LA GRANDEZZA MOMENTO LINEARE L'operatore momento ...

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L’operatore momento lineare
LA GRANDEZZA MOMENTO LINEARE
Discutiamo dapprima la descrizione quantistica del momento lineare di una particella libera.
Le onde piane
(1) vk(x) = 〈x|k〉 =
1
exp(i k·x)
3/2 (2π)
sono autofunzioni improprie dell’operatore −i ∇ corrispondenti all’autovalore k
normalizzate in modo che sia
(2) 〈k ′ |k〉 = δ (3) (k − k ′ ).
Nel caso della particella libera,
sono anche autofunzioni dell’operatore hamiltoniano H corrispondenti all’autovalore ℏ2
2m k2 = ℏω.
La soluzione generale dell’equazione di Schrödinger si può scrivere nella forma
(3)
ψt (x) = 〈x|ψt 〉 = d 3 k 〈x|k〉 〈k|ψ0〉 exp(−i ω t) =
1
(2π) 3/2
d 3 k 〈k|ψ0〉 exp i(k·x − ω t) .
Se il coefficiente 〈k|ψ0〉 è apprezzabilmente diverso da zero solo in un intorno del valore k0 di k,
secondo la teoria generale dei fenomeni ondulatori
ψ t (x) è un pacchetto d’onde che si sposta con la velocità di gruppo
vg = ∇k ω
k=k0
= ℏ k0
m
(oppure è una sovrapposizione di pacchetti d’onda cosiffatti)
e tale velocità è tanto più precisamente definita quanto più 〈k|ψ0〉 è concentrato attorno al valore k0.
= v0
Mutuando dalla meccanica classica la definizione di momento lineare
(4) p = mv,
possiamo interpretare uno stato quantistico del tipo (3)
con il coefficiente 〈k|ψ0〉 concentrato attorno al valore k0
come corrispondente a una particella quantistica libera di momento lineare quasi definito
p0 = mv0 = ℏ k0.

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Appare quindi naturale
associare l’operatore vettoriale ˆp = −i ℏ ∇, che diremo sinteticamente operatore momento lineare,
alla grandezza fisica p momento lineare della particella
nel senso che le sue autofunzioni 〈x|k〉 corrispondono a stati impropri di momento lineare definito
e i suoi autovalori p = ℏk sono i corrispondenti valori del momento lineare.
Poiché le onde piane 〈x|k〉 non sono normalizzabili in senso proprio,
esse non corrispondono in realtà a stati fisici della particella;
tuttavia, scegliendo opportunamente il coefficiente 〈k|ψ0〉 che compare nella (3),
si possono costruire stati fisici ψ t (x)
che approssimano quanto si vuole gli stati impropri 〈x|k〉 exp(−iωt)
e che si avvicinano quanto si vuole ad avere un momento lineare perfettamente definito.
Il momento lineare ridotto
Possiamo introdurre anche la grandezza fisica k banalmente definita da
k = p
ℏ ,
che diremo momento lineare ridotto ed è ovviamente descritta dall’operatore
ˆk = −i ∇.
Le sue autofunzioni (1) sono normalizzate secondo gli autovalori di ˆ k, cioè secondo la relazione (2).
La rappresentazione p o del momento lineare
Abbiamo già considerato la rappresentazione k definita dalla base ortonormale (1)
delle autofunzioni dell’operatore ˆ k = −i∇ normalizzate secondo la relazione (2).
È utile considerare anche la rappresentazione definita dalla base
(5) vp(x) = 〈x|p〉 =
1 i
exp
3/2 (2πℏ) ℏ p·x
delle autofunzioni dell’operatore momento lineare ˆp = −iℏ∇
normalizzate secondo gli autovalori di ˆp, cioè secondo la relazione
(6) 〈p ′ |p〉 = δ (3) (p − p ′ ).
Ovviamente, per la relazione p = ℏ k tra gli autovalori di ˆp = −iℏ∇ e di ˆ k = −i∇,
1
a parte il fattore di normalizzazione , esse coincidono con le autofunzioni vk(x).
3/2 ℏ
Designeremo la rappresentazione definita dalla base (5)
come rappresentazione p o del momento lineare.
Poiché molte scritture si semplificano
usando gli autovalori k di ˆ k invece degli autovalori p di ˆp
e la normalizzazione (2) invece della normalizzazione (6)
useremo spesso, come abbiamo già fatto, la rappresentazione k invece della rappresentazione p.

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Distribuzione di valori del momento lineare
Secondo quanto abbiamo stabilito dianzi
i valori possibili del momento lineare sono le terne di numeri reali,
che anche costituiscono le terne di autovalori dell’operatore momento lineare ˆp.
Ci chiediamo se sia possibile associare a uno stato arbitrario ψ t (x) della particella a un dato tempo t,
una distribuzione di valori del momento lineare sull’insieme dei suoi valori possibili.
Assumiamo di nuovo che la particella sia libera.
Per una particella libera che si muova nell’intervallo di tempo (t, t ′ )
la definizione classica di momento lineare (4) già mutuata si può porre nella forma
(7) p = m x(t′ ) − x(t)
t ′ − t
−→
t ′ →∞ m x(t′ )
t ′
,
dove l’ultima espressione vale nel limite in cui il tempo intercorso tra t e t ′ tende a ∞.
Per una particella descritta dalla meccanica quantistica,
sia ψ t (x) lo stato al tempo t e ψt ′(x ′ ) lo stato a un tempo successivo grande t ′ .
La funzione d’onda ψt ′(x ′ ) non è connessa a ψ t (x) da una semplice traslazione,
bensì ha certamente una forma diversa
(come vedremo in seguito, per tempi t ′ grandi essa è certamente più estesa).
Possiamo interpretare la deformazione della funzione d’onda come dovuta al fatto che a ψ t (x)
non è associato un unico valore p del momento lineare,
ma sono associati diversi valori di p descritti da una distribuzione ϱp(p, t).
ψ t ′(x ′ )
ψt (x)
x
x
′ p1
1
Ammesso dunque che allo stato quantistico ψ t (x) al tempo t
si possa associare una distribuzione ϱp(p, t) di valori del momento lineare p,
appare naturale legare l’espressione di ϱp(p, t)
a quella della distribuzione ϱ(x ′ , t ′ ) di valori della posizione a un tempo successivo t ′
per mezzo della relazione
(8) ϱp(p, t) d 3 p = lim
t ′ →∞ ϱ(x′ , t ′ ) d 3 x ′ ,
nella quale p si intende legato a x ′ dalla relazione
(9) p = m x′ − x
t ′ − t −→
t ′ →∞
p2
x′
m ,
t ′
dove l’incertezza da cui è affetto x a causa dell’estensione finita di ϱ(x, t)
diventa irrilevante in conseguenza del limite t ′ → ∞.
x ′ 2

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Allora, tenuto conto che, secondo la (9),
definiamo
d 3 p = lim
t ′ →∞
(10) ϱp(p, t) = lim
t ′ →∞
dove
(11)
(12)
m
t ′
3 d 3 x ′ ,
′ 3
t
m
ϱ(x ′ , t ′ ),
ϱ(x ′ , t ′ ) = ψt ′(x ′ ) 2 = 〈x ′ |ψt ′〉 2 ,
x ′ = t′
m p,
e la funzione d’onda 〈x ′ |ψ t ′〉 al tempo t ′ deve essere calcolata dalla funzione d’onda 〈x|ψ t 〉 al tempo t
nell’ambito dell’assunzione che la particella sia libera.
Dal calcolo riportato più avanti nell’appendice risulta
lim
t ′ →∞ ϱ(x′ , t ′ ) =
m
t ′
3
d 3 x
1
exp −i
(2πℏ) 3/2 m
ℏ x′ · x t ′
e pertanto dalla definizione (10), operando la sostituzione (12),
(13) ϱp(p, t) =
d 3 x
1
exp −
(2πℏ) 3/2 i
ℏ p·x
〈x|ψt 〉
2
〈x|ψt 〉
=
d 3
x 〈p|x〉〈x|ψt 〉
Concludiamo che la distribuzione di valori del momento lineare p sui suoi valori possibili
al tempo t quando la particella è nello stato |ψ t 〉
è data dal modulo quadrato 〈p|ψt 〉 2 ,
dove 〈p|ψ t 〉 è la componente di |ψ t 〉
2
2
= 〈p|ψt 〉 2 .
sul sistema completo degli autoket |p〉 dell’operatore momento lineare ˆp, normalizzati secondo la (6),
o, ciò che è lo stesso, è il coefficiente nello sviluppo di ψ t (x) sulle autofunzioni (5) dell’operatore ˆp.
Nota
Poiché d 3 p = ℏ 3 d 3 k, la distribuzione di valori del momento lineare ridotto k è data da
ϱ k(k, t) = ℏ 3 ϱp(p, t)
p=ℏk = 〈k|ψt 〉 2 .

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Momento lineare di una particella non libera
In meccanica classica la definizione p = mv del momento lineare di una particella
prescinde dall’evoluzione dinamica del sistema specificata dall’energia potenziale V (x).
Pur essendo la definizione di p in termini di v indipendente dal potenziale V (x),
l’evoluzione nel tempo di v e quindi di p dipende cionondimeno da V (x).
Se e solo se la particella è libera, v e quindi p sono costanti.
Assumendo il medesimo atteggiamento in meccanica quantistica,
possiamo estendere a una particella anche non libera ed eventualmente anche in uno stato legato,
l’interpretazione di ˆp = −iℏ∇
come operatore che rappresenta, nel senso descritto, il momento lineare
e l’interpretazione della distribuzione ϱp(p, t) definita dalle equazioni (10–12) e data dalla (13)
come distribuzione di valori di p al tempo t.
Analogamente all’evoluzione del valore di p in meccanica classica,
l’evoluzione della distribuzione ϱp(p, t) in meccanica quantistica dipenderà dal potenziale V (x).
Se e solo se la particella è libera,
la funzione d’onda ψ t (x) è data dalla (3) a ogni tempo t,
il coefficiente 〈p|ψ t 〉 è (1/ℏ 3/2 ) 〈k|ψ0〉 exp(−i ω t) e
è indipendente dal tempo.
ϱp(p, t) = (1/ℏ 3 ) 〈k|ψ0〉 2 = 〈p|ψ0〉 2

.
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Distribuzione di probabilità dei risultati di una misurazione del momento lineare
Possiamo idealmente definire nel modo seguente
una misurazione del momento lineare di una particella al tempo t.
In una regione R dello spazio è installato un sistema di rivelatori della posizione
ciascuno dei quali accerta se la particella è contenuta in una certa cella spaziale di dimensioni finite.
Le celle ricoprono completamente la regione R come illustrato nella figura.
○ D
Nella regione R il potenziale V (x) è nullo
oppure è annullato da un opportuno dispositivo facente parte dell’apparato.
I rivelatori possono essere mantenuti del tutto inattivi fino a un tempo grande t ′
ed essere attivati a tale tempo.
Al tempo t la distribuzione ϱ(x, t) = ψt (x) 2 occupa un dominio D,
a sua volta contenuto nella regione R (vedi la figura).
Attivati i rivelatori al tempo t ′ ,
se la particella è rivelata nella cella (punteggiata nella figura) attorno al punto x ′ e x appartiene a D
attribuiamo a essa al tempo t il momento lineare dato da
p = m x′ − x
t ′ − t −→
t ′ →∞
....
x′
m ·
t ′
L’incertezza di questa attribuzione dovuta alle dimensioni del dominio D
tende a zero nel limite t ′ → ∞.
È allora evidente che la densità di probabilità di attribuire alla particella il momento p
è data dalla distribuzione ϱp(p, t) definita dalle (10–12) e data dalla (13).
Nota
Osserviamo che le conclusioni cui siamo giunti sulla distribuzione di valori del momento lineare
e sulla distribuzione di probabilità dei risultati di un’eventuale misurazione dello stesso
discendono dalle precedenti assunzioni sulla distribuzione di valori della posizione
e sulla distribuzione di probabilità dei risultati di un’eventuale misurazione di questa,
oltre che dalla mutuazione della definizione classica di momento lineare.
R

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Appendice per il calcolo della distribuzione di valori del momento lineare
Nella definizione (10–12) della distribuzione di valori ϱp(p, t) del momento lineare al tempo t
compare la distribuzione di valori (11) ϱ(x ′ , t ′ ) = 〈x ′ |ψt ′〉 2 della posizione al tempo t ′ ,
la funzione d’onda 〈x ′ |ψ t ′〉 essendo l’evoluta libera della funzione d’onda 〈x|ψ t 〉 al tempo t.
La funzione d’onda 〈x ′ |ψ t ′〉) è quindi data da
(14)
〈x ′ |ψt ′〉
= d 3 k 〈x ′ |k〉〈k|ψt 〉 exp − i ω (t ′ − t)
= d 3
x d 3 k 〈x ′ |k〉〈k|x〉〈x|ψt 〉 exp − i ω (t ′ − t)
= 1
(2π) 3
d 3
x 〈x|ψt 〉 d 3 k exp i k·(x ′ − x) exp − i ω (t ′ − t) .
Essendo ω = ℏ
2m (k2 x + k 2 y + k 2 z), l’integrale in d 3 k si fattorizza in tre integrali simili e risulta dato da
d 3 k exp i k·(x ′ − x) exp − i ω (t ′ − t)
2mπ
= exp(−i 3π/4)
ℏ(t ′ 3/2
exp i
− t)
m
2ℏ (x′ − x) 2
(t ′
− t) .
Pertanto
〈x ′ |ψt ′〉
m
= exp(−i 3π/4)
t ′ 3/2 1
− t (2πℏ) 3/2
d 3
x 〈x|ψt 〉 exp i m
2ℏ (x′ − x) 2
(t ′
− t)
e la distribuzione (11) è
(15) ϱ(x ′ , t ′ ) =
Allora, poiché
dalla (15) risulta
m
t ′ 3 1
− t (2πℏ) 3
m
t ′ − t
3 lim
t ′ →∞ ϱ(x′ , t ′ ) =
−→
t ′ →∞
exp −i m
ℏ x′ · x (t ′
− t)
d 3
x 〈x|ψt 〉 exp i m
2ℏ x2 (t ′
− t) exp −i m
ℏ x′ · x (t ′
− t)
2
.
m
t ′
3
, exp i m
2ℏ x2 (t ′
− t)
m
t ′
3
d 3 x
−→
t ′ →∞
−→
t ′ →∞ exp
−i m
ℏ x′ · x t ′
,
1
exp −i
(2πℏ) 3/2 m
ℏ x′ · x t ′
1 ,
〈x|ψt 〉
2
.

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Riduzione nel momento lineare
Diciamo V il volume cubico di lato 2a di centro x ′ e entro il quale è trovata la particella
nell’esperimento ideale di misurazione del momento lineare precedentemente descritto.
Allora alla particella è attribuito un momento lineare
contenuto nel volume cubico W nello spazio dei momenti di lato 2m a
.
′ e di centro
t
p = m x′
t ′
(t ′ → ∞).
spazio fisico spazio dei momenti
V W
x′. →
p.
a ma/t ′
Indicando con χ D( · ) la funzione caratteristica di un dominio D,
la relazione tra i domini V e W si traduce nella relazione χ W (q) = χ V (q t ′ /m).
Al tempo t ′ ha luogo la riduzione del vettore di stato
|ψt ′〉 −→ |ψt ′ +ε〉 = 1
N PV |ψt ′〉, N = 〈ψt ′|PV |ψt ′〉,
dove il proiettore PV ha il rappresentativo di Schrödinger
〈y|PV |y〉 = χ V (y) δ(y − y).
Condizioni sulle caratteristiche dell’apparato misuratore
L’incertezza cinematica ∆cp della determinazione di p vale ∆cp = ma
′ .
t
Affinché la misurazione sia significativa
deve essere ∆cp = ma
′ t
≪ p = mx′ ′ t
e quindi
(16) a ≪ x ′ .
L’incertezza quantistica del momento ∆qp introdotta dalla riduzione nel volume V vale ∆qp = ℏ a ·
Se vogliamo che la determinazione della posizione non allarghi significativamente la distribuzione in p
deve essere ∆qp = ℏ a
≪ p e quindi
(17)
ℏ p ≪ a,
avendo indicato simbolicamente con p tutti i valori del momento rilevanti nella funzione d’onda
ai tempi precedenti la misurazione della posizione.
Le condizioni (16) e (17) possono essere simultaneamente soddisfatte
(aumentando adeguatamente il tempo e la distanza di volo t ′ e x ′ se sono presenti piccoli valori di p).

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Formule utili
Risulta facilmente che
i
dy exp q y χ
i
(x ′ −a,x ′
ℏ
+a)(y) = 2πℏ exp
ℏ q x′ 1 1
π q
sin q (ℏ/a)
i
= 2πℏ exp
ℏ q x′ δ S
ℏ/a(q)
e, per il teorema sulla trasformata inversa di Fourier,
χ (x ′ −a,x ′ +a)(y) = 1
d
2π
q
ℏ exp
− i
i
q y 2πℏ exp
ℏ ℏ q x′
δ S
ℏ/a(q) = dq exp − i
ℏ q(y − x′
) δ S
ℏ/a(q).
Da queste seguono le formule tridimensionali
(18)
i
dy exp
ℏ q·y
χV (y) = (2πℏ) 3
i
exp
ℏ q·x′ δ S
ℏ/a(q),
(19) χV (y) = dq exp − i
ℏ q·(y − x′
) δ S
ℏ/a(q).
Dalla (18) si ottiene che il rappresentativo di PV nella rappresentazione del momento è
〈q|PV |q〉 = dy dy 〈q|y〉〈y|PV |y〉〈y|q〉 =
1
(2πℏ) 3
i
dy exp
ℏ
= exp
(q − q)·y χV (y)
i
ℏ (q − q)·x′ δ S
ℏ/a(q − q).
Calcolo del rappresentativo del vettore di stato finale nella rapprentazione del momento
Assumendo t = 0 per abbreviare le scritture, poniamo
|ψ0〉 = dq |q〉〈q|ψ0〉 = dp |p〉 c(q),
e calcoliamo
dove
|ψt ′〉
= dq |q〉〈q|ψt ′〉
= dq |q〉 exp − i
ℏ
q2 2m t′
c(q)
|ψ ′ t +ε 〉 = 1
N PV |ψt ′〉 = 1
dq dq |q〉〈q|PV |q〉〈q|ψ
N
t ′〉 = dq |q〉 cV (q),
cV (q) = 1
i
dq exp
N ℏ (q − q)·x′
δ S
ℏ/a(q − q) exp − i
ℏ
q2 2m t′
c(q)
è il rapprentativo del vettore di stato nella rappresentazione del momento a riduzione avvenuta.
Nota
Nel limite a → ∞, che viola la condizione (16), δ S
ℏ/a(q − q) diventa δ(q − q), N vale 1 e risulta
cV (q) = exp − i
ℏ
q2 2m t′
c(q),
consistentemente con il fatto che non è avvenuta alcuna misurazione.

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Poniamo ancora
con il ché
dq · · · = dd · · · ,
q − q = d,
q 2 = (q + d) 2 = q 2 + 2d·q + d 2
δ S
ℏ/a(q − q) = δ S
ℏ/a(d)
c(q) = c(q + d).
Poiché il fattore δ S
ℏ/a(d) limita l’integrale in dd a un intorno di 0 dell’ordine di ℏ/a,
possiamo calcolare cV (q) usando le approssimazioni
Risulta allora
cV (q) 1
c(q) exp
N
= 1
c(q) exp
N
Per l’equazione (19) si ha infine
(20)
− i
c(q + d) c(q),
q 2 + 2d·q + d 2 q 2 + 2d·q.
ℏ
− i
ℏ
q2 2m t′
i
dd exp
q 2
2m t′
cV (q) 1
c(q) exp −
N i
ℏ
= 1
c(q) exp
N
ℏ d·x′ δ S
ℏ/a(d) exp
− i
ℏ
t′
d·q
m
dd exp − i
ℏ d·q t ′ /m − x ′ δ S
ℏ/a(d).
− i
ℏ
q2 2m t′
χV (q t ′ /m)
q 2
2m t′
Nell’ambito delle condizioni imposte all’apparato misuratore,
a parte l’inevitabile presenza del fattore temporale
χW (q).
dovuta all’inevitabile durata del processo di misurazione del momento lineare,
la riduzione in momento ha le stesse caratteristiche formali della riduzione in posizione,
il dominio W essendo precisamente il dominio dei valori attribuiti a p dalla misurazione.
Il risultato (20) può anche essere descritto dicendo che la misurazione di p
seleziona quella parte della funzione d’onda corrispondente ai valori di p risultanti dalla misurazione.