Simmetrie assiali Definizione - Si chiama simmetria assiale ogni ...

Affinità parte terza Pagina 18 di 8 easy matematica di Adolfo Scimone
Omografie
Consideriamo il completamento proiettivo P dello spazio affine E con l’aggiunta dei
punti impropri delle rette di E .
Si dice omografia di P ogni trasformazione biiettiva che trasforma rette proiettive in
rette proiettive. La sua equazione è:
⎧ρ
x
⎪
⎨ρ
x
⎪
⎩ρ
x
'
1
'
2
'
3
= a
= a
= a
11
21
31
x
x
1
x
1
1
+ a
12
+ a
+ a
22
32
x
x
2
x
2
2
+ a
13
+ a
+ a
23
33
x
3
x
x
3
3
ρ ≠ 0 det A ≠ 0
Affinché si abbia un punto unito si dovrà sostituire
'
x 1 con 1
x ecc.
Il sistema omogeneo associato deve ammettere soluzioni non nulle, per cui risulta
necessario e sufficiente che si annulli il determinante dei coefficienti del sistema
a
11
a
a
− ρ
21
31
a
a
22
a
12
− ρ
32
a13
a23
= 0
a − ρ
33
che dicesi equazione caratteristica dell’omografia e ammette tre radici ( x 1,
x2
, x3
) in
generale distinte delle quali nessuna risulta nulla altrimenti sarebbe nullo il determinante
a che è escluso a ≠ 0
ij
Prodotto di affinità
Siano
⎧X
= b11x+ b12 y+ r
ϕ : ⎨
⎩Y
= b21x+ b22 y+ s
e
⎧x'=
a11x+ a12 y+ p
ψ : ⎨
⎩y'=
a21x+ a22y+ q
due affinità del piano in sé, si ha la
ij
(1)
(2)
Definizione - Si dice prodotto operatorio o semplicemente prodotto di ψ e ϕ e si scrive
ϕ ψ
l'affinità δ che si ottiene applicando prima ψ e poi ϕ