Le geometrie non euclidee

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Un'altra caratteristica di questo tipo di geometria è che il rapporto tra circonferenza e raggio è minore di PIGRECO. Infatti, la circonferenza di diametro AB non ha centro in C ma in N, ricorda che siamo sulla superficie della sfera, mentre C è posto dentro la sfera. Poiché evidentemente l'arco AN è maggiore del segmento AC, il rapporto tra la circoferenza AB e il suo raggio AN è minore di PIGRECO. Un modello intuitivo, dadatticamente utile per la geometria iperbolica o di Lobacevskj è un po' più complesso. In particolare, non esiste un modello che rappresenti globalmente una geometria di questo tipo. Si può prendere una superficie a forma di sella, o meglio la pseudosfera (vedi scheda sulla pseudosfera di Beltrami). Per il punto P, esterno alla geodetica r, passano più geodetiche (p1 e p2) che non incontrano la geodetica r e che quindi sono parallele a r. http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/HistTopics/Non-Euclidean_geometry.html P. Parrini, Fisica e geometria dall'Ottocento a oggi, Loescher, Torino, 1979 P. Freguglia, Fondamenti storici della geometria, Feltrinelli, Milano,1982 R. Bonola, La geometria non euclidea, esposizione storico critica del suo sviluppo, Zanichelli, Bologna, 1906 R Trudeau, La geometria non euclidea, Bollati Boringheri, Torino, 1991 Il triangolo curvilineo ABC su un pezzo di pseudosfera è il corrispondente di un triangolo rettilineo del piano euclideo, perché è composto da linee geodetiche. La somma degli angoli interni di questo triangolo è minore di 180° e dipende dalla grandezza del triangolo.
Note Euclide Non si conoscono le date di nascita e di morte di questo grande matematico dell'antichità. Si pensa che fosse di origine greca e che abbia studiato con Platone. Viene chiamato a insegnare ad Alessandria (Egitto) durante la dinastia di Tolomeo I Sotere, che va dal 323 al 285 a.C. La sua opera più nota, gli Elementi, si fanno risalire all'anno 300 a.C. L'opera si compone di tredici libri, nove dei quali di geometria, uno sulle proporzioni e tre di aritmetica. E' autore anche di altre opere giudicate minori e riguardanti l'astronomia, la geodesia, l'ottica e la musica. Si attribuiscono a Euclide due celebri battute. La prima è riferita da Proclo (V sec. d.C.). Un giorno Tolomeo gli chiede se ci sia una strada più breve per imparare la geometria, invece che studiarla dagli Elementi. Euclide gli risponde che non esiste una via regia per la geometria. La seconda è riferita da Stobeo (V sec. d.C.). Un giorno, un nuovo allievo di Euclide chiede al maestro: "Cosa ci guadagno a imparare tutto questo?". Euclide prende delle monete e dice a un suo aiutante: "Dagliele, dato che vuole guadagnare da ciò che impara". Lobacevskij N. I. (1793-1856). Matematico russo, rettore dell'Università di Kazan (1827-46) è noto come il matematico che ha fondato la prima delle geometrie non euclidee, conosciuta con il suo stesso nome. In questa geometria la somma degli angoli interni di un triangolo è minore di due retti e per un punto esterno a una retta passa più di una parallela alla retta data. Il primo scritto noto in cui ha esposto la sua teoria è del 1829 ed ha per titolo Sui principi della geometria. Lobacevskij cercò anche di verificare sperimentalmente se la sua nuova geometria fosse empiricamente valida a livello astronomico, senza però trovare conferme. Bolyai J. (1802-1860). Ufficiale del genio ungherese è uno dei fondatori della geometria non euclidea iperbolica. Probabilmente influenzato dal padre Farkas, amico di Gauss, pubblico un saggio sulla nuova geometria come Appendice a un opera del padre. Tra i suoi può interessanti risultati la dimostrazione che, supposto non il vero il postulato di Euclide sulle parallele, si può quadrare il circolo con riga e compasso. Riemann B. (1826-1866). E' generalmente considerato uno dei creatori della matematica moderna: nei suoi pochi scritti, infatti, lanciò diverse idee che furono il punto di partenza per nuovi campi di indagine nella matematica. Nel 1851 scrive i Fondamenti di una teoria generale delle funzioni di variabile complessa, da cui prenderà le mosse la moderna fisica matematica. Altrettanto celebre la sua memoria del 1854 Sulle ipotesi che stanno alla base della geometria, da cui prenderà l'avvio una concezione dello spazio e della geometria intesa in senso puramente matematico, svincolata dall'indagine sullo spazio fisico. In questa memoria si trova uno studio della geometria, con strumenti tipici dell'analisi matematica, più generale rispetto a quello euclideo, che comprende sia la geometria di Euclide sia quelle non euclidee. Klein F. (1849-1925). Ha dato notevoli contributi in numerosi campi della matematica, cercando spesso una via sintetica per collegare ricerche sviluppatesi in modo separato tra di loro. E' noto per aver dato una prova della coerenza logica di quelle che lui definiva le "cosiddette geometrie non euclidee", dimostrando che sono casi particolari di una geometria più generale, quella proiettiva. Nel suo Programma di Erlangen (1872) dà una struttura chiara, completa e soprattutto unitaria delle diverse geometrie note al suo tempo. La base comune per tutte le ricerche geometriche è a suo avviso nella nozione di gruppo di trasformazioni: ogni geometria studia le proprietà invarianti rispetto a un particolare gruppo di trasformazioni che la contraddistingue. Postulato Dal latino postulatum, da postulare, "chiedere". Proposizione posta alla base di una teoria, che si chiede venga accettata senza dimostrazione. V postulato o XI assioma di Euclide. Risulti postulato che, se una retta venendo a cadere su due rette forma gli angoli interni e dalla stessa parte minori di due retti, le due rette prolungate illimitatamente verranno ad incontrarsi da quella parte in cui sono gli angoli minori di due retti. Enunciato delle parallele. E' una formulazione equivalente del V postulato di Euclide, essa afferma che per un punto esterno a una retta data passa una e una sola parallela alla retta data. Geodetica. Si chiama geodetica di una superficie una linea tracciata su di essa che ha la caratteristica di contenere il percorso più breve per unire due punti della superficie senza uscire dalla superficie stessa. Nel piano la geodetica è la retta, su una superficie sferica è un cerchio massimo, su un cilindro e un elica. Il vocabolo ha origine dal greco e significa "dividere la terra".
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