LA GRANDEZZA MOMENTO LINEARE L'operatore momento ...

3/5 LA GRANDEZZA MOMENTO LINEARE 10/11 4
Allora, tenuto conto che, secondo la (9),
definiamo
d 3 p = lim
t ′ →∞
(10) ϱp(p, t) = lim
t ′ →∞
dove
(11)
(12)
m
t ′
3 d 3 x ′ ,
′ 3
t
m
ϱ(x ′ , t ′ ),
ϱ(x ′ , t ′ ) = ψt ′(x ′ ) 2 = 〈x ′ |ψt ′〉 2 ,
x ′ = t′
m p,
e la funzione d’onda 〈x ′ |ψ t ′〉 al tempo t ′ deve essere calcolata dalla funzione d’onda 〈x|ψ t 〉 al tempo t
nell’ambito dell’assunzione che la particella sia libera.
Dal calcolo riportato più avanti nell’appendice risulta
lim
t ′ →∞ ϱ(x′ , t ′ ) =
m
t ′
3
d 3 x
1
exp −i
(2πℏ) 3/2 m
ℏ x′ · x t ′
e pertanto dalla definizione (10), operando la sostituzione (12),
(13) ϱp(p, t) =
d 3 x
1
exp −
(2πℏ) 3/2 i
ℏ p·x
〈x|ψt 〉
2
〈x|ψt 〉
=
d 3
x 〈p|x〉〈x|ψt 〉
Concludiamo che la distribuzione di valori del momento lineare p sui suoi valori possibili
al tempo t quando la particella è nello stato |ψ t 〉
è data dal modulo quadrato 〈p|ψt 〉 2 ,
dove 〈p|ψ t 〉 è la componente di |ψ t 〉
2
2
= 〈p|ψt 〉 2 .
sul sistema completo degli autoket |p〉 dell’operatore momento lineare ˆp, normalizzati secondo la (6),
o, ciò che è lo stesso, è il coefficiente nello sviluppo di ψ t (x) sulle autofunzioni (5) dell’operatore ˆp.
Nota
Poiché d 3 p = ℏ 3 d 3 k, la distribuzione di valori del momento lineare ridotto k è data da
ϱ k(k, t) = ℏ 3 ϱp(p, t)
p=ℏk = 〈k|ψt 〉 2 .