LA GRANDEZZA MOMENTO LINEARE L'operatore momento ...

3/5 LA GRANDEZZA MOMENTO LINEARE 10/11 2
Appare quindi naturale
associare l’operatore vettoriale ˆp = −i ℏ ∇, che diremo sinteticamente operatore momento lineare,
alla grandezza fisica p momento lineare della particella
nel senso che le sue autofunzioni 〈x|k〉 corrispondono a stati impropri di momento lineare definito
e i suoi autovalori p = ℏk sono i corrispondenti valori del momento lineare.
Poiché le onde piane 〈x|k〉 non sono normalizzabili in senso proprio,
esse non corrispondono in realtà a stati fisici della particella;
tuttavia, scegliendo opportunamente il coefficiente 〈k|ψ0〉 che compare nella (3),
si possono costruire stati fisici ψ t (x)
che approssimano quanto si vuole gli stati impropri 〈x|k〉 exp(−iωt)
e che si avvicinano quanto si vuole ad avere un momento lineare perfettamente definito.
Il momento lineare ridotto
Possiamo introdurre anche la grandezza fisica k banalmente definita da
k = p
ℏ ,
che diremo momento lineare ridotto ed è ovviamente descritta dall’operatore
ˆk = −i ∇.
Le sue autofunzioni (1) sono normalizzate secondo gli autovalori di ˆ k, cioè secondo la relazione (2).
La rappresentazione p o del momento lineare
Abbiamo già considerato la rappresentazione k definita dalla base ortonormale (1)
delle autofunzioni dell’operatore ˆ k = −i∇ normalizzate secondo la relazione (2).
È utile considerare anche la rappresentazione definita dalla base
(5) vp(x) = 〈x|p〉 =
1 i
exp
3/2 (2πℏ) ℏ p·x
delle autofunzioni dell’operatore momento lineare ˆp = −iℏ∇
normalizzate secondo gli autovalori di ˆp, cioè secondo la relazione
(6) 〈p ′ |p〉 = δ (3) (p − p ′ ).
Ovviamente, per la relazione p = ℏ k tra gli autovalori di ˆp = −iℏ∇ e di ˆ k = −i∇,
1
a parte il fattore di normalizzazione , esse coincidono con le autofunzioni vk(x).
3/2 ℏ
Designeremo la rappresentazione definita dalla base (5)
come rappresentazione p o del momento lineare.
Poiché molte scritture si semplificano
usando gli autovalori k di ˆ k invece degli autovalori p di ˆp
e la normalizzazione (2) invece della normalizzazione (6)
useremo spesso, come abbiamo già fatto, la rappresentazione k invece della rappresentazione p.