rette esatte, ma, oltre ad essere di più difficile costruzione, non è stato individuato con altro scopo che
uno puramente teoretico (la matematica inutile, quindi un bel gioco, una bella impresa). I ragazzi paiono
in generale aver recepito e compreso questi aspetti.
Legato all’aspetto culturale della matematica, è stato il tentativo, pur se sporadico, di mostrarne i
legami con altre discipline scientifiche (fisica, astronomia, ingegneria) e non scientifiche (arte, musica)
3.5 Valutazione conclusiva
Credo che per un tirocinante che si appresti praticamente per la prima volta a tenere una serie di lezioni
da lui interamente organizzate e da lui interamente gestite davanti ad una classe, nella sua prima
esperienza
di insegnamento, sia difficile non essere principalmente concentrato su quello che dirà, farà e
su come organizzerà il lavoro proprio e altrui. E questo purtroppo, pur essendo una fase necessaria da
percorrere, va inesorabilmente a detrimento della maggiore attenzione che egli può dare agli alunni, alle
60

loro prestazioni e capacità, e non può non inficiare anche lo schema di valutazione che egli può dare
delle attività svolte, in quanto ogni valutazione è sempre contemporaneamente valutazione del proprio
lavoro, della risposta complessiva della classe e della singola risposta di ogni ragazzo. Se tutti e tre gli
aspetti sono poco conosciuti (il primo per l’inesperienza all’insegnamento del tirocinante, il secondo
perché lo è sempre anche per un docente “navigato”, il terzo per la scarsa conoscenza dei singoli
studenti e della loro storia scolastica che un tirocinante può avere) è ovvio che la gestione
contemporanea di essi non può che essere fortemente influenzata da “aggiustamenti” (o per dirla col
linguaggio delle macchine: meccanismi di retroazione) ed assestamenti tipici del procedere
“interpretativo” (v. ad esempio [5]) di chi sta imparando ad interagire con una situazione nuova non
determinata né determinabile a priori (è lo stesso meccanismo di apprendimento che riconosciamo agire
nei nostri studenti; del resto, in quanto specializzandi, siamo anche noi studenti, e anche per noi
valgono, tali e quali, gli stessi fenomeni e gli stessi schemi teorici che studiamo applicati
all’apprendimento dei nostri studenti).
Anche per me, che mi trovavo nella situazione sopra descritta, la cosa è andata più o meno in questo
modo. In verità qualche esperienza di insegnamento in contesti extra-scolastici ce l’ho (mostre
scientifiche, interventi sporadici in classi per percorsi di laboratorio, progetti di fisica a Mirabilandia…)
e per tale motivo avevo anche alcune attese (positive) riguardo la mia capacità di “tenere una classe”, o
anche di coinvolgere, o addirittura di “sapermi spiegare” (!). Nonostante questo ero ben conscio che
guidare una classe in un’esperienza extrascolastica di due ore è molto diverso dal seguirla in progetto di
un mese e mezzo, scritto, diretto e interpretato da te (per dirla come se fosse un film). Per questo i miei
timori maggiori erano la gestione del tempo, la gestione del loro impegno, l’irrealizzabilità del progetto
come avrei voluto, il rischio di confusione che potevo creare, gli errori strettamente disciplinari che
potevo
commettere, essendo io un fisico e non un matematico. Debbo dire che in entrambi i casi
(aspettative e timori) qualcosa si è verificato e qualcosa no. Ad esempio l’effetto trascinamentoche
avrei
desiderato è stato minore del previsto, mentre come mi aspettavo la classe si è comportata bene e
ritengo
si essere stato in grado di guidarla adeguatamente (spesso), del resto i ragazzi sono stati molto
gentili
e carini. Sono altresì stato soddisfatto del tentativo di gestione del loro impegno personale
(compiti)
che temevo di non riuscire a preparare, ma non del risultato che ciò ha avuto (spesso non li
hanno fatti). Non mi pare di aver commesso
errori o di aver detto cose che generassero confusione,
anche
se come temevo un po’ di confusione si è avuta nella prima parte, specialmente in quanto forse le
mie richieste non sono state a volte troppo chiare… Tutto ciò però ritengo faccia parte anche
dell’esperienza che un insegnante si fa in corso d’opera, e del metro (temporale, di difficoltà, di
chiarezza…) che si costruisce man mano che impara praticamente la professione.
Scendendo per un attimo più sui dettagli del progetto, e confrontandomi con la prassi della
programmazione usualmente seguita (quella del libro di testo, ad esempio), complessivamente ritengo
61

che l’approccio sia complessivamente servito, e che l’introduzione delle restanti coniche sarà ora più
semplice e rapida per l’insegnante. I ragazzi avevano già utilizzato il sistema cartesiano per lo studio
della retta: io mi sono limitato in questo caso a introdurre l’ellisse, a dedicare 5 ore di lezione alla teoria
e agli esercizi riguardanti i coefficienti dell’ellisse in forma canonica, l’individuazione della sua
equazione, qualche esempio di intersezione e l’eccentricità, lasciando da parte la discussione della
tangenza o di ellissi non riferite ai propri assi, o dei fasci di ellissi. Questa parte sarà trattata in maniera
più articolata e approfondita dalla tutor quando la classe affronterà (subito dopo questo tirocinio) la
circonferenza, conica più semplice (e caso particolare di ellisse, come già discusso) e più adeguata ad
esercizi su fasci o tangenze.
62

Conclusioni
Siamo al termine di questa lunga avventura grazie alla quale ho potuto avvicinarmi e toccare con mano
le sfide, le difficoltà, le potenzialità che appartengono alla professione di insegnante. La scuola di
specializzazione ed il tirocinio in particolare hanno contribuito a questo.
Prima di iniziare ero molto curioso di sapere come sarebbe andata: avevo alcune aspettative sul mio
conto e devo dire che la tensione nelle prime lezioni l’ho avvertita. Quello che questa esperienza mi ha
dato è proprio una maggiore concretezza all’immagine che avevo della scuola, dell’insegnamento, di me
che
insegno. Posso ora cogliere meglio quali sono i punti di forza e di debolezza, quali sono le gioie e i
dolori,
le possibilità e i vincoli che si hanno (e che io in particolare posso avere) nell’atto di progettare,
eseguire
e valutare un percorso didattico. È una proiezione nel futuro, quella che faccio, un’idea di
quello
che potrebbe significare per me fare l’insegnante. Sia chiaro: è ben diverso insegnare per un anno
e per 18 ore la settimana dal realizzare un progetto di tirocinio; molti sono i fattori che sono rimasti
esclusi
da questo, come ad esempio la dimensione collegiale e sociale dell’insegnamento. Personalmente
credo di aver avuto fortuna: ho potuto svolgere il tirocinio in una scuola della mia città, e la conoscenza
degli allievi anche in ambiti extrascolastici secondo me ha un peso e un valore; ho avuto come tutor
un’esperta ricercatrice in didattica, la quale mi ha sempre proposto osservazioni utili e azzeccate sulla
classe; ho potuto partecipare ad una gita scolastica, cosa non ovvia per un tirocinio, che mi ha fornito
un’esperienza professionale e didattica ulteriore; ho potuto svolgere un tirocinio su un argomento che
mi appassionava. Nonostante tutto l’esperienza che avrò di docenza sarà diversa, ritengo
profondamente diversa. La cosa che più di tutte credo rischi di scemare negli anni in un insegnante e
che invece ritengo sia da curare è il rapporto vivo e proficuo con altri docenti e ricercatori in didattica
della stessa disciplina: è il modo per mantenere viva la propria consapevolezza, i propri strumenti, e
anche la propria passione. Ad esempio sarebbe bello si potesse continuare a scambiare opinioni,
consigli, riflessioni tra noi colleghi di SSIS o tra noi e i nostri docenti, anche in un futuro in cui saremo
sparsi perle varie scuole del regno. Tra l’altro credo nella figura dell’insegnante-ricercatore e mi
piacerebbe poter accostare in futuro alla pratica del mio insegnamento anche qualche esperienza di
sperimentazione o di riflessione di carattere generale sull’insegnamento o l’apprendimento della mia
materia. Così come spero di poter continuare ad affiancare all’insegnamento anche l’interesse che ho
per la divulgazione e per l’insegnamento della fisica (pur se sporadico) ai bambini delle elementari, nel
quale credo molto. Ci vorrà certamente un po’ di tempo di rodaggio per abituarmi al mestiere di
docente…così come ci vorranno alcuni mesi ora per riavermi dalla SSIS!
63

Bibliografia
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64

Allegati
I

UNIVERSITÀ DI BOLOGNA
SCUOLA DI SPECIALIZZAZIONE PER L’INSEGNAMENTO
SECONDARIO
ANNO ACCADEMICO 2006/2007
Progetto di tirocinio
Percorso di motivazione di una prima Liceo classico:
un approccio allo studio delle coniche utilizzando registri multipli
Specializzando: Stefano Alberghi
Supervisore: Prof.ssa Grazia Grassi
Indirizzo Fisico-Informatico-Matematico
Classe di abilitazione: A049
Scuola di attuazione: Liceo “Torricelli” sez.Classica, Faenza
Tutor: Prof.ssa Laura Giovannoni
III

Finalità dell’insegnamento della matematica
Non è sicuramente questa la sede per una discussione e una trattazione estesa dell’immagine che
possiedo e che ritengo di dover trasmettere della matematica ai miei studenti,
né tantomeno del
contributo che essa può dare alla formazione dell’ individuo: credo che potrei spendere fiumi di
china sull’argomento (e già molti ne sono stati spesi), in quanto molti e molti aspetti andrebbero
affrontati. Rimanderò quindi una elaborazione più approfondita alla tesi: per ora mi limito a
sintetizzare per sommi capi il mio pensiero in quanto segue.
Premetto che, da fisico quale sono, la mia visione della matematica può essere differente da quella
di un matematico. Credo tuttavia che “l’impronta fisica” non possa essere mascherata con
semplicità, e che in fin dei conti debba caratterizzare (e necessariamente
lo farà) il mio
insegnamento. Ritengo in parte di conoscere i limiti di ciò e i rischi che si corrono se il rapporto tra
i due insegnamenti (fisica e matematica) non è ben calibrato e bilanciato (ricordo mi sto
specializzando in Matematica e Fisica), ovvero, ad esempio, il rischio di dare una immagine troppo
“ancillare” della matematica, per non dire strumentale. Spero non
sarà il mio caso. Vorrei però
sottolineare come spesso un “senso fisico” aiuti didatticamente nel
facilitare l’apprendimento della
matematica. Non che la matematica debba vivere del senso che le attribuiscono altre discipline,
ci
mancherebbe, dico però che l’immagine che rappresenta la matematica come linguaggio della
fisica
(per così dire la sua “sorella terrena”), la quale a sua volta non può esprimersi se non attraverso la
matematica, è una chiave di lettura utilizzabile, almeno in un contesto didattico. Insomma: la fisica
e la matematica debbono nutrirsi e giovarsi una dell’altra.
Detto questo, e affrontando più precisamente l’argomento, ritengo che alla matematica si debba
attribuire, specie in ambito educativo, non tanto e non solo un ruolo e una funzione meramente
esecutiva, applicativa e neppure una veste che punti meramente sulla “padronanza” di situazioni,
procedure, concetti. Quello che la matematica può dire e può dare, specialmente in un liceo (e in un
liceo classico!), ma credo in tutti gli ordini di scuola, è ben più profondo: è un senso e un significato
culturale, di altissima impresa dell’intelletto umano, insieme a un senso di stupore per questa
misteriosa legge inscritta nella natura. In un liceo in particolare ritengo addirittura che ciò debba
essere oggetto di esplicita riflessione. La portata culturale deve emergere, ed è questo (anche
questo) che giustifica lo sforzo impiegato dallo studente per il suo apprendimento più concreto e
duro: senza capirla, senza studiarla, non si può capire il suo senso. Sotto questa luce il formalismo
deve prendere luce da un lato dal significato che esso stesso
esprime, dall’altro dalla bellezza e
dall’eleganza
che lo accompagna.
Non
bisogna altresì dimenticare, soprattutto in didattica (ma non solo) del carattere ludico della
matematica,
del suo essere ed essere stato per molti matematici, spesso anche un bellissimo gioco:
del
resto il gusto stesso del giocare è qualcosa di profondamente umano, a tutte le età. Di questa
dimensione
non bisogna, per così dire, vergognarsi come insegnanti, anzi mostrarla e utilizzare tutta
forza
e il vigore che può dare in termini di motivazione ad un giovane studente.
Non starò a ribadire il concetto della estrema rilevanza, se non della centralità, della cultura
scientifica nell’ambito del pensiero moderno e più in generale
della cultura umana di matrice
occidentale, e quindi il problema della scissione
tra cultura umanistica e scientifica e il ruolo
marginale spesso dato a quest’ultima. In un liceo in particolare i valori di entrambe le “culture”
dovrebbero essere integrati, collegati, per far sì che esse possano prendere e darsi l’un l’altro vigore
esignificato.
Ritengo che solo in tale modo lo studio della matematica
possa fornire al discente la capacità di
interpretare il mondo, di agire su di esso e gli possa permettere, insieme
alle altre esperienze e
conoscenze di cui viene via via in possesso,
di conquistare quello spirito critico,
e quella coscienza
delle proprie potenzialità intellettive, e del proprio
status di essere responsabile.
IV

Strategia di insegnamento
Anche
in questo caso le cose da dire sarebbero tante. E una riflessione pedagogica di ampio spettro
sarebbe qui necessaria. Ritengo però che, in questa sede, delineare alcune scelte riguardanti lo “stile
di insegnamento” possa essere sufficiente per indicare o tratteggiare il metodo e la visione del
processo di insegnamento/apprendimento che ho in mente.
Se l’approccio costruttivista è oggi pressoché imprescindibile, nel senso della forte sottolineatura
dell’importanza della partecipazione attiva del discente al proprio cammino di apprendimento e del
conseguente approccio per gradi ai concetti disciplinari, un
insegnante dovrebbe a mio parere
adottare un metodo di conduzione del lavoro in classe il più possibile attento alle premesse da cui i
ragazzi partono, alle loro teorie ingenue, alle loro difficoltà di percorso e considerarsi come guida di
un processo di apprendimento che, pur stimolato, avviene “spontaneamente”. L’errore perciò non
dovrebbe essere punito, censurato o evitato a tutti i costi, ma dovrebbe essere in quest’ottica fonte e
stimolo di migliore comprensione e approfondimento. Specialmente in materie scientifiche gli
studenti dovrebbero imparare a non temerlo e soprattutto a non temere il dubbio o la mancanza di
conoscenza, proprio in quanto questi sono (e storicamente lo sono sempre stati) veicolo di
cambiamento e progresso. Ritengo che anche il docente stesso debba agire nello stesso modo,
permettendosi di riflettere, di sbagliare, e mostrando col proprio insegnamento (che naturalmente
deve essere però il più sicuro possibile nei suoi fondamenti) la dinamicità e il carattere vitale della
matematica (e vale anche per altre materie). Ciò a mio parere consente inoltre allo studente di
mettersi accanto all’insegnante nello sforzo comune di capire, e non contro di esso. Sempre in
questo senso il richiamo alla cooperazione e alla discussione
pubblica tra studenti al fine
dell’apprendimento credo siano tratti importanti.
Il coinvolgimento dello studente a mio avviso è un punto fondamentale del processo didattico e
passa non attraverso semplici trucchi o stratagemmi, né attraverso motivazioni esterne e non
condivise (come punizioni, paura del voto, obblighi o costrizioni eccessive), bensì tramite un reale
tentativo del docente di entrare nel processo di apprendimento del ragazzo, una didattica che aspetti
(o stimoli) la “domanda” prima di dare la “risposta”, che non affretti i tempi, che crei la possibilità
di un ambiente di apprendimento in cui sia condiviso il fine (e lo sforzo per tale fine), che dia senso
e significato a ciò che si spiega, evidenziando e dando peso alle novità, e, non ultimo, che dia spazio
all’entusiasmo, alla curiosità e al reale interesse per ciò che si dice (e questo dovrebbe essere vero
tanto più per l’insegnante). Il docente non deve temere la vivacità (purché sia segno di interesse e
non di disinteresse), credo, quanto la passività. Solo se lo studente è attivo e ciò che apprende è
significativo per lui la sua conoscenza
è duratura.
Credo inoltre che la pluralità e la varietà dell’azione didattica, dei registri, degli strumenti e degli
ambienti utilizzati sia essenziale per parlare a menti tra loro disomogenee e che in fondo anche ogni
singolo ragazzo necessiti egli stesso di una pluralità di approcci che coinvolgano il più possibile
tutti gli aspetti del suo essere (mentale, emotivo, fisico, relazionale…). A tale fine un approccio
embodied all’apprendimento, che usi anche lo spazio fisico, il corpo e i sensi lo facilita e lo rende
solido e fertile.
Per fare un ultimo accenno a ciò che penso possa essere un mio “stile” o una mia personale
preferenza tra le modalità di insegnamento direi che ritengo mi sia congeniale un ambiente ordinato,
in cui l’attenzione è concentrata, e la discussione (anche vivace) si svolga seguendo un percorso
ordinato che coinvolga il più possibile tutti. Come insegnante ritengo quindi di dover tentare di
creare un simile
ambiente, di cercare di guidare una discussione, di dover coinvolgere gli studenti
(ad esempio, chiamandoli spesso a parlare in pubblico o a scrivere alla lavagna) e di stimolare i loro
interventi ponendo quesiti, problemi. Il voto, o la “sgridata” come strumento ritengo possano essere
usati, ma che ciò non debba costituire la norma.
V

Vincoli
Tipo di scuola
All’interno del Liceo Torricelli di Faenza sono presenti quattro indirizzi: classico, scientifico,
linguistico, psico-pedagogico. La classe in cui si svolgerà il tirocinio attivo è una prima liceo
classico (terzo anno). Nel liceo è attivo il percorso sperimentale P.N.I. che prevede lezioni
curricolari di informatica, inglese e storia dell’arte. Le ore di matematica settimanali sono 3.
Nella 1A queste ore sono in orario in tre giorni distinti della settimana (lunedì, martedì e venerdì),
un’ora ogni giorno.
Dotazioni
Nella scuola vi è un’aula di informatica con un computer ogni due studenti, un computer per il
docente e un videoproiettore. Il software installato è adeguato per quanto previsto dal progetto (ad
esempio, è installato Cabri II Plus). La classe è abbastanza abituata a lavorare in laboratorio,
durante le ore di matematica e di altre materie, anche se non ha dimestichezza coi software di
geometria dinamica.
Nell’aula audiovisivi possono essere proiettati film e mostrate presentazioni ecc.; sarà utilizzata per
la presentazione del filmato previsto dal percorso di tirocinio, oltre che, eventualmente, per alcune
dimostrazioni con Cabri.
Qualora all’interno dell’istituto siano presenti strumenti quali il compasso o la riga da lavagna,
questi potranno essere di supporto nel corso del progetto.
La classe
La classe è piuttosto difficile, a detta di quasi tutti i docenti: è composta da ragazzi di buone
capacità, alcuni dei quali anche molto attivi (in altri campi, extrascolastici); la classe ha, tuttavia, un
profitto medio basso in quasi tutte le materie, con alcuni picchi molto bassi. La matematica in
particolare è una delle materie in cui il rendimento è più scarso. Si tratta infatti di una classe vivace,
abbastanza coesa, che accetta di interessarsi ai temi proposti, ma che manca di continuità nello
studio individuale. Anche l’uso del linguaggio, in matematica come in altre materie, è spesso
superficiale e approssimativo e dunque inappropriato. I ragazzi sanno di essere una classe “scarsa” e
di avere questa fama, e ne hanno fatto in un certo senso un segno di identità [sulla classe dal punto
di vista sociologico si veda D’Amore(2005)]. Ciò fa sì che alcune potenzialità non siano messe in
gioco in maniera utile. Gli studenti sono tuttavia molto sensibili al voto negativo, ma per pure
ragioni di convenienza (molti hanno genitori che pretenderebbero molto dal rendimento scolastico).
Il mero interesse per il voto pare essere una manifestazione del “vivere d’espedienti” (nel senso di
vita scolastica) che molti di loro praticano. La classe ha difficoltà nel mantenere un’attenzione
prolungata. Il comportamento
a volte è rumoroso in aula, pur senza l’intenzione esplicita di
ostacolare la lezione o l’insegnante. Tuttavia gli studenti sanno anche essere curiosi, aperti e
sensibili, credo, a sfide culturali di più vasta portata, pur non essendo particolarmente solidi gli
strumenti culturali in loro possesso (i problemi si manifestano dal primo anno - IV ginnasio). In
particolare, in matematica si evidenziano alcune carenze di base di tipo algebrico, incertezze nella
visione del significato degli oggetti matematici, scarsa capacità di uso del linguaggio (specialistico e
non) e di riconoscimento della struttura del linguaggio, nonché una molteplicità di errori nei
trattamenti algebrici e nei concetti di base di geometria. Sicuramente non sembrano credere molto
nelle loro possibilità di capire, padroneggiare o dare
un senso alla matematica.
VI

Il programma
La programmazione
didattica della docente tutor è in allegato. Il progetto di tirocinio, collocandosi
poco
dopo l’inizio
del secondo quadrimestre, cadrà in un momento in cui sono già stati affrontati il
piano cartesiano e la retta, e dovrebbe perciò collegarsi a questo percorso riprendendo, con l’inizio
dello studio di coniche, lo strumento cartesiano che sarà poi utilizzato nel resto dell’anno per lo
studio delle restanti coniche.
Lo stile d’insegnamento dell’insegnante tutor
Alcune
caratteristiche dello
stile di insegnamento dell’insegnante tutor: all’interno o intervallati alle
lezioni “standard”
(che consiste in spiegazione, interrogazione, correzione compiti a casa, esercizi
alla
lavagna)
inserisce momenti di approfondimento (di tipo seminariale, ad esempio) o di tipo
interdisciplinare che ritengo interessino gli studenti, oppure propone attività di ricerca o “creative”
(come, per esempio, la creazione di una presentazione PowerPoint o altro). È inoltre molto attenta ai
singoli studenti, alle loro necessità e al loro rendimento; passa quotidianamente tra i banchi a
correggere o controllare i compiti. Il libro di testo [Dodero e altri, 1999] viene usato come
riferimento per lo studio a casa e per gli esercizi. La tutor dà responsabilità e alcune libertà di scelta
agli studenti, chiedendo loro il parere o i desiderata. Spiega con chiarezza e facendo frequente
riferimento ad altre discipline, in particolare ad altri linguaggi e alle loro strutture. Tollera brusio o
parlottio durante le interrogazioni o gli esercizi, ma ciò non significa dispersione, bensì atmosfera
rilassata, ma collaborativa e attiva, orientata allo scopo perseguito. Chiede agli studenti abbastanza
lavoro per casa, anche se alcuni studenti nella classe 1A spesso non lo svolgono.
Obiettivi
Obiettivi generali
L’obiettivo del percorso didattico previsto nel progetto di tirocinio è duplice:
-principalmente introdurre lo studio delle coniche (e in effetti affrontare lo studio di una di esse su
riferimento cartesiano) puntando sulla pluralità di registri e di rappresentazioni di queste, come di
altre curve [si veda ad esempio D’Amore (1999) per una completa trattazione dell’argomento,
oppure Godino e Batanero 2000, o ancora Radford 2003]. Puntare sull’aspetto grafico, intuitivo e
collegarlo finalmente anche al registro algebrico sarà quindi la strada. Lo scopo è quello di facilitare
la percezione di un “senso” almeno in questo ambito della matematica studiato dagli allievi,
proponendo il più possibile richiami tra un registro e l’altro, di un’evoluzione storica e concettuale,
di una sfida culturale, di un carattere estetico, di una rilevanza nella fisica e nel mondo naturale. Il
ricorso all’intuizione, al significato concreto, all’utilizzo pratico se da un lato è rivolto a dare un
senso all’attività matematica, dall’altro può però rischiare di trasmetterne un’immagine come di
“regno incontrastato dell’intuito” e quindi, nella mente dello studente, regno dell’improvvisazione e
dell’approssimazione (specialmente nella mente di uno studente abituato ad affrontare
superficialmente i problemi e ad accontentarsi dei risultati). È quindi necessario parlare della
matematica (intesa come processo deduttivo, logica, esattezza delle definizioni, necessità di calcolo
e di procedure) come linguaggio o “stile di pensiero” necessario, strumento per fornire basi solide
all’intuizione e per darle, per così dire, legittimità e sostanza. Insomma è necessario procedere su
entrambi gli aspetti (intuizione e formalismo) per colmare uno scollamento, che da una parte lascia
senza strumenti le risorse intuitive e dall’altra lascia senza significato i (perciò gravosi) tentativi di
imparare il formalismo e le procedure [cfr. ad esempio Duval 1996]. A questo scopo
si proporranno
esempi
o esercizi che pur appellandosi inizialmente all’intuito, ne sottolineino anche
l’ inadeguatezza e/o (a volte) l’ingannevolezza;
VII

- in seconda istanza, per quanto si può pensare di riuscire a svolgere nel breve spazio di un tirocinio,
cercare
di intervenire sul processo di motivazione [v. D’Amore e Giovannoni 1997 e Pellerey e
Orio 1996], anche facendo ricorso ad attività a carattere operativo, seminariali e di laboratorio, o di
visita, comunque “interessanti” Si prevede il coinvolgimento degli studenti in giochi/gare, brevi
lavori di gruppo e individuali, approfondimenti/ricerche individuali ed presentazioni orali di queste
di fronte ai compagni. Dovrà essere incoraggiata la partecipazione attiva anche proponendo attività
o esercizi che stimolino il senso
di padronanza e di riuscita. Trasmettere il “senso” di ciò che si
costruisce
o si studia va nella stessa direzione; così pure il riferimento ad ambiti disciplinari più
amati dagli studenti o padroneggiati, quali le discipline umanistiche o la storia dell’arte. La
matematica
sarà proposta come attività culturale, sotto, ad esempio, il profilo storico. In particolare,
un obiettivo è quello di trasmettere il messaggio che si può non vergognarsi di aver studiato o capito
qualcosa di matematica, o magari che addirittura ciò può dare uno “status” intellettuale o culturale
superiore…
Essendo presente una parte più legata alla visualizzazione e che fa ricorso all’operatività ed una più
legata alla formalizzazione (algebrica, ecc), sarà opportuno bilanciare i due aspetti nel tempo,
mantenendo il più possibile costante l’impegno personale richiesto, anche a casa, in linea con
quanto richiesto normalmente dall’insegnante tutor.
-A questi obiettivi si può aggiungere il tentativo di modificare l’immagine della matematica che la
classe possiede, come di una materia scollegata dai problemi reali, che bisogna affrontare per
motivazioni estrinseche (date dai voti, dai genitori) in buona parte non condivise interiormente, per
cui è lecito dedicarsi ad essa investendo uno sforzo minimo. In ciò si risente probabilmente di una
immagine (formata o in formazione) della scuola e dell’apprendimento scolastico, come di qualcosa
di interessante sotto l’aspetto sociale, sì, ma poco vicino alla realtà e alla vita vissuta per quanto
riguarda
l’aspetto culturale. In particolare per quanto riguarda la matematica l’immagine è quella di
una serie di procedure
da seguire, il cui significato non è particolarmente investigato e compreso. Il
comprendere
che, almeno
in qualche ambito, ciò che si fa anche in matematica ha un senso può
tuttavia aprire una finestra su un “altro” modo di interpretare la materia e quindi il suo
apprendimento e gli sforzi richiesti per esso. (Naturalmente, l’insegnante tutor e gli insegnanti delle
altre materie hanno già tentato varie strade, che vanno anche in questa direzione, per cui i risultati di
questo ulteriore tentativo non potranno che essere marginali).
Prerequisiti
Si intende che al momento dell’inizio del mio tirocinio…
…gli allievi conoscano:
-le equazioni e le disequazioni di secondo grado
-nozioni di geometria riguardanti i triangoli, il cerchio, la congruenza, la similitudine
-la definizione di semplici luoghi geometrici (asse, bisettrice, ecc)
-conoscenze di base riguardanti il piano cartesiano
-la retta e la sua equazione in forma implicita ed esplicita
-le formule per la distanza tra punti, tra punto e retta, di retta per un punto
-le condizioni di parallelismo o perpendicolarità tra rette
-le formule per la traslazione di un sistema di riferimento
…gli allievi sappiano:
-costruire semplici luoghi geometrici sul piano cartesiano e individuare la loro equazione
(circonferenza di raggio r centrata nell’origine, asse di un segmento, ecc)
-risolvere le equazioni e le disequazioni di 1° e di 2° grado (e i sistemi di equazioni e disequazioni)
e saperle riconoscere sotto varie forme o rappresentazioni
-dimostrare semplici teoremi di geometria piana e utilizzarli negli esercizi
VIII

-riconoscere le caratteristiche della retta dalla sua equazione e saper passare dal registro algebrico a
quello grafico e viceversa
-utilizzare propriamente le conoscenze di distanza, parallelismo ecc. nei problemi e negli esercizi
sul piano cartesiano
-utilizzare lo strumento informatico e alcuni software
Obiettivi specifici
Conoscenze
-proprietà geometriche (simmetria, congruenze, definizione come luogo, alcuni modi per costruirle)
di alcune curve “celebri” (coniche, spirale, cicloide, cardioide, trattrice, trisettrice…) e nozioni
intuitive e geometriche di evoluta, evolvente, curvatura, inviluppo). [Si veda Cresci(2006) e Faure e
altri (1971)]
-alcune proprietà fisiche (tautocronismo, brachistocronismo, proprietà riflessive, orbite dei
pianeti…) delle suddette curve [vedi Alfieri(2006)]
-aspetti tecnici (curve viste come costitutive di meccanismi,
antenne paraboliche, pendoli…)
-aspetti storici (intesi come storia della matematica) e culturali
In particolare e in aggiunta a quanto sopra, delle coniche:
-modalità di costruzione tramite macchine o con riga e compasso
-proprietà dei fuochi, dei vertici, degli assi, condizioni di costruibilità
In particolare dell’ellisse:
-equazione, significato dei termini e dei coefficienti (e dei loro rapporti, somme e differenze)
-individuazione algebrica delle proprietà (la tangente alla curva, cerchio direttore, riflessività…)
Abilità
-saper costruire e riconoscere le proprietà di luoghi geometrici
-saper riconoscere le proprietà delle figure tracciate da una macchina matematica [v.
Maschietto(2006)]
-saper utilizzare strumenti fisici e virtuali (software) di geometria
dinamica e per rappresentare
curve
sul piano cartesiano
-saper utilizzare
e effettuare trattamenti sull’equazione di una conica e riconoscerne le proprietà
-saper
collocare storicamente lo studio e la soluzione di particolari problemi geometrici
-saper presentare ad altri un problema, la sua soluzione ed il procedimento usato per essa
Contenuti e loro organizzazione
Fasi
L’idea guida è quella rappresentabile con un “tetraedro ribaltato” (v. figura) per
cui a partire da una
varietà ampia di curve, inizialmente come richiamo “interessante”,
affascinante, si affronterebbero
dapprima gli aspetti geometrici, delineando di ciascuna di esse alcune proprietà. In seguito si ridurrà
via
via il campo di studio (da curve generiche alle coniche, ad una particolare conica: l’ellisse)
contemporaneamente espandendo
il numero di modi in cui si può guardare a quella curva
(utilizzando, da un certo punto in poi la notazione cartesiana, come strumento principe) per poi
ritornare alla formulazione cartesiana di alcune curve viste in precedenza.
Ciò come quadro
generale; poi si tratta di inserire, nel delineare l’evoluzione storica, qualche esempio utile a
evidenziare alcuni snodi concettuali. In tutto il percorso si seguirà un approccio di tipo costruttivista
che parta da problemi e fatti familiari agli studenti e miri, passo dopo
passo, a stimolarli ad
IX

espandere le conoscenze che essi già possiedono e quindi a modificare lo stesso modo di guardare
agli oggetti e ai fenomeni (o procedure) già “noti”.
Fase 1 - (esplorativa) Introduzione alle curve e alle macchine matematiche (5-6 ore)
La parte iniziale dell’intervento
in classe ha lo scopo di tentare di suscitare interesse per il tema
della costruzione e definizione di curve. Per quanto limitato sia questo obiettivo, è essenziale
comunque passare per questo
gradino , almeno nel primo stadio. Si farà ciò in vari modi:
-mostrando un breve film (probabilmente “Spirali” se sarà possibile reperirlo) della serie “Artee
matematica” a cura di Michele Emmer e discutendone
-a partire dall’esperienza quotidiana e da oggetti di uso abituale, composti da sistemi articolati che
disegnano
curve particolari (pur non avendo questo come scopo primario). A titolo di esempio: i
sottotegami
allungabili, la cassetta degli attrezzi da lavoro, ecc; comunque materiali che si possano
mostrare
anche portandoli direttamente in classe
-proponendo e risolvendo insieme alla classe
(dimostrazione guidata dallo specializzando)
“semplici” problemi che abbiano come soluzione una curva “celebre” e con determinate
caratteristiche. A titolo d’esempio: la curva disegnata da un gessetto trascinato sul banco attraverso
un
filo teso il cui estremo scorra sul bordo del banco (trattrice), la curva disegnata dal fascio di una
torcia su una parete, ecc
-proponendo come esercizio per piccoli gruppi alcune costruzioni di curve tramite meccanismi [v.
Bartolini Bussi e Maschietto 2006] a filo teso o a segmenti articolati, da realizzare in classe
(realizzazione di un modello condotta dai ragazzi con l’aiuto dello specializzando) e su cui
preparare singolarmente a casa una spiegazione riassuntiva all’interno di una presentazione. A mo'
d’esempio: costruire un pantografo, costruire un meccanismo che tracci una retta, costruire un
meccanismo a filo che tracci una curva in modo che “la somma delle distanza di un suo punto da
due punti dati sia costante” ecc. Questo avverrà attraverso l’uso di materiali cosiddetti “poveri”
come spago, matite, spilli, bastoncini da gelato.
X

-proponendo, seguendo la stessa modalità, di utilizzare solo riga e compasso per alcune semplici
dimostrazioni
-utilizzando il laboratorio di informatica per mostrare e proporre alcune semplici costruzioni
eseguite con Cabri [si veda ad esempio Bartolini Bussi e Maschietto 2006 o Grassi] o con alcune
applicazioni Java disponibili su cd o in rete (eventualmente anche come altro tipo di “ricerca” da
svolgere a casa), chiedendo agli studenti di descrivere le proprietà di una figura data la costruzione
oppure la possibile costruzione data la proprietà.
Naturalmente tutto questo non ha il solo scopo di rendere interessante l’argomento, ma si prefigge
anche l’obiettivo di:
- rinforzare la comprensione del concetto di luogo geometrico
- proporre alcuni problemi come problemi che matematici, tecnici e artisti si sono
effettivamente posti nel corso della storia
- avvicinare la matematica a ciò che si incontra nella vita quotidiana
- dare la possibilità di costruire di persona oggetti (concreti), di formulare congetture e di
costruire definizioni
- cominciare a parlare di coniche e a descriverne alcune proprietà, formulandone la
definizione come luogo geometrico
- facilitare l’approccio a registri diversi (proposizionale, grafico, cinematico) dello stesso
oggetto (la curva)
- puntualizzare il significato di definizione (varie definizioni per la stessa curva)
- puntualizzare sulla necessità del dimostrare deduttivamente una determinata proprietà e del
non potersi avvalere solo del disegno [v. Duval 1996].
A livello di metodologie questa fase comprenderà come detto una visione del filmato,
una parte di
le zione frontale e dimostrazione guidata dallo specializzando, alcuni esercizi o problemi assegnati a
casa per compito (ad esempio: “Se muovo questo punto su questa retta che disegno risulta? Quali
sono
le proprietà della figura rappresentate dal disegno? Prova a formulare qualche ipotesi”,
oppure: “Per ottenere una figura con questa proprietà che meccanismo devo costruire, ad
esempio:usando due aste e una cerniera…”? ), una o più esercitazioni nel laboratorio di
informatica, alcune “costruzioni” date come breve ricerca in classe a piccoli gruppi e discussione in
classe di quanto prodotto. Per quanto riguarda la parte di lavori di gruppo, si vuole permettere ai
ragazzi di maneggiare materiale e costruire “oggetti
matematici” (in linea con un’idea di
insegnamento che usi il corpo e la manualità), scandendo però le attività in diverse tappe di breve
durata (una decina di minuti) e sotto la guida di una scheda predisposta dallo specializzando
contenente istruzioni e semplici domande per stimolare e verificare la comprensione. Le somme
dell’attività verranno poi via via tratte dallo specializzando
stesso, che si occuperà di riassumere
quanto fatto e di pretendere un resoconto dai singoli studenti, la cui preparazione può essere
eventualmente fatta a casa, in base all’attività svolta in classe. Il gruppo si intende quindi solo come
gruppo di esecuzione di attività brevi e predeterminate, la riflessione sulle quali è lasciata al
singolo. Per quanto riguarda invece le dimostrazioni e le esercitazioni con Cabri, dopo una
spiegazione del funzionamento e alcune dimostrazioni che riprendano i problemi già affrontati,
verrà proposto qualche esercizio da svolgere a coppie (in laboratorio) o individualmente (se si
riterrà opportuno farli svolgere a casa, sui computer personali ed eventualmente con software
analogo disponibile gratuitamente in rete). Si valuterà sul momento il grado di familiarità degli
studenti con lo strumento e quindi l’attività’ più adatta da proporre.
Una possibile scansione oraria dei suddetti temi e metodologie potrebbe essere la seguente:
-presentazione, introduzione di alcuni oggetti di uso comune, dimostrazione di alcuni problemi ed
esempi (per casa: ricerca di altri oggetti, problemi)
-visione del filmato, discussione, altri problemi (per casa: problemi)
XI

-costruzioni guidate per gruppi (per casa: relazioni ed esercizi sul lavoro svolto)
-alcune presentazioni, ancora costruzioni, riga e compasso (per casa: problemi)
-dimostrazione con Cabri, esercizio in classe (per casa: esercizio con Cabri)
-controllo compiti esercizio Cabri e prosecuzione progetto
Fase X - Visita alla mostra (1 giornata e 1 ora)
Si prevede di condurre gli studenti ad una visita guidata alla mostra matematica “Oltre il
compasso”, nel “Giardino di Archimede” di Firenze
La mostra affronta un percorso storico articolato del concetto di curva,
che parte dalla classicità (per
questo
si adatta maggiormente ad un liceo classico) fino ad arrivare al novecento e ai frattali. Vi è
anche una sezione di macchine matematiche caratterizzata
da un grande numero di ricostruzioni
storiche di macchine, utilizzabili dai visitatori, in cui possono essere gestite fasi esplorative accanto
afasi di
istituzionalizzazione (lavoro che però dovrebbe essere già stato svolto in classe, seppur con
strumenti rudimentali e/o solo
virtuali). Di questa sezione interessa la semplicità di utilizzo e la
variet à (adattabile a diversi percorsi) delle macchine esposte.
Si ritiene utile e motivante condurre la classe a mostre di questo genere, soprattutto in un percorso
che tratta proprio di questo argomento, per permettere di dare di esso una conoscenza il più
possibile completa, ma soprattutto per fare “uscire” la matematica dal contesto scolastico,
creando
una situazione per gran parte a-didattica, o comunque informale, che, se vissuta con attenzione ed
interesse può senz’altro dare “corpo” a quello che spesso appare
agli studenti ozioso, inutile e
perciò
difficile. Naturalmente l’operazione non è scevra da rischi, essendo la classe per certi versi
poco disciplinata e, in genere, poco interessata alle attività scolastiche (se non per il voto). Per
ottenere la necessaria attenzione, piuttosto che ad una relazione di viaggio, si potrà proporre
qualcosa di analogo ad una sfida tra i ragazzi (es: portarsi a casa tre domande intelligenti; oppure:
preparare al ritorno una domanda difficile, su quanto visto, da porre ai compagni: chi risponde
prende un punto, se nessuno risponde prende un punto chi l’ha fatta…o cose del genere).
Un’ulteriore richiesta che può essere fatta agli studenti è quella di approfondire, in un tempo libero
alla fine della visita guidata, uno degli oggetti o dei meccanismi matematici incontrati e preparare
una spiegazione da esporre ai compagni “facendo finta” di essere la guida museale (“immagina di
essere la guida e di dover spiegare agli studenti in visita il funzionamento di…”). Questo potrebbe
essere fatto con l’aiuto di una scheda guida, realizzata dallo specializzando, e con l’eventuale
richiesta di un testo scritto da presentare all’insegnante, che segua certi punti tracciati (nome,
descrizione dell’oggetto, storia, illustrazione, proprietà geometriche, curiosità…). La realizzazione
di questa spiegazione e di questa relazione dovrà essere fatta a casa, mentre in classe sarà possibile
ascoltare la presentazione orale di qualcheduna di esse.
Come ultima annotazione si sottolinea che una “gita” di questo tipo è anche importante come
momento esperienziale comune finalizzato ad uno specifico scopo, all’interno dell’apprendimento
della matematica. La classe non ha problemi di socializzazione, quindi la visita dovrebbe risultare
un’esperienza piacevole e stimolante proprio anche come esperienza di gruppo.
[Per questa fase vi è da attendere il parere favorevole del consiglio di classe, nonché da verificare la
possibilità pratica di organizzare il viaggio (mezzi di trasporto, insegnanti accompagnatori, ecc). La
classe finora (negli anni del ginnasio) non ha mai fatto gite scolastiche prolungate, come misura
punitiva
per problemi di cattiva condotta. Per quest’anno il consiglio ha approvato per aprile il
viaggio di istruzione (di tre giorni), ma non è scontato che ne possa venire approvato un secondo
(seppure da svolgersi in giornata). In ogni caso la data (e quindi il momento in cui cadrà all’interno
del progetto complessivo) è da definire]
XII

Fase 2 - (l’impresa culturale) Storia dei problemi connessi alle curve e del concetto di curva (2 ore)
Come
premessa, per quanto riguarda il riferimento alla storia, si vuole precisare che non si intende
questo
come un semplice racconto cronologico di fatti o biografie, che correrebbe il rischio
dell’aneddotica: lo scopo è più che altro quello di delineare un’evoluzione storica di concetti e di
problemi,
alla quale agganciare, allorquando è possibile, alcuni cenni storici e biografici, ad
esempio leggendo un testo o una fonte storica originale.
Nello specifico, per questa parte, si ha intenzione in realtà semplicemente di riprendere e trarre
spunto di discussione da quanto appreso sull’argomento durante la visita alla mostra, approfittando
anche delle relazioni portate dagli studenti. In ogni caso, se fossero necessari approfondimenti si
può seguire (tramite lezione frontale, alla lavagna e, possibilmente, tramite dimostrazioni
esemplificative in laboratorio di informatica) la breve trattazione fatta da Giusti [v. Conti e Giusti
1992] o da Cresci [v. Le curve celebri, 2006]. In tal caso a partire dalle costruzioni con riga e
compasso e dai problemi classici sarà delineato quindi un quadro storico della costruzione di curve
con determinate proprietà e di conseguenza si affronteranno in sintesi l’origine del metodo “riga e
compasso”,
con alcune costruzioni, qualche cenno sulla questione dei problemi classici (trisezione,
duplicazione, quadratura) e sulla loro irresolubilità con riga e compasso, eventualmente qualche
esempio di altri modi (classici) per risolvere quei problemi (trisettrice o quadratrice). Si potrà poi
collocare storicamente l’inquadratura del problema delle tre coniche come un unico problema (ad
esempio le Coniche di Apollonio) e, se non ancora fatto in precedenza, vederne la loro costruibilità
(per punti) tramite riga e compasso.
A questo punto, esaurita questa sezione “classica” (rilevante anche sul piano storico e culturale per
allievi di un liceo classico), se non se ne è già parlato durante la visita alla mostra, si colloca
storicamente il piano cartesiano, accennando alla rivoluzione cartesiana, ai vantaggi del nuovo
metodo e approfittando di questo momento per introdurre l’equazione dell’ellisse. In questo modo,
introducendolo nel discorso in atto, ci si ricollega al formalismo cartesiano e algebrico visto in
precedenza.
La trattazione (e la durata) di tutta questa sezione dipenderà in buona parte dalla visita alla mostra,
come detto, e dalla discussione che si spera ne possa scaturire. Il metodo sarà la presentazione dei
lavori e la discussione aperta, permettendosi eventualmente di riprendere con strumenti artigianali,
con riga e compasso o con Cabri alcuni problemi che si considerino ancora poco chiari.
Questa parte “storica” è importante (oltre che in linea con gli obiettivi generali ministeriali per il
Liceo classico, nonché con gli obiettivi dell’insegnamento di matematica esplicitati nel Pof) per
permettere ai ragazzi di inquadrare
-sul piano storico-culturale e
-sul piano della genesi del metodo e del procedere matematico
le procedure e i risultati osservati fino a quel momento. L’osservare i problemi, i metodi, le
conquiste anche dal punto di vista storico facilita notevolmente l’acquisizione di un senso del
perché “si fa così”. Permette di affrontare il problema dei “mezzi” che la matematica
si dà o di cui
dispone
ed eventualmente attualizzarlo. Permette, inoltre, di apprezzare le differenze e le analogie
tra gli aspetti tecnico, pratico e concettuale delle costruzioni.
Fase 3 - Verifica intermedia (2 ore)
Questa verifica intende essere un momento nel quale i ragazzi siano indotti a tirare le somme del
lavoro fin qui fatto
-per quanto riguarda la fase 1 sia a livello di conoscenze apprese sia di acquisizione di concetti
XIII

-per quanto riguarda la fase 2 a livello di comprensione storica.
Consisterà
quindi in alcuni esercizi, scelti tra gli esempi già svolti, in alcuni problemi concernenti il
concetto di luogo geometrico, di tipo quantitativo e qualitativo, e in una parte di “saggio breve” su
qualche
aspetto storico, eventualmente affiancata da alcune domande chiuse.
I risultati della verifica saranno discussi in classe la volta successiva.
Fase 4 - (la formalizzazione algebrica) Studio di coniche sul piano cartesiano (6 ore)
Sarà affrontato lo studio nel piano cartesiano di una conica , l’ellisse. Questa curva è già stata vista
in precedenza come luogo geometrico, in alcuni procedimenti di costruzione, e ne sono state
evidenziate alcune proprietà. Si riprenderanno quindi man mano quelle proprietà (come le varie
definizioni di luogo geometrico che se ne possono dare, l’eccentricità’, ecc.) per verificarle con lo
strumento cartesiano. A partire dalla costruzione effettuata con riga e compasso, operando nel
registro cartesiano, si ricaverà come l’ellisse è rappresentata da un’equazione di secondo grado. Si
affronterà il problema della ricerca delle tangenti ad una ellisse, dal punto di vista algebrico,
visualizzando la situazione con Cabri, questa volta sfruttando la possibilità di scrivere l’equazione
in coordinate cartesiane della curva tracciata.
I principali punti di seguito elencati saranno trattati:
-varie costruzioni dell’ellisse (e della sua equazione canonica)
-assi, simmetrie, vertici, fuochi, eccentricità
-significato dei coefficienti dell’equazione
-intersezione con una retta e tangenza
-proprietà di riflessione
-condizioni per la determinazione dell’equazione cartesiana, fascio di ellissi
-traslazioni applicate ad un’ellisse
(il penultimo punto potrebbe anche essere usato per introdurre il concetto di “grado di libertà”,
facendo vedere attraverso Cabri come una sola condizione dia ancora modo ad un’ellisse di
modificarsi - e con lei la sua equazione - mentre due condizioni la “fissino”. Nella parabola ciò
sarebbe ancora più interessante poiché le tre condizioni permetterebbero di vedere zero, uno, due e
tre gradi di libertà)
Tutta questa fase è caratterizzata da numerosi esercizi dati per casa, eseguiti alla lavagna e
commentati
assieme alla classe. Si cercherà, sempre al fine di non separare in maniera drastica la
precedente parte esplorativa da quella attuale di:
-evidenziare la comodità dal punto di vista tecnico dell’uso delle coordinate cartesiane
-evidenziarne la generalità
-riferirsi spesso a proprietà già
incontrate e a motivare il procedere con la necessità di verificarle o
di dimostrarle in maniera rigorosa
-utilizzare il linguaggio tabulare (per avere la “controprova numerica” di quanto ottenuto per via
algebrica simbolica)
-porre problemi (non meramente esecutivi) da risolvere (singolarmente o in gruppo) in aula
F ase 5 - (all’indietro) Riesame sul piano cartesiano di curve e proprietà già incontrate (1 ora)
Questa breve fase deve servire per allargare
l’uso del registro semiotico del piano cartesiano a una
vastità
di utilizzi che non riguardino solo la particolare conica esaminata. Questo da un lato per non
situare troppo l’apprendimento dell’utilizzo delle coordinate cartesiane “fissandolo” su una sola
applicazione, dall’altro
per riprendere alcuni problemi incontrati in ambito grafico, o proposizionale
e dare ad essi una nuova veste, cioè una nuova forma, una nuova definizione, e una più generale
XIV

soluzione. Si pensi ad esempio alla rappresentazione di qualche curva del periodo classico, o curve
di terzo grado, o altre.
Fase 6 - Verifica (2 ore)
La verifica conclusiva verterà su tutto il lavoro svolto, e cercherà di verificare il raggiungimento
degli obiettivi in termini di conoscenze e di abilità. Verificherà altresì la capacità di saper
muoversi
tra
le diverse definizioni incontrate dello stesso oggetto. Conterrà anche qualche tipo di problema
(che potrebbe anche essere non risolvibile) per sondare, oltre la padronanza dei concetti appresi,
anche la conoscenza in termini più generali del significato concettuale di quanto si é fatto.
L’immagine molto “procedurale” che i ragazzi hanno della matematica e la sua eventuale modifica
può essere indagata appunto con problemi più aperti rispetto ad un esercizio “standard”. Si intende
discutere dei risultati della verifica con la classe, dopo la correzione.
Per quanto riguarda la motivazione non è senz’altro possibile stabilire in un tempo così breve dei
criteri che possano misurare un processo di motivazione in atto, se non attraverso l’osservazione di
alcuni semplici indicatori di “interesse” (interesse che vada al di là della ricerca del voto) i quali
però indicizzano soltanto un interesse contestuale,
legato all’attività particolare svolta, al
tirocinante, ecc.; quindi non indicativi di un più ampio
processo attivo che coinvolga altri momenti
dell’apprendimento della matematica o addirittura di altre materie,
né una diversa disposizione
verso il vivere scolastico. Tuttavia indici come
la partecipazione attiva in aula, la richiesta di
chiarimenti, la disponibilità all’approfondimento
e alla ricerca, la compartecipazione attiva del
gruppo classe alla soluzione di un problema
potrebbero essere semplici osservabili utili allo scopo,
durante tutto il periodo del
tirocinio.
Si intende fare anche una verifica di gradimento del lavoro svolto soltanto se il tempo lo consentirà.
In ogni caso il rapporto con la tutor
è franco e si ritiene che questi aspetti possano emergere
spontaneamente durante e dopo l’esperienza di tirocinio.
Valutazione
Si premette che come delineano vari autori (Arrigo 2003, Fandiño Pinilla 2002 e 2005) la
valutazione è un aspetto importante e complesso del lavoro dell’insegnante. Ogni azione, e in
particolare ogni azione didattica parte da una analisi di una situazione e quindi da una sua
valutazione. Essa deve necessariamente essere un atto consapevole, preparato, e non lasciato
all’improvvisazione, e deve comportare delle scelte precise, se si vuole che l’azione abbia
efficacia.
Ciò che deve essere valutato è molteplice: ad esempio, in un processo di
insegnamento/apprendimento l’insegnante può e deve valutare il proprio operato, i propri rapporti
col discente, il suo apprendimento, il suo rapporto con la disciplina, col docente, coi compagni...
Non solo: deve permettere e stimolare anche lo studente a fare lo stesso, a comprendere il proprio
grado di apprendimento, a sviluppare capacità di metacognizione e di autovalutazione…
Non solo: deve poter dire e dare allo studente un metro e una misura di tutto questo, deve(coni
voti,
ma anche con molti altri strumenti) fornirgli un feedback rispetto al suo impegno e ai suoi
risultati, ed assieme a questo incoraggiarlo e dargli i mezzi per far sì che la parte di valutazione che
dall’insegnante viene esplicitata allo studente favorisca il futuro apprendimento e la motivazione
a
questo.
Come si vede da quanto rapidamente scritto, la valutazione è un processo molto complesso, sotto
tanti punti di vista. (In un tirocinio comunque, a differenza che in una “normale” professione di
insegnante, una grossa riserva di dati osservativi (e di interpretazione di questi) a cui attingere è
rappresentata senz’altro dall’insegnante tutor, il quale da tempo conosce la classe e le singole storie
di ognuno dei ragazzi)
XV

Da parte dell’insegnante la valutazione deve investire il singolo studente, così come il gruppo classe
e deve essere continua e costante, in modo tale da permettere di cogliere tutti gli aspetti utili
all’insegnamento.
Esistono vari strumenti e varie forme attraverso cui la valutazione può essere
costruita
ed espressa (le più usuali sono le verifiche formative, sommative, le interrogazioni) e si è
già descritto precedentemente
come nelle varie fasi del tirocinio queste ed altre forme verranno
impiegate,
contestualmente ad una osservazione degli aspetti di motivazione.
Un ultimo punto che premeva segnalare riguarda quella che si potrebbe chiamare “valutazione a
distanza” (di tempo). Se “la cultura è ciò che rimane dopo che si è dimenticato tutto”, una
valutazione esplicita di ciò che a livello concettuale è rimasto a distanza di tempo
dall’insegnamento di un determinato argomento sarebbe un necessario e utile indicatore
dell’efficacia dello sforzo di apprendimento/insegnamento. Naturalmente ciò non può essere
realizzato in un tirocinio, ma potrà essere un’idea per una futura esperienza di insegnamento.
Bibliografia
-AA.VV. Convegno nazionale “Incontri con la matematica”, Castel San Pietro Terme, 2006
-AA.VV. Piano dell’Offerta Formativa A.S. 2005/2006, Liceo Torricelli, Faenza
-Alfieri A., Curve, inviluppi e altre questioni, Atti del XXVI Convegno UMI-CIIM, Reggio Emilia,
Novembre 2006
-Arrigo G., Definire competenze in matematica - in “Competenze in matematica”, Pitagora, 2003
-Arzarello F., Bazzini L. e Chiappini G., L’algebra come strumento di pensiero. Analisi teoriche e
considerazioni didattiche. Nucleo di ricerca didattica, dipartimento di matematica, università di
Pavia, 1994, quaderno n°6.
-Bartolini Bussi M.G. e Maschietto M., Macchine matematiche: dalla storia alla scuola (libro e cd),
Springer 2006
-Baruk S., Dizionario di matematica elementare, Zanichelli,
1998
-Conti
F.e Giusti E. (a cura di) “Oltre il compasso. La geometria delle curve” - volume della mostra
omonima, Pisa 1992
-Cresci L., Le curve
celebri, Muzzio 2006
-D’Amore
B., Elementi di didattica della Matematica, Pitagora, 1999
-D'Amore B., Oggetti relazionali e diversi registri rappresentativi: difficoltà cognitive ed ostacoli. -
in L'educazione matematica, 1998, n.1
-D’Amore B., Pratiche e metapratiche nell’attività matematica della classe intesa come società - in
La matematica e la sua didattica 2005 n.3, Pitagora
-D’Amore B. e Giovannoni L., Coinvolgere gli allievi nella costruzione del sapere matematico - in
La matematica e la sua didattica 1997 n.4, Pitagora
-Dodero N., Baroncini P. e Manfredi R., Lineamenti di matematica, Ghisetti e Corvi, 1999
-Duval R., Argomentare, dimostrare, spiegare: continuità o rottura cognitiva? - in La matematica
e
la sua didattica, 1996 n.2
-Duval R., Quel cognitif retenir en didactique des mathématiques? Actes de l’Ecole d’été,
1995.
[Trad. It. : la matematica e la sua didattica, 1996, n.3].
-Emmer M. (a cura di) Arte e Matematica - serie di filmati
-Fandiño Pinilla M. I., Curricolo e valutazione in matematica, Pitagora, 2002
-Fandiño Pinilla M.I., La valutazione in matematica e le prove INValSI - in La matematica e la sua
didattica 2005 n.3, Pitagora
-Faure R., Kaufmann A. e Denis-Papin M., Manuale di Matematica, ISEDI, 1971
-Godino J.D. e Batanero C., Significato istituzionale e personale degli oggetti matematici - in La
matematica e la sua didattica 2000 n.3, Pitagora
-Grassi G., La definizione di un oggetto matematico: le coniche - slides del corso di Laboratorio di
Didattica della Matematica
II
XVI

-Guerra L., Educazione e tecnologie, i nuovi strumenti della mediazione didattica, Ed Junior 2002
-Maschietto M., Matematica e macchine: un legame antico e non banale, Atti del XXVI Convegno
UMI-CIIM, Reggio Emilia, Novembre 2006
-Pellerey M e Orio F., La dimensione affettiva e motivazionale nei processi di apprendimento della
matematica - in ISRE 1996 n.2
-Radford L., Gestures, speech, and the sprouting of signs. A semiotic-cultural approach to students’
types of generalization - in Mathematical thinking and learning, 2003 n.5
-Zan R., Problemi e convinzioni, Pitagora 1998
XVII

ALLEGATO AL PROGETTO DI TIROCINIO
Liceo Torricelli – Faenza – Mod “Piani di lavoro” – Anno scolastico 2006-2007
DOCENTE : Laura Giovannoni
MATERIA : Matematica CLASSE 1 A
A. SCANSIONE CRONOLOGICA DEI CONTENUTI DA TRATTARE
Le COMPETENZE
Calcolare in modo efficiente
Risolvere equazioni e disequazioni algebriche
Applicare il metodo deduttivo
Scegliere le procedure risolutive di problemi di geometria con il metodo algebrico o con il
metodo delle coordinate
Utilizzare software opportuno come strumento di apprendimento o di comunicazione
Usare il linguaggio specifico relativo ai contenuti appresi
Collocare i contenuti disciplinari in un quadro storico e culturale più ampio
Il docente:
- Individuerà i saperi minimi all’interno della tabella che descrive le informazioni, i concetti e le
procedure cognitive della disciplina in rapporto alla situazione della classe
- Su questa base negli organi collegiali si verificherà la possibilità di destinare fino al 15%
dell’orario complessivo per attività di recupero, riorientamento, approfondimenti e integrazioni
multidisciplinari.
Le abilità trasversali da promuovere: l’allievo
usa in modo corretto la lingua naturale ed il linguaggio specifico per esporre un argomento
ha acquisito un metodo autonomo di studio
sa operare collegamenti tra i diversi ambiti disciplinari
Gli strumenti:
manuali, fonti on line, calcolatrice, computer.
XVIII

INFORMAZIONI, CONCETTI E PROCEDURE COGNITIVE
INFORMAZIONI CONCETTI PROCEDURE
- Statistica e Probabilità - Evento - Stimare i risultati
di un
- medie
procedimento
- Controllare e giustificare
procedimenti
- Analizzare grafici
-Geometria
sintetica del piano e
dello
spazio
- Logica
-Algebra - Applicare con sufficiente
-Logica - Il codice linguistico algebrico abilità le tecniche del calcolo
- Equazione letterale nella risoluzione di
- Disequazione
equazioni e disequazioni
- Funzione algebriche
- Intervallo
- Rappresentare intervalli
contenuti in R
- Tollerare situazioni
indecidibili
- Geometria analitica
- Informatica
- Trasformazione geometrica
- proporzione
- similitudine
- Dimostrazione
- Inferenza logica
- Piano cartesiano
- luogo geometrico
- Linguaggi e programmi
- Usare la terminologia
propria
dei contenuti appresi
- Operare deduzioni
- Inventare per analogia
- Individuare in un problema le
variabili, i parametri, le
costanti
- Formalizzare un problema
con il linguaggio algebrico
- Utilizzare il metodo delle
coordinate nel piano
cartesiano per la
rappresentazione dei luoghi
geometrici
- Eseguire procedimenti
non
automatizzati
- Scegliere procedure
risolutive
- Usare software opportuno per
risolvere problemi specifici.
- Sintetizzare, schematizzare
- Interpretare grafici
XIX

B .METODOLOGIE DIDATTICHE
In base agli obiettivi educativi del progetto di classe ed alle finalità dell'educazione matematica i
contenuti proposti mirano, oltre che alla formazione culturale degli allievi, al potenziamento delle
loro abilità cognitive e al loro orientamento scolastico, ai seguenti obiettivi: motivazione
degli allievi, misurabile nel piacere di usare le loro conoscenze, nella curiosità, nella
spontanea richiesta di approfondimento, nella consapevolezza della genesi delle idee matematiche
inquadrate storicamente e culturalmente;
fornire un'immagine della matematica
come di una disciplina "positi va " , non solo perché utile, ma
perché riguarda
l'uomo, fa parte della
sua cultura.
A questo scopo i contenuti saranno presentati mettendo in evidenza l'evoluzione del "metodo",
sistemati rigorosamente (definizioni, teoremi) anche se
non sempre nel linguaggio formale; gli
esercizi saranno pensati come applicazione o come esempi di problemi da risolvere
sempre alla luce
delle
nuove conoscenze.
Si solleciteranno
gli allievi a vedere la matematica nel quadro generale
delle altre discipline; a
pensare
la
matematica non come una "verità" data ma come lo sviluppo
stesso delle sue idee; a
riflettere sul fatto che nuove scoperte matematiche sono influenzate o influenzano in generale il
modo di interpretare la realtà; a discutere e a parlare di matematica così come si può
discutere e
parlare
di letteratura.
L'attività didattica si articolerà in lezioni frontali dell'insegnante aperte al dialogo e alla discussione;
oltre
al libro di testo saranno suggerite letture di approfondimento; gli esercizi saranno proposti in
modo equilibrato con il resto in modo da non diventare il solo momento didattico significativo per
gli allievi.
Il profitto raggiunto da ogni allievo espresso in un voto sarà descritto nei giudizi individuali.
È previsto l’uso del computer non solo per le necessità dello svolgimento
del programma di
informatica,
ma anche come strumento di supporto, con un software opportuno, per affrontare
alcune idee centrali in matematica nonché per motivare gli allievi a cooperare,
al rispetto delle
regole
di gruppo, a rispettare tempi di lavoro.
XX

Diario di tirocinio
Ven 23/2
Argomenti trattati:
schematizzazione geometrica di oggetti reali (gli oggetti non sono figure geometriche ma devono
essere schematizzate per diventarlo)
meccanismi articolati, parallelogramma articolato, parallelismo
creazione di curve
cardioide
la definizione (una definizione è un modo univoco per descrivere qualcosa, ci possono essere più
definizioni della stessa cosa)
cicloide (preceduta da congetture su come una bicicletta
potesse disegnare una curva di tale forma)
epicicloide e seconda definizione di cardioide
Materiale usato:
attaccapanni
bilancia
sottotegame
tazze e vasetti
fotocopia (per ogni ragazzo) di un articolo di tuttoscienze sulla cardioide nella tazza
sagome di cartone: cerchi grandi e piccoli con fori, sagoma rettilinea, cerchio grande
Compito dato:
schematizzare il sottotegame e descriverlo geometricamente
portare tre esempi di figure o costruzioni con proprietà geometriche incontrate nella vita quotidiana
Argomenti trattati:
Parallelogramma articolato (ripresa dell’esercizio dato a casa), problemi di schematizzazione
esempi di meccanismi (porta, pistone, treno, tram)
catenaria (cenno)
ipocicloide
coniche come intersezione di piano e cono
breve presentazione gita e compiti per gita
Materiale
usato:
sottotegame
allungabile
spirografo
torcia
elettrica con cono di cartone
foglio
esercizi per casa
Compito
dato:
esercizi
su foglio (compitocurve2) che ritirerò venerdì
Lun 26/2
XXI

Gio 01/3
Argomenti trattati:
Gita
a Firenze.
Visita(1 ora e mezza):
Meccanismi per retta, Inutilità e utilità della matematica, problemi aperti
in
matematica,
Quadrilatero e triangolo
articolato, Coniche: grande cono tagliato, compasso con corda
e ellisse del giardiniere, fuochi ellisse e parabola, proprietà riflessive ellisse e parabola, riflessione
di suono e luce, Cicloide e proprietà brachistocrona, isocrona, e sua evoluta, pendolo cicloideo,
cardioide con raggi bici, spirale Archimede (disco a varie velocità)
e in rocchetto filo.
Tempo libero (mezzora) per approfondimenti individuali.
Materiale usato:
Foglio con consegne per la visita (2 compiti) distribuito in viaggio ad ognuno con la preghiera di
dedicare qualche minuto per leggerlo attentamente
Compiti dati:
Sanno di dovere preparare per domani le tre domande per la sfida
Ven 02/3
Argomenti trattati:
Disfida: col dado da venti sorteggio chi fa la domanda. Un paio di domande libere alla fine. Cerco
di intervenire e spiegare le cose poco chiare. La prof tiene i punti e arbitra con me sulla
giustezza
delle risposte.
Le domande vertono su coniche (proprietà
focali e sezioni, parallelismi ecc), cicloide, epi e ipo-
cicloide e cardioide, sulla spirale di Archimede, sulle loro definizioni e costruzioni
e sulle proprietà
isocrone, brachistocrone, sulla periodicità. Nulla su rette e meccanismi.
Materiale
usato:
Premi:
coni gelato sezionati secondo le tre coniche, cioccolatini
Compiti dati:
Ce l’hanno già
Lun 05/3
Argomenti trattati:
Solo mezz’ora scarsa di tempo, la classe era fuori
ed è arrivata tardi. Volevo anche introdurre le
coniche come luoghi, distribuire i riassunti su esse, eventualmente correggere gli esercizi vecchi e
ritirare le varie relazioni, ma non c’è stato tempo.
Presentazioni approfondimenti
esperti (in aula multimediale).
3 presentazioni PP: Lorenzo
(proprietà ottiche fuochi ellisse, esperimento bacinella: oltre alla
presentazione ha portato una bacinella di forma molto vagamente ellittica, ha parlato dei fuochi,
dello spazio -sistema solare- con il sole
in un fuoco e il pianeta nell’altro!, della luce che esce dal
sole e va a colpire il pianeta…), Carlotta (spirale di Archimede,
storia, molto riferimento alla
mostra, breve, minimale),
Costanza (cicloide, molto approfondita -storia, generazione, quadratura,
macchinario per tracciare…- molto
internet, forse copia incolla, ma esposta bene).
C’è stato tempo per qualche approfondimento sulla spirale (l’insegnante e io abbiamo
brevemente
accennato a spirali non archimedee -nautilus, esempio dei
cani nel cortile, modi greci con sezione
aurea
e riferimento a razionali/irrazionali (approfondimento fatto in 4° ginnasio, che alcuni
ricordavano)-
e a come si tracciano)
XXII

Materiale usato:
Powerpoint su pc con
videoproiettore
Compiti dati:
nessuno, non c’è stato proprio modo
Mar 06/3
Argomenti trattati:
Ritiro relazioni visita (cartaceo e/o elettronico)
Breve correzione di alcuni esercizi dati tempo fa per compito
Costruzione “a occhio”
su lavagna quadrettata di ellisse e iperbole (1 ramo) dalla definizione come
luogo
Cenni a strumenti migliori da usare per essi, ho richiesto
le prossime volte di portare riga e
compasso
presentazione Pietro,
domande
Distribuzione fogli su coniche e richiesta di studio e promessa di chiamare
qualcuno venerdì
Materiale usato:
fogli riassuntivi e illustrati su coniche
ho ritirato le relazioni
(cartacee, a mano o word, +1 cd)
Compiti dati:
Studiare il foglio riassuntivo sulle coniche e sapere le tre definizioni come luogo
Ven 09/3
Argomenti trattati:
ritiro ultime relazioni, redarguisco chi non l’ha (Alceste, Simone)
chiamo a sorte due persone (Gea e Caterina) a dirmi le definizioni di ellisse, iperbole e parabola
come luoghi e a costruirle a mano.
Puntualizzo
le definizioni date, estendo quella data di iperbole, definisco asse della parabola e do il
compito (foglio con esercizi dimostrazioni)
Dico di portare riga e compasso le prossime volte
Materiale
usato:
Foglio di esercizi su dimostrazioni su coniche, distribuito
Ultime loro relazioni
ritirate e alcune anche/solo in formato digitale
Compiti dati:
Esercizi su dimostrazioni
Lun 12/3
Argomenti trattati:
Ritiro ultime relazioni (Alceste e Simone). Di fronte a problemi sulle dimostrazioni date per
esercizio (molti hanno fatto solo la figura) spiego brevemente cosa intendo per “dimostrare”
(ipotesi, tesi..) e rimando a domani la correzione e il ritiro dei fogli.
Dividiamo la classe in 6 gruppi da 3 (per vicinanza di posto), dividiamo i banchi, distribuisco i fogli
e il materiale, spiego cosa c’è da fare (costruzione di un iperbolografo a filo) a più riprese a seconda
delle richieste di spiegazione. Passiamo tra i banchi per spiegare e aiutare.
A chi ha finito dico di pensare a che figura può essere. I gruppi finiscono più o meno insieme.
Per tutto ciò viene impiegata quasi tutta l’ora.
XXIII

Pongo dalla cattedra alcune domande e schematizzo alla lavagna il meccanismo. Tra iperbole e
parabola (proposte da loro) suggerisco iperbole, perché dico che per la parabola bisognerebbe
trovare
la direttrice, mentre qui abbiamo A e B che possono fare da fuochi. Spiego cosa però
bisognerebbe dimostrare
per dire che è un’iperbole, scrivo la formula e suggerisco PA-PB=m-n da
dimostrare a casa. Li lascio col compito
di riscrivere su un foglio lo schema, le proprietà
geometriche,
e rispondere alle domande.
Materiale usato:
Cartoni come base, fogli bianchi, scotch, colla, forbici, spago, puntine da disegno lunghe e corte,
bastoncini del gelato, matita, foglio con istruzioni e domande
Relazioni ritirate
Compiti dati:
finire il lavoro iniziato (su foglio a parte) con schema e risposta alle domande, rifare meglio le
dimostrazioni che c’erano per oggi
Mar 13/3
Argomenti trattati:
Ritiro le dimostrazioni sulla simmetria nell’ellisse (oltre che l’ultima relazione mancante -Matteo).
Commento
sulle relazioni della mostra e sull’uso di internet.
Dimostrazioni e discussione sull’iperbolografo a filo, risposta ad alcune domande, richiesta di finire
a casa (nessuno era comunque riuscito a dimostrare che era un’iperbole e pochi avevano
risposto
alle
domande successive).
Digressione sull’idealizzazione dello strumento a filo e su in che senso è “esattamente” un’ iperbole.
Carlotta volontaria alla
lavagna per la dimostrazione della simmetria dell’ellisse, punto 1. Ci sono
confusioni su ipotesi e tesi, preciso le cose, e viene svolta correttamente.
Digressione breve su dimostrazione e sul fatto che è tra le prime cose che dimostriamo.
Idealizzazione degli strumenti e riferimento
a riga e compasso, come strumenti non perfetti, se non
idealmente (v. relazione Alceste) e a differenza tra compasso e bicchiere.
Costruzione col compasso dell’ellisse, a partire
da due segmenti (2c e 2a) e con punto Q a piacere
che scorre su 2a.
Materiale usato:
Materiale (iperbolografo a filo) prodotto la volta scorsa
Compasso da lavagna
Fogli esercizio parabola riga e compasso
Compiti dati:
Rinvio a venerdì il ritiro degli esercizi sull’iperbole a filo + costruzione a mano di punti dell’ellisse
come fatto in classe + costruzione riga e compasso parabola e dimostrazione (v.foglio)
Ven16/3
Argomenti trattati:
2 ore (per sostituzione insegnante mancante).
Ritiro materiale dato per compito, comunico che oggi abbiamo due ore, chiedo se qualcuno vuole
fare ancora presentazioni (si offrono Laura, ma non per subito, e Simone). Comunico che martedì ci
sarà la verifica. Spiego come sarà e distribuisco il test in preparazione, da fare a casa e che sarà
corretto e discusso lunedì.
In laboratorio per l’ora e mezzo restante costruiamo
riga e compasso la parabola, seguendo le
istruzioni date per compito, nella prima parte insieme, nella seconda parte lascio fare a loro e passo
XXIV

tra i computer. Arriviamo a tracciarla per punti, e arrivo a mostrare il locus. (Le due presentazionile
faremo poi -mercoledì o giovedì?-)
Materiale usato:
Foglio con test su coniche.
Cabri nel laboratorio di informatica, con alcune figure preparate da me e alcune presenti sul
computer
del laboratorio
Compiti dati:
Foglio esercizi a risposta multipla su coniche, studiare le definizioni date di coniche (a memoria) e
ripassare gli esercizi
fatti.
Argomenti trattati:
Correzione alla lavagna del test dato per compito
Alcune
puntualizzazioni
Nota su relazioni di lunghezza tra assi e distanze focali nell’ellisse
Materiale usato:
Foglio riassuntivo su coniche come luogo geometrico
Iperbolografi a filo fatti dai ragazzi
Compiti dati:
Ripasso in vista del compito, aiutato dal foglio riassuntivo distribuito
Argomenti trattati:
Verifica su coniche come luogo geometrico.
Avvisiamo Laura e Simone che domani faranno la loro presentazione
Materiale usato:
fogli verifica
Compiti dati:
nessuno
Lun 19/3
Mar 20/3
Mer 21/3
Argomenti trattati:
relazioni (Simone) su gita e lezione della prof su spirali logaritmiche, fibonacci, sezione aurea
Io ero assente per impegni di lavoro
Materiale usato:
Compiti dati:
nessuno
XXV

Argomenti trattati:
consegna verifiche, discussione, puntualizzazioni
Materiale usato:
foglio costruzione parabolografo
Compiti dati:
parabolografo (costruzione personale facoltativa) e domande (obbligatorie)
simmetria parabola non fatta a suo tempo
Gio 22/3
Ven 23/3
Argomenti
trattati:
correzione dimostrazione parabola
correzione esercizio parabolografo
piano cartesiano: senso, differenza tra retta fuori e dentro un riferimento cart., utilità del p.c.;
costruzione del luogo “asse
del segmento” e equazione risultante; costruzione dell’equazione
dell’ellisse come luogo (non terminata)
Materiale usato:
libro di testo per riferimento
Compiti dati:
finire costruzione
equazione ellisse
studiare pagg 219-221
Lun 26/3
Argomenti trattati:
Ripresa del discorso di venerdì da dove era stato interrotto: equazione canonica dell’ellisse e suo
significato, semiassi e loro relazione con la semidistanza focale, appartenenza
di un punto
all’ellisse,
ellissi “oblique” o verticali, dimostrazione della simmetria attraverso le c.c., disegno del
grafico di un’ellisse.
Materiale
usato:
libro di testo, esercizi
svolti e teoria
Compiti
dati:
studiare teoria pagg 221-223
esercizi pagg 256ss: 1-4, 6-7, 9-11, 19
Mar 27/3
Argomenti
trattati:
Controllo esercizi dati a casa, individuazione di eventuali problemi (es. 19), Lorenzo e Stefania alla
lavagna.
Su correzione es.
19 inserisco mia spiegazione su: spostamento dei fuochi e eccentricità dell’ellisse,
circonferenza
e segmento come limiti dell’ellisse quando i fuochi si spostano, limiti del valore di e,
equazione
della circonferenza, ellisse con l’asse maggiore sulle ordinate, sua eccentricità,
ridefinizione
di a,b,c.
Concordo
la data della verifica finale e do il compito
XXVI

Materiale usato:
libro di testo, esercizi svolti
e teoria
Compiti
dati:
finire teoria pag. 227
esercizio risolto 4 p.225, p.257ss. es. 19 (di nuovo), 22, 29, 32, 37, 38-43, 44, 61
Ven 30/3
Argomenti trattati:
correzione di esercizi alla lavagna su ellisse per un punto, eccentricità, condizioni di esistenza.
Implicazioni di calcolo algebrico (sistemi di equazioni, sostituzione di variabile, disequazioni di
primo grado fratte)
Materiale usato:
esercizi del libro
Compiti dati:
esercizio risolto n.5 pag.225. Esercizi pagg.257ss. n. 21,26,27,29(chi non l’aveva fatto),46,52,62.
Lun 02/4
Argomenti trattati:
Lezione (dimostrazione da parte dello
specializzando) in laboratorio di informatica tramite l’uso di
Cabri: costruzione riga e compasso dell’ellisse, traccia e luogo, variazione del luogo al variare dei
parametri
a e c, verifica della definizione di ellisse come luogo, misura di a e c e calcolo di e e b,
l’ eccentricità e al variare di c e di a, il semiasse b al variare di c e di a, casi limite; oltre il limite (c
maggiore di a): l’iperbole, casi estremi dell’iperbole (una retta - ip.degenere-, due rette parallele),
parentela tra le due curve
e le due costruzioni; ellisse con assi cartesiani, equazione e valore di a^2 e
b^2 e coordinate dei vertici, proprietà ottica dell’ellisse, tangente, perpendicolare e angoli
congruenti; ellissografo di Proclo, proprietà dell’ellisse generata da esso.
Consegna esercizi e dimostrazioni da fare per domani e breve spiegazione di quelli più complessi o
possibilmente ambigui.
Su
loro insistenza: consegna voti della precedente verifica (valida per l’orale)
Materiale usato:
Animazioni Cabri preparate dallo specializzando
Foglio esercizi dati per compito
Compiti dati:
vedi Foglio esercizi ellisse
Argomenti
trattati:
Correzione esercizi e comunicazione di come sarà la verifica
Materiale usato:
libro di testo, foglio esercizi dato ieri
Compiti
dati:
Mar 03/4
XXVII

nessuno, allungherò alla classe un foglio domani con esercizi preparati da me e riferimento ad
esercizi sul libro da fare in preparazione
della verifica
Argomenti trattati:
Verifica finale
Materiale usato:
foglio verifica
Compiti dati:
nessuno
Argomenti trattati:
Consegna
verifica corretta, senza voti, e discussione esercizi ed errori più frequenti
Materiale usato:
foglio verifica ed esercizi in preparazione
Compiti dati:
nessuno
XXVIII
Ven 13/4
Ven 20/4

Materiale utilizzato
XXIX

SAPER OSSERVARE
Quella curva della luce nella tazza
PRENDETE una tazza da tè (quelle in ceramica andranno benissimo) il cui bordo sia circolare e la
cui superficie interna sia riflettente. Mettetela su un tavolo in modo che
al suo interno possano
cadere i raggi luminosi di una lampadina che non si trovi esattamente al di sopra della tazza. Ora
guardate dentro la tazza e noterete ciò che è stato sotto i nostri occhi chissà quante volte e che, per
chissà quante volte, non abbiamo saputo vedere. All'interno della tazza, dovrebbe apparire,
disegnata dai raggi luminosi, una curva che ricorda un tratto della linea che tracciamo quando
disegniamo un cuore. Quando per la prima volta mi accorsi di questa immagine, pensai subito alla
cardioide, curva nota ai matematici sin dal 1600 e così chiamata per la sua forma, somigliante a
quella del cuore. La curva doveva per forza essere generata dalla riflessione della luce sulla
superficie della tazza. Schematizzai e semplificai il problema facendo finta che i raggi luminosi
provenissero da un lampadina posta ad una distanza infinita, ciò permise di considerare paralleli i
raggi incidenti. Con l'ausilio del computer simulai la riflessione di raggi di luce paralleli su un
cerchio riflettente (rappresentante una sezione orizzontale della tazza) e gli feci disegnare
l'inviluppo delle rette rappresentanti i raggi riflessi. La curva che mi si presentò sul monitor fu
esattamente uguale a quella che appariva nella tazza da tè. Non restava che dimostrare che si
trattasse di una cardioide. Consultando i sacri testi di geometria, trovai senza grandi difficoltà
almeno quattro definizioni diverse della cardioide, ma nessuna di queste era interpretabile come
riflessione di raggi paralleli su una circonferenza. Fu quasi per caso, quando ormai stavo per
abbandonare il problema, che mi imbattei in una curva che non avevo ancora mai incontrato: la
nefroide. La sua definizione matematica aderiva perfettamente alle mie richieste: l'immagine che
appare sul fondo della tazza è proprio un arco di nefroide. Il termine «nefroide» deriva dalla sua
forma, che ricorda quella dei reni. Nella tazza da tè si vede solo metà curva, l'altra metà si vedrebbe
se la luce provenisse da una direzione opposta a quella della nostra lampadina.
È interessante notare che, se la sorgente di luce fosse posta esattamente sul bordo della nostra tazza
da tè, allora all'interno si formerebbe una cardioide completa; con un minimo di abilità si riesce a
vederla. Concludo questi appunti diretti agli studenti osservando che possiamo pensare a questa
piccola avventura come a un'ulteriore conferma del pensiero di Galileo secondo il quale: «La
filosofia è scritta in questo grandissimo libro che continuamente ci sta aperto innanzi a gli occhi (io
dico l'universo), ma non si può intendere se prima non s'impara a intender la lingua, e conoscere i
caratteri, né quali è scritto. Egli è scritto in lingua matematica. E i caratteri son triangoli, cerchi, ed
altre figure geometriche, senza i quali mezi è impossibile a intenderne umanamente parola».
XXX
(tratto da “La Stampa - Tuttoscienze”)

1)
Dai la definizione di cardioide
Curve
2) Una epicicloide viene tracciata - come visto in classe - tramite due cerchi di raggio R1 e R2, il
primo dei quali rotola senza strisciare sul secondo, che è fisso. La forma che risulta è
(approssimativamente) la seguente:
Quale è il rapporto tra i raggi R1 e R2? Dimostra perché.
3) Una circonferenza di raggio r = 2cm ruota (sempre senza strisciare) all’interno di una
circonferenza fissa di raggio R = 8cm. Un punto sulla circonferenza di raggio r traccia una curva
(detta ipocicloide) durante il suo moto. Dopo quanti giri completi della circonferenza piccola la
curva “si chiude” (cioè il punto tracciante ritorna alla posizione iniziale)? Traccia un disegno
approssimativo del “fiore” o della “stella” che ne risulta, che sia però corretto dal punto di vista del
numero di “petali”.
Ora supponi che r sia 3cm e R sia 5cm. La curva che risulterebbe sarebbe ancora chiusa, cioè il
punto tracciante tornerebbe prima o poi alla posizione iniziale? Se sì, dopo quanti giri della
circonferenza piccola? Traccia un disegno anche in questo (più complicato) caso.
4) ABDC e CDFE sono due parallelogrammi articolati con il lato CD in comune. Il lato AB del
primo è fissato sul piano, gli altri sono liberi di muoversi. Sul punto F è presente un pennino
scrivente. Se trascino il punto E in modo da fargli seguire i lati di un triangolo (come in figura)
quale disegno risulterà tracciato da F? Perché?
5) Se un giardiniere volesse tracciare per terra un’aiuola a forma di ellisse e avesse a disposizione
soltanto
due pioli da poter piantare e una corda abbastanza lunga (oltre naturalmente ad un lungo
XXXI

chiodo con cui fare il solco nel terreno) come potrebbe fare? Ti vengono in mente dei modi? (sfrutta
la
definizione di ellisse…)
XXXII

Compito n.1
Visita alla mostra “Oltre il compasso” - Giardino di Archimede - Firenze
1 marzo 2007
La (di)Sfida
Riesamina gli oggetti della mostra. Scegline uno (o più di uno) tra quelli che hai osservato insieme
alla guida o all’insegnante e prepara tre domande “intelligenti” o difficili o curiose riguardo essi da
porre agli altri compagni al ritorno in classe.
Devono essere quiz o domande (o indovinelli…) alle quali, se pur difficili, si possa però rispondere
con quanto vi è stato spiegato durante la visita (quindi per le quali sia sufficiente stare ben attenti) o
con ragionamenti che partano da quelle informazioni (e che quindi necessitino di riflessione).
Al rientro in classe si svolgerà una “sfida” per cui se alla tua domanda nessuno sa rispondere ti
aggiudicherai un punto tu, mentre se qualcuno risponde correttamente si aggiudicherà un punto lui.
Vince che totalizza più punti. Ricchi premi!
Compito n.2
Chiediamo all’esperto…
Nel tempo libero alla fine della visita guidata scegli un oggetto che ritieni interessante o curioso (tra
quelli visti insieme o, meglio ancora, tra gli altri presenti nella mostra), e cerca tutte le informazioni
a riguardo, approfondendo eventualmente quanto vi è stato già detto in relazione ad esso.
Al ritorno dovrai:
1) illustrarlo agli altri compagni, fingendo di essere la guida del museo che mostra
quell’oggetto a dei visitatori. Dovrai perciò informarti sul suo utilizzo, capire bene il suo
funzionamento e saperlo spiegare agli altri nella maniera più chiara e semplice possibile. Se
serve, fatti uno schema da mostrare oppure fanne delle fotografie. Gli altri molto
probabilmente non lo conoscono in maniera così approfondita come te, o addirittura non lo
conoscono affatto, quindi è importante che le informazioni che tu dai siano ben
comprensibili.
2) descriverne i vari aspetti in un testo da consegnare all’insegnante seguendo la seguente
traccia:
nome
descrizione accurata
proprietà geometriche
disegno, schema
eventualmente la storia (l’origine, chi l’ha scoperto, come si è evoluto…)
utilità e utilizzo
eventuali curiosità o aneddoti riguardo tale oggetto
eventuali relazioni o nessi con altri oggetti della mostra o oggetti della vita quotidiana
un tuo commento a riguardo
Puoi scrivere a mano, usare Word (o programmi affini), preparare una presentazione con
PowerPoint (o affini). Per il tuo approfondimento a casa puoi naturalmente cercare ulteriori
informazioni su internet. Non importa che quanto scrivi sia lungo, l’importante è che sia
chiaro.
XXXIII

Le sezioni coniche
Le “coniche” sono quelle curve che risultano dall’intersezione di un cono con
un piano (ad esempio l’intersezione di un cono di luce con il piano del muro,
oppure un cono gelato tagliato con la lama piana di un’affettatrice). Siccome si
ricavano tutte con lo stesso procedimento le chiamiamo con un nome unico.
Ciononostante c’è differenza tra alcuni tipi di coniche ed alcuni altri. In
particolare distinguiamo tre famiglie di coniche:
-le ellissi, curve chiuse, che appaiono quando tutti i raggi che formano il cono
intersecano il piano
-le parabole, aperte, che appaiono quando il raggio più esterno è parallelo al
piano
-le iperboli, anch’esse aperte, che appaiono quando il raggio più esterno diverge
dal
piano
Se
pa
allora possiamo
immaginarlo come avente
due “falde” simmetriche e
che si “aprono” in
direzioni opposte 9 però invece che pensare il cono come una serie di raggi (semirette) che
rtono dal vertice del cono stesso, lo pensiamo come una serie di rette che si
incontrano nel vertice,
, di cui
solo una è quella che
abbiamo considerato finora.
In questo caso però, mentre ellisse e parabola
rimangono uguali a prima, nel caso dell’iperbole
appare un’altra intersezione col piano, dovuta al
secondo cono (se da una parte il raggio più esterno del cono diverge dal piano, dall’altra parte
convergerà…). In effetti questa definizione è migliore e più generale, poiché conduce alle stesse curve
che si ottengono
con altre definizioni di ellisse, iperbole e parabola.
Non è infatti
questo il solo modo di definire le coniche.
L’ellisse si può infatti definire partendo da due punti F1 e
F2 detti fuochi
e cercando il luogo dei punti P tali che la
somma PF1+PF2 rimangacostante.
L’iperbole
parte sempre da due fuochi, ma questa volta è la
differenza PF1-PF2
a rimanere costante.
Per la parabola, che come abbiamo
visto nel caso delle sezioni di cono e piano (e
come suggerisce il suo stesso nome) è un “caso limite” sia dell’ellisse, che
dell’iperbole, la definizione data in
questo modo è un po’ diversa: si parte da un
solo fuoco
F e da una retta “direttrice” d; la parabola viene definita come luogo dei
punti P tali che la distanza di P da F sia sempre uguale alla distanza di P da d.
Le tre coniche
- ellisse, parabola e iperbole - sono sicuramente curve molto
“imparentate” tra di loro, come suggeriscono i due metodi di costruzione e come suggeriscono i loro
stessi nomi - “mancanza”, “uguaglianza” ed “eccesso” - usati con lo stesso significato anche quando si
tratta di figure
retoriche o narrative.
9 Apollonio di Perga (II sec a.C.), che studiò le coniche approfonditamente e ci scrisse sopra un famoso testo, ebbe questa
geniale intuizione
XXXIV

Esercizio 1
Dimostrazioni della simmetria di ellisse e parabola
Dimostra che l’ellisse è simmetrica rispetto ai suoi assi AB e MN
ovvero:
1) dimostra che
preso un qualsiasi punto P appartenente all’ellisse, anche il punto P’,
simmetrico di P rispetto all’asse maggiore AB, appartiene all’ellisse.
Per fare ciò disegna il
punto P’ in base alla definizione di simmetria di un punto rispetto ad una retta e dimostra
facendo uso delle proprietà geometriche dei triangoli (che tu conosci) che
P’ fa parte dello
stesso luogo di punti (l’ellisse) a cui appartiene P (usando la definizione di ellisse come
luogo di punti…).
2) Fa’ lo stesso per quanto riguarda la simmetria rispetto all’asse minore
MN
Esercizio 2
Dimostra che la parabola è simmetrica rispetto al suo asse
XXXV

Strumento n.1
Costruzione
XXXVI
Strumenti “a filo teso”
Materiale: un bastoncino da ghiacciolo, dello spago, una puntina da disegno, due puntine più
lunghe,
carta, cartone, scotch
Preparazione:
Prendi un pezzo di cartone abbastanza ampio e incollaci sopra un foglio di carta
bianca. Taglia ora un pezzo di spago di lunghezza circa doppia rispetto al bastoncino da ghiacciolo.
Fai un piccoli cappio all’estremità dello spago ed un altro un po’ prima di metà in modo che il filo
traiduecappi sia un po’ più corto del bastoncino. In una estremità Q del bastoncino da ghiacciolo
infila la puntina da disegno piccola, facendo attenzione a non rompere il bastoncino. Ora inserisci
tra la testa della puntina e il bastoncino uno dei due cappi dello spago e stringi saldamente.
Prendi
ora le due puntine lunghe e infilale da sotto a sopra nel cartone (e nella carta) in due punti non
troppo distanti tra loro. Devi fare in modo che le due punte escano verso l’alto, nel centro del foglio
bianco. Chiamiamo questi due punti fissi A e B. Poni anche il
bastoncino sul foglio in modo che la punta della puntina sia verso
l’alto. Ora aggancia l’altro cappio del filo alla punta B sporgente dal
cartone. Facendo attenzione a non rompere l’asticella inserisci l’altro
suo estremo nella punta rimanente A. Inserisci fino in fondo, in modo
che ruoti comodamente e senza uscire dal perno.
Adesso appoggia la matita al bastoncino (nel punto P) in modo da
tenere ben teso il filo e fa scorrere il “meccanismo” in qua e in là,
avendo cura che la matita resti sempre aderente all’asticella e che il filo
rimanga sempre teso. Poni attenzione a che non si stacchi qualche
puntina…
Osserva la curva che la matita in P traccia, al muoversi dell’asticella
attorno al suo perno A.
Riflessione
1) Quale curva viene tracciata dalla matita? È una curva che conosci?
2) Se chiamiamo m la lunghezza dell’asticella AQ e n la lunghezza del filo BPQ tra i due cappi
(ricorda che n < m) cosa possiamo dire della relazione che sussiste tra PA e PB? Prova a
cercare se ci sono lunghezze sempre
uguali tra loro, anche al muoversi dell’asticella, o se c’è
qualche
grandezza che rimane costante (oltre ad AQ e BPQ): ad esempio la somma o la
differenza di PA e PB…
3) Conosci una curva per cui vale tale relazione tra PA e
PB? Quale ruolo assumono A e B in
relazione a tale curva? E la retta che li congiunge? Quando P si trova su tale retta quale è la
sua distanza dal punto medio del segmento AB? Quale è la sua distanza da B?
4) Se ora tu sciogliessi il cappio dello spago (quello posto in Q) e ne rifacessi un altro oltre la
metà dello spago (in maniera che la lunghezza dello spago tra i due cappi sia maggiore della
lunghezza del bastoncino) poi riponessi il cappio nuovamente in Q e disegnassi la nuova
curva, che cosa otterresti? E se la distanza tra i due cappi fosse uguale alla lunghezza del
bastoncino?

Esercizio
Costruzione della parabola con riga e compasso
Usando solamente riga e compasso esegui la seguente costruzione:
Poni sul piano una retta d ed un punto F non appartenente a d.
Prendi
un qualsiasi punto Q su d.
Costruisci la perpendicolare a d passante
per
Q nel seguente modo:
1. traccia la circonferenza c di
raggio a piacere e individua le
sue intersezioni A e B con la
retta d
2. con centri in A e B traccia due
circonferenze a e b di raggio
uguale (raggio scelto a piacere)
3. individua le intersezioniReS
delle circonferenze a e b
4. conlarigatraccialaretta
che
passa per R e S: questa èla
perpendicolare a d per Q.
Perché?
Ora traccia il segmento FQ
Traccia l’asse del segmento FQ nel seguente modo:
1. costruisci le circonferenze f e q di raggio r a piacere e di centro rispettivamente in F e in Q
2. individua le loro intersezioni
3. traccia la retta che passa per tali intersezioni: essa
è l’asse del segmento FQ. Perché?
Individua ora il punto P intersezione dell’asse di FQ e della perpendicolare a d per Q.
Dimostra che, qualsiasi sia Q, P è un punto della parabola di fuoco F e retta direttrice d
XXXVII

Rispondi alle seguenti domande barrando la risposta o le risposte corrette
(possono essere anche più di una, o nessuna):
I. La parabola è:
1) il luogo dei punti equidistanti da un fuoco fisso F e da un punto fisso H che si trova sulla retta generatrice
2) il luogo dei punti tale che la distanza da un fuoco e da una retta sia costante
3) il luogo dei punti equidistanti da un fuoco e da una retta
4) l’intersezione di un cono con un piano che lo taglia parallelamente
al suo asse
II. In un iperbolografo a filo teso (come
quello costruito in classe) avente fuochi A e B, la matita si trova sempre
in un punto P:
1) equidistante da A e da B
2) tale che la differenza della distanza
di P da A con la distanza di P da B risulta uguale ad un valore
assegnato
3) tale che la lunghezza totale del filo, pur variando, rimane minore di quella del bastoncino
4) che giace sul bordo del bastoncino
III. Si può costruire un’ellisse sia attraverso l’uso di riga e compasso, sia attraverso l’uso di un ellissografo a filo
teso (“ellissografo del giardiniere”). Quale/ i delle seguenti affermazioni è corretta?
1) riga
e compasso sono gli strumenti migliori
disponibili oggi e in assoluto più precisi per disegnare
un’ellisse praticamente perfetta
2) l’ellissografo del giardiniere è lo strumento
migliore disponibile oggi e in assoluto più preciso per
disegnare un’ellisse praticamente perfetta
3) con riga e compasso non posso disegnare
tutta l’ellisse, ma soltanto alcuni suoi punti
4) i punti tracciati con entrambi gli
strumenti sono esattamente i punti dell’ellisse cercata, ma solo in senso
“ideale”
IV. L’asse maggiore
di un’ellisse è:
1) il segmento che passa per il fuoco principale
2) il segmento che passa per i fuochi
3) un asse di simmetria dell’ellisse
4) il luogo dei punti equidistanti dai fuochi
V. Data la retta
d e il punto F (v. figura), quale/i punto/i
non appartengono sicuramente alla parabola di fuoco F e
direttrice d?
1) il punto A
2) il punto B
3) il punto C
4) il punto D
VI. Se la distanza tra due fuochi F1 e F2 è 5 cm:
1) preso un punto generico P appartenente all’ellisse di fuochi F1 e F2, allora PF1+PF2 è maggiore di 5 cm
2) preso un punto generico P appartenente all’ellisse di fuochi F1 e F2, allora PF1+PF2 è uguale a 5 cm
3) preso un punto generico P appartenente all’iperbole di fuochi F1 e F2 allora |PF1-PF2| è costante
4) detti A e B i due punti che risultano dall’intersezione dell’ellisse di fuochi F1 e F2 con la retta passante per
F1 e F2, la distanza tra A e B è minore di 5 cm
VII. Presi tre punti distinti e non allineati L, M e N, tali che L disti 4cm da M e 6cm da N allora:
1) un punto P che dista 9cm da M e 1cm da N appartiene alla stessa ellisse di fuochi M e N a cui appartiene
anche L
2) un punto P simmetrico di L rispetto alla retta passante per M e N disterà 6cm da M e 4cm da N
3) un punto P che disti 4cm dalla retta r passante per M e N appartiene alla parabola di fuoco L e direttrice r
4) un punto P che dista 20cm da M e 25cm da N appartiene ad un’ellisse di fuochi M e N
XXXVIII

L’ellisse
Le
“Coniche”
definite come luoghi geometrici
pag. 1/2
Definizione
Dati
due punti F1 e F2 detti fuochi, l’ellisse è il luogo dei punti P per cui:
(a parole) la somma delle distanze dai fuochi è costante
(in formule) PF1+PF2 = k (con k > 0)
L’asse focale (cioè il segmento AB che passa per i fuochi F1 e
F) 2 si diceasse maggiore dell’ellisse, mentre il segmento MN
è l’asse minore. I punti A,B,M,N si dicono vertici dell’ellisse.
Il punto C è il centro dell’ellisse.
Alcune proprietà
(simmetria) L’ellisse è simmetrica rispetto ai suoi assi.
pio la distanza tra C e F2), a
B) e
i
1) c < a 2) 2a = k 3) c 2 + b 2 = a 2
(relazioni tra distanza focale e semiassi) Detta c la
semidistanza focale (cioè ad esem
il semiasse maggiore (cioè ad esempio la distanza tra C e
b il semiasse minore (cioè ad esempio la distanza tra C e N) s
ha:
Dalla 1) e dalla 2) deriva che la distanza F1F 2 = 2c < k
(proprietà
dei fuochi) Abbiamo osservato che se abbiamo uno specchio di forma ellittica e un raggio di luce che
esce da uno dei due fuochi, tale
raggio riflettendosi sullo specchio ellittico andrà a passare esattamente per
l’ altro fuoco.
L’ellisse può essere costruita per punti tramite il solo utilizzo di riga e compasso, oppure può essere tracciata
interamente servendosi di altri strumenti, come
ad esempio un ellissografo a filo teso (ellisse del giardiniere).
L’iperbole
Definizione
Dati due punti F1 e F2 detti fuochi, l’iperbole è il luogo dei punti P per cui:
(a parole) la differenza
delle distanze dai fuochi è costante in valore assoluto
(in formule) |PF1-PF2| = k (con k > 0)
L’asse focale (cioè la retta che passa per i fuochi)
interseca l’iperbole nei suoi vertici A e B, e si dice asse
trasverso dell’iperbole. C (punto medio del segmento
AB) è il centro dell’iperbole. La perpendicolare all’asse
focale passante per C si dice asse non trasverso.
L’iperbole ha due “rami” distinti, ed è una curva
illimitata (in figura ne è disegnata solo una parte)
Se per i punti P che si trovano su di un ramo
dell’iperbole vale PF1-PF 2=
k, per quelli che
si trovano
sull’altro ramo vale PF2-PF1 = k (ovvero: PF1-PF2 = - k)
Alcune proprietà
(simmetria) L’iperbole è simmetrica rispetto ai suoi assi
(relazioni tra distanza focale e semiasse) Detta c la
XXXIX

semidistanza focale (cioè ad esempio la distanza tra C e F2), a il semiasse maggiore
(cioè ad esempio la distanza
tra
C e B si ha sempre: 1) c > a e 2) k < 2c
L’iperbole
può essere costruita per punti con riga e compasso (ma non l’abbiamo visto) oppure con altri
strumenti, come
ad esempio l’iperbolografo a filo teso.
La parabola
XL
pag. 2/2
Definizione
Dato un punto F detto fuoco e una retta d (non passante per F) detta direttrice la parabola è il luogo dei punti
P:
(a parole) equidistanti dal fuoco e dalla direttrice
(a parole) per cui la distanza di P dal fuoco è uguale alla distanza di P dalla direttrice
(in formule) per cui PF=PQ dove Q è la proiezione di P su d e PQ è la distanza di P da d
La retta perpendicolare a d e passante per F è l’asse della
parabola. L’intersezione della parabola col suo asse è il
vertice V della parabola.
Alcune proprietà
(simmetria) La parabola è simmetrica rispetto al suo asse
(proprietà del fuoco) Abbiamo osservato che se abbiamo
uno specchio di forma parabolica e un raggio di luce che
esce dal fuoco, tale raggio riflettendosi sullo specchio
parabolico si troverà ad essere parallelo all’asse della
parabola.
Si può costruire per punti la parabola con riga e compasso
partendo da un punto Q su d: basta costruire l’asse del
segmento FQ e farne l’intersezione con la perpendicolare
a d per Q: infatti P è tale intersezione, ed è perciò
equidistante da F e da d

ESERCIZIO 1
Rispondi alle seguenti domande barrando la risposta o le risposte corrette
(possono essere anche più di una, o nessuna):
pag. 1/3
Nome ________________ Cognome ___________________
Verifica sulle Coniche
I. L’iperbole è:
1. il luogo dei punti P tali che la distanza di P da due punti fissi è uguale
2. il luogo dei punti P tali che la differenza delle distanze di P da due punti fissi è uguale
3. il luogo dei punti P tali che la differenza delle distanze di P da due punti fissi è costante in modulo
4. l’intersezione
di un cono con un piano parallelo alla generatrice del cono
II. Il vertice di un ramo di un’iperbole dista 3 cm daunfuoco
1. allora esso dista 3 cm anche dall’altro fuoco
2. allora i fuochi distano tra loro più di 3 cm
3. allora i fuochi distano tra loro meno di 3 cm
4. allora il vertice dell’altro ramo dell’iperbole dista
dall’altro fuoco 3 cm
III. Se F1 e F2 (v. figura) sono fuochi di un’iperbole non
degenere, quale/i dei seguenti punti non appartiene
sicuramente all’iperbole?
1. il punto A
2. il punto B
3. il punto C
4. il punto D
IV. Il vertice della parabola dista dalla direttrice
1. esattamente quanto dista dal fuoco
2. esattamente quanto il fuoco dista dalla direttrice
3. esattamente metà di quanto il fuoco dista dalla direttrice
4. esattamente il doppio di quanto il fuoco dista dalla
direttrice
V.
Se su di un segmento AB scelgo un punto Q, e su un secondo segmento MN traccio le circonferenze di
raggio AQ e BQ con centri rispettivamente sugli estremi M e N, come deve essere la lunghezza del segmento
MN perché a partire da ciò si possa costruire per punti un’ellisse di fuochi M e N?
1. uguale ad AB
2. maggiore di AB
3. minore di AB
4. non ha importanza, qualsiasi lunghezza è corretta
VI. L’asse minore di un’ellisse è:
1. il luogo dei punti che tagliano l’ellisse in due
2. il segmento perpendicolare all’asse maggiore
3. il più corto tra i due segmenti che congiungono vertici opposti dell’ellisse
4. l’unico segmento che passa per il centro dell’ellisse ed ha estremi sui vertici dell’ellisse
VII. Se la distanza tra due fuochi F1 e F2 è 10 cm:
5) preso un punto generico P appartenente all’iperbole di fuochi F1 e F2 allora |PF1-PF2| è minore di 10 cm
6) preso un punto generico P appartenente all’ellisse di fuochi F1 e F2, allora PF1+PF2 è uguale a 10 cm
7) preso un punto generico P appartenente all’ellisse di fuochi F1 e F2, allora PF1+PF2 è maggiore di 10 cm
8) detti A e B i due punti che risultano dall’intersezione dell’ellisse di fuochi F1 e F2 con la retta passante
per F1 e F2, la distanza tra A e B è minore di 10 cm
XLI

ESERCIZIO 2
Rispondi alle seguenti domande barrando la risposta corretta (una sola):
VII. Data una parabola e dette A e B le intersezioni della parabola con una retta parallela alla direttrice e
passante
per il fuoco, si ha che il punto della parabola più vicino al fuoco è
5. il punto A
6. la proiezione di B sulla direttrice
7. il vertice
8. il fuoco stesso
XLII
pag. 2/3
I. Il compasso e la riga sono due strumenti che tracciano curve (rispettivamente circonferenza e retta). Essi
differiscono tra loro in quanto:
1. la retta non è una curva
2. col compasso si possono tracciare circonferenze
infinitamente grandi mentre col righello non si possono
tracciare rette infinitamente lunghe
3. la riga ha già in sè la forma della retta, mentre il compasso non ha in sé la forma della circonferenza
4. la riga è più precisa
II. Se la distanza di un punto P di un’iperbole dai fuochi è rispettivamente di 6 metri e 4 metri, la distanza tra
i
due fuochi è
1. minore di 2 metri
2. maggiore di 2 metri
3. uguale a 2 metri
4. minore della distanza tra i vertici
III. Dati due punti A e B, il luogo dei punti equidistanti da A e B è:
1. un’iperbole
2. una parabola
3. un’ellisse
4. una retta
IV. Data una retta r, un punto A appartenente alla retta e un punto B non appartenente ad essa; tracciata la
perpendicolare p a r per A, e tracciato l’asse a del segmento AB; allora il punto P intersezione di a e di p
1. appartiene alla
retta r
2. appartiene alla parabola di fuoco B e direttrice r
3. appartiene all’ellisse di fuoco B
4. appartiene all’iperbole di fuochi A e B
V. In una camera di un palazzo rinascimentale viene eseguito
per il Duca un brano musicale. La camera (vedi
figura)
ha la volta ellittica. Se il suonatore di
liuto
viene posto nel punto P, dove è opportuno
venga
fatto accomodare il Duca perché possa
ascoltare al meglio l’esecuzione?
1. nel punto A
2. nel punto B
3. nel punto C
4. nel punto D
VI. Data una parabola e dette A e B le
intersezioni
della parabola con una retta parallela alla direttrice e passante per il fuoco, si ha che il punto della
parabola più vicino alla direttrice è
1. il punto A
2. la proiezione di B sulla direttrice
3. il vertice
4. il fuoco

Rispondi alle seguenti domande aperte:
I. Dai la definizione di parabola
ESERCIZIO 3
________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________
II. Dai
la definizione di ellisse
________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________
III. Se A e B sono due punti del piano, descrivi a parole e fa’ uno
schema del metodo che utilizzeresti per
tracciare l’asse del segmento AB, usando solo riga e compasso.
________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________
pag. 3/3
PROBLEMA (facoltativo)
Se un’ellisse ha l’asse maggiore che misura
2a, la distanza tra i fuochi pari a 2c e l’asse minore di lunghezza 2b,
pro e che b definizione di ellisse per un punto P dell’ellisse
che si trovi in corrispondenza di un estremo dell’asse minore…) [svolgere l’esercizio sul retro del foglio]
2 +c 2 = a 2 va a dimostrar
. (Suggerimento: utilizza la
XLIII

XLIV
Strumento n.2
Costruzione
Strumenti “a filo teso”
Materiale: spago, due strisce di cartone dai bordi rettilinei, due puntine lunghe, carta, cartone, scotch
Preparazione: Prendi un pezzo di cartone abbastanza ampio e incollaci sopra un foglio di carta
bianca. Traccia un segmento (che rappresenterà la retta r) sulla parte inferiore del foglio di carta.
Attacca con lo scotch al cartone grande una delle due strisce di cartone in modo che il suo bordo
rettilineo superiore coincida con la retta r (fai attenzione però a lasciare libero dallo scotch tale
bordo). Taglia ora un pezzo
di spago lungo poco più della seconda striscia di cartone, e fai due cappi
ad una distanza tra loro esattamente uguale alla dimensione della striscia. Punta ora una puntina ad
una estremità della striscia in modo che stia il più vicino possibile al bordo lungo rettilineo (punto
Q). Rivolta ora la striscia e appoggiala sul banco in modo che la punta della puntina sporga verso
l’alto. Allo stesso modo (dal basso verso l’alto) punta l’altra puntina nel cartone (e nella carta) inA
in modo che A non sia troppo
distante da r. Lega ora i due cappi
dello spago alle puntine in A e Q.
Riflessione
Accosta le due strisce di cartone
come in figura in modo che quella
mobile possa traslare su quella
fissata al banco. Poni la matita in P
in modo tale che la matita tocchi
sempre la striscia di cartone e
mantenga ben teso lo spago. Ora
spostainquaeinlàlastrisciadi
cartone mobile, facendo attenzione
che le due strisce rimangano sempre
adiacenti e perpendicolari l’una
all’altra, e che non si stacchino lo
spago e le puntine. Osserva la curva
che la matita forma nel suo
movimento.
1) Quale curva viene tracciata dalla matita? È una curva che conosci?
2) Come si può dimostrare che è proprio quella? Quali proprietà ha questa curva? Prova a cercare
quantità che rimangono costanti o grandezze che rimangono congruenti tra loro, nonostante il moto
e il variare della disposizione degli oggetti…Considera le distanze di P dai vari elementi del
meccanismo (il punto A, il punto Q, la retta r). Ricorda che, proprio perché l’abbiamo costruita
così, la striscia nera verticale (v. figura) è lunga quanto la corda APQ…
3) Quale ruolo ha A in relazione a tale curva? e la retta r? E la perpendicolare ad r passante per A?
4) Quando P si trova su tale perpendicolare, a quale distanza si trova da r? e da A?
5) Se ora spostassi il punto A più in alto o più in basso come cambierebbe la curva? Prova…

Costruzione
della parabola con riga e compasso
Costruzione dell’ellisse come luogo geometrico
Eccentricità dell’ellisse
Costruzioni con Cabri
(figure tratte da progetti mostrati o eseguiti in aula)
Costruzione dell’ellisse con riga e compasso
XLV

Proprietà di riflessione dei fuochi dell’ellisse
L’ellisse nel piano cartesiano
Ellissografo di Proclo
XLVI

Esercizi
Esercizio 1
Si consideri l’ellisse di equazione x 2 /9+y 2 /4=1. Tracciarne il grafico (su carta quadrettata).
Determinare le coordinate dei punti dell’ellisse che hanno:
a) ascissa pari a 2
b) ascissa pari a 22
c) ascissa pari a 3
d) ascissa pari a 4
e) ascissa pari a 0
f) ascissa pari a -5
g) ascissa pari a -1
e tracciare tali punti sul grafico.
Esercizio 2
I. Determinare il numero dei punti di ascissa pari a k che appartengono
a) alla retta y = 4x+5
b)
all’ellisse x
Discutere
2 /2+y 2 /3=1
la soluzione al variare di k.
h) ordinata pari a 2
i) ordinata pari a 3
j) ordinata pari a 2
k) ordinata pari a 0
l) ordinata pari a -2
II. Fare lo stesso per i punti di ordinata h-1 (discutendo la soluzione al variare di h)
Esercizio 3
Dato un segmento di lunghezza a+b i cui estremi A e B
siano vincolati agli assi cartesiani (A sull’asse delle
ordinate e B su quello delle ascisse) e possano scorrere
liberamente su di essi e preso un punto P(x,y) tale che PA
= a e PB = b, dimostrare che tale punto, al variare della
posizione del segmento, si trova sempre sull’ellisse di
equazione x 2 /a 2 +y 2 /b 2 =1
(suggerimento: proiettare P sugli assi e considerare i
triangoli simili che risultano dalla figura…)
Esercizio 4
Dato un segmento AB di lunghezza fissa AB i cui estremi
siano vincolati agli assi cartesiani e possano scorrere
liberamente su di essi, si consideri la retta su cui giace tale
segmento; preso un punto generico P(x,y) su tale retta tale
che PA = a e PB = b, dimostrare che tale punto, al variare
della posizione del segmento, si trova sempre sull’ellisse
di
equazione x
(suggerimento: anche in questo caso proiettare P sugli assi
e considerare i triangoli simili…)
2 /a 2 +y 2 /b 2 =1
Esercizio 5
Sia dato un meccanismo articolato come in figura, con il
punto O fisso nell’origine degli assi, il punto B libero di
scorrere sull’asse x e il punto H che funge da snodo tra i due
segmenti OH e HB. Sia inoltre OH = HB. Sulla semiretta (di
origine H) su cui giace il segmento HB si prenda un punto
generico P(x,y) tale che PB = b e PH + HO = a, si dimostri
che tale punto P, al variare della posizione di B sull’asse x,
si trova sempre sull’ellisse di equazione x 2 /a 2 +y 2 /b 2 =1.
Esercizi dal libro
Esercizio risolto pag. 226 n.7
Esercizi pagg. 256 e seguenti,
nn. 5, 36, 45, 48, 56
XLVII

Esercizi in preparazione
della verifica sull’ellisse
Esercizi
dal libro di testo
Pagg. 256 ss. , esercizi n. 8, 12-14, 17, 18, 23, 28, 30, 35, 49, 57, 60
Ripassare (o riprendere, se non lo si e’ fatto prima) lo svolgimento degli esercizi gia’ visti, in particolare i nn. 5,21,37,42,45,49,61,62
Esercizio 1
Nel piano cartesiano siano
dati i punti A(-3,2) e B(3,2). Si verifichi che l’origine O degli assi
appartiene all’ellisse di fuochi A e B e asse
maggiore di lunghezzaparia 213 (ricorda la definizione di ellisse com e luogo geometrico…)
Esercizio 2
Sull’ellisse di semiassi a e b e riferita ai propri assi si prenda un punto generico P(x,y). Dimostrare
che il suo simmetrico rispetto agli
assi appartiene ancora
all’ellisse.
Esercizio 3
Se
in un’ellisse riferita ai propri assi,
con i fuochi sull’asse x, aumento la distanza tra i due fuochi tenendo costante la lunghezza del
semiasse maggiore,
allora:
1) la lunghezza del semiasse minore [aumenta] [diminuisce] [rimane costante]
2) l’eccentricita’ [aumenta]
[diminuisce] [rimane costante]
3) la distanza del fuoco di ascissa
positiva dal vertice di ascissa positiva [aumenta] [diminuisce] [rimane costante]
4) la distanza del fuoco di ascissa positiva
dal vertice di ordinata positiva [aumenta] [diminuisce] [rimane costante]
5)
l’area dell’ellisse [aumenta] [diminuisce]
[rimane costante]
6) la somma delle distanza di un punto dell’ellisse dai fuochi [aumenta] [diminuisce] [rimane costante]
Esercizio 4
2 2
Verificare che la retta x - 2y = 4 e’ tangente all’ellisse 3x + 4y = 12 e trovare il punto di tangenza. Scrivere poi l’equazione della
bisettrice dell’angolo F1PF2 dove F1 e F2 sono i fuochi dell’ellisse
(Aiutarsi tracciando il grafico dell’ellisse, la tangente nel punto
trovato e i segmenti PF1 e PF2. Ricordare poi la proprieta’
di riflessione dell’ellisse…)
[(1,-3/2); y = -2x + 1/2]
Esercizio 5
I pianeti del sistema solare seguono orbite ellittiche, con il sole che occupa uno dei due fuochi dell’ellisse.
a) Sapendo che il semiasse maggiore dell’orbita terrestre
e’ circa 150 milioni di km e che la sua eccentricita’ e’ 0,02, calcolare la
distanza tra i due fuochi dell’orbita ellittica terrestre e calcolare
(con la calcolatrice) il suo semiasse minore
[distanza tra i fuochi: 6 milioni di km; semiasse minore: 149 969 997 km]
b) Sapendo che il semiasse maggiore dell’orbita
ellittica di Plutone misura 6 miliardi di km, e che la distanza tra i due fuochi misura 1,5
miliardi
di km calcolare (senza calcolatrice) l’eccentricita’ dell’orbita di Plutone e il suo semiasse minore
[e = 1/4; semiasse minore = (3/2) * 15 miliardi di km]
c) Tra la Terra e Plutone, quale delle due orbite e’ più “schiacciata”
? Quale e’ meno eccentrica?
Esercizio 6 (con qualche indizio in più)
Sia dato un segmento di lunghezza a+b i cui estremi A e B
siano vincolati agli assi cartesiani (A sull’asse delle ordinate
e B su quello delle ascisse) e possano scorrere liberamente
su di essi. Si prenda un punto P(x,y) tale che PA = a e PB =
b. Siano H e K le sue proiezioni sugli assi.
Considerando i triangoli simili APH e PBK e chiamando d il
lato
BK si trovi il valore di d considerando noti a, b e x.
Applicando
al triangolo PBK il teorema di Pitagora si
dimostri poi che
il punto P, al variare della posizione del
segmento AB, si trova sempre sull’ellisse di equazione
x 2 /a 2 +y 2 /b 2 =1
Esercizio 7
Sia data l’ellisse di equazione x al variare di k, il numero di intersezioni che essa ha con:
na intersezione; per |k| = 3 si ha 1 intersezione; per |k| < 3 si hanno 2 intersezioni]
[nessuna intersezione per k > 6 o k < -4; una intersezione per k = 6 o k = -4; due intersezioni per -4 < k < 6]
2 /9+y 2 /25=1. Si determini,
1) la retta x=k
[per |k| > 3 non si ha nessu
2) la retta y=k-1
Esercizio 8
Un’ellisse ha i fuochi in (0,2) e (0,-2) e un suo punto P ha coordinate (3,2). Determinare la lunghezza dell’asse maggiore e le coordinate
dei vertici di ascissa nulla (utilizzare la definizione di
ellisse come luogo geometrico e le proprieta’ conosciute…)
[8;(0,4) e(0,-4)]
XLVIII

pag. 1/2
Classe 1A Nome____________________________ Cognome___________________________________________
Verifica di Matematica
Esercizio 1
Utilizzando i quadretti del foglio come unità di misura e riferendosi ad un sistema di assi cartesiani xOy tracciare l’ellisse
2
2 y
di equazione
x 4 . Determinare poi le coordinate dei fuochi e disegnare anch’essi sul grafico. Determinare infine
4
l’eccentricità di tale ellisse e la lunghezza dell’asse maggiore.
Esercizio 2
2 2
Considera l’ellisse x y 1.
Individua l’ordinata dei suoi
punti di ascissa uguale a 1/2
di ascissa uguale a 3
Considera l’ellisse 1
2 3
y x
2 2
. Individua l’ascissa dei suoi punti di ordinata uguale a 1
di ordinata uguale a 3
Esercizio 3
Scrivere l’equazione del luogo dei punti la somma delle cui distanze dai punti (0,2) e (0,-2) è uguale a 10
*Esercizio 4
Scrivere l’equazione dell’ellisse riferita ai propri assi, con i fuochi sull’asse delle ascisse, il cui semiasse maggiore misuri
7
4 e la cui eccentricità sia 16
Esercizio 5
3
Scrivere in forma canonica l’equazione dell’ellisse riferita ai propri assi e passante per i punti (1, 2)
e (-2,0). Trovarne poi
le intersezioni con le bisettrici dei quadranti e calcolare l’area del quadrato che ha per vertici tali intersezioni.
*Esercizio 6
2 2
n’ellisse ha equazione 1
71 43
y x
U . Individuare le coordinate cartesiane di un suo punto a piacere che si trovi nel II
quadrante e determinarne la somma delle distanze di tale punto dai fuochi.
Esercizio 7
2 2 2
Determinare per quali valori
di k la curva ( k 1)
x ky k k rappresenta un’ellisse riferita ai propri assi; scrivere
tale
ellisse in forma canonica.
Determinare per quali valori di k tale ellisse ha i fuochi sull’asse y.
Determinare poi per quale valore di k l’ellisse diventa una circonferenza.
Determinare infine per quale valore di k la distanza tra i fuochi è uguale a 1 e per quale valore di k essa è uguale a
2.
XLIX

pag. 2/2
Esercizio 8
S ia dato un sistema di assi cartesiani e si considerino due punti distinti qualsiasi A( , ) e B( , ). Indicare se le
seguenti affermazioni sono vere o false:
1. Il luogo dei punti per i quali la somma delle distanze da A e B è costante
è un’ellisse [V][F]
2.
2 2
x y
Un’ellisse di fuochi A e B è scrivibile nella forma 2 2
a b
1
[V][F]
3. Se P(x,y)
appartiene ad un’ellisse di fuochi A e B allora ( x ) ( y ) ( x ) ( y ) [V][F]
4. L’asse minore di tutte le ellissi che hanno A e B come fuochi è perpendicolare al segmento AB [V][F]
5. Esiste una sola ellisse di fuochi A e B [V][F]
6. Presa un’ellisse di fuochi A e B tutti i suoi punti P di coordinate (x,y) sono tali che
L
(
2
2
2
2
x ) ( y ) ( x ) ( y ) = k con k costante per tutti i punti P dell’ellisse. [V][F]
Esercizio 9
Se in un’ellisse
riferita ai propri assi, con i fuochi sull’asse x, aumento la lunghezza del semiasse maggiore tenendo
costante la distanza tra i due fuochi, allora:
1) la lunghezza del semiasse minore [aumenta] [diminuisce] [rimane costante]
2) l’eccentricità [aumenta] [diminuisce] [rimane costante]
3) la distanza d1 del fuoco di ascissa positiva dal vertice di ascissa positiva [aumenta] [diminuisce] [rimane costante]
4) la distanza d2 del fuoco di ascissa positiva dal vertice di ordinata positiva [aumenta] [diminuisce]
[rimane costante]
5) il rapporto d1/d2 [aumenta] [diminuisce] [rimane costante]
6) la somma delle distanze di un punto dell’ellisse dai fuochi [aumenta] [diminuisce] [rimane costante]
[ legenda: A = aumenta, D = diminuisce, C = rimane costante]
Esercizio 10
1)
Che cosa si intende quando si parla di “ellisse riferita ai propri assi”?
2)
Ritieni che si possa scrivere un’equazione per un’ellisse non riferita ai propri assi?
3) Scrivi qual è secondo te l’utilità di usare il piano cartesiano quando si esamina un’ellisse.
* *Esercizio 11
D ato un segmento AB di lunghezza fissa AB i cui
estremi
siano vincolati agli assi cartesiani e possano
scorrere liberamente
su di essi, si consideri la retta su cui
giace tale segmento; preso un punto generico P(x,y) su
tale retta tale che PA = a e PB = b, dimostrare che tale
punto,
al variare della posizione del segmento, si trova
2 2
x y
sempre
sull’ellisse di equazione 1
2 2
a b
**Esercizio 12
2 2
Trovare per quali valori di m l’ellisse di equazione 2x
y 2 ha punti in comune con la retta y
x m

LII
Materiale prodotto dagli studenti

Una relazione sulla costruzione dell’iperbolografo a filo - pagina 1
Questo protocollo riguarda la relazione relativa alla costruzione dell’iperbolografo a filo teso. È molto ben illustrato,
anche se è uno dei pochi in cui il procedimento è stato descritto in dettaglio. Notare come alla fine (foglio3) l’iperbole
è “l’unione delle due curve” ottenute facendo il segno con la matita da una parte e dall’altra della puntina. Lo studente
pare intendere la curva come se fosse esattamente conclusa nel segno tracciato e non proseguisse in qualche modo
oltre esso (non pare cioè interpretare il segno come “parte visibile” della curva, ma come la curva stessa). Ciò si vede
ancora meglio nel protocollo successivo.
LIII

LIV
pagina 2
pagina 3

In questo testo tratto da una relazione si può vedere come la linea “iperbole” abbia una lunghezza e possa essere più
lunga o più corta:
Alla domanda 4 sullo scambio di lunghezze (si veda il testo) viene risposto “iperbole opposta”:
Esempio di confusione tra retta generatrice e retta direttrice, nella doppia definizione di parabola
(tratto dalla verifica sulle coniche)
Avevo preparato l’esercizio seguente per lanciare anche un collegamento con l'ambito musicale, e comunque con
un’applicazione reale della proprietà di riflessione dell’ellisse. Ma la “forzatura del reale” forse è stata eccessiva e la
risposta data dall’alunno è stata quella matematicamente più “errata”, ma probabilmente la più giusta dal punto di
vista “pratico”…:
LV

LVI
Tratto dalla verifica intermedia: lo studente denota difficoltà nella comprensione
della logica del procedimento di costruzione con riga e compasso
…come sopra

Questo studente dimostra invece una decisa propensione per la dinamica processuale,
la descrizione è meticolosa, non affrettata e molto analitica
LVII

LVIII
Qui invece, a parte l’errore grossolano di scambiare i fuochi con i vertici, entra un’eco dello schema mentale dello
studente: tutto è racchiuso nella “legge dell’ellisse”…
(tratto dall’esercizio sulla dimostrazione della simmetria dell’ellisse dato per compito)
Anche qui: idem a sopra (tratto da una relazione di approfondimento sulla visita alla mostra)

Esempio di “matematichese” (avevamo sottolineato molto, io e la tutor, la corretta definizione di epicicloide: “è la curva
tracciata da…”, per evitare i soliti “è quando…” o “se fai girare un cerchio…”).
Anche questa è tratta da una relazione d’approfondimento
Ci sono anche buone ricerche che mettono in luce applicazioni tecniche interessanti, ad esempio la seguente relazione
che riguardava la “legge della parabola”:
Infine vi è da notare come alcuni studenti abbiano considerato la “domanda libera” presente nella verifica finale come
una cosa di secondaria importanza, atipica e marginale, tanto da non rispondervi…:
…o addirittura da chiedersene il motivo e il senso:
LIX

LX
Foto di gruppo della 1A in gita
con tutor e tirocinante

Articolo apparso in Aprile su SetteSere, settimanale faentino, e redatto da due ragazze della 1A
LXI

LXII
Progetto di Tirocinio Virtuale in Fisica
“Educazione Fisica”: corpo e movimento
nell’insegnamento della cinematica
Specializzando: Stefano Alberghi
Supervisore: Prof. Giovanni Pezzi
Classe A049

Riflessioni sulla fisica, la sua immagine, il suo insegnamento
Naturalmente non è possibile in poche pagine delineare con
accuratezza il proprio pensiero sulla
fisica; pensiero che investe necessariamente ed è investito dall’immagine
che se ne ha, la quale a
sua volta determina inevitabilmente l’immagine che se ne intende trasmettere in una prospettiva
educativa e formativa. Per parlarne, tra l’altro, sipotrebbe e si dovrebbe risalire alle origini della
immagine che della fisica ci si è costruiti durante gli studi, dapprima di materie scientifiche
alle
scuole dell’obbligo, poi propriamente di fisica al liceo e all’università e infine all’esperienza che se
ne
è avuta come insegnanti o come ricercatori o come semplici utilizzatori (in vari campi
lavorativi).
Certamente le riflessioni sulla didattica della fisica svolte nel corso della SSIS hanno
aiutato
a riportare alla mente l’esperienza di studente e stimolato una visione più consapevole dei
propri
processi di avvicinamento a questa disciplina. A proposito di SSIS, personalmente mi sono
reso
conto in questo tempo, ma non era una sorpresa, di quanto spesso si “rischi” di trovare molta
più
“fisica” nelle discussioni di didattica, di epistemologia e di storia della fisica, di quanta ahimé a
volte
se ne possa trovare “facendola” direttamente, la fisica. Questo da un lato perchè il pensare la
fisica
in termini didattici comporta necessariamente una distanza critica, una visione critica dei suoi
fondamenti,
una valutazione della sua “comprensibilità” alla mente del discente (e continuiamo tutti
ad
esserlo, discenti), un approfondimento dei suoi aspetti storici, un approccio anche
epistemologico
ad essa. Dunque una visone più completa, più unitaria, più profonda di essa.
Dall’altro
riconosco che il “fare fisica”, pur se consente di conoscere da vicino le frontiere della
disciplina
e di partecipare del suo sviluppo, oggi spesso rischi di ridursi ad una gara di corsa svolta
in ambiti a volte troppo angusti, per cui nella ricerca il destino che attende molti è quello di divenire
degli alienati incolti, come li chiama G. Toraldo di Francia [2] (e quanto questo influisce
sull’immagine della fisica che “passa” nella stessa università!) Concordo naturalmente
quindi con
Tarsitani
[1] quando ricorda che “il modo di studiare, interpretare e comprendere la disciplina
di un
insegnante
non è paragonabile a quello di un comune ricercatore in un ramo speciale di quella
disciplina”.
Naturalmente questa non è una regola: non c’è, credo, un motivo fondamentale
concettuale
(se non sociale o economico) per cui debba avvenire ciò. Non ci sono, cioè, ragioni di
principio
e naturalmente per fortuna non sempre avviene così. Del resto anche nella ricerca, così
come
nell’insegnamento, una consapevolezza storica, didattica ed epistemologica credo non sia solo
utile,
ma necessaria (al di là del successo o della buona riuscita che la storia può attribuire, “contro
ogni
metodo”…). E in fondo ritengo vero quel che si afferma quando si dice che “solo chi è in
grado
di spiegare una cosa a sua nonna, l’ha realmente compresa”.
È in fin dei conti una questione che coinvolge l’aspetto culturale della fisica, più che quello
funzionale, o tecnico,
aspetto che dovrebbe perciò essere patrimonio della cultura del comune
cittadino,
anche di quello “non scienziato”. La scuola di base ha questo compito primario, tanto più
se
si rivolge a persone che non faranno i fisici. È sicuramente una sfida di grande portata.
Le
altre scienze forse perchè meno legate alla matematica, e poiché parlano dunque un linguaggio
più “usuale” e più immediato (nel senso che
non comporta un particolare studio del linguaggio
stesso) hanno gioco più facile ad essere comprese
ed integrate nella “cultura”. La fisica, per il
rapporto privilegiato e unico che ha con la matematica, è spesso rifiutata dall’intelletto non
addestrato, percepita come distante, fredda, ecc.
Ritengo
sia tuttavia più facile per la fisica che per la matematica affrontare questa sfida culturale, in
quanto la fisica è in se stessa una scienza che in fondo parla della “natura”, del mondo in cui l’uomo
vive quotidianamente, e ne parla nella maniera più fondamentale possibile (almeno ad oggi) e pone
perciò continuamente sfide di senso, di significato, sfide interpretative e non meramente tecniche.
Nella matematica tutto questo naturalmente c’è, ma è, come dire, sublimato, e quindi anche molto
più difficile da riconoscere. Inoltre se la matematica può essere vista anche come un gioco, uno
spazio di pura espressione della logica e della creatività, la fisica a mio parere no. Deve confrontarsi
con la realtà e anzi da quella e solo da quella trarre spunto e motivo d’essere. È una faccenda seria,
insomma.
LXIII

Seria nei contenuti, e così appare nella riflessione dello scienziato, soprattutto a posteriori di un
risultato
o quando ne contempla la storia; ma ciò non esclude che possa essere vista e vissuta come
appassionante e, sì, giocosa nella forma e nel suo “farsi” durante il processo di ricerca. In
particolare la forma del “gioco” può essere usata nella didattica: in tale contesto la fisica come
gioco, come risposta e stimolo alla curiosità deve essere sottolineata e usata come leva intellettuale,
ancora più, forse, che l’ “importanza” della ricerca e dell’impresa scientifica.
In fondo essa è e dovrebbe essere percepita dagli studenti come un luogo in cui la domanda, il
dubbio, la soddisfazione di una curiosità, non solo è ben accetta, ma, direi, è “d’obbligo”. Un luogo
in cui si può e si deve cercare il perchè delle cose, e in cui ogni verità non è data, ma continuamente
cercata e conquistata. A mio avviso la fisica permette questo (cioè la cultura della “profondità”
anziché quella della “quantità”), è uno dei suoi ruoli fondamentali ed ha molto da dire, oggi, a tale
riguardo.
E questo è unito fortemente alla “cultura” della semplicità. L’altra caratteristica che si attribuisce
alla fisica è infatti quella di essere complicata, difficile. È percepita con timore reverenziale ed
insieme estraneità, quasi un culto misterico riservato a pochi iniziati. Credo invece che sia da
sottolinearne l’accessibilità, la semplicità di fondo: essa è in fondo semplice come una domanda di
un bambino (la cui risposta peraltro è la più difficile!), semplice e difficile cioè come è semplice e
difficile arrivare ad una domanda elementare, o come lo è suddividere un oggetto in parti
elementari, o acquisire un punto di vista elementare, semplice e semplificatore; così come è in
fondo semplice ma terribilmente difficile andare piano, quando talvolta si crede di dover andare
forte, o quando spesso si crede che ciò che conti sia la quantità, mentre la cosa realmente difficile
da ottenere è la qualità e la semplicità. Accessibile in questo senso, nel senso che a patto di capirne
lo spirito, essa è di tutti.
Mi rendo conto che può essere un punto vista ed un’immagine della fisica parziale e personale.
Ritengo tuttavia che sia significativo (ed educativo) rimarcare questi aspetti a degli studenti, anche
per consentire alla fisica di svolgere un ruolo di formazione di una coscienza critica, di una
consapevolezza delle proprie potenzialità intellettuali, di un’apertura al dubbio sistematico, anziché
foriera di rigidità mentale, dogmatismo o consumismo intellettuale. È una via ad un modo diverso
di conoscere la realtà, ad un diverso atteggiamento cognitivo (è per questo che è molto difficile
insegnarla!), non l’unico, certamente, ma imprescindibile (soprattutto oggi, in un mondo
tecnologico…); un approccio al reale che a parole viene esaltato (anche più del dovuto) e criticato,
ma in realtà è misconosciuto e molto sottovalutato nei fatti. Una via (fondante peraltro del pensiero
occidentale) dunque da conoscere, anche per capirne le potenzialità e i limiti.
Come affrontare lo studio della fisica, quindi? Come insegnarla?
Se il rischio è quello del dogmatismo, dell’accettazione incondizionata, o al contrario del rifiuto, un
metodo che parta dalle conoscenze e dalle domande del discente, prima che dalle “verità rivelate”,
allora può essere opportuno. Anzi: un insegnamento che stimoli per prima cosa la presa di coscienza
delle proprie convinzioni e susciti domande. Ritengo ad esempio molto importante cercare di non
dare mai risposte prima che siano formulate le domande. Purtroppo molta e molta parte
dell’insegnamento è costituita da risposte senza domanda: la domanda è debole, è la prima a cadere,
e spesso viene soffocata da una mole immensa di informazioni. Così le informazioni trasmesse,
essendo poco significative, non attecchiscono e col tempo vengono dimenticate, mentre la domanda,
vero nucleo da cui storicamente, culturalmente e nell’atto stesso dell’apprendimento tutto era partito
e parte, si perde immediatamente ed inesorabilmente, ed è poi (faticosamente) da recuperare. A
questo proposito credo che sia dovere del docente prestare grande attenzione alla “prima volta” in
cui un concetto od un argomento viene affrontato, al fatto che tale concetto scaturisca come
richiesta (naturale o stimolata) da parte del discente, il che influisce sulla sensazione di vicinanza o
lontananza con cui egli lo percepisce. Credo che il momento di incontro con qualcosa di nuovo
possa essere intellettualmente un momento molto vivo, e ricco di quel fertile stupore che gioverà
LXIV

sicuramente alla mente di un futuro fisico (intellettualmente parlando, al di là che lo faccia o meno
come professione). Un momento che quindi bisogna stare molto attenti a non “bruciare”.
Partendo da questo, che per me è un presupposto irrinunciabile, ne consegue che il coinvolgimento
dello studente nel suo personale processo di apprendimento è un aspetto imprescindibile
dell’insegnamento: il richiamo alla quotidianità dei fenomeni studiati, l’uso di “materiale povero”, il
coinvolgimento della sfera emotiva, di quella intellettiva e di quella relazionale, l’utilizzo del corpo
e dei vari sensi sono tutti modi di rendere vicino lo studente a quanto viene discusso a scuola,
perchè il sapere venga, se non partorito spontaneamente dallo studente, almeno sviluppato sullo
studente, a partire da ciò che egli è e chiede. Naturalmente per fare ciò occorre tenere conto della
diversità di approccio e di sensibilità che vi può essere tra studente e studente, ed anche della
varietà e della molteplicità di bisogni nell’intimo di ogni studente. Il coinvolgimento non può che
passare attraverso
una varietà di vie, di modalità, di strumenti, di registri, di ambienti didattici: il
dialogo e la discussione, il parlare in pubblico, la gara, la manualità (ad esempio in laboratorio), la
visione (di film…), lo studio e l’approfondimento personale, l’insegnamento (lo studente che “ha
capito” verso chi non ha capito…), la riflessione metacognitiva… Quante di queste cose possono
essere agevolmente fatte con la fisica, ben più che con altre materie!
In sintesi penso ad un insegnamento che dia un senso e un significato a ciò che si spiega, che
evidenzi e dia peso alle novità, e, non ultimo, che dia spazio all’entusiasmo, alla curiosità e al reale
interesse per ciò che si dice (e questo dovrebbe essere vero tanto più per l’insegnante, il quale
riveste a volte anche il ruolo di modello per gli studenti, non dimentichiamolo). Il docente non deve
temere la vivacità (purché sia segno di interesse e non di disinteresse), credo, quanto la passività.
Solo se lo studente è attivo e ciò che apprende è significativo per lui, la sua conoscenza è duratura.
Se poi l’insegnante vuole realmente condurre un lavoro che parta dalle teorie ingenue dei ragazzi,
dalle loro difficoltà di percorso, l’errore non dovrebbe essere punito, censurato o evitato a tutti i
costi, ma dovrebbe essere in quest’ottica fonte e stimolo di migliore comprensione e
approfondimento. Specialmente in materie scientifiche gli studenti dovrebbero imparare a non
temerlo e soprattutto a non temere eccessivamente il dubbio o la mancanza di conoscenza, proprio
in quanto questi sono (e storicamente lo sono sempre stati) veicolo di cambiamento e progresso.
Ritengo che anche in questo caso il docente stesso, anche a mo' di esempio, debba agire nello stesso
modo nei confronti del dubbio e dell’errore, permettendosi di riflettere, di sbagliare, e mostrando
col proprio insegnamento (che naturalmente deve essere però il più sicuro possibile nei suoi
fondamenti!) la dinamicità e il carattere vitale della fisica (e vale anche per altre materie). La
consapevolezza del limite dell’uomo che conosce, sia a livello personale, sia
a livello collettivo
favorisce
infatti una visione “tridimensionale” della fisica e della ricerca (cioè del suo metodo). Lo
studente da un lato vede i limiti di chi gli insegna fisica (il docente)
e capisce che lui stesso può
avere i titoli per essere chiamato a costruire quel tassello di fisica mancante - e l’insegnante stesso
può lanciare questa sfida (ciò naturalmente presuppone fiducia nello studente e nelle sue capacità);
questa prospettiva a mio parere consente inoltre allo studente di mettersi accanto all’insegnante
nello sforzo comune di capire, e non contro di esso (sempre in questo senso il richiamo alla
cooperazione e alla discussione pubblica tra studenti al fine dell’apprendimento credo siano tratti
importanti). Dall’altro lato (se cioè non vengono tenuti nascosti o taciuti i limiti e le frontiere
conoscitive stesse che la fisica attualmente ha) lo studente può vedere dove è arrivata e dove non è
arrivata la fisica moderna e può quindi cogliere la vitalità dell’ “impresa”, con tutto il carico di
motivazione che ciò porta con sé.
Per concludere, dal momento che ho accennato prima all’entusiasmo del docente, vorrei specificare
di quale natura intendo debba essere e sia: oltre alla passione per la ricerca, per i fondamenti della
propria disciplina, credo che un insegnante debba maturare e coltivare anche una vera passione per
la trasposizione didattica della propria disciplina, per le sempre continue sfide (concettuali, da un
lato, e molto urgenti e concrete dall’altro) che l’insegnamento gli pone. In fondo cosa c’è di più
affascinante che rendere partecipe un’altra mente di qualcosa di concettualmente così bello e
profondo?
LXV

Vincoli e prerequisiti
Si intende proporre questo modulo nelle prime lezioni di un corso di fisica, eventualmente, ma non
necessariamente, dopo un’introduzione alle grandezze e un’introduzione all’uso e alla lettura di
(semplici) grafici. Lo penserei adeguato inoltre per (almeno) un secondo anno, quindi con ragazzi
che non siano matricole della scuola superiore e che siano capaci di sapersi organizzare abbastanza
autonomamente per gruppi. Inoltre i riferimenti alle equazioni del moto dovrebbero poter essere
compresi senza difficoltà, per cui è necessaria una dimestichezza con le equazioni e il calcolo
letterale in matematica. Visto infine il numero di ore necessario per svolgere integralmente il
modulo occorrerebbe un numero settimanale sufficiente di ore in fisica, con la condizione di avere
almeno due ore consecutive accoppiate per settimana. Per tutti questi motivi penso che il progetto
possa essere adatto ad un secondo anno di Liceo Scientifico PNI, naturalmente previo adattamento
alla situazione specifica della classe.
In sintesi i prerequisiti minimi potrebbero essere semplicemente:
conoscenza e dimestichezza d’uso delle equazioni di primo grado
saper leggere grafici
saper costruire tabelle
È necessario inoltre che la scuola possieda 3 o 4 CBR-Sonar e un analogo numero di calcolatrici
TI89 o simili, per potere svolgere lavori di gruppo lasciando un sonar e una calcolatrice per ogni
gruppo. È inoltre necessaria un’aula abbastanza ampia, un proiettore, una lavagna possibilmente
bianca su cui proiettare e disegnare grafici e un display per lavagna luminosa collegabile alla
calcolatrice.
Obiettivi
I miei obiettivi in una trattazione della cinematica come quella proposta e, insieme, in una
introduzione alla fisica come è quella che ne risulta, sono principalmente i seguenti:
introdurre lo studio e il metodo della fisica come qualcosa di specifico, sì, ma ben legato ed
ancorato a esigenze e fenomeni noti allo studente: i concetti, così come i metodi di indagine
(misure, grafici, esperimenti, schematizzazioni) non dovrebbero essere percepiti come fini a se
stessi e avulsi dal mondo di oggetti e di idee che lo studente già possiede, ma al contrario ne
andrebbero percepiti (e quindi dall’insegnante: sottolineati) gli stretti legami. Presentare
problemi e spendere almeno un po’ di tempo per permettere agli studenti di proporre soluzioni
e discuterne è quindi necessario: ad esempio relativamente ai metodi di misura della velocità,
prima di usare strumenti complessi come il sonar.
fare percepire la “fisicità” della fisica, per evitare che venga vista come pura disciplina teorica o
matematica, e invece legarla alla realtà degli oggetti, specialmente in un ambito “principe”
come quello della cinematica. L’esperimento, meglio (in questo caso introduttivo) se
qualitativo, favorisce a mio parere un aggancio forte con la fisicità e col movimento.
dare importanza alla efficacia o urgenza (nel senso debole del termine) della fisica nella
descrizione e nella gestione del mondo reale e della sua “vita vissuta”: fare cioè uscire la fisica
dall’aula, ma anche dal laboratorio, per poter indicare allo studente che la fisica riduce a schemi
semplificativi una realtà che però è la realtà di tutti giorni, e che le sue conquiste hanno
conseguenze su tale realtà. Misurare con il sonar usato in laboratorio la velocità di
un’automobile di passaggio in strada, ad esempio, permette a mio parere di “aprire al mondo” la
conoscenza acquisita e renderla significativa (per coloro per cui tale passaggio è fondamentale)
- estendendone l’utilità ad applicazioni magari già note (si pensi all’autovelox…). Portare poi
esempi e fornire, anche solo verbalmente o tramite immagini, “agganci” al mondo reale può
LXVI

andare nella stessa direzione (ad esempio citare argomenti e fenomeni relativi all’ambito della
Formula 1 o del motociclismo o del ciclismo…)
permettere di sperimentare in prima persona, e quindi col proprio corpo, una situazione “fisica”:
questo passaggio, al di là della visione diretta o indiretta di qualche fenomeno cinematico,
permette la presa di controllo di una dimensione nuova riguardo ciò di cui si parla. È la stessa
differenza tra vedere giocare a calcio e giocarci: la consapevolezza ne guadagna assai, e per
alcuni il passaggio per il corpo è addirittura una tappa essenziale (almeno in uno stadio
introduttivo): è quel che si dice conoscenza embodied. Il poter vedere rappresentato il moto del
proprio corpo, così come il muovere il proprio corpo in maniera da ripercorrere un movimento
predeterminato (cioè inizialmente rappresentato - a parole o in grafico - e successivamente
tradotto mentalmente in un movimento reale da eseguire) è un’esperienza per molti
fondamentale.
sarebbe interessante inoltre poter approfondire con gli studenti il ruolo dello strumento di
misura e la sua evoluzione, così come l’evoluzione del suo utilizzo
nel corso della storia (quelli
che si chiamano processi di strumentazione e strumentalizzazione, v. [ 5] citato in [6]), cercando
di vederne un parallelo con quanto avviene nell’uso e nelle idee di miglioramento
che uno
studente, durante il suo processo di apprendimento, può avere rispetto ad uno strumento
artigianale. Questo obiettivo è però un po’ fuori misura, sia per il tempo sperimentale e di
discussione che comporterebbe, sia per la complessità dello strumento a cui si approda poi nel
percorso proposto (il sonar), che richiederebbe un percorso apposito di scoperta e
approfondimento (ed esempio tramite palline lanciate oltre una “tenda” usate come sensori di
movimento di qualcosa in moto al di là della tenda stessa…). Si preferirà quindi semplicemente
spendere un po’ del tempo iniziale a chiedere ai ragazzi proposte per la misura della velocità di
oggetti di vario tipo, ad esaminare
le potenzialità e i limiti di tali eventuali metodi proposti, ed
infine ad introdurre esplicitamente “ex-machina” il sonar, accennando inizialmente al suo
funzionamento,
concentrandosi sulle regole di utilizzo (trovandole in classe a partire da
“prove”) e poi considerandolo nel resto del percorso sostanzialmente come una “black-box” che
non necessita (per ora, e salvo domande esplicite) di ulteriori spiegazioni o approfondimenti.
Un artefatto didattico, infatti, se può facilitare lo studente nell’apprendimento dei concetti
per
cui l’artefatto è stato costruito, richiede tempo e sforzi per la comprensione del suo utilizzo e
può quindi, se non adeguatamente analizzato e introdotto, creare ulteriori ostacoli. In
particolare, uno strumento di apparentemente semplice utilizzo come il sonar può al limite
favorire l’accentuarsi della distanza dello studente dal fenomeno esaminato (cosa che vogliamo
evitare, anzi contrastare) e addirittura dare un’immagine della fisica come di tecnologia magica
e di realtà “virtuale” (l’utilizzo di videogiochi e di simulatori di realtà da parte dei ragazzi è
spesso fin troppo pronunciato, e un attrezzo come una calcolatrice o un sonar potrebbero essere
visti come una sorta di videogioco di cui è sufficiente imparare le regole interne di utilizzo)
permettere in definitiva il “passaggio fra” e “l’integrazione
di” diversi linguaggi e registri per
un’unica realtà-oggetto che viene da essi descritta, in modo da permettere allo studente un
apprendimento completo, significativo, stabile e duraturo. Tale obiettivo non è semplice, né è
frequente trovare studenti che sappiano muoversi agilmente tra questi linguaggi (si vedano a tal
proposito i test condotti su studenti universitari, presentati in [4]). I vari registri/linguaggiincui
un “fatto cinematico” può essere espresso potrebbero essere a mio parere sintetizzati nel
seguente elenco (anche riassumendo quanto detto nei punti precedenti), che naturalmente non
vuole essere una proposta di sequenza cronologica:
1) descrizione a parole (qualitativa o quantitativa)
2) formalizzazione matematica
3) grafico
4) fatto visto (in maniera virtuale)
5) fatto visto (reale)
LXVII

6) fatto visto (realtà dell’esperienza quotidiana, semplice o complessa)
7) fatto vissuto in prima persona e col proprio corpo
Per descrivere meglio tali casi si potrebbero, a titolo di esempio, citare i seguenti esempi o
proporre le seguenti attività/esercizi; rispettivamente:
1) Un racconto o un testo scritto: “Pierino parte alle 8 in bici e va a scuola veloce. La
scuola dista 3km. Scopre che c’è sciopero e torna a casa lentamente”
2) Sia t0=8 s e x=2 km…
3) (si veda uno dei grafici più avanti)
4) Simulazione java, filmato…
5) Esperimento
con carrellini in laboratorio, esperimento con bicicletta…, comunque un
esperimento preparato e circoscritto che costituisce pur sempre una “riproduzione”, una
“simulazione” di un fatto che avviene nella realtà, e che si vuole studiare in dettaglio
6) lavoro a coppie di studenti: uno dei due misura il reale tempo di percorrenza (alla
mattina) del compagno per andare da casa a scuola, con soste, distanze ecc
7) fare un tratto velocemente, fare lo stesso tratto a velocità un terzo (con una bici conil
tachimetro)
Obiettivi
generali:
-introdurre
lo studio della fisica sottolineando che è uno studio astratto e schematico di situazioni
però
reali, e i cui concetti e definizioni hanno un analogo nell’esperienza quotidiana
-collegare
la cinematica a fenomeni reali e noti
-collegare
le quantità, i concetti e le relazioni nell’ambito della cinematica ad esperienze visibili ed
intuitive
-sperimentare
col corpo e col movimento in prima persona le nozioni imparate in classe
-saper
descrivere una situazione reale in termini cinematici e saperla graficare
-saper
riprodurre col movimento (proprio o di oggetti esterni) una situazione descritta in termini
cinematici
-saper
utilizzare correttamente strumenti di misura complessi e saper interpretare in maniera
consapevole
la loro funzione
-collegare
la fisica ad altre materie di insegnamento
-saper
porre problemi ai compagni (che siano difficili ma affrontabili con gli strumenti acquisiti) e
saper
immaginare le loro risposte
-sapersi
orientare e gestire tra le differenti modalità di descrizione dello stesso fenomeno
(linguaggio
corrente, matematico, rappresentazione visiva, esperienza diretta…)
Obiettivi specifici:
Come delineato da vari studi (si veda ad esempio [4]) vi sono alcune misconcezioni ricorrenti nel
dominio
della cinematica (che vale la pena tenere presenti e di cui stimolare l’esplicitazione),
alcune
relative alla relazione dei concetti fisici con il grafico, altre più legate al rapporto grafico-
realtà:
principali
misconcezioni (v. anche [4]):
velocità intesa come quantità scalare
velocità come proprietà posseduta dall’oggetto
confusione tra vel. media in un intervallo di tempo e vel. media in un intervallo spaziale
tra grafico e concetti fisici:
o confusione tra l’altezza (ovvero
il valore) e la pendenza (ovvero la derivata) del
grafico (cioè
della funzione): ad esempio tra posizione e velocità in un grafico x/t
o interpretazione delle variazioni (eventualmente
simultanee) di altezza e di pendenza
o relazioni reciproche
tra grafici s/t e v/t e a/t
LXVIII

o capacità di integrare descrizioni a parole e grafico
o interpretazione di tangente e area sottesa al grafico
tra grafico e mondo reale:
o difficoltà nella rappresentazione continua (e non per punti) di un moto reale
o distinzione tra forma del grafico e forma della
traiettoria
o gestione simultanea del segno di posizione, velocità e accelerazione.
Tenuto conto di questi possibili problemi si identificano i seguenti obiettivi specifici
dell’ins egnamento di questo modulo.
Conoscenze:
- definizioni di sistema di riferimento, punto materiale, posizione, spostamento, intervallo temporale
- definizione
e concetto di velocità media e istantanea (in moti unidimensionali)
- moto uniforme
- concetto
di relatività della posizione e del moto
- equazioni orarie del moto nel caso di moto uniforme e nel caso di moto con velocità che
varia
linearmente
col tempo
- analisi dei grafici in termini
di tangenti ed aree sottese
Abilità:
- saper disegnare grafici spazio/tempo o velocità/tempo di un moto descritto a parole
- saper interpretare grafici e tradurli in una descrizione a parole
- saper passare da uno all’altro per lo stesso fenomeno
- saper utilizzare correttamente le equazioni del moto in esercizi e problemi e saperle interpretare
- saper prendere
misure e rappresentare graficamente i dati ottenuti
- saper interpretare (riprodurre) una situazione reale in (a partire da) termini fisici e matematici
Contenuti
e loro organizzazione
Un riassunto sintetico della scansione
in fasi del progetto è data qui sotto. Segue la descrizione
dettagliata di ogni singola fase. La pianificazione oraria
ha naturalmente il solo scopo di
organizzare preventivamente il lavoro in linea di massima, e sarà suscettibile di modifiche ed
aggiustamenti in corso d’opera; va intesa perciò in senso solo indicativo.
Fase 1 - movimento e velocità
1. movimento, misure, grafici -2ore
2. spazio percorso,
velocità media: formalizzazione ed esercizi + passaggio dal “fatto
descritto” al grafico -2ore
Fase 2 - davanti al sonar
3. sonar, lo strumento (pensato come black box), prove in classe -1ora
4. dal movimento visto al grafico, velocità istantanea - 1ora
Fase 3 - formalizzazione ed esercizi
5. concetto di velocità istantanea e passaggio
da grafici s/t a grafici v/t + passaggio dal “fatto
descritto” al grafico, teoria ed esercizi -3ore
Fase 4 - di nuovo con il sonar
6. formulazione di ipotesi di grafico
a partire da un movimento e verifica con il sonar - ½ ora
7. dal grafico al movimento, prima con discussione tra ragazzi e poi con misura sonar-½ora
8. gestione
dei due livelli: spazio e velocità -1ora
Fase5-verifica intermedia
9. verifica intermedia -1ora
LXIX

Fase 6 - fuori dall’aula
10. campagna
di misure in esterni (palestra, cortile) -2ore
11. analisi dati e consegne -2ore
Fase 7 - la gara
12. gara a squadre
-2ore
Fase8-verifiche finali
13. esercizi e discussione -2ore
14. interrogazione -1ora
15. verifica -2ore
totale: 23 ore
Fase 1 - movimento
e velocità
In questa fase introduttiva si cercherà di stimolare nei ragazzi alcune riflessioni sulla posizione e il
movimento e la loro definizione, descrizione e misura. Per fare questo si inizierà chiedendo come
dare una descrizione della
differenza di posizione (quindi una situazione statica) di due studenti in
piedi o stesi sul pavimento dell’aula (tipo: scena da un crimine
- oppure immaginando un incidente
di
cui la polizia voglia prendere nota -), si cercherà di arrivare a possibili utilizzi della piastrellatura
del pavimento,
discutendo anche dell’opportunità o meno di idealizzare la persona come un punto
materiale, per passare poi a ipotesi sulla descrizione e sulla misura del movimento di uno
di loro (o,
anche qui, immaginando ad esempio la dinamica di un sorpasso tra autoveicoli), chiedendo ad
esempio di trovare uno strumento (o una combinazione di strumenti - piastrelle, passi, cronometro,
palline… -) e un modo per utilizzarli che misuri la velocità il
denziare le proprietà di questa
i passerà poi a trasformare in descrizione a parole alcuni tipi di moto (vario, uniforme, accelerato,
ttilineo..) per poi, restringendosi ai casi rettilinei, rappresentarli in un grafico spazio-tempo. Si
enza trattare il problema dell’errore sperimentale) e
portarle in un diagramma orario: ad esempio si potrà rappresentare il moto rettilineo di una
i
anno i
efinizione di velocità
edia in un intervallo di tempo, facendo notare come anche moti diversi possano avere la stessa
allo. Si evidenzieranno il caso particolare di velocità costante.
Si p uesti concetti, così come l’abilità di passare dalla
des
10 di un oggetto, (ad esempio contando
numero di piastrelle e tenendo in mano un orologio) cercando di evi
velocità, la sua natura vettoriale, il verso o il segno, ecc.
S
re
potranno fare alcune misure (semplici e s
ri
persona nella stanza, e far notare come il diagramma che ne risulta contiene tutte le informazion
che servono per descrivere il moto.
A questo punto, utilizzando esempi di grafici tratti dal libro o dagli esercizi si istituzionalizzer
concetti di intervallo di spazio e di tempo, e si introdurrà il concetto e la d
m
velocità media in un dato interv
otranno poi consolidare con esercizi q
crizione a parole di un moto al suo grafico
Fase 2 - davanti al sonar
A questo punto si potrà introdurre il sonar (ovvero un CBR della TexasInstruments
collegato ad una
calcolatrice grafica TI89 collegabile a sua volta ad un display per lavagna luminosa in modo da
proiettare su uno schermo ciò che avviene),
come uno strumento elaborato per misurare distanze
(vedi
[7] e [8]): dopo averne dato una sommaria descrizione del funzionamento si dedicherà un po’
di tempo ad esplorarne le potenzialità esaminando quello
che può e non può fare (distanza minima e
massima, valuta solo la distanza
dal suo emettitore/ricevitore e non altro…). Lo stesso si farà
esaminando
il movimento (sempre di un ragazzo che si muove nell’aula, ad esempio come negli
esperimenti
[I A 2] riferendosi all’elenco di esperimenti col sonar che si trova in appendice). Questo
per evitare fraintendimenti di utilizzo e interpretazione dello strumento, visto come una sorta di
10
si farà riferimento per il momento al concetto
intuitivo di velocità che lo studente già possiede
LXX

pistola che emette un “raggio” (tipo film di fantascienza (di serie B)) che misura la velocità
“to rrisponde alla concezione di velocità
inte ll’oggetto e di scalare).
proporrà alcuni tipi di moto (dei quali verrà visualizzato il grafico), partendo da
que r poi passare a moti di tipo diverso: anche questi saranno il più
vranno poter visualizzare una velocità variabile in modo abbastanza
continuo. Si potrà ad esempio visualizzare il moto smorzato di un oggetto che si sta fermando, come
una ro. Calcolando le velocità medie in vari intervalli dello stesso grafico
si e enza del valore risultante e la si confronterà con la differenze tra le velocità
ercepita dell’oggetto in quegli istanti 11 ccando” l’oggetto: non importa direzione, verso, ecc (ciò co
sa come qualcosa di posseduto da
L’insegnante poi
llo a velocità costante, pe
possibile semplici, ma do
macchina giocattolo o alt
videnzierà la differ
p
. Sarà l’occasione per introdurre il concetto istituzionale di
velocità istantanea:
seguendo ad esempio l’approccio del PSSC [12] “degli ingrandimenti
successivi”
si potrà innanzitutto chiedere agli studenti se la scelta dell’ampiezza dell’intervallo in
cui
calcolare la velocità è arbitraria e se e come il risultato del calcolo dipende da questa scelta, per
poi utilizzare lo zoom sul grafico (che le calcolatrici permettono) al fine di evidenziare come in ogni
intervallo di tempo abbastanza piccolo la curva finisca sempre per assomigliare ad una retta e
quindi la sua velocità istantanea si possa calcolare a piacere su ogni intervallo di questa retta.
Fase 3 - formalizzazione ed esercizi
Si potrà a questo punto passare alla formalizzazione di quanto visto finora, alla costruzione della
formula dell’equazione oraria di x (per v costante) e del concetto di velocità istantanea, e al suo
consolidamento (formale) attraverso esercizi. Tutto ciò al fine di chiarire ulteriormente tali concetti,
e di fare prendere ai ragazzi dimestichezza con essi. Si introdurranno anche i grafici v/t costruibili
a
partire da quelli s/t e viceversa la costruzione dei grafici s/t a partire da quelli v/t, tramite il calcolo
dell’area sottesa. Verrà mostrato il caso di velocità variabile linearmente col tempo e si calcolerà
l’equazione oraria di v e di s in questo semplice caso (lasciando a più oltre l’introduzione del
termine e del concetto di accelerazione). Si porrà inoltre attenzione
a che lo studente acquisisca la
capacità di passare agevolmente da rappresentazione grafica a descrizione/equazione, e viceversa.
Fase 4 - di nuovo con il sonar
Sfruttando l’estrema agilità di utilizzo dello strumento sonar non vi sarà spreco di tempo nel
riproporne l’impiego, questa volta per consolidare la capacità di formulazione di ipotesi di grafico,
visto il moto, e di riproduzione del moto
a partire dal grafico. Si potrà ad esempio, seguendo
esperimenti del tipo [I A 1], proporre prima un movimento rettilineo, ipotizzare un grafico
compatibile con esso, e verificare l’ipotesi riproducendo il movimento davanti al sonar. Questo losi
rifarà per i vari tipi di movimenti visti in precedenza e investigando per ognuno di essi i grafici di
posizione e velocità che ne risultano (ad esempio un movimento a velocità costante con partenzain
x0 come in fig. 1 o un’ “andata e ritorno” con velocità diverse come in fig. 2).
Figura I Figura II
11
facendo anche qui riferimento al concetto intuitivo di velocità istantanea che lo studente possiede
LXXI

Acquisito un minimo di familiarità con il grafico di un movimento di fronte al sonar, si passerà poi
alla situazione opposta (sonar in moto e bersaglio fermo, come in esp. [I A 3] ) e a situazioni ibride
[I A 4]. La relatività della misura di velocità verrà quindi discussa (il concetto viene introdotto solo
da un punto di vista qualitativo in attesa di una formalizzazione che avverrà più avanti nell’anno
quando si tratteranno i sistemi di riferimento. Tuttavia mi pare “naturale” almeno farvi cenno
adesso, permettendone già da subito una prima esplorazione)
Si potranno ora eseguire “esperimenti” più difficili, che comportano il passaggio da una
rappresentazione ad una azione [I B 1,2,3].
Tutta questa sezione verrà svolta in aula e tutte le esperienze saranno eseguite con l’intera classe
sotto la guida del docente. Il tempo per svolgere queste misure varierà necessariamente in funzione
della risposta della classe, e si cercherà di non affrettare l’esperienza e di fare partecipare il maggior
numero di studenti.
Fase 5 - verifica intermedia formativa
Dopo alcuni esercizi a casa e in classe per rimarcare eventuali altri aspetti teorici emersi (ad
esempio la relatività dei moti) si svolgerà una breve verifica formativa, con lo scopo di
“incentivare” lo studio dei ragazzi, di dare
loro altri esercizi per completare l’acquisizione di quanto
finora visto, e per permettere al docente di valutare il lavoro fatto finora e il risultato che esso ha
avuto sulla classe.
Fase 6 - fuori dall’aula
Questa fase mira al consolidamento ulteriore di quanto acquisito in classe, ma soprattutto, come
spiegato, essa mira, per così dire, alla “decontestualizzazione della conoscenza acquisita”, ovvero al
suo trasferimento ad altri ambiti. Questo passaggio, sebbene semplice da svolgere, può risultare
tuttavia uno snodo cognitivo molto significativo per lo studente, il quale vede “aprirsi al mondo
reale” quello che prima apparteneva alla scuola. Vi è inoltre da aggiungere che la presa in carico in
prima
persona di un problema pratico (attraverso il lavoro di gruppo) favorisce l’autonomia di
gestione anche degli stessi contenuti
appresi (senza una guida si è costretti a trovare risorse che
rimarrebbero inesplorate). Per ultimo vi è da dire che in uno spazio aperto le possibilità di
movimento (e quindi la variabilità dei valori delle grandezze) sono maggiori e più evidenti le
differenze relative dei risultati delle misure: questo può tornare utile ad esempio nell’approccio
(qualitativo) alla studio della relatività dei moti, poiché vi è maggiore possibilità di differenziare
tra
loro i valori di velocità.
La fase sarà suddivisa in un lavoro sperimentale e in uno di analisi dati, condotti da gruppi di
studenti (4 gruppi, ad esempio). I dati saranno raccolti in memoria (delle calcolatrici o di un
computer) e analizzati successivamente nel laboratorio di informatica. Ciascun gruppo,
seguendo
una
scheda fornita dal docente, contenente le singole consegne e le informazioni basilari
sull’utilizzo delle calcolatrici e dei sonar, dovrà svolgere gli esperimenti e produrre una
presentazione o una relazione scritta con i risultati delle misure e le considerazioni stimolate dalle
domande nella traccia.
Per la campagna di misure “in esterni” sarà necessario andare in palestra (si può chiedere
eventualmente una collaborazione con l’insegnante di Educazione Fisica…) o nel cortile della
scuola, o comunque in uno spazio libero abbastanza grande in cui poter effettuare qualche breve
corsa a piedi o in bici. Per alcune misure preliminari è inoltre necessario mettersi lungo una strada
percorsa dal traffico (poco traffico, preferibilmente), naturalmente in un posto sicuro individuato
precedentemente all’esperienza.
Le attività di misura proposte (e comunque dosabili a seconda del tempo, della situazione, del luogo
disponibile e della risposta degli studenti) sono brevemente
delineate nello schema riassuntivo al
punto II. Sarà cura del docente testare preventivamente
queste misure e valutarne la fattibilità ed
eventuali accorgimenti da tenere.
LXXII

Per quanto riguarda la [II A 1] il significato è quello di legare alla realtà vissuta i concetti appresi e
il significato di misura, oltre che, attraverso misure in verticale (salti, cadute, eseguite ad esempio
col sonar dall’alto di una finestra), di esplorare le varie dimensioni spaziali e di svincolare (se ve ne
fosse ancora bisogno) la traiettoria dell’oggetto dal suo grafico di velocità o posizione.
Lo spazio aperto, oltre che permettere di fare uscire (letteralmente) dall’edificio scolastico lo studio
della fisica, consente di usare mezzi, come la bicicletta, che permettono (seppure in breve spazio:
ricordiamo che il sonar può prendere dati fino ad una distanza di 8-10 metri al massimo) di
procedere con andature più regolari, rispetto alla camminata, e con accelerazioni più dosabili.
La [II
A 1] e le [II B 1,2] sono misure di questo tipo.
In spazi più ampi è inoltre possibile collezionare
misure in tempi maggiori, consentendo l’analisi di moti più complessi come quelli descritti in [II A
3] e [II B 3] che comportano una certa attenzione e cura nell’esperimento, ma che non dovrebbero
risultare di impossibile esecuzione. Tale esperienza vuole riprendere e ampliare il discorso della
relatività dei moti e l’analisi
grafica degli stessi. Verrà naturalmente svolta e dosata a seconda della
risposta
della classe e del tempo disponibile.
Se vi fosse tempo e se si ritenesse il caso di aggiungere ancora qualcosa, sarebbe interessante poter
prendere misure in contemporanea di due movimenti rettilinei (è possibile tramite LabPro collegare
due sonar allo stesso acquisitore dati). Questo darebbe modo di eseguire alcune misure descritte
nell’Appendice 2.
Fase7-lagara
Se i ragazzi a questo punto hanno acquisito
sufficiente dimestichezza con le misure, i grafici e il
passaggio da una rappresentazione all’altra non dovrebbe essere per loro difficile rispondere a
semplici “quiz”, a riprodurre misure viste o nuove e a creare loro stessi domande e “sfide”
cinematiche. Potrebbe perciò essere gradita o stimolante la proposta di una gara a squadre (non
necessariamente i gruppi della campagna di misure), eventualmente preannunciata dall’inizio del
modulo per invitare tutti a prepararsi adeguatamente.
Essa potrebbe funzionare come segue:
Gioco:
3-4 squadre, a turno (eventualmente in una sorta di gioco dell’oca), partecipano ad una delle
seguenti sfide, a seconda della casella in cui capitano (o dell’arbitrio del prof):
1. il prof propone in privato un grafico ad uno di loro il quale deve mostrarlo col movimento
al resto del gruppo. Il gruppo deve tracciare il grafico e verrà valutata la somiglianza col
grafico di partenza.
2. il prof propone un grafico e uno del gruppo lo deve simulare davanti al sonar
3. il prof esegue un movimento rettilineo e il gruppo deve tracciarne il grafico
4. il prof propone domande riguardanti la cinematica o sue applicazioni
5. il gruppo deve proporre, muovendosi, un movimento (rettilineo) e tutti i gruppi ( compreso
il proponente) devono disegnarne il grafico
6. il gruppo propone
un grafico e tutti i gruppi a turno (compreso il proponente, per ultimo)
devono simularne il movimento
Le prove di tipo 1,3,4,5 possono essere svolte anche come sfida in contemporanea tra i gruppi e si
aggiudica il turno chi risponde correttamente per primo
Fase 8 - verifiche finali
Si ritiene utile nella fase finale riprendere uno stile ed una situazione più propriamente “didattica”
per svolgere ulteriori esercizi, correggerli, integrare quanto eventualmente non ancora spiegato o
appreso sufficientemente bene e per interrogare qualche studente prima della verifica finale (allo
scopo di incentivare uno studio e una pratica intensa, prima di una valutazione valida per lo scritto).
LXXIII

La verifica finale potrà comprendere esercizi “standard” così come riferimenti espliciti alle attività e
alle esperienze eseguite in aula e nel cortile e domande aperte su situazioni reali che indaghino una
comprensione più profonda, anche se qualitativa, sul rapporto tra posizione, spostamento e velocità
e sui cambiamenti di sistema di riferimento.
Valutazione
Al termine e durante il tirocinio verrà valutato il rendimento complessivo della classe e la risposta
che essa ha dato alle attività proposte, in termini di contenuti appresi, di abilità acquisite nel fare
interagire e nel muoversi tra grandezze diverse, oltre che nell’usare propriamente strumenti di
misura e tracciare grafici, di consapevolezza di quanto appreso, di capacità di utilizzarlo in
situazioni a-didattiche, e di capacità di descrivere situazioni reali nei corretti termini cinematici.
L’impegno nei lavori di gruppo, la partecipazione alla gara finale e l’attenzione in classe saranno
pure oggetto di valutazione.
Sarà valutato anche il percorso proposto dal tirocinante, la sua effettiva efficacia e fattibilità (anche
come tempistica) anche (eventualmente) in previsione di un suo reale utilizzo nel futuro. Verrà
(auto)valutata anche la gestione della classe e dei lavori di laboratorio.
Bibliografia
[1] Tarsitani C., “La seconda legge della termodinamica tra storia e didattica”, Giornale di Fisica,
n.3/1997
[2] Toraldo di Francia G., L’indagine del mondo fisico, Einuadi, 1976
[3] Frassanito V., tesi di laurea 1980-81, “Alcuni risultati di una ricerca sull’apprendimento di
concetti in meccanica classica”
[4] McDermott L.C. et al., “Student difficulties
in connecting
graphs and physics: Examples from
kinematics”
in Am.J.Phys. 55, 1987
[5] Rabardel
P. “Les hommes et les tecnologies”, Colin, 1995
[6] Bartolini Bussi M. & Maschietto M. “Macchine matematiche”, Springer, 2006
[7] “Laboratorio di fisica RTL con le tecnologie portatili” a cura di Pezzi G. et al.,TexasInstruments
[8] Progetto LEPLA, su supporto CD
[9] Arons
A.B., Guida all’insegnamento della fisica, Zanichelli, Bologna, 1992
[10] Rosenquist M.L., A conceptual approach to teaching Kinematics, American Journal of Physics,
Vol 55 (5), 1987
[11] Grimellini Tomasini N., Levrini O., Casadio C., Insegnare fisica per nuclei
fondanti: un
esempio riferito al concetto di spazio. La Fisica nella scuola, XXXII, 4, 202-213,
1999.
[12] PSSC, Fisica, Zanichelli, Bologna, 2001.
[13] PSSC, Fisica-Guida al laboratorio, Zanichelli, Bologna, 2001.
LXXIV

Appendice 1 del progetto di tirocinio virtuale
Esperimenti possibili con il sonar (relativamente a questo progetto):
I) INTERNI
A) dall’esperienza
al grafico/descrizione
1) moti a piedi di vario tipo proposti da me (ipotizzando i vari grafici s/t, v/t) visualizzati
con lavagna luminosa
2) moti non misurabili o che danno misure insensate al nostro fine: es: ragazzo che si
muove perpendicolarmente al “raggio” sonoro e sonar fisso; oppure idem ma col sonar
che ruota seguendone la posizione
3) senza lavagna: tenere il sonar in mano e muoversi avanti e indietro puntandolo contro il
muro
4) senza lavagna: tenere
il sonar in mano e muoversi avanti e indietro puntandolo contro un
compagno che si muove (moti semplici!)
B) dal grafico/descrizione all’esperienza
1) visualizzare gli assi sulla lavagna (proiettando) e disegnare ( col pennarello) un grafico
(s/t, v/t) che deve essere riprodotto col movimento
2) senza lavagna: partendo da un moto, visualizzare il grafico e riprodurlo uguale tenendo il
sonar in mano e puntandolo contro il muro
3) senza lavagna: partendo da un moto,
visualizzare il grafico e riprodurlo uguale tenendo il
sonar in mano e puntandolo contro un compagno che si muove
II) ESTERNI
A) dall’esperienza al grafico/descrizione
1) misura di diverse s e v (camminata, corsa, bici, auto, caduta, salto)
2) misura di due persone contemporaneamente, sonar collegati alla stessa LabPro (collegata
al PC), nei casi descritti sotto
3) due persone che camminano o corrono una col sonar l’altra come bersaglio: stessa vel
(modulo e verso), “scontro” (vel uguali e opposte), vel diverse in modulo (con partenza
in tempi uguali e/o diversi), “sorpasso” (con partenza in tempi diversi)
B) dal grafico/descrizione all’esperienza
1) in bici riprodurre un moto uniforme
o uniformemente accelerato (rilevatore a terra): ad
esempio frenando in maniera uniforme o utilizzando una discesa
2) idem a sopra con il rilevatore sulla bici puntando un muro
3) con due bici una dietro o una di fronte all’altra, idem a sopra
LXXV

Appendice 2 del progetto di tirocinio virtuale
Ci si riferisce qui ad alcuni esperimenti sintetizzati in Appendice 1
È possibile poter prendere misure in contemporanea di due movimenti rettilinei (tramite due sonar
allo stesso acquisitore
dati LabPro , collegato a sua volta al PC). Questo darebbe modo di eseguire
alcune la misura [II A 2] e di confrontarne i risultati
con quelli qualitativamente analoghi della [II A
3] per poter effettivamente guardare lo stesso fenomeno in due o tre sistemi di riferimento differenti
(due fissi, ma con origini probabilmente
diverse e opposte, e uno mobile). Il punto a cui prestare
attenzione
nel predisporre l’esperimento è sulla posizione relativa dei due sonar, nell’effettivo
centro di ognuno
dei due sul bersaglio corretto, nell’evitare le interferenze di uno sull’altro e nella
lunghezza dei cavi disponibili. Eventualmente questa misura può essere fatta una volta sola per tutti,
sotto la guida del docente.
I grafici che si potrebbero ottenere in alcuni dei casi sopra descritti dovrebbero assomigliare ai
seguenti,
qui mostrati a titolo d’esempio:
Figura III
- due persone che, partendo a istanti differenti dallo stesso punto, camminano nello stesso verso a
velocità diverse (quella dietro più lenta) - misurati da 2 sonar fissi (a) o da un sonar tenuto in mano dalla persona
di dietro (b) e (c)
Figura IIII - come in figura 3 ma la persona dietro è più veloce e sorpassa la prima (il punto di discontinuità nel
secondo e terzo grafico corrisponde naturalmente al momento in cui il secondo inizia a camminare - o a correre -
e non al momento del sorpasso)
LXXVI