capitolo 1 automi cellulari - Dipartimento di Fisica e Astronomia dell ...

CAPITOLO 1 

AUTOMI CELLULARI 

Nel capitolo sono presentati gli Automi cellulari, le loro proprietà ed applicazioni. 

Col termine automa si intende il modello astratto di un dispositivo il quale può 

assumere certi stati, può ricevere stimoli (input) secondo una scala discreta del tempo 

dall’ambiente in cui è immerso e reagisce a questi stimoli con una transizione di stato e 

con una risposta (output) secondo una logica prefissata. 

Un automa cellulare é un sistema dinamico discreto. Spazio, tempo e stati del sistema 

sono discreti. Ogni elemento dell'automa in una griglia spaziale regolare é detto cella e 

può essere in uno degli stati finiti che la cella può avere. Gli stati delle celle variano 

secondo una regola locale, cioè lo stato di una cella ad un dato istante di tempo dipende 

dallo stato della cella stessa e dagli stati delle celle vicine all'istante precedente. Gli stati 

di tutte le celle sono aggiornati contemporaneamente in maniera sincrona. L'insieme 

degli stati delle celle compongono lo stato dell'automa. Quindi lo stato globale 

dell'automa evolve in passi temporali discreti. Secondo questo modello un sistema viene 

rappresentato come composto da tante semplici parti ed ognuna di queste parti per 

evolvere ha una propria regola interna ed interagisce solo con le parti ad essa vicine. 

L'evoluzione globale del sistema "emerge" dalle evoluzioni di tutte le parti elementari. 

1.1 Le origini degli automi cellulari 

Alla fine degli anni ’40 von Neumann, nel tentativo di formulare modelli per simulare la 

complessità dei fenomeni biologici, ed in particolare nel formalizzare il problema della 

riproduzione, si propose la possibilità di costruire dei dispositivi in grado appunto di 

auto riprodursi (self-replication), nei quali era evidente la struttura di sistema parallelo 

distribuito. 

Egli inizialmente prese in considerazione un modello costituito da un insieme di 

componenti con funzioni diverse in sospensione in una sorta di "brodo primordiale" la 

cui evoluzione é definita da una ben precisa serie di equazioni alle derivate parziali. Le 

componenti principali di ogni automa in questo modello erano un controllore, un 

duplicatore, un costruttore, ed una descrizione del modello tramite la quale generare 

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una copia del modello stesso. Nessuna di queste componenti aveva capacità di auto- 

riproduzione, ma tramite la loro interazione essi potevano generare una loro 

riproduzione. Queste "entità auto-riproducentesi" erano capaci di muoversi in questo 

spazio in cui vagavano copie delle proprie componenti e poi di scegliere gli elementi 

necessari per costruire una copia di se stessi. 

Von Neumann verificò ben presto che il suo modello risultava del tutto intrattabile dal 

punto di vista della matematica convenzionale, pertanto decise di adottare un modello, 

suggeritogli da Stanislaw Ulam, prettamente discreto in cui sia lo spazio, il tempo, e le 

variabili fisiche erano soggette ad assumere solo un numero finito di valori. Questo 

modello é basato su un insieme uniforme di celle identiche, in cui ogni cella può 

assumere solo pochi stati e interagisce solo con alcune celle adiacenti. Con l'uso di 

poche semplici regole, una cella calcola il proprio stato nella prossima generazione 

usando il suo stato e l'informazione ricevuta dalle celle vicine nella generazione 

corrente. Tale idea dava le basi alla prima teoria degli automi cellulari, vista come 

metodo di calcolo che in un numero finito di operazioni é in grado di descrivere nel 

tempo l'evoluzione di sistemi molto complicati come appunto quelli capaci di auto- 

riprodursi che si hanno in campo biologico. 

Nei primi anni '50, von Neumann definì un automa cellulare bidimensionale capace di 

auto-riprodursi in cui ogni singola cella può assumere 29 stati differenti. In questo 

automa cellulare, il processo di auto-riproduzione, che nel precedente modello avveniva 

tramite il movimento nello spazio primordiale, si ottiene tramite lo scambio di 

informazione tra celle vicine. Il movimento di un elemento nello spazio cellulare 

avviene semplicemente copiando il suo stato nella cella vicina nella direzione desiderata 

e cancellando lo stato nella cella originale. 

Questa operazione si può ripetere per un arbitrario numero di passi. Per garantire la 

auto-riproduzione, von Neumann definì per l'automa cellulare un costruttore universale 

che è realizzato nell’automa tramite un insieme di celle (pattern) con valori di stato 

particolari ed una regola di transizione di stato (programma) per esse. Questo insieme di 

celle costituiscono un automa virtuale costituito sulla griglia di celle di base che realizza 

una macchina di calcolo universale, cioè una macchina capace di risolvere qualsiasi 

problema che un calcolatore può risolvere. 

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Tramite il costruttore universale, l’auto-riproduzione avviene in due fasi: durante la 

prima fase il programma viene eseguito (interpretato) per generare una copia del 

costruttore, mentre nella seconda fase viene fatta una copia del programma che viene 

associata alla copia del costruttore generata nella prima fase. 

In realtà, già i primi studiosi di cibernetica cominciarono ad intuire la capacità di alcuni 

meccanismi di svolgere funzioni tipicamente umane, in modo particolare quelle relative 

ad alcune attività mentali elementari. 

Questa intuizione fu resa concretamente possibile dalla costruzione di alcuni dispositivi 

i quali eseguivano dei compiti prefissati. Si deve notare che molti di questi meccanismi 

automatici risultarono essere stati costruiti prima che tale problematica si ponesse in 

questi termini. Uno dei più famosi di tali dispositivi fu indubbiamente la pascalina, la 

quale svolgeva calcoli additivi in modo puramente meccanico eseguendo 

automaticamente il riporto. 

Proprio in connessione con questi studi, comprendenti vari aspetti teorici e pratici di 

natura tipicamente interdisciplinare, von Neumann adottò il termine automa, parola 

usata da anni come sinonimo di un dispositivo in grado di agire, in un determinato 

contesto, in modo autonomo. 

Gran parte del lavoro di von Neumann è stato completato ed ampliato da Burks (1970). 

Questa linea di ricerca sull’automa cellulare è stata sviluppata negli anni sessanta 

mediante studi relativi alla costruzione, adattamento, ottimizzazione ed indagini sulle 

proprietà puramente matematiche degli AC. 

Lo sviluppo degli AC è avvenuto negli anni settanta con l’introduzione della “game of 

the life” di John Conway’s ( Gardner, 1970). Life era stato concepito come un semplice 

modello di una ecologia contenete celle le quali erano in grado di vivere o morire in 

base a pochi semplici ruoli. Questo modello ha mostrato avere ricchi “patterns” di 

attività ed è capace di sopportare un grande numero di strutture complicate. 

Un’altra via di ricerche - la più rilevante per lo scopo della presente tesi e che sarà 

discussa nei paragrafi successivi - è stata quella che ha studiato le applicazione degli 

automi cellulari alla fisica (Toffoli, 1977). 

Un successivo importante sviluppo, anche con una particolare attenzione alle possibili 

applicazioni, si è poi avuto negli anni ’80 grazie a lavori di Stephen Wolfram e altri. 

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Gli automi cellulari sono stati applicati in fisica, chimica, biologia, ecologia e, a partire 

dalla fine degli anni ’80, nello studio della morfologia urbana e territoriale 

L’utilizzazione degli automi cellulari è stata particolarmente favorita dalle innovazioni 

tecnologiche che hanno permesso la costruzione di computer sempre più potenti. 

1.2 Automi cellulari 

Sono presentate la definizione di automa cellulare e le caratteristiche fondamentali del 

modello. 

La semplice struttura degli automi cellulari (AC), dai tempi di Von Neumann al recente 

libro di Wolfram (2002) “ A New Kind of Science”, ha attratto, grazie alla sua 

semplicità ed al suo enorme potenziale nel costruire modelli di sistemi complessi, 

ricercatori di varie discipline ed è stata soggetta a rigorose analisi fisiche e matematiche. 

Un automa cellulare, anche elementare, ha le seguenti proprietà: è un sistema discreto 

nello spazio e nel tempo; è costituito da singole celle separate; è locale, vale a dire lo 

stato di ogni cella in un dato istante è determinato esclusivamente dagli stati assunti 

nell’istante precedente, dalle celle appartenenti all’intorno della cella; è omogeneo (la 

struttura dell’intorno è uguale per ogni cella) e parallelo, cioè ad ogni istante le celle 

sono aggiornate simultaneamente 

Un automa cellulare è un generico sistema discreto sia nello spazio sia nel tempo. E’ 

definito su un reticolo nei cui siti sono disposte delle variabili che possono assumere un 

numero finito di valori. L’evoluzione avviene aggiornando simultaneamente tutti i siti 

del reticolo in accordo con le probabilità locali di transizione. 

L’interesse per tali sistemi è dovuto alla loro semplicità concettuale che tuttavia 

permette di riprodurre la fenomenologia del comportamento del critico. Oltre a questo, 

gli automi cellulari, per la loro natura completamente discreta, si rivelano estremamente 

adatti alla simulazione numerica, mediante l’utilizzo di calcolatori digitali. 

Una delle idee fondamentali del concetto di automa cellulare è quella di riuscire a 

ricostruire il comportamento complesso di un sistema a partire da semplici regole che 

descrivono l’interazione dei “micro-componenti” in cui si pensa suddiviso il sistema 

stesso. Si potrebbe quindi dire che l’idea di base degli AC è di tentare di descrivere un 

sistema complesso non “dall’alto” usando complesse equazioni, ma simulandolo 

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mediante interazioni di celle che seguono semplici regole, lasciando così che la 

complessità emerga da tali interazioni. 

Sono stati affrontati problemi di varia natura mediante modelli basati su automi 

cellulari; tra questi possiamo citare quelli legati allo studio dei movimenti dei pedoni in 

una città, il problema del traffico dei veicoli o problemi di natura più schiettamente 

matematica come l’esistenza di macchine in grado di riprodurre se stesse o problemi di 

diffusione, come es. lo studio della miscelazione di due liquidi diversi. (Wolfram, 

1986). 

1.2.1 Definizione formale di automa cellulare 

Una definizione formale di automa cellulare deve tener conto di due caratteristiche 

fondamentali. 

La prima è l'uniformità, dovuta al fatto che gli enti che si trovano in ciascun punto dello 

spazio sono identici. La seconda è la località, in quanto ogni ente tiene conto solo di ciò 

che succede entro una certa distanza da sé. 

Ci concentreremo sulla definizione "classica", che opera nel caso in cui lo spazio 

ambiente sia euclideo. Nel seguito indicheremo con Z l'insieme dei numeri interi. 

Occorre anzitutto decidere la dimensione dello spazio ambiente e fissare l'insieme degli 

stati, che deve essere finito, e deve avere almeno due elementi per evitare situazioni 

banali. Occorre stabilire, inoltre, quali sono i vicini che ogni cella "controlla" ai fini 

della sua evoluzione: tali punti devono essere tutti entro una certa distanza, fissata, dalla 

cella. Infine, va detto "in che modo" le celle cambiano stato. 

Possiamo riassumere questo discorso e dare la seguente definizione formale: 

un automa cellulare è una quadrupla < d, Q, N, f > in cui: 

d è un numero intero positivo, detto dimensione; 

Q è un insieme finito, detto spazio degli stati; 

N è un sottoinsieme finito di Z d , detto indice di vicinato; 

f è una funzione definita su Q |N| a valori in Q tale che, detto ci t lo stato della cella nel 

punto i dello spazio Z d al tempo t, e indicati con n1, n2, ..., n|N| gli elementi di N, risulta: 

ci t+1 =f(ci+n1 t ,ci+n2 t ,...,ci+n|N| t ) (1.1) 

in ogni punto i e ad ogni istante di tempo t. 

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Definiamo un automa cellulare 

Intuitivamente un automa cellulare può essere pensato come una rete infinita di piccoli 

ed identici automi finiti, o celle, connessi uniformemente e sincronizzati. Il termine 

cellulare si riferisce alla sotto-unità ottenuta da tale costruzione e non deve implicare 

necessariamente una analogia con le cellule di organismi viventi. Ciascuna di queste 

sotto-unità è detta anche automa elementare (AE). 

L’insieme delle celle forma uno spazio euclideo d-dimensionale. Usualmente, in 

applicazioni concrete, d assume il valore 1,2,3 o 4. Ad ognuno di questi siti è associata 

una variabile di stato, chiamata stato della cella, che può assumere valori in un insieme 

finito detto l’insieme degli stati. Il tempo avanza a passi discreti. L’evoluzione del 

sistema è dovuta ad un’unica funzione, detta funzione di transizione, che viene usata ad 

ogni passo da ogni cella per determinare il suo nuovo stato a partire dallo stato corrente 

e dagli stati di alcune celle che compongono un vicinato della cella stessa. Il passaggio 

da uno stato a quello successivo è dovuto alla composizione di due operatori, il vicinato, 

che specifica quali celle influiscono sulla data cella e la già menzionata funzione di 

transizione. 

Il vicinato o intorno specifica le posizioni, relative alla cella generica, di un numero 

finito di celle. Tali vicini non necessitano di essere quelli fisicamente adiacenti. Possono 

includere la cella stessa, oppure celle fisicamente distanti dalla cella considerata. 

L’importante è che le celle che compongono il vicinato siano in numero finito e che il 

tipo di vicinato sia uguale per ogni cella che compone l’automa cellulare. 

L’idea del concetto di automa cellulare (AC) è, come già accennato prima, quella che 

da interazioni locali semplici scaturiscono comportamenti globali complessi. 

Nei seguenti paragrafi introdurremo i dati che costituiscono un generico AC. 

1.3 La geometria della matrice delle celle 

Generalmente nelle implementazioni reali degli automi si considerano reticoli 

rettangolari composti da quadrati identici (cubi in E 3 ). In E 2 hanno anche rilevanza i 

reticoli esagonali e triangolari. 

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Il reticolo Γ: 

Nello spazio d R (dove D è la dimensione dello spazio nel quale si trova l’AC, 

solitamente D ≤ 3 ) viene considerato un insieme di “cellule” (o “celle”), disposte in 

genere su un “reticolo” Γ 

Ad esempio se 1 d = le cellule dell’automa sono solitamente disegnate nel seguente 

modo 

Se 2 d = le cellule possono essere di vario tipo: 

Se infine D=3 le cellule sono solitamente rappresentate con cubi o parallelepipedi. 

Si noti che ogni cellula può essere univocamente individuata assegnandole d numeri 

interi (assumiamo per semplicità una “maglia” unitaria) i =1,2,…,d ∈ : Ζ per esempio 

nel caso mono-dimensionale basta stabilire quale cella etichettare con 0 e in quale 

direzione mettere i numeri positivi: 

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Nel caso bidimensionale basta stabilire quale cella etichettare con (0,0) e quali sono le 

due direzioni positive (come in un sistema di assi cartesiani, si veda la precedente figura 

per qualche esempio). Se il reticolo Γ è di dimensione D, con Γ=Ζ e quindi con un 

numero infinito di punti e senza bordi, si ha un problema di implementazione pratica in 

un calcolatore. In pratica invece di un reticolo infinito si fanno le seguenti scelte: 

1 Identificazione dei bordi (sistema periodico): 

Possiamo spiegare l’idea, nel caso monodimensionale, con la seguente figura 

Γ consiste dei punti 0,1,2… ripetuti nel modo sopra indicato. 

In altre parole è come pensare le sole celle distinte (0, 1, 2 nel precedente caso) poste su 

un “cilindro” o, ancora, immaginare tali celle disegnate su una striscia di carta i cui 

bordi opposti siano poi tra loro incollati. 

Nel seguente caso bidimensionale lo stesso tipo di idea può essere applicato facendo 

coincidere i lati opposti e ottenendo quindi un toro. 

2. Riflessione delle celle di bordo: 

Consideriamo per esempio il caso monodimensionale Γ=Ζ. Nel caso di riflessione delle 

celle del bordo distinguiamo tra celle “interne” e celle di “bordo”: 

3. Bordo costante: 

Si stabilisce che lo stato del bordo è costante, non ha in pratica alcuna evoluzione 

temporale (conviene allora fissare tale stato costante ad un valore particolare che indichi 

“stato non significativo”). 

In realtà questo tipo di scelta va ben analizzata, perché assumere un bordo costante non 

è senza conseguenze sullo stato delle celle interne. Questo tipo di condizione al bordo è 

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particolarmente naturale per i cosiddetti “gas models” in cui il bordo viene ad avere 

l’interpretazione del recipiente che contiene un gas opportunamente simulato dall’AC. 

Continuiamo ora con la descrizione dei dati di un AC. 

1.3.1 Gli intorni o vicinato di ogni cellula 

La scelta dell’intorno di una generica cella è essenziale. Nei casi di automi cellulari 

bidimensionali e tridimensionali gli intorni più usati sono di tre tipi: l’intorno di von 

Neumnn, l’intorno di Moore e l’intorno di Margolus. 

Si assume che una qualsiasi cella i ε Γ interagisca solo con un certo insieme U (i) di 

altre celle (ad esempio quelle immediatamente vicine). 

Esempi: 

Nel caso monodimensionale (con Γ = Ζ) possiamo avere U (i ) = {i-1, i, i+1}, per 

esempio facendo riferimento alla figura (2.1) abbiamo U (2 ) = {1, 2, 3}. Si noti che U 

(i) contiene sempre la cella stessa, cioè i ε U (i) (possiamo per esempio pensare che ogni 

cella rappresenti una molecola in un cristallo che interagisce magneticamente solo con 

quelle più vicine e che le interazioni con quelle più lontane siano trascurabili). 

I tipi di intorni maggiormente considerati sono quelli di von Neumann e di Moore, di 

seguito rappresentati per il caso bidimensionale per due valori del raggio: 

Se Γ=Ζ d , ogni cella è rappresentata da d numeri interi. La definizione generale degli 

intorni di von Neumann è: 

i ,..., i ) = { ( j ,..., j ) : j − i + ... + j − i ≤ r}. 

(1.2) 

U ( 1 d 1 d 1 1 

d d 

{ ( j ,..., j ) : j − i ≤ r... 

e... 

j − i ≤ r}. 

U ( i1,..., 

id 

) = 1 d 1 1 

d d 

(1.3) 

Nel caso monodimensionale 1 d = essi quindi coincidono. 

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Per specificare un generico intorno come il seguente 

in generale occorre dare le coordinate di ogni cella facente parte dell’intorno stesso. 

Gli intorni possono variare molto da cella a cella. 

Per la definizione degli intorni delle celle di bordo, nel caso in cui Γ sia finito, bisogna: 

1. Nel caso d’identificazione dei bordi conviene pensare le celle poste su un “cilindro”: 

se si considerano i “primi vicini” allora abbiamo per esempio 

U (0) = {5,0,1}, U (1) = {0,1,2 } ma U (5) = {4,5,0}. 

2. Nel caso della riflessione dei bordi facciamo riferimento per semplicità alla figura 

(2.2); per essa possiamo dire che U (1) = {0,1,2}, U (0) ={0,1} 0 0,1 U (2) ={1,2} 

e che tutte le rimanenti celle vanno considerate vere e proprie copie delle celle 0 e 2, 

quindi con gli stessi intorni sopra specificati. 

3. Infine nel caso di bordi costanti occorre distinguere tra celle interne e di bordo. Per 

queste ultime non è importante definirne un intorno perché esse non hanno evoluzione. 

Per le celle interne, invece, occorrerà fare in modo che l’evoluzione non dipenda dallo 

stato delle celle di bordo, proprio perché questo è ritenuto “non significativo”. 

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1.3.2 L’insieme degli stati 

Si possono avere automi cellulari binari in cui vi sono solo due strati per cella che 

possono essere rappresentati come 1 o 0, vero o falso o automi composti da celle il cui 

stato è codificato tramite un singolo byte (8 byte) e quindi i possibili valori di stato sono 

ristretti a non più di 2 8 = 256. Allo stesso tempo si possono definire automi cellulari con 

un numero molto elevato di stati possibili. 

Ad ogni cella è attribuito uno “stato”, che esprime una sua qualità. Gli stati sono per 

ipotesi in numero finito. 

Chiameremo S l’insieme degli stati, detto anche “spazio degli stati” o “alfabeto”. 

Nel seguito useremo inoltre le seguenti notazioni: 

σ (i) = σi, = S: “stato della cella i ”, prende valori in un insieme finito S. 

1.3.3 La varietà delle regole di transizione 

Se k è il numero di stati per cella ed n il numero di celle appartenenti all’ intorno, il 

numero di regole per stabilire il prossimo stato di una cella è dato da K Kn . Per un 

automa binario, nell’intorno di von Neumann (n = 4) ci sono 65.536 (2 16 ) possibili 

regole, mentre nell’intorno di Moore (n = 8) ve ne sono 10 77 . 

Le regole di evoluzione: 

Si introduce una “dinamica” nel modello, cioè delle regole per precisare come gli stati 

delle celle evolvono nel tempo. 

Le regole di evoluzione descrivono il passaggio dallo stato σi (t ) = ”stato della cella i al 

tempo t ” a quello σi (t+1 ) al tempo t +1 . Si noti, quindi, che il tempo in un AC è per 

ipotesi discreto t = 0,1,2,3,... (per esempio “1” può corrispondere a un’ora). 

Infine la regola di evoluzione viene assunta dipendere solo dagli stati σj (t) per j ε U (i 

), cioè solo dagli stati delle celle j vicine a i (nel senso di appartenenti all’intorno 

prefissato U (i) ), di i . 

Concretamente se gli intorni sono tutti costituiti da n celle, allora le regole di evoluzione 

di un AC sono date da una funzione: 

p: Sn →S che agli stati delle n celle presenti nell’intorno di una cella fa corrispondere 

lo stato successivo (ricordiamo che Sn denota l’insieme delle n -uple (s1,…, sn ), con s i 

ε S). 

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Un classico esempio di AC monodimensionale è il seguente: 

Lo spazio degli stati è S = {bianco,nero}. 

L’intorno i è costituito dagli immediati vicini di i:U(i)= {i-1,i,i+1}. 

La regola di evoluzione è la seguente: 

In altre parole i cambia stato solo se i suoi vicini sono entrambi di stato opposto rispetto 

al suo. 

Per esempio l’evoluzione a partire dalla condizione iniziale rappresentata in figura è la 

seguente: 

Prima di tutto si suppone che tutte le celle non indicate siano in stato “bianco”. Il 

numero 0,1,2,…, 5 rappresenta il tempo a cui si riferisce la riga orizzontale vicina. Per 

seguire l’evoluzione dell’automa in base alla precedente regola occorre ricordare che 

l’automa evolve in modo “sincrono”: in altre parole è come se tutte le celle al tempo t 

evolvessero contemporaneamente, in parallelo, al tempo t +1. Per vedere quale sarà 

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l’evoluzione dal passo 0 al passo 1 occorre considerare una qualsiasi cella e il suo 

intorno al tempo 0, usare quindi la regola di evoluzione per capire quale sarà lo stato 

futuro della cella considerata. Si ripete il procedimento per tutte le altre celle, sempre 

facendo riferimento alla situazione al tempo 0, per decidere quale sarà lo stato al tempo 

1. Gli stati già decisi al tempo 1 non influenzano in alcun modo l’evoluzione delle altre 

celle dal tempo 0 al tempo 1. 

Possiamo considerare la seguente regola per l’evoluzione degli stati delle celle: 

i. se lo stato della cella σj (t) non è “spazio libero” allora σj (t+1) = σj (t) 

ii. Se invece σj (t) =”spazio libero”, allora: 

- Si trovano gli stati maggiormente presenti nell’intorno della cella. 

- Se vi è uno solo di tali stati s allora, si ponga σj (t+1) = s. 

- Se viceversa diversi stati s1,….. sk sono presenti in maggior numero rispetto agli altri, 

allora si scelga a caso e con uguale probabilità uno stato sj tra gli stati s1,….. sk e si 

ponga σj (t+1) = s. 

In questo semplice modello solo le celle nello stato “spazio libero” subiscono una reale 

evoluzione. La regola di evoluzione cambia lo spazio libero nello stato che più 

frequentemente è presente nell’intorno della cella. Se vi sono differenti stati presenti in 

maggior numero rispetto agli altri, allora la regola di evoluzione è aleatoria. Questo è un 

esempio di “AC stocastico”: le regole di transizione non fissano in modo deterministico 

lo stato futuro di una cella, ma si limitano a indicare la probabilità che lo stato di una 

cella si trasformi in un certo modo. 

1.3.4 Life 

“Life” è stato inventato dal matematico John Conway ed è sicuramente uno degli 

esempi più conosciuti di AC. L’automa è bidimensionale, senza bordo, con intorni di 

Moore di raggio 1 e con due soli stati V, M detti “vivo” e “morto” e rappresentati 

graficamente con due colori. Le regole di evoluzione sono di tipo “semitotalitario” nel 

senso che dipendono dallo stato della cella e dal numero di celle vive presenti 

nell’intorno della cella stessa (indipendentemente dalla loro configurazione, interessa 

solo il loro numero e lo stato della cella stessa; le regole vengono dette “totalitarie” 

quando invece non dipendono dallo stato della cella ma solo da un opportuno conteggio 

delle celle nell’intorno). 

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La seguente tabella indica le regole di transizione: 

Essa ci dà lo stato della σi (t+1) della cella i al tempo t +1 in funzione dello stato σi (t) 

al tempo t e del numero c v (t) di celle vive presenti nell’intorno. 

Concretamente se la cella è viva e ha intorno 2 o 3 celle vive, allora rimane viva; se 

invece è morta e ha intorno esattamente 3 celle vive, allora diventa viva anch’essa; in 

tutti gli altri casi la cella diventa o resta morta. 

L’interpretazione più diffusa è la seguente: le celle rappresentano una qualche forma di 

vita che per riprodursi ha bisogno di esattamente 3 esemplari vivi 

σi(t) = M e cv (t) = 3 → σi (t+1) = V. (1.4) 

Si ha una situazione di stabilità se la cella è viva e nel suo intorno vi sono 2 o 3 celle 

vive. Negli altri casi la cella muore per isolamento (meno di 2 celle vive nell’intorno) o 

per sovrapopolamento (più di 3 celle vive nell’intorno). 

Una tipica configurazione di Life: 

Figura 1.1- “Conway's game of life”. La condizione iniziale (a) è il comportamento 

standard “pattern random”. Dopo poche centinaia di passi (b), si forma 

spontaneamente una figura complessa. Le aree ombreggiate indicano le regioni di più 

recente attività. 

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1.3.4.1 Il modello di segregazione di Schelling 

Il modello di segregazione di Schelling nasce dalla considerazione che le carte 

demografiche di quasi tutte le aree metropolitane degli USA presentano facilmente zone 

con prevalenza di una etnia, cioè che risulta difficile trovare zone in cui non ci sia 

almeno il 75% di abitanti tutti appartenenti alla stessa etnia. É quindi un modello che 

mostra come si formino in modo autonomo delle zone di convivenza basate sul 

desiderio delle persone di vivere con “quelli del loro stesso tipo”, con cui in pratica 

mostrano una certa empatia. Si noti che tali zone di convivenza nascono quindi dalle 

dinamiche dei singoli individui e non a partire dalla volontà di un’autorità centrale. 

In questo esempio Γ è finito, l’AC ha condizioni al bordo periodiche, intorni di tipo von 

Neumann o Moore e tre stati (le due “etnie” e lo stato “cella libera”). 

La dinamica avviene secondo la seguente regola: 

1. Fisso un modo per scegliere una coppia di celle con stati diversi (tale scelta può 

essere fatta in modo aleatorio o deterministico, il caratteristico comportamento finale 

rimane lo stesso). 

2. Scelgo quindi una coppia di celle. Supponiamo che entrambe siano occupate. 

3. Analizzo gli intorni di tali celle e valuto la “felicità” di ogni cella. La felicità di una 

cella è data dal numero di vicini nello stesso stato. 

4. Confronto la felicità calcolata con quella di soglia (p.e. la cella è sufficientemente 

felice se più di un terzo dei suoi vicini è del suo stesso tipo). 

5. Se entrambe le celle sono sotto la felicità di soglia (quindi vorrebbero cambiare) e se 

lo scambio delle celle porta a non diminuire la loro felicità, allora scambio gli stati delle 

celle, altrimenti le lascio come sono. 

6. Se invece una sola delle due celle estratte è occupata, allora le scambio se ciò porta 

ad un aumento della felicità della cella occupata estratta. 

7. Tutte le altre celle vengono lasciate come sono; al passo successivo scelgo un’altra 

(in generale) coppia di celle. 

Descritto nel modo precedente in realtà il modello di Schelling prevede regole che 

dipendono da una funzione esterna (la scelta di coppie di celle). Se si generalizza la 

definizione di AC in tal senso (“AC esogeno”), allora si ottiene un automa 

quadridimensionale (una sua cella è in realtà una coppia di celle piane...) 

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1.3.4.2 Il modello di Greenberg-Hastings 

Il modello di Greenberg-Hastings è un semplice AC usato nella modellazione dei 

cosiddetti “mezzi eccitabili”. Un esempio di mezzo eccitabile è il muscolo, che può 

essere in uno stato di riposo o in uno stato eccitato seguito poi da uno stato di recupero. 

Un altro esempio è dato da una foresta pensata in funzione della sua capacità di 

incendiarsi: la foresta può essere in uno stato di quiete (cioè potenzialmente 

incendiabile), oppure può essere in corso un incendio a cui seguirà uno stato di 

ricrescita della vegetazione. Alcune reazioni chimiche seguono questo semplice 

schema. 

Possiamo costruire un AC che modellizza questo tipo di processi se consideriamo tre 

stati: “riposo”, “eccitato”, “in recupero”. L’evoluzione avviene su un reticolo regolare 

bidimensionale, ed è caratterizzata dalle seguenti regole: 

Una cella in riposo rimane tale finché uno dei suoi vicini non diventa eccitato. In tal 

caso anch’essa diventa eccitata. 

Una cella eccitata passa sempre in stato di recupero al passo successivo. 

Una cella in stato di recupero passa sempre in stato di riposo al passo successivo. 

Quindi la dinamica dal tempo t al tempo 1 t + è la seguente: 

Riposo → Riposo se nessun vicino è “Eccitato” 

Riposo → Eccitato se almeno un vicino è “Eccitato” 

Eccitato → In recupero 

In recupero → Riposo 

Per definire completamente l’automa manca la scelta del tipo di intorno che, a seconda 

dei casi può essere un intorno di von Neumann o di Moore di raggio 1 o 2. 

16

Un interessante problema che frequentemente si presenta studiando gli AC è quello del 

comportamento al limite (o asintotico), vale a dire per t → +∞. Uno studio sperimentale 

condotto da S. Wolfram (2002) sembra abbia trovato solo tre possibilità base: 

Il sistema raggiunge uno stato globale “fisso” si dopo un tempo T (o si scompone in 

sottoinsiemi con questo comportamento) 

i () t = si 

σ , ∀ t ≥ T 

(1.5) 

Il sistema ha un comportamento periodico di periodo P dopo un tempo T (o si scompone 

in sottoinsiemi con questo comportamento) 

Il sistema ha un comportamento differente dai precedenti due e non presenta nessuna 

configurazione particolare. In tal caso si dice che ha un comportamento al limite 

“caotico” (in questo caso si presentano spesso configurazioni “frattali”). 

1.3.4.3 Caratteristiche fondamentali 

Le caratteristiche fondamentali di un automa cellulare sono le seguenti: 

1) Parallelismo. Le celle si aggiornano simultaneamente (in parallelo) elaborando 

ognuna le informazioni ricevute e passando nello stato conseguente. 

2) Località. Il nuovo stato cui giunge la cella al tempo t+1 dipende solo dal suo stato e 

da quello delle celle appartenenti al suo intorno e al tempo T. 

3) Omogeneità. Ogni cella è aggiornata in base alle stesse regole. 

Abbiamo visto che gli automi cellulari (AC) consistono in agenti o particelle discrete, 

che occupano alcuni o tutti i siti di una grata normale. 

Queste particelle hanno una o più variabili interne di stato (che possono essere discrete 

o continue) e un insieme di regole che descrivono lo sviluppo della loro condizione e 

posizione (nei modelli più vecchi, le particelle occupavano solitamente tutti i siti della 

grata, una particella per nodo e non erano in movimento). 

Sia il movimento che il cambiamento della condizione delle particelle dipendono dallo 

stato attuale della particella e da quello delle particelle vicine. 

Di nuove, queste regole possono essere discrete o continue (sotto forma di equazioni 

differenziali ordinarie (ODEs), deterministiche o probabilistiche. 

17

Le regole di sviluppo si applicano spesso ai punti, un punto di trasporto o per esempio, 

di movimento seguito da un punto del cambiamento o di interazione della condizione. 

L’aggiornamento può essere sincrono o stocastico (Monte-Carlo). Ad un estremo le 

regole possono approssimarsi alle equazioni differenziali parziali continue ben note 

(PDEs), all’altro possano assomigliare alle interazioni logiche discrete dei calcolatori 

boleani semplici (S. Dormann, 2000). 

I modelli specializzati ad “Hoc” sono, attualmente, un caso intermedio di grande 

interesse (per esempio H. Levine et al.,2001; N. Shimoyama et al. 1966). 

1.4 Strutture auto-organizzate 

L’AC può produrre strutture auto-organizzate molto specializzate. 

Von Neumann (1966) ha indicato che un AC con un numero infinto di condizioni e di 

interazioni a breve termine potrebbe essere utilizzato per costruire un calcolatore 

universale e Conway nel ‘Life’ ha dimostrato che persino una semplice AC a due stati 

mediante le interazioni puramente locali potrebbe generare arbitrariamente modelli 

spazio-temporali complessi (M. Gardner, 1970). 

Wolfram (1983; 1994) ha studiato la teoria dell’ AC ed ha dimostrato la loro utilità 

nello studio di problemi complessi. 

Filosoficamente l’AC è attraente perché i suoi comportamenti su grande scala sono 

completamente auto-organizzati piuttosto che il risultato di risposte a segnali imposti 

dall’esterno (E. Ben-Jacob, 2000). 

Una cellula specifica non ha il senso dell’orientamento o della posizione, né può seguire 

una mappa che gli indichi dove andare (es. un micron distale e due micron laterali”). 

Può solo rispondere ai segnali del suo ambiente locale. Indicazioni ambientali locali che 

possono fornire, a cellule che rispondono passivamente al segnale la direzione e la 

posizione, informazioni queste che possono essere auto-organizzate o generate 

esternamente. 

Negli ultimi anni le automazioni cellulari (CA) hanno svolto e stanno svolgendo ruoli 

importanti. 

Come modelli completamente discreti (nello spazio, nel tempo e nella variabile di stato) 

hanno dimostrato essere molto utili per la simulazione su elaboratore dei diversi 

problemi spaziali estesi in fisica, chimica ed in biologia (Vichniac, 1984; Farmer, 

18

1984; Demongeot, 1985; Wolfram, 1986; Manneville et al., 1989; Gunton et al., 1989; 

G.D. Doolen et al., 1990). 

1.4.1 Varianti di automi cellulari 

Rispetto alla definizione di automa cellulare data nel paragrafo precedente, nel tempo 

sono state date delle differenti definizioni sia in termini di modifiche che di estensioni. 

Con il termine modifiche del modello degli automi cellulari ci si vuole riferire a modelli 

computazionali che differiscono dal modello degli automi cellulari, ma che possono 

simulare gli automi cellulari e possono essere simulati dagli automi cellulari con un 

costo addizionale lineare sia nel tempo sia nel numero di celle. 

Con il termine estensioni o generalizzazioni del modello degli automi cellulari ci 

riferiamo a modelli computazionali che non possono essere simulati dagli automi 

cellulari in un tempo lineare. Così, mentre una modifica rappresenta solo un formalismo 

differente per definire la stessa cosa, una estensione é generalmente più potente del 

modello standard degli automi cellulari. II termine simulazione, usato in precedenza, é 

in accordo con quanto qui definito. Infatti, un automa cellulare A é simulato dall'automa 

cellulare A' se: 

• essi calcolano rispettivamente funzioni f ed f 1 , cioè per una data configurazione di 

input sia A che A' producono una stessa configurazione di output; 

• vi sono delle funzioni f che per ogni configurazione c di A danno una configurazione 

corrispondente f (c ) di A'; 

• per configurazioni di input c di A si ha che: 

g(f(c)) = f 1 (g(c)). (1.6) 

Di seguito sono presentate le principali estensioni del modello computazionale degli 

automi cellulari. Oltre a quelli qui descritti, molte altre estensioni sono state proposte 

negli ultimi anni insieme a modelli ibridi nati dalla combinazione degli automi cellulari 

con altri modelli computazionali come le reti neurali, i sistemi “fuzzy” e gli algoritmi 

genetici. Le estensioni qui presentate sono quelle più usate e mantengono in ogni caso le 

proprietà fondamentali del modello standard di automa cellulare. 

19

1.4.2 Automi cellulari non deterministici 

Gli automi cellulari non deterministici rappresentano una generalizzazione del modello 

standard degli automi cellulari. 

L'estensione importante consiste nel fatto che la funzione di transizione elementare di 

un automa non deterministico é una funzione σ: S n —> 2 S . 

La funzione di transizione globale τ é definita come: 

[ τ () c ]()ε i ( c ( N( 

X , i) 

) ) 

σ (1.7) 

Si noti la differenza rispetto alla definizione di σ e di τ per l'automa cellulare standard. 

In questo caso, la funzione di transizione locale può generare 2 S stati e la funzione di 

transizione globale dà come risultato uno stato che appartiene all'insieme dei possibili 

stati scelto non deterministicamente. 

1.4.3 Automi cellulari partizionati 

Gli automi cellulari partizionati rappresentano solo una modifica del modello standard. 

In un automa cellulare standard, una cella usa tutto lo stato delle celle del suo vicinato 

per calcolare il suo nuovo stato. In un automa cellulare partizionato, una cella legge solo 

la componente i-esima dello stato della cella i del suo vicinato. Infatti, la funzione di 

transizione della cella elementare ha la seguente forma 

σ: Sk1x Sk2 ... x Skn → Sk1x Sk2 ... x Skn 

dove X= {K1, K2 . . . , Kn} indica il vicinato di una cella e quindi la funzione di 

transizione di una cella legge solo la componente Ski dallo stato della cella vicina ki. 

Da un punto di vista pratico, gli automi cellulari partizionati hanno il vantaggio che il 

dominio della funzione di transizione σ ha una dimensione minore che nel caso 

standard. Infatti, il dominio di σ ha dimensione|S| invece di|S| |X|. Questo tipo di automi 

cellulari restringe i dati di input per la funzione di transizione di una cella, che riceve 

solo una parte di informazione da ognuna delle celle vicine. Questa proprietà in alcuni 

casi, in particolare in quello in cui lo stato delle celle è complesso, può rendere possibile 

l'implementazione della funzione di transizione che nel caso standard potrebbe essere 

impossibile implementare a causa della dimensione del suo dominio. 

20

1.4.4 Automi cellulari probabilistici 

Gli automi cellulari probabilistici presentano delle similitudini con quelli non 

deterministici, seppure sono differenti da loro. Gli automi cellulari probabilistici sono 

stati definiti per simulare fenomeni probabilistici osservati in natura. Ad esempio, 

fenomeni probabilistici si hanno nei gas reticolari dove certe configurazioni locali 

possono portare lo stato di una cella verso due possibili stati differenti con uguale 

probabilità. In un automa cellulare, data una cella ed una particolare configurazione 

c(N(X,i)) delle celle ad essa vicine, viene definita una probabilità per ogni possibile 

nuovo stato se S in cui una cella si potrà trovare nella prossima iterazione. In questo 

caso la funzione di transizione elementare ha la forma seguente: 

[ ( 0; 

1) 

] 

n 

Essa deve sottostare alla condizione che ∀ c( N( 

X , i) 

) ∈ S 

: S × S → 

n 

σ (1.8) 

si ha che 

∑s∈S ( ( N( 

X , i) 

) , s) 

σ c = 1 

(1.9) 

1.4.5 Automi cellulari asincroni 

In un automa cellulare asincrono, una cella ad ogni iterazione può decidere in maniera 

non deterministica se cambiare il proprio stato in base alla funzione di transizione o" 

oppure mantenere lo stato corrente. Negli automi cellulari asincroni la funzione di 

transizione elementare é simile a simile a quella del modello standard, vale a dire. 

S S 

n σ : → 

(1.20) 

Tuttavia, la definizione della funzione di transizione globale é differente, infatti si ha 

che 

[ () c ]() i = σ ( c( 

N( 

X i) 

) ) ∨ [ τ ( c) 

]() i = c() 

i 

τ , (1.21) 

Questa classe di automi cellulari rappresenta una modifica rispetto al modello standard 

in quanto rilascia il vincolo dell’ aggiornamento dello stato in maniera sincrona per tutte 

le celle e rappresenta un utile modello computazionale in quei casi in cui si simulano 

sistemi asincroni nei quali non é necessario che lo stato di tutte le componenti sia 

aggiornato contemporaneamente. 

21

1.4.6 Automi cellulari inomogenei 

Gli automi cellulari inomogenei sono una generalizzazione degli automi cellulari 

standard, infatti, essi sono computazionalmente più potenti. Negli automi cellulari si 

può avere inomogenetità sia dal punto di vista spaziale sia dal punto di vista temporale, 

ed ognuno di questi due casi non esclude l'altro. Nel caso di automi cellulari inomogenei 

spazialmente la funzione di transizione elementare delle celle può variare al variare 

delle coordinate delle celle. Quindi l'automa non è caratterizzato da un'unica funzione a, 

ma si possono avere differenti funzioni di transizione σ1 ,σ2 ……,σn per n differenti celle 

o regioni dell'automa ed a queste possono anche essere associate differenti relazioni di 

vicinato. Esempi di automi inomogenei spazialmente sono utili quando si vuole 

simulare sistemi in cui alcune loro parti svolgono un ruolo particolare, come una 

sorgente di particelle o un cratere di un vulcano, oppure quando si vuole restringere la 

computazione in una regione limitata dell'automa. 

Nel caso di automi cellulari inomogenei temporalmente la funzione di transizione 

elementare delle celle può variare al variare del tempo. In questo caso le celle 

dell'automa possono aggiornare il loro stato per un dato numero di passi usando una 

funzione di transizione σta e poi per un altro numero di passi usano una differente 

funzione σtb e cosi via in funzione della computazione che l'automa cellulare deve 

eseguire. Questo tipo di automi inomogenei sono utili nel caso in cui si vogliono 

simulare fenomeni che sono composti da più fasi computazionali tra loro differenti ed 

una di seguito all'altra. Esempi di queste computazioni sono il filtraggio di una 

immagine tramite una serie di filtri diversi ognuno realizzato da una funzione di 

transizione differente, oppure la simulazione di un fenomeno chimico-fisico composto 

da più fasi temporalmente distinte che si realizzano tramite una serie di funzioni di 

transizione, ognuna associata ad una fase del fenomeno. 

1.4.7 Automi cellulari gerarchici 

Per automi cellulari gerarchici si intendono qui automi cellulari in cui le singole celle 

non sono atomiche, ma sono composte da parti più semplici e quindi lo stato di una 

cella dipende dallo stato delle sue parti. 

Questo modello, detto anche “multilayered” é una generalizzazione del modello di 

automa standard e corrisponde ad un insieme di automi cellulari parzialmente ordinati. 

22

Esso é basato sulla struttura di un grafo annidato, in pratica un grafo composto da 

vertici ed archi, dove ogni vertice é a sua volta una grafo annidato. 

In un automa cellulare gerarchico composto da k livelli con k ={0, 1, .. ., n}, lo stato di 

una singola cella del livello i-1 é composto dallo stato delle celle del livello i-1 che 

concorrono a comporre la singola cella del livello superiore. A sua volta, lo stato di una 

cella del livello i-1 é composto dallo stato delle celle del livello i-2 e così via. La 

funzione di transizione di una cella al livello i modifica il suo stato in base allo stato dei 

nodi del vicinato della cella al livello ; ed in base allo stato delle celle elementari del 

livello i-1 che compongono la cella stessa. 

Gli automi cellulari gerarchici o “multilayered” sono stati introdotti come modelli 

computazionali per sistemi multi-scala (multí-scale) e per la simulazione di sistemi 

biologici multi-livello (multi-level). In questi casi si ha a che fare con fenomeni e/o 

sistemi composti in cui la scala del tempo e dello spazio per i sotto-fenomeni 

componenti sono molto differenti. Gli automi cellulari gerarchici permettono di 

compiere le simulazioni utilizzando una grana fine a basso livello ed una grana più 

grossa ad un livello più alto e riportando, tramite opportuni filtraggi o medie, i risultati 

dei livelli bassi verso le celle dei livelli più alti dell'automa gerarchico. Ad esempio, nel 

caso di un materiale da studiare, nel livello più basso dell'automa ad ogni cella si può 

associare una particella con le sue proprietà microscopiche, mentre nel livello più alto 

una cella corrisponde ad una porzione del materiale composta da un gran numero di 

particelle ed il suo stato conterrà i valori delle grandezze macroscopiche che 

caratterizzano il materiale. 

1.5 Automi cellulari e sistemi complessi 

Lo strumento matematico storicamente ed attualmente più usato per lo studio teorico dei 

fenomeni complessi sono le equazioni differenziali tuttavia, in questi ultimi anni nuovi 

modelli matematici sono stati utilizzati per definire modelli per i cosiddetti sistemi 

complessi. Intendendo con il termine sistema complesso un sistema composto da un 

numero elevato di parti indipendenti tra loro ed interagenti in modo non lineare che 

danno luogo a comportamenti che difficilmente possono essere spiegati da una legge 

fisica o da un sistema di equazioni matematiche che sono la somma delle equazioni che 

descrivono le sue parti. Esempi di sistemi complessi sono- un fluido le cui particelle 

23

hanno un movimento vorticoso, il sistema immunitario, un bosco in fiamme, il cervello 

umano, un flusso di lava, una colonia di insetti, una comunità di persone che 

interagiscono tra loro, un flusso di veicoli su una rete autostradale. 

Le equazioni differenziali alle derivate parziali sono state definite per descrivere sistemi 

fisici, come ad esempio i fluidi. I quali possono essere considerati come dei mezzi 

continui. I calcolatori sono stati usati come uno strumento per trovare le formule 

matematiche per la soluzione delle equazioni differenziali. Questo ha permesso di 

ottenere grandi successi ed un notevole progresso in tutti i settori della fisica e delle 

altre scienze ed in particolare in quei settori, come l'elettromagnetismo o la 

fluidodinamica, in cui i fenomeni sono descritti o approssimati in termini di equazioni 

differenziali lineari alle derivate parziali. Questi strumenti matematici appaiono essere 

meno efficaci nella risoluzione di problemi come la turbolenza dei fluidi in cui é 

necessario usare equazioni differenziali non lineari alle derivate parziali. 

Sono discussi alcuni esempi di sistemi complessi in vari settori scientifici, dalla fisica 

alla biologia, all'ingegneria, ed alla vita artificiale e per essi é descritto come, attraverso 

gli automi cellulari è possibile dare una formalizzazione non necessariamente 

complessa che permetta di definire un modello che allo stesso tempo é sia una 

astrazione del sistema che rappresenta, sia una procedura eseguibile per la simulazione 

del sistema complesso stesso. Questo serve a dimostrare come attraverso un modello 

matematico abbastanza semplice, sia possibile descrivere e risolvere problemi 

complessi. Questo avviene perché gli automi cellulari e altri modelli ad essi vicini, 

permettono di esprimere un algoritmo tramite il quale é possibile tradurre un processo o 

sistema fisico in un processo computazionale. 

1.5.1 Una alternativa al calcolo differenziale 

L'uso dei calcolatori per la soluzione delle equazioni differenziali presenta il problema 

di dover rappresentare le variabili continue in esse contenute tramite delle quantità 

discrete costituite da numeri a 32 o a 64 bit. 

Questo problema porta alla necessità di dover operare delle approssimazioni, ed in 

particolare, per molte equazioni non lineari devono essere usati metodi ad hoc per 

calibrare l'accuratezza delle approssimazioni. 

24

Come detto in precedenza, la base matematica di molti modelli dei fenomeni fisici e 

naturali é rappresentata dalle equazioni differenziali. 

Tali equazioni forniscono delle relazioni tra delle quantità fisiche e loro variazioni. Ad 

esempio, una reazione chimica avviene ad una data velocità proporzionale alle 

concentrazioni dei reagenti chimici, e la relazione tra la velocità di reazione e la 

concentrazione dei reagenti, può essere espressa tramite una equazione differenziale. 

Una soluzione dell'equazione darà la concentrazione dei reagenti in funzione del tempo. 

In alcuni casi semplici è possibile trovare una soluzione completa all'equazione 

utilizzando dei metodi di risoluzione standard. In molti casi, tuttavia, l’esatta soluzione 

non può essere ottenuta a causa della complessità dell'equazione stessa. Diventa quindi 

necessario utilizzare delle approssimazioni. . 

Le approssimazioni più comunemente usate sono di tipo numerico. Supponiamo che un 

termine di una equazione differenziale ci dia il tasso istantaneo di variazione nel tempo 

di una data quantità. Il termine può essere approssimato dal cambiamento totale della 

quantità su un piccolo intervallo di tempo e da questo può essere sostituito 

dall’equazione differenziale. L'equazione risultante rappresenta, in effetti, un algoritmo 

che dato un valore per la quantità all'inizio dell'intervallo, determina il valore 

approssimato della quantità alla fine dell'intervallo. Applicando l'algoritmo 

iterativamente per successivi intervalli, si può calcolare la variazione approssimata della 

quantità nel tempo. Intervalli più piccoli portano a risultati più accurati. Il calcolo 

richiesto per ogni intervallo può essere abbastanza semplice, ma esso deve essere 

ripetuto un numero elevato di volte per ottenere un livello di approssimazione 

accettabile. 

Questo tipo di approccio può essere realizzato utilizzando un calcolatore per eseguire un 

programma che codifica l'algoritmo sopra descritto. 

Un programma che contiene le leggi del moto di una particella in un campo magnetico 

può essere usato per eseguire degli esperimenti tramite calcolatore. Tali esperimenti 

sono più flessibili degli esperimenti eseguiti in laboratorio. Ad esempio, un esperimento 

di laboratorio può essere facilmente preparato per studiare la traiettoria di un elettrone 

che si muove sotto l'influenza di un campo magnetico in un tubo catodico. 

Tuttavia, non si può approntare un esperimento di laboratorio per riprodurre le 

condizioni incontrate da un elettrone che si muove in un campo magnetico che circonda 

25

una stella. Come non si può simulare in laboratorio una esplosione nucleare o una colata 

lavica. D'altra parte, occorre notare che in questi casi é possibile simulare il fenomeno 

tramite un programma di simulazione su un calcolatore con elevate prestazioni 

computazionali. 

Nelle applicazioni pratiche spesso si trova che, non solo le equazioni differenziali sono 

complicate da risolvere, ma anche che occorre risolvere un numero elevato di esse per 

studiare un fenomeno. Ad esempio, i modelli teorici delle esplosioni nucleari e lo studio 

delle supernove implicano la risoluzione di centinaia di equazioni differenziali che 

descrivono l'interazione di un numero molto grande di isotopi. In pratica, tali modelli 

che tengono conto dell'interazione tra molte quantità fisiche sono sempre realizzati in 

termini di programmi da eseguire su un calcolatore. 

Le equazioni differenziali danno dei modelli adeguati per le proprietà globali di processi 

fisici, come ad esempio le reazioni chimiche o il moto di un fluido. Esse descrivono, ad 

esempio, le variazione nella concentrazione delle molecole, ma non possono descrivere 

i moti di ogni singola molecola. Questi moti possono essere modellati come dei 

cammini casuali; in questo caso il cammino di ogni singola molecola è simile al 

cammino di una persona in una folla di persone che si spostano tutte 

contemporaneamente. Nella più semplice versione del modello, per ogni molecola si 

assume che essa si muova lungo una linea retta finché non collide con un'altra molecola. 

In questo caso sceglie una direzione casuale. Tutti i passi lungo una linea retta sono 

assunti di lunghezza uguale. Secondo questo approccio, se si considera un grande 

numero di molecole che seguono cammini casuali, si ottiene che la variazione media nel 

tempo nella concentrazione delle molecole può essere descritta da una equazione 

differenziale chiamata equazione di diffusione. 

1.5.2 Sistemi complessi 

Occorre notare che vi sono molti processi fisici per i quali una descrizione dei valori 

medi non é possibile. In tali casi, le equazioni differenziali non possono essere utilizzate 

e quindi occorre usare un approccio basato sulla simulazione microscopica. I moti di 

molte singole molecole devono essere seguiti esplicitamente e, il comportamento 

globale del sistema viene stimato calcolando le proprietà medie dei risultati della 

26

simulazione. Il solo modo fattibile per realizzare tali simulazioni é attraverso l'uso dei 

calcolatori. 

Sono numerosi gli esempi di sistemi la cui costruzione e abbastanza semplice ma il cui 

comportamento é estremamente complesso. Lo scopo di una a teoria dei sistemi 

complessi é di cercare delle leggi che regolano il comportamento globale di questi 

sistemi e che non sono facilmente deducibili dall'analisi delle singole leggi che 

controllano ciascuno dei sottosistemi costituenti. 

Lo studio di questi sistemi ha portato allo sviluppo di una nuova aerea di ricerca detta 

scienza o teoria dei sistemi complessi in cui i metodi computazionale giocano un ruolo 

fondamentale. La scienza dei sistemi complessi parte sempre dal comportamento dalle 

singole componenti di un sistema complesso e dalle loro interazioni. Tuttavia, essa si 

basa sull’ipotesi che le proprietà microscopiche dei componenti sono poco rilevanti e 

che il comportamento collettivo non varia se variano di poco le leggi che regolano il 

comportamento dei singoli componenti. 

Un esempio classico di sistema complesso é rappresentato dalle turbolenze nei fluidi 

che si sviluppano, ad esempio, quando l’acqua scorre rapidamente attorno ad una 

ostruzione. L’insieme delle equazioni differenziali soddisfatte dal fluido possono essere 

facilmente definite. I modelli di flussi del fluido che le equazioni determinano non 

possono, tuttavia, essere trattati matematicamente. In pratica, i modelli sono determinati 

o attraverso l'osservazione del sistema fisico reale o attraverso simulazioni tramite 

calcolatore. 

E’ stato supposto che esista un insieme di meccanismi matematici comuni a molti 

sistemi che danno origine a comportamenti complessi. Questi meccanismi possono 

essere meglio studiati in sistemi la cui, costruzione sia più semplice possibile. Tali studi 

sono stati fatti per una classe di sistemi matematici rappresentata dagli automi cellulari. 

Come discusso in precedenza, in un automa cellulare ogni componente elementare 

(cella) evolve secondo una regola locale, ma le tutte le celle, considerate nel loro 

complesso, generano un comportamento di elevata complessità. 

La simulazione tramite calcolatori é un metodo molto usato per lo studio e l'analisi di 

molti fenomeni in vari settori della scienza. Appare per questo naturale chiedersi se la 

simulazione é il metodo più efficiente da usare o vi é una formula matematica che può 

27

portare più direttamente ai risultati cercati. Per chiarire questo particolare aspetto 

occorre analizzare la corrispondenza tra i processi fisici e i processi computazionali. 

E’ presumibilmente vero che qualunque processo fisico può essere descritto da un 

algoritmo, cosi ogni processo fisico può essere rappresentato da un processo 

computazionale. 

PROCESSO FISICO 

Algoritmo 

PROCESSO 

COMPUTAZIONALE 

Naturalmente il processo computazionale può essere più o meno complesso. Nel caso 

degli automi cellulari la corrispondenza tra processi fisici e processi computazionali é 

particolarmente chiara. Infatti, un automa cellulare può essere visto come un modello di 

un sistema fisico, ma d'altra parte esso può essere realizzato come un processo 

computazionale con una stretta analogia con il modello dei sistemi di elaborazione. Ed 

in particolare con i sistemi di elaborazione paralleli. 

La sequenza dei valori iniziali dello stato delle celle può essere vista come i dati di una 

memoria di un calcolatore. Questi valori sono modificati dalla funzione di transizione 

analogamente a quanto avviene da parte dell'unità centrale di elaborazione in un 

calcolatore sui dati in memoria. 

Secondo quest’approccio, l'evoluzione di un automa cellulare, da una configurazione 

iniziale, può essere visto come una elaborazione delle informazioni contenute nella 

configurazione. Per automi cellulari con un comportamento semplice si hanno 

elaborazioni elementari, mentre ad automi cellulari che hanno un comportamento di una 

certa complessità, corrispondono elaborazione complicate. 

Gli automi cellulari possono essere utilizzati per modellare esplicitamente una grande 

varietà di processi fisici. Ad esempio, la formazione della neve si può simulare tramite 

una griglia esagonale bidimensionale di celle in cui il ghiaccio é rappresentato da celle 

con valore pari ad 1 ed il vapore acqueo con celle con valore pari a 0. Tramite questo 

28

tipo di automa cellulare molto semplice si possono modellare gli stadi successivi della 

creazione dei fiocchi di neve. Le regole di evoluzione dell'automa sono definite in modo 

che una volta che una cella é ghiacciata essa non si sgela. Le celle che si trovano ai 

bordi della superficie gelata possono ghiacciarsi se non hanno molte celle vicine già 

ghiacciate in modo tale che non possano dissipare abbastanza calore per ghiacciarsi. 

Usando queste semplici regole la creazione dei fiocchi di neve può essere simulata in un 

calcolatore partendo da una singola cella ghiacciata. Il risultato della simulazione 

mostra la creazione di una struttura molto simile a quella dei fiocchi di neve reali. 

Questo esempio mostra come, tramite gli automi cellulari, possono essere simulati 

fenomeni complessi usando delle regole molto semplici rispetto ad altri metodi di 

calcolo più convenzionali. Un insieme di equazioni differenziali può anche descrivere 

molto bene la crescita dei fiocchi di neve, tuttavia il modello molto più semplice offerto 

dagli automi cellulari riesce a preservare l'essenza del processo attraverso il quale 

vengono create delle strutture complesse. 

Modelli simili a quello dell'esempio descritto funzionano molto bene in molti settori, 

come ad esempio la fluidodinamica e i sistemi biologici. 

In quest’ultimo caso, modelli complicati di crescita e pigmentazione possono essere 

modellati tramite semplici algoritmi realizzati tramite gli automi cellulari. 

1.5.3 Modelli di sistemi fisici complessi 

Molti fenomeni fisici sono dovuti al comportamento collettivo di un numero molto 

elevato di particelle che interagiscono tra loro. In molti casi, lo studio di questi 

fenomeni non richiede la conoscenza esatta dello stato dei costituenti microscopici. 

Infatti, ad esempio, per studiare le correnti in un corso d'acqua non é necessario 

conoscere esattamente la posizione e la velocità di tutte le molecole d'acqua che lo 

compongono. 

Questo é dovuto al fatto che esistono molti stati microscopici che danno luogo ad uno 

stesso stato macroscopico. Quindi non ha importanza conoscere in quali degli stati 

microscopici equivalenti si trova il sistema in osservazione in quanto essi corrispondono 

ad uno stesso stato a livello macroscopico. 

La disciplina che fornisce gli strumenti per studiare la corrispondenza tra stati 

microscopici e macroscopici in un sistema fisico é la meccanica statistica. Siccome 

29

generalmente al livello macroscopico i processi fisici dipendono molto poco dai dettagli 

del livello microscopico, in fisica si è potuto verificare che modelli astratti composti da 

particelle definite in modo appropriato possono rappresentare le caratteristiche più 

importanti di sistemi fisici reali. 

Gli automi cellulari sono essenzialmente basati su queste idee. Per questo motivo, essi 

offrono uno nuovo approccio alla simulazione di sistemi complessi più vicino alla fisica 

e con un contenuto intuitivo importante. Grazie al rapido sviluppo dei sistemi di calcolo, 

negli ultimi anni la simulazione numerica di fenomeni fisici sta diventando uno 

strumento tecnologico indispensabile. La simulazione tramite calcolatore è divenuta, 

infatti, una parte essenziale della ricerca universitaria e di quella industriale. 

Gli automi cellulari forniscono degli strumenti utili ed efficienti per studiare e simulare 

molti problemi fisici tramite l'uso di sistemi di calcolo ad alte prestazioni. Alcuni 

problemi significativi in fisica che sono stati investigati tramite gli automi cellulari 

sono, ad esempio, il ferromagnetismo, la fluidodinamica, i fenomeni di diffusione, la 

dinamica molecolare, i fenomeni collettivi nei cristalli, il flusso in mezzi porosi, la 

propagazione di onde. Alcuni di questi problemi sono descritti in questo capitolo allo 

scopo di mostrare come loro possono essere studiati e modellati tramite automi cellulari. 

Figura 1.2- Un modello di reazioni chimiche oscillatorie. Quando abbastanza reagenti 

sono nel vicinato di una cella il prodotto successivo nel ciclo è formato. Con un basso 

contenuto di reagente i risultanti” pattern” sono piccoli e le oscillazioni cadono in un 

ciclo corto (foto a sinistra). Una soglia non-monotonica crea larghi “patterns” i quali 

cambiano continuamente(foto a destra). 

30

1.6 Gli automi cellulari ed il loro impiego nella fisica 

Da un punto di vista computazionale, gli automi cellulari esprimono il tentativo di 

introdurre nella scienza un nuovo modo di pensare: le leggi scientifiche sono 

considerate sotto forma di algoritmi e molte di esse vengono studiate tramite 

esperimenti o simulazioni al calcolatore. Il programma del calcolatore, in questo caso è 

un veicolo tramite il quale gli algoritmi possono essere espressi e applicati. 

Tuttavia, vi è una sostanziale differenza tra la gran parte dei calcolatori ora utilizzati ed i 

sistemi fisici o loro modelli: i calcolatori convenzionali elaborano l’informazione 

sequenzialmente, mentre i sistemi fisici la elaborano in parallelo. In un sistema fisico 

rappresentato da un automa cellulare, i valori delle celle sono aggiornati tutti insieme in 

parallelo ad ogni passo temporale mentre in un sistema di calcolo sequenziale la 

simulazione dell’automa cellulare è compiuta mediante una iterazione che aggiorna i 

valori delle celle uno dopo l’altro. Gli elaboratori paralleli permettono dunque una 

descrizione dei fenomeni fisici ad un maggior livello ed in maniera più efficace. Essi 

permettono, infatti, di esplicitare in modo naturale il parallelismo intrinseco del modello 

degli automi cellulari il quale corrisponde al parallelismo presente nei sistemi fisici. 

Questi modelli sono un tipico esempio del processo di riduzione utilizzato in fisica 

nell’analisi di sistemi complessi. Il punto di partenza è che fenomeni complicati possano 

essere originati da poche leggi semplici. Sotto questa ipotesi, si cercano quindi modelli 

semplici che basati su queste leggi riproducano il comportamento dei sistemi più 

complicati. Al di là della loro rilevanza fisica e/o biologica, questi modelli sono un 

esempio di un sistema dinamico discreto che può essere simulato esattamente su un 

computer. 

Esiste una letteratura piuttosto ampia sulle capacità degli automi cellulari di simulare i 

processi fisici, con particolare riguardo alle configurazioni spaziali. Qui ci limiteremo a 

ricordare che, negli anni ’80, S. Wolfram e C. Langton identificarono quattro classi 

fondamentali di AC, tra loro correlate al variare di un parametro d’ordine, che può 

essere identificato come l’equivalente computazionale della temperatura del sistema 

fisico. Le 4 classi di Wolfram-Langton sono identificate dal tipo di regole di transizione, 

e il loro sviluppo è indipendente dalle particolari condizioni iniziali assegnate: 

31

Classe 1: è una classe di AC che evolve piuttosto velocemente verso stati omogenei; nel 

linguaggio dei sistemi dinamici questo equivale ad avere nello spazio delle fasi un 

attrattore a punto fisso, ossia una configurazione ben definita in un tempo finito. 

Classe II: evoluzione verso configurazioni periodiche o quasi-periodiche, ossia verso 

cicli limite. Si tratta di comportamenti equivalenti, nel discreto, ai sistemi dissipativi e 

dunque sono amplificatori polinomiali di informazione. 

Classe III: evolve verso configurazioni aperiodiche molto complesse, che nel 

linguaggio del continuo equivalgono agli attrattori strani. Si tratta di amplificatori 

esponenziali di informazione. 

Classe IV: è quella che manifesta una maggior ricchezza di comportamenti. E’ 

possibile, infatti, osservare configurazioni variamente complesse, come quelle delle 

classi II e III, ma anche strutture dinamiche regolari, una sorta di “frozen patterns” che 

ben si prestano a descrivere strutture spaziali definite che si evolvono nel tempo in 

modalità diverse, da quelle “like-particles” a fenomeni di accrescimento regolare con 

contorni variabili. Un esempio classico sono le forme di vita artificiale di Life. 

Il problema della classificazione di Wolfram consisteva nel fatto che la classe dell’AC 

non poteva essere determinata che a posteriori, mediante la simulazione e la 

osservazione del comportamento. Questo fatto implicava che la classificazione poteva 

fornire informazioni solamente nella misura in cui questa poteva essere legata alle 

caratteristiche funzionali (esempio la complessità delle regole di transizione) 

dell’automa cellulare. 

1.6.1 L’Ipotesi di Langton 

Nel 1990 Langton propose una possibilità per correlare un parametro degli AC alla loro 

classe. 

Occorre rilevare che in un sistema fisico esiste generalmente un parametro che è 

possibile far variare continuamente per passare da un sistema di un comportamento 

regolare ad un comportamento caotico, si trattava di trovare un equivalente per gli 

automi cellulari. Langton scelse il parametro lambda che è la frazione dei stati che 

secondo le regole di transizione, conducono ad attivare una cella nella prossima 

generazione 

Per AC con più stati e ruoli scoprì questo: 

32

λ piccola conduce all’ordine 

λ approssimativamente 0.5 conduce a “edge of caos” 

λ prossima ad 1 conduce al caos 

I risultati sperimentali hanno dimostrato che l’evoluzione della dinamica degli automi 

cellulari segue l’evoluzione di lambda secondo la tabella seguente: 

Parametro di Langton Comportamento 

0 Assenza di sviluppo 

Vicino a 0 classe 1 : Tutte le cellule muoiono in poco tempo. 

Un poco più di 0 

Attorno al punto critico 

0.3 

classe 2 : Più aumenta lambda e più è lunga la 

stabilizzazione. 

classe 4 : Caratterizzata dall’esistenza di figure che si 

propagono. 

Vicino a 0.5 classe 3 : Assenza di stabilizzazione 

Al di là di 0.5 

Comportamento simmetrico in rapporto a 0.5 

(classe 3-> classe 4 -> classe 2 -> classe 1). 

Queste ricerche effettuate per degli automi unidirezionali sembrano dunque mostrare 

che esiste «una transizione di fase» legata al parametro lambda e che questo parametro 

può essere usato come mezzo di previsione della dinamica. 

I lavori di Langton hanno permesso di emettere una tesi la cui portata fisolofica è molto 

più generale : la vita, simbolizzata dalla Classe IV, sarebbe un fenomeno suscettibile di 

trovarsi tra l’ordine simbolizzato dalla Classe II ed il caos simbolizzato dalla classe III. 

Per generalizzare ancora di più sembrerebbe che l’emergere della vita nell’universo non 

sia possibile se non grazie ad un aggiustamento eccezionale delle leggi fondamentali di 

questo universo, piazzandole alla frontiera tra l’ordine ed il caos. 

Christopher Langton, Wentian Li, and Norman Packard nel 1990 rifinirono la 

caratterizzazione di Wolfram. 

Per fare questo usarono il valore lambda creato da Langton (1990). L’equazione per il 

valore lambda è m/(k^(2r+1)), dove m è il numero delle configurazioni totali che 

conducono ad uno stato non zero, k è il numero di stati, e r è il raggio. Zero fa 

33

iferimento allo stato quiescente della cellula. In maniera semplice il valore di lambda è 

il rapporto degli stati quiescenti con gli stati non quiescenti non quiescenti in un AC. E’ 

pertanto possibile fare le seguenti caratterizzazioni: 

1. punti fissi spazialmente omogeni; 

2. punti fissi spazialmente non omogenei; 

3. comportamento periodico; 

4. comportamento localmente caotico; 

5. comportamento caotico; 

6. comportamento complesso. 

Queste determinano sei tipi di AC che si sono dimostrati idonei a produrre operazioni 

utili. Questi AC sono considerati essere a “edge of chaos” perchè tendono ad essere in 

una fase di transizione tra il comportamento caotico e quello ordinato. 

Negli AC l’impredicibilità ha un significato, vicino a quelli correntemente attribuiti a 

situazioni analoghe nella teoria dei sistemi dinamici. 

Nel caso della classe IV le regole sono equivalenti a forme di non-linearità tipiche degli 

amplificatori di informazione, e infatti il comportamento degli AC di questa classe è 

tipico delle ben note situazioni di criticità auto-organizzata, situazioni dinamiche in cui 

il bilanciamento del sistema tra creazione di nuova informazione e dissipazione, tra 

ordine e caos, si mantiene all’interno di un ristretto “range” di valori critici ed è molto 

sensibile alle condizioni del contorno (Bak-Tang-Wiesenfeld, 1987). Gli AC di questa 

classe sono utili per un vasto tipo di simulazioni di sistemi fisici, perché diversamente 

dalle classi I e II, che conservano l’informazione computata senza elaborarla 

ulteriormente, o dalla classe III, che non conserva invece memoria alcuna delle strutture 

prodotte, nella classe IV si ha la possibilità di simulare strutture in interazione dinamica. 

1.6.2 Nuovi metodi per definire a priori l’evoluzione di un AC 

Numerose effettive e continue misure della complessità (Wootters e Langton, 1990) 

sono state monitorate ed implementate. 

Una correlazione tra complessità ed attività è stata identificata, ma è risultato chiaro che 

questo parametro da solo non poteva predire la dinamica del ruolo. 

Ad esempio, il ruolo d’identità, che congela nel tempo tutte le condizioni iniziali, ha λ = 

½ e conduce all’ordine di quiete. Quando il numero di stati od il “neighborhood size” è 

34

sufficientemente largo questa λ è in grado di ordinare la transizione al caos mediante un 

aumento d’attività, a volte questo avviene gradualmente (reminescenza di una 

transizione di secondo ordine, mediante i ruoli di Classe 4), e altre volte 

repentinamente, in una fase di transizione di primo ordine. Questo punto richiede 

parametri supplementari ancora non individuati. 

Per rispondere a questa necessità Binder, 1994, ha usato un nuovo parametro di 

sensitività (µ), motivato dall’osservazione numerica che le Classi di Wolfram sono 

caratterizzate dai loro modelli spazio temporali, ma anche dalla loro sensitività di 

cambiare il valore di uno o più siti. 

Binder ha indicato il parametro di sensitività come frazione dei cambiamenti 

nell’evoluzione causati dal cambiamento di valore del sito, mediati sopra tutti i siti di 

tutti i “ neighborhoods” nella tavola di ruolo: 

1 ∂f 

µ = 

(1.23) 

m 

∑∑ 

n j= ∂ j s nm 1 

Dove n sono i possibili “neighborhoods” nella tavola di ruolo, ed m è il numero di 

“bits” nel” “neighborhoods”. 

La derivata Boleana per CA (G. Y. Vichniac, 1990) è: 

∂f 

∂s 

j 

= 1 

se f ( s s ,... ) f ( s ,...., −s 

,.... ) 

1,...., j 

1 j 

≠ (1.24) 

Questo è, se il valore di f è sensitivo al valore del “bit” Sj , il valore è zero altrimenti. 

Il lavoro di Binder aiuta a comprendere lo spazio dei ruoli AC, i quali possono esibire 

disegni spazio temporali che possono variare da ordinato a complesso a caotico. 

In particolare il nuovo parametro proposto permette a priori di mediare la sensitività dei 

ruoli nei confronti di piccole perturbazioni. In effetti, µ da solo appare essere in grado di 

predire la complessità in maniera migliore di λ. 

1.7 L’impiego degli automi cellulari in fluidodinamica e 

termodinamica 

La termodinamica e l’idrodinamica descrivono il comportamento generale di molti 

sistemi, indipendente dalla precisa costruzione microscopica di ciascun sistema. Si può 

studiare così la termodinamica e l’idrodinamica usando modelli semplici, che 

permettono una simulazione efficiente (S. Wolfram, 1984). 

35

Gli approcci tradizionali alla separazione di fase sono: 

1. La meccanica dei continui. 

2. La dinamica molecolare. 

I Continuum meccanici collassano quando l’interfaccia tra le due fasi diventa spessa 

solo poche molecole; in aggiunta le risultanti equazioni sono difficili da risolvere e 

sono soggette a grandi instabilità quando sono linearizzate. Le simulazioni dinamiche 

molecolari sono limitate dal numero di molecole che queste possono seguire e di fatto la 

complessità computazionale aumenta significativamente per le strutture non sferiche. 

I modelli di automazione cellulare permettono di eliminare questi problemi. 

1.7.1 Fluidodinamica (modelli HHP e FHP) 

In questa sezione analizziamo alcuni modelli di fenomeni fluidodinamici basati sugli 

automi cellulari. 

La fluidodinamica é quella branca della fisica che si occupa del comportamento dei gas 

e dei liquidi, cioè di quelle sostanze che non hanno forma propria ma si adattano alla 

forma del recipiente che le contiene. 

I fluidi sono convenzionalmente descritti tramite le equazioni di Navier-Stokes. Queste 

equazioni servono per descrivere l'importante fenomeno della turbolenza nei fluidi. In 

realtà esse sono di non facile soluzione. Infatti, a causa del termine non lineare in esse 

contenuto, le simulazioni basate sulle equazioni di Navier-Stokes sono appena capaci di 

raggiungere lo stato necessario per riprodurre accuratamente la turbolenza. 

Le equazioni di Navier-Stokes hanno la seguente forma 

∂ρv 

∂t 

∂ρv 

∂t 

r 

y 

∂ρvrv 

= − 

∂x 

r 

∂ρv 

xv 

= − 

∂x 

y 

∂ρvxv 

− 

∂y 

y 

∂ρv 

yv 

− 

∂y 

y 

2 2 

∂p 

⎛ ∂ v ⎞ 

r ∂ vr 

− + µ ⎜ + 

⎟ 

2 2 

∂x 

⎝ ∂x 

∂y 

⎠ 

2 2 

∂p 

⎛ ∂ v ∂ ⎞ 

y v y 

− + µ ⎜ + ⎟ 

∂ ⎜ 2 2 

x 

⎟ 

⎝ ∂x 

∂y 

⎠ 

36 

(1.25) 

dove νx e νy, rappresentano le componenti della velocità lungo x e y, ρ é la densità del 

fluido, p é la pressione, µ é un coefficiente numerico noto come viscosità dinamica che 

dà la misura della capacità del fluido ad opporsi a variazioni di velocità al suo interno. 

La struttura delle equazioni é semplice. Al primo membro si ha la variazione della 

quantità di moto per unità di volume nell'unità di tempo. Tale variazione é dovuta a tre

effetti: il flusso dovuto al campo di moto del fluido (i primi due termini a secondo 

membro) detto anche termine di convezione, le forze di pressione (terzo termine), ed 

infine la dissipazione (quarto e quinto termine a secondo membro). Si noti che la non 

linearità di queste equazioni é racchiusa nel termine di convezione: questo termine, 

infatti, è all'origine delle difficoltà di calcolo che rendono le equazioni di Navier-Stokes 

così difficili da risolvere. 

Le equazioni di Navier-Stokes rappresentano esse stesse una approssimazione, in 

quanto esse offrono una descrizione continua approssimata del comportamento medio di 

un grande numero di particelle discrete di cui é composto un fluido. Quando le 

equazioni di Navier-Stokes sono simulate su un computer devono essere fatte delle 

approssimazioni discrete per le motivazioni descritte all'inizio del paragrafo. Queste 

approssimazioni, in forma di differenze finite, creano una somiglianza con il sistema 

originale composto da particelle discrete. 

Nel limite di un grande numero di elementi discreti, loro dovrebbero corrispondere alle 

equazione di Navier-Stokes del continuo. 

Infatti, una larga varietà di sistemi con differenti dinamiche microscopiche sembrano 

rispettare le equazioni di Navier-Stokes nel limite a grande scala. Così, ad esempio, 

l'aria e l'acqua, seppure molto differenti dal punto di vista della composizione 

molecolare, possono essere ambedue descritte dalle equazioni di Navier-Stokes usando 

differenti valori di parametri, come ad esempio la viscosità. 

Nel tentativo di definire un efficiente modello computazionale per i fluidi, si può tentare 

di trovare la più semplice dinamica microscopica che riproduce le equazione di Navier- 

Stokes nel limite microscopico. 

Tali modelli computazionali corrispondono ad algoritmi ottimali per determinare il 

comportamento di un fluido sfruttando la potenza di calcolo di un elaboratore 

elettronico. 

Una classe molto interessante di modelli computazionali basata sugli automi cellulari 

per la descrizione di fluidi é detta gas reticolari (lattice gas) ed é basata su una 

modellazione discreta della dinamica molecolare. 

L'idea di base dell'idrodinamica dei gas reticolari é quella di modellare un fluido 

attraverso un sistema di particelle che si muovono in direzioni discrete a velocità 

37

discrete e sottostanno ad interazioni discrete. Le regole sono definite in modo tale da 

conservare il numero totale di particelle, la massa ed il loro momento angolare totale. 

Nel modello di automa cellulare HPP, proposto nel 1976 da Hardy, de Pazzis e Pomeau, 

particelle identiche si muovono a velocità unitaria in un reticolo bidimensionale 

quadrato in una delle quattro direzioni possibili. 

Le particelle possono essere rappresentate da un bit che ne indica la presenza in una 

cella; lo spostamento di una particella é realizzato cancellando un bit in una cella e 

assegnandolo ad una cella adiacente. 

Nel modello HPP le particelle isolate si muovono lungo linee rette. 

Quando due particelle che provengono da direzioni opposte si incontrano, esse sono 

vengono diffuse di un angolo retto (figura 1.3 a). In tutti gli altri casi, cioè quando una 

particella incrocia il cammino di un'altra particella (figura 1.3 b) o quando più di due 

particelle si incontrano, tutte le particelle proseguono nel loro cammino senza 

variazioni. 

Figure 1.3 a e b- Particelle collidenti (a) e particelle non collidenti (b) nel modello 

HPP 

Quando il numero delle particelle coinvolte diventa molto grande, ad esempio quando si 

hanno elementi di volume contenenti migliaia di particelle con migliaia di collisioni tra 

di esse, usando questo semplice modello si ottiene una dinamica continua. In 

particolare, si ottiene una semplice fluidodinamica in cui sono riconoscibili quantità 

come densità, pressione, velocità di flusso, viscosità ecc. 

Se si simula la propagazione di una onda sonora in un gas HPP si può notare che anche 

se le particelle si muovono in un reticolo quadrato, l'onda si propaga in modo circolare 

38

(figura 1.3 c). In questo caso, a livello macroscopico emerge una completa invarianza 

rotazionale da una invarianza rispetto ad angoli retti presente nel modello microscopico 

dell' automa cellulare. 

Figura 1.3 c- Propagazione di un'onda nel modello HPP (dal centro dell'immagine 

verso l'esterno) 

Dopo questo primo modello rudimentale, Pomeau, insieme a Frish e Iasslecher, propose 

nel 1986 un secondo più appropriato modello per simulare la dinamica dei fluidi. 

Questo secondo modello é detto FHP, anche questa volta dalle iniziali dei tre autori. Nel 

modello FHP il reticolo usato é di tipo esagonale (figura 1.3 d) per migliorare l'isotropia 

del modello e quindi le direzioni possibili per le particelle sono sei. Infatti, si è potuto 

verificare che questo modello porta ad una perfetta isotropia. 

Figura 1.3 d- Reticolo esagonale per il modello FHP: ogni cella ha sei vicini 

Tramite questo modello, ad un appropriato livello macroscopico, dagli studi fatti si é 

potuto verificare che si riesce a simulare un fluido che obbedisce alle equazioni di 

Navier-Stokes e quindi si riesce ad ottenere un modello che permette di ottenere delle 

39

simulazioni estremamente vicine al comportamento reale dei fluidi anche in particolari 

condizioni come turbolenze e vortici. Dopo la definizione del modello bidimensionale 

FHP, numerose attività di ricerca sono state svolte in questa direzione che hanno portato 

ai seguenti risultati: 

• estensione del modello FHP a tre dimensioni; 

• simulazione di fluidi con vari ostacoli nel loro cammino; 

• estensioni del modello per simulare l'idrodinamica di fluidi complessi includendo 

superfici di tensione; 

• una serie di algoritmi per simulare il gas reticolari su calcolatori paralleli. 

1.7.2 Metodo di Boltzmann 

Nel 1988 da Rothman é stata proposta una soluzione alternativa al modello FHP detta 

metodo di Boltzmann su reticolo (Boltzmann lattice gas). Non é scopo di questo 

capitolo descrivere in dettaglio questo modello, tuttavia occorre rilevare che esso si basa 

su una funzione probabilistica che, sostituendo i valori medi presenti nei modelli 

precedenti, ci dà la probabilità che, ad un dato istante temporale su un dato nodo del 

reticolo, vi sia una particella con una data velocità e direzione. La probabilità viene 

calcolata utilizzando l'equazione definita da Boltzmann per la teorica cinetica utilizzata 

in fisica statistica. 

40

1.8 Studi della transizione di fase con i metodi della AC 

Quando una miscela binaria uniforme è raffreddata, da un’alta temperatura ad una 

temperatura alla quale lo stato uniforme non è più a lungo stabile, è sottoposta alla 

segregazione di fase. Le fluttuazioni di concentrazione sia di lunga lunghezza d’onda e 

piccola ampiezza (decomposizione spinoidale) o piccola lunghezza d’onda e larga 

ampiezza (nucleazione), crescono formando domini di singola fase (Gunton et al.,1983). 

Se non vi sono forze esterne che interagiscono nel sistema lo stato finale sarà una fase 

di coesistenza in equilibrio termodinamico. 

Sebbene la fase di separazione sia un processo non lineare complicato, tuttavia è 

possibile costruire modelli con semplici dinamiche microscopiche le quali forniscono la 

fisica corretta ed essenziale a livello macroscopico( Alexander et al., 1992). I modelli 

cinetici Ising sono stati quelli più usati in questo tipo di investigazioni. Questi modelli 

evolvono in tempo continuo in accordo a dinamiche stocastiche, soddisfacendo precise 

e bilanciate condizioni.. 

Alexander et.al.,(1992) hanno studiato e proposto un modello di AC che permette di 

simulare la segregazione di fase di leghe binarie raffreddate. Il modello da loro proposto 

è una automazione cellulare probabilistica ( presenta alcuni vantaggi rispetto ai modelli 

tipo Ising, quali la simulazione proposta da Kawasaki (1970), dove, però, il movimento 

è troppo ridotto) costituita da una variazione della automazione cellulare di Rothman- 

Keller, (1988) in cui le particelle di tipo A (B) muovano verso domini di concentrazioni 

più grandi di A (B), figura 1.4. 

Figura 1.4- Evoluzione della morfologia di un sistema che si evolve dal disordine , a 

seguito di un quench, simulazione eseguita con AC ( Alexander et al.,1992). 

Le modifiche apportate sono costituite da una griglia completamente occupata e 

dall’introduzione di un parametro “temperature-like” il quale dota il sistema di una 

evoluzione stocastica. Usando simulazioni tramite computer gli autori hanno esaminato 

il campo delle cinetiche di crescita in un modello a due dimensioni. Per molto tempo 

dopo il raffreddamento dal disordine, la dimensione media di un dominio fase singola 

41

aumenta nel tempo come t 1/3 (vedi figura 1.5), in accordo con la teoria di Lifshitz- 

Slyozov. Sono state inoltre esaminate le proprietà critiche delle transizioni di secondo 

ordine associate. 

Figura 1.5- Evoluzione nel tempo della dimensione media dei domini caratterizzata dal 

parametro -1 , tale parametro aumenta come t 1/3 , (Alexander et al., 1992). 

42

capitolo 1 automi cellulari - Dipartimento di Fisica e Astronomia dell ...

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