LA GRANDEZZA MOMENTO LINEARE L'operatore momento ...

3/5 LA GRANDEZZA MOMENTO LINEARE 10/11 8
Riduzione nel momento lineare
Diciamo V il volume cubico di lato 2a di centro x ′ e entro il quale è trovata la particella
nell’esperimento ideale di misurazione del momento lineare precedentemente descritto.
Allora alla particella è attribuito un momento lineare
contenuto nel volume cubico W nello spazio dei momenti di lato 2m a
.
′ e di centro
t
p = m x′
t ′
(t ′ → ∞).
spazio fisico spazio dei momenti
V W
x′. →
p.
a ma/t ′
Indicando con χ D( · ) la funzione caratteristica di un dominio D,
la relazione tra i domini V e W si traduce nella relazione χ W (q) = χ V (q t ′ /m).
Al tempo t ′ ha luogo la riduzione del vettore di stato
|ψt ′〉 −→ |ψt ′ +ε〉 = 1
N PV |ψt ′〉, N = 〈ψt ′|PV |ψt ′〉,
dove il proiettore PV ha il rappresentativo di Schrödinger
〈y|PV |y〉 = χ V (y) δ(y − y).
Condizioni sulle caratteristiche dell’apparato misuratore
L’incertezza cinematica ∆cp della determinazione di p vale ∆cp = ma
′ .
t
Affinché la misurazione sia significativa
deve essere ∆cp = ma
′ t
≪ p = mx′ ′ t
e quindi
(16) a ≪ x ′ .
L’incertezza quantistica del momento ∆qp introdotta dalla riduzione nel volume V vale ∆qp = ℏ a ·
Se vogliamo che la determinazione della posizione non allarghi significativamente la distribuzione in p
deve essere ∆qp = ℏ a
≪ p e quindi
(17)
ℏ p ≪ a,
avendo indicato simbolicamente con p tutti i valori del momento rilevanti nella funzione d’onda
ai tempi precedenti la misurazione della posizione.
Le condizioni (16) e (17) possono essere simultaneamente soddisfatte
(aumentando adeguatamente il tempo e la distanza di volo t ′ e x ′ se sono presenti piccoli valori di p).