Trasformazioni nello spazio Grafica 3d

Trasformazioni nello spazio
Grafica 3d
Giancarlo RINALDO
rinaldo@dipmat.unime.it
Dipartimento di Matematica
Università di Messina
Trasformazioni nello spazioGrafica 3d – p. 1

Introduzione
In questa lezione estenderemo quanto detto nella
precedente lezione allo spazio a 3 dimensioni.
In particolare
I punti in coordinate omogenee avranno 4 coordinate
(x,y,z, 1);
Trasformazioni nello spazioGrafica 3d – p. 2

Introduzione
In questa lezione estenderemo quanto detto nella
precedente lezione allo spazio a 3 dimensioni.
In particolare
I punti in coordinate omogenee avranno 4 coordinate
(x,y,z, 1);
Alle trasformazioni saranno associate matrici 4 × 4.
Trasformazioni nello spazioGrafica 3d – p. 2

Introduzione
In questa lezione estenderemo quanto detto nella
precedente lezione allo spazio a 3 dimensioni.
In particolare
I punti in coordinate omogenee avranno 4 coordinate
(x,y,z, 1);
Alle trasformazioni saranno associate matrici 4 × 4.
La rappresentazione su un piano dovrà essere
effettuata tramite una proiezione.
Trasformazioni nello spazioGrafica 3d – p. 2

Introduzione
In questa lezione estenderemo quanto detto nella
precedente lezione allo spazio a 3 dimensioni.
In particolare
I punti in coordinate omogenee avranno 4 coordinate
(x,y,z, 1);
Alle trasformazioni saranno associate matrici 4 × 4.
La rappresentazione su un piano dovrà essere
effettuata tramite una proiezione.
In un primo momento visualizzeremmo sul nostro
schermo solo le coordinate x, y, scartando la z,
successivamente considereremo le proiezioni.
Trasformazioni nello spazioGrafica 3d – p. 2

Orientamento
Trasformazioni nello spazioGrafica 3d – p. 3

Orientamento
Nel proseguio considereremo il nostro spazio in un
sistema di coordinate cartesiane ortogonali, cioè tali che
x ⊥ y, x ⊥ z, y ⊥ z.
Trasformazioni nello spazioGrafica 3d – p. 3

Orientamento
Nel proseguio considereremo il nostro spazio in un
sistema di coordinate cartesiane ortogonali, cioè tali che
x ⊥ y, x ⊥ z, y ⊥ z.
Inoltre orienteremo i nostri assi nel seguente modo: se x
e y sono disegnati nel modo “standard” sul nostro
schermo, allora l’asse z sarà perpendicolare al piano
(schermo) ed uscente nella nostra direzione.
Trasformazioni nello spazioGrafica 3d – p. 3

Orientamento
Nel proseguio considereremo il nostro spazio in un
sistema di coordinate cartesiane ortogonali, cioè tali che
x ⊥ y, x ⊥ z, y ⊥ z.
Inoltre orienteremo i nostri assi nel seguente modo: se x
e y sono disegnati nel modo “standard” sul nostro
schermo, allora l’asse z sarà perpendicolare al piano
(schermo) ed uscente nella nostra direzione.
Analogamente possiamo usare la regola della “mano
destra” : si punta il pollice nella direzione dell’asse x,
l’indice in quella dell’asse y, il medio dà la direzione
dell’asse z.
Trasformazioni nello spazioGrafica 3d – p. 3

Traslazione nello spazio
Trasformazioni nello spazioGrafica 3d – p. 4

Traslazione nello spazio
I punti nello spazio xyz possono essere “traslati” in una
nuova posizione aggiungendo le quantità, Tx, Ty, Tz, cioè
considerando la trasformazione:
Trasformazioni nello spazioGrafica 3d – p. 4

Traslazione nello spazio
I punti nello spazio xyz possono essere “traslati” in una
nuova posizione aggiungendo le quantità, Tx, Ty, Tz, cioè
considerando la trasformazione:
(x ′ ,y ′ ,z ′ , 1) =
⎛
⎜
⎝
1 0 0 Tx
0 1 0 Ty
0 0 1 Tz
0 0 0 1
⎞
⎟
⎠
⎛
⎜
⎝
x
y
z
1
⎞
⎟
⎠
Trasformazioni nello spazioGrafica 3d – p. 4

Traslazione nello spazio
I punti nello spazio xyz possono essere “traslati” in una
nuova posizione aggiungendo le quantità, Tx, Ty, Tz, cioè
considerando la trasformazione:
(x ′ ,y ′ ,z ′ , 1) =
⎛
⎜
⎝
1 0 0 Tx
0 1 0 Ty
0 0 1 Tz
0 0 0 1
Ovviamente l’applicazione di una traslazione di Tz unità,
non ha effetto “apparente” sul nostro schermo.
⎞
⎟
⎠
⎛
⎜
⎝
x
y
z
1
⎞
⎟
⎠
Trasformazioni nello spazioGrafica 3d – p. 4

Scala
Trasformazioni nello spazioGrafica 3d – p. 5
.

Scala
Anche i punti nello spazio possono essere “scalati”
(stirati/accorciati) di un fattore Sx lungo l’asse x, di un
fattore Sy lungo l’asse y e di un fattore Sz lungo l’asse z.
Trasformazioni nello spazioGrafica 3d – p. 5

Scala
Anche i punti nello spazio possono essere “scalati”
(stirati/accorciati) di un fattore Sx lungo l’asse x, di un
fattore Sy lungo l’asse y e di un fattore Sz lungo l’asse z.
La trasformazione è data da:
(x ′ ,y ′ ,z ′ , 1) =
⎛
⎜
⎝
Sx 0 0 0
0 Sy 0 0
0 0 Sz 0
0 0 0 1
⎞
⎟
⎠
⎛
⎜
⎝
x
y
z
1
⎞
⎟
⎠
Trasformazioni nello spazioGrafica 3d – p. 5

Scala
Anche i punti nello spazio possono essere “scalati”
(stirati/accorciati) di un fattore Sx lungo l’asse x, di un
fattore Sy lungo l’asse y e di un fattore Sz lungo l’asse z.
La trasformazione è data da:
(x ′ ,y ′ ,z ′ , 1) =
⎛
⎜
⎝
Sx 0 0 0
0 Sy 0 0
0 0 Sz 0
0 0 0 1
Anche in questo caso l’applicazione di una scala Sz, non
ha effetto “apparente” sul nostro schermo.
⎞
⎟
⎠
⎛
⎜
⎝
x
y
z
1
⎞
⎟
⎠
Trasformazioni nello spazioGrafica 3d – p. 5

Scala
Anche i punti nello spazio possono essere “scalati”
(stirati/accorciati) di un fattore Sx lungo l’asse x, di un
fattore Sy lungo l’asse y e di un fattore Sz lungo l’asse z.
La trasformazione è data da:
(x ′ ,y ′ ,z ′ , 1) =
⎛
⎜
⎝
Sx 0 0 0
0 Sy 0 0
0 0 Sz 0
0 0 0 1
Anche in questo caso l’applicazione di una scala Sz, non
ha effetto “apparente” sul nostro schermo.
⎞
⎟
⎠
⎛
⎜
⎝
x
y
z
1
⎞
⎟
⎠
Trasformazioni nello spazioGrafica 3d – p. 5

Rotazione Rz
La rotazione in 2D non è altro che la rotazione rispetto
all’asse z, Rz. Dunque essa avrà la forma:
Trasformazioni nello spazioGrafica 3d – p. 6

Rotazione Rz
La rotazione in 2D non è altro che la rotazione rispetto
all’asse z, Rz. Dunque essa avrà la forma:
(x ′ ,y ′ ,z ′ ⎛
⎞ ⎛ ⎞
cos θ − sinθ 0 0 x
⎜
, 1) = ⎜ sinθ
⎝ 0
cos θ
0
0 0 ⎟ ⎜
⎟ ⎜ y ⎟
1 0 ⎠ ⎝ z ⎠
0 0 0 1 1
Trasformazioni nello spazioGrafica 3d – p. 6

Rotazioni Rx, Ry
La rotazione rispetto all’asse x, Rx, sarà:
Trasformazioni nello spazioGrafica 3d – p. 7

Rotazioni Rx, Ry
La rotazione rispetto all’asse x, Rx, sarà:
(x ′ ,y ′ ,z ′ ⎛
1 0 0 0
⎜
, 1) = ⎜ 0 cosθ − sin θ 0
⎝ 0 sin θ cosθ 0
0 0 0 1
⎞
⎟
⎠
⎛
⎜
⎝
x
y
z
1
⎞
⎟
⎠
Trasformazioni nello spazioGrafica 3d – p. 7

Rotazioni Rx, Ry
La rotazione rispetto all’asse x, Rx, sarà:
(x ′ ,y ′ ,z ′ ⎛
1 0 0 0
⎜
, 1) = ⎜ 0 cosθ − sin θ 0
⎝ 0 sin θ cosθ 0
0 0 0 1
La rotazione rispetto all’asse y, Ry, sarà:
(x ′ ,y ′ ,z ′ , 1) =
⎛
⎜
⎝
cosθ 0 sinθ 0
0 1 0 0
− sin θ 0 cos θ 0
0 0 0 1
⎞
⎟
⎠
⎞
⎟
⎠
⎛
⎜
⎝
⎛
⎜
⎝
x
y
z
1
x
y
z
1
⎞
⎟
⎠
⎞
⎟
⎠
Trasformazioni nello spazioGrafica 3d – p. 7

Una traslazione utile
Proviamo ad effettuare la seguente traslazione
Trasformazioni nello spazioGrafica 3d – p. 8

Una traslazione utile
Proviamo ad effettuare la seguente traslazione
(x ′ ,y ′ ,z ′ ⎛ ⎞ ⎛
1 0 0 −3 x
⎜
, 1) = ⎜ 0 1 0 −3 ⎟ ⎜
⎟ ⎜ y
⎝ 0 0 1 4 ⎠ ⎝ z
0 0 0 1 1
⎞
⎟
⎠
Trasformazioni nello spazioGrafica 3d – p. 8

Esercizi
Ruotare la casa rispetto al suo centro di simmetria
tramite Rx, Ry ed Rz;
Trasformazioni nello spazioGrafica 3d – p. 9

Esercizi
Ruotare la casa rispetto al suo centro di simmetria
tramite Rx, Ry ed Rz;
Ruotare la casa rispetto ad un suo lato (che dunque
giace su un asse di rotazione);
Trasformazioni nello spazioGrafica 3d – p. 9

Esercizi
Ruotare la casa rispetto al suo centro di simmetria
tramite Rx, Ry ed Rz;
Ruotare la casa rispetto ad un suo lato (che dunque
giace su un asse di rotazione);
Scalare la casa rispetto al suo centro di simmetria;
Trasformazioni nello spazioGrafica 3d – p. 9

Esercizi
Ruotare la casa rispetto al suo centro di simmetria
tramite Rx, Ry ed Rz;
Ruotare la casa rispetto ad un suo lato (che dunque
giace su un asse di rotazione);
Scalare la casa rispetto al suo centro di simmetria;
“Tentare” di visualizzare la profondità della casa.
Trasformazioni nello spazioGrafica 3d – p. 9