Simmetrie assiali Definizione - Si chiama simmetria assiale ogni ...

Affinità parte terza Pagina 13 di 8 easy matematica di Adolfo Scimone
Simmetrie assiali
Definizione - Si chiama simmetria assiale ogni isometria che trasforma un punto P nel
punto P' simmetrico di P rispetto ad una retta prefissata, detta asse di simmetria.
P Q
P'
Q'
Ne segue che l'asse di simmetria è il luogo di punti uniti, inoltre punti corrispondenti
sono equidistanti dall'asse.
Simmetria rispetto alla retta s di equazione x = k.
Sia s una retta parallela all'asse y e P'(x',y') il simmetrico di P(x,y) rispetto alla retta s
Osservando il grafico si ha
:
y
y = y' P P 0 P'
O x
x = k

Affinità parte terza Pagina 14 di 8 easy matematica di Adolfo Scimone
y'= y
essendo P0 il punto medio di PP' si ha
⎧ x+ x'
⎪x0
=
⎨ 2
⎪
⎩ y = y'
e quindi
⎧x'=
2k
−x
⎨
⎩y'=
y
dove x = k
0
det A =−1
Se k = 0 si ha la simmetria rispetto all'asse y di equazioni
⎧x'=−x
⎨
⎩y'=
y
det A =−1
Simmetria rispetto alla retta r di equazione y = h
Dal grafico si ha
y
P
y = h P 0
⎧ y + y'
⎪y
0 =
⎨ 2 dovey
⎪
⎩x'
= x
e quindi
⎧x'=
x
⎨
⎩y'=
2h−
y
P'
O x = x' x
0
= h
det A =−1

Affinità parte terza Pagina 15 di 8 easy matematica di Adolfo Scimone
Se h = 0 si ha la simmetria rispetto all'asse x che ha equazioni :
⎧y'=−y
⎨
⎩x'=
x
det A =−1
Simmetria rispetto alla bisettrice y = x
Si dice simmetria assiale di asse la retta y = x l'isometria di equazione
⎧x'=
y
⎨ det A =−1
⎩y'=
x
come è facile osservare dal grafico.
y
y P y = x
y' P'
O x x' x
Simmetria rispetto alla bisettrice y =− x
Si dice simmetria assiale di asse la retta y =− x l'isometria di equazione
⎧x'=−y
⎨ det A =−1
⎩y'=−x
y
P y
P 0
P' y'
-x' -x x
y = - x

Affinità parte terza Pagina 16 di 8 easy matematica di Adolfo Scimone
Simmetria rispetto alla retta r : y = m x + q
y
P y = m x + q
M
O x
osserviamo che due punti P(x, y) e P'(x',y') sono simmetrici rispetto alla retta r se si
verificano le seguenti condizioni :
⎡1
1 ⎤
• il punto M ( x+ x ) ( y+ y) r
⎣
⎢2
2 ⎦
⎥ ∈
'; '
• P e P' appartengono alla retta perpendicolare ad r.
Queste condizioni si traducono nelle equazioni :
⎧1
1
( y+ y' ) = m⋅ ( x+ x') + q
⎪2
2
⎨
⎪ y−y' 1
=−
⎩⎪
x−x' m
Risolvendo il sistema rispetto a x', y', si ottengono le equazioni della simmetria rispetto
alla retta r.
m
x
m x
m
m y
mq
'=
m
−
2
1 2 2
+ −
1+
1+
1+
2m
y'=
1+
m
2 2 2
2
1−
m
x −
1+
m
2
2
2q
y +
1+
m
2
Come caso particolare si possono, da questa, ricavare le simmetrie rispetto alle bisettrici
degli assi.
P'

Affinità parte terza Pagina 17 di 8 easy matematica di Adolfo Scimone
Simmetria centrale o equinversione
Si dice simmetria centrale di centro C la trasformazione di R 2 in se stesso che porta C in
C e che ad ogni punto P ∈R 2 diverso da C, associa il punto P'∈R 2 tale che C sia il
punto medio del segmento PP'.
Se Cx ( 0, y0
) P( x, y)
P( x', y')
si ha
y
⎧ x+ x'
= x
⎪ 2
ϕ : ⎨
⎪ y+ y'
= y
⎩⎪
2
da cui si ottiene
⎧x'=
2x0−x
⎨
⎩y'=
2y0−
y
P(x,y)
Cx ( 0, y0
)
P'(y',x')
O x
0
0
det A = 1
che rappresenta una simmetria centrale di centro C che è l'unico punto unito della
trasformazione.
Osservazione
Affinché si abbia una simmetria centrale i vettori AB e A' B'
devono essere paralleli.
Se x0 = y0 = 0 si ottiene la simmetria rispetto all'origine.
Per verificare se due curve : Γ : y = f ( x) e Γ':
y = f1 ( x)
possiedono un
centro di simmetria Cx ( 0, y0
) si pone nella equazione y = f ( x)
1 al posto di x 2x0-x
ed al posto di y 2y0-y e si uguaglia la funzione ottenuta alla f (x) data.
Successivamente , mediante il principio di identità dei polinomi si ricavano i valori di h
e k che soddisfano il sistema.

Affinità parte terza Pagina 18 di 8 easy matematica di Adolfo Scimone
Omografie
Consideriamo il completamento proiettivo P dello spazio affine E con l’aggiunta dei
punti impropri delle rette di E .
Si dice omografia di P ogni trasformazione biiettiva che trasforma rette proiettive in
rette proiettive. La sua equazione è:
⎧ρ
x
⎪
⎨ρ
x
⎪
⎩ρ
x
'
1
'
2
'
3
= a
= a
= a
11
21
31
x
x
1
x
1
1
+ a
12
+ a
+ a
22
32
x
x
2
x
2
2
+ a
13
+ a
+ a
23
33
x
3
x
x
3
3
ρ ≠ 0 det A ≠ 0
Affinché si abbia un punto unito si dovrà sostituire
'
x 1 con 1
x ecc.
Il sistema omogeneo associato deve ammettere soluzioni non nulle, per cui risulta
necessario e sufficiente che si annulli il determinante dei coefficienti del sistema
a
11
a
a
− ρ
21
31
a
a
22
a
12
− ρ
32
a13
a23
= 0
a − ρ
33
che dicesi equazione caratteristica dell’omografia e ammette tre radici ( x 1,
x2
, x3
) in
generale distinte delle quali nessuna risulta nulla altrimenti sarebbe nullo il determinante
a che è escluso a ≠ 0
ij
Prodotto di affinità
Siano
⎧X
= b11x+ b12 y+ r
ϕ : ⎨
⎩Y
= b21x+ b22 y+ s
e
⎧x'=
a11x+ a12 y+ p
ψ : ⎨
⎩y'=
a21x+ a22y+ q
due affinità del piano in sé, si ha la
ij
(1)
(2)
Definizione - Si dice prodotto operatorio o semplicemente prodotto di ψ e ϕ e si scrive
ϕ ψ
l'affinità δ che si ottiene applicando prima ψ e poi ϕ

Affinità parte terza Pagina 19 di 8 easy matematica di Adolfo Scimone
⎧X
= b11( a11x+ a12y+ p) + b12( a21x+ a22 y+ q) + r
δ : ⎨
⎩Y
= b21( a11x+ a12 y+ p) + b22( a21x+ a22 y+ q) + s
⎧X
= ( b11a11 + b12a21) x+ ( b11a12 + b12a22 ) y+ b11p+ b12 + r
δ : ⎨
⎩Y
= ( b21a11 + b22a21) x+ ( b21a12+ b22a22) y+ b21p+ b22q+ s
posto
b11p+ b12 + r = e
b21p+ b22q+ s= f
avremo
⎧X
= ( b11a11 + b12a21) x+ ( b11a12 + b12a22) y+ e
δ : ⎨
⎩Y
= ( b21a11 + b22a21) x+ ( b21a12 + b22a22 ) y+ f
Si può provare facilmente che
a) il prodotto di due affinità è un'affinità, per cui l'insieme A delle affinità è chiuso
rispetto all'operazione
b) l'operazione è associativa
ϕ ( ψ δ) = ( ϕ ψ) δ
c) ∀ϕ∈A ∃ un'affinità I ∈ A tale che
I ϕ= ϕ I=
ϕ
−1 −1 −1
d) ∀ϕ ∈A, ∃! ϕ ∈ A: ϕ ϕ = ϕ ϕ = I
Poiché
ϕ ψ≠ ψ ϕ
Il prodotto di affinità non è commutativo.
Pertanto la struttura ( , )
A è un gruppo non commutativo.
Le affinità formano un gruppo rispetto al prodotto di trasformazioni avente come
sottogruppo il ,gruppo delle similitudini e quindi il gruppo delle isometrie.

Affinità parte terza Pagina 20 di 8 easy matematica di Adolfo Scimone
Si ha quindi il grafo
Affinità
(geometria affine)
Similitudini
(geometria simile gruppo non abeliano)
Isometrie (geometria euclidea) Rotomotetie (gruppo abeliano)
Traslazioni Rotazioni Omotetie
(abeliano) (abeliano) (abeliano)
CAMBIAMENTO DI RIFERIMENTO
Rototraslazione
Per determinare le coordinate del punto P(x, y) rispetto ad un nuovo sistema di
riferimento O ' x ' y ' rototraslato rispetto ad O x y, faremo uso delle formule :
⎧x= x'cosα − y'senα + a ⎧x'
= ( x− a)cos α + ( y−b)senα ⎨ e, viceversa ⎨
⎩y = x'sen α + y'cosα + b ⎩y'
=−( x− a)sen α + ( y−b)cosα che si ottengono dalla composizione dei casi precedenti.
y
Y P
O'
N M
X
α
O H K x