Corso di Robotica Misure ed errori

Corso di Robotica
Misure ed errori
Tullio Facchinetti
8 ottobre 2011
06:55
http://robot.unipv.it/toolleeo
Tullio Facchinetti Corso di Robotica Misure ed errori

Misura ed elaborazione
le motivazioni che spingono al continuo affinamento della
tecnologia dei sensori sono legate a 2 importanti attività umane:
• la misurazione di grandezze fisiche
• l’elaborazione dei valori misurati
misurazione ed elaborazione sono attività strettamente
legate al processo di civilizzazione dell’uomo
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Grandezze e loro misurazione
Euclide, V libro degli Elementi (IV-III secolo AC)
• si stabiliscono opportuni procedimenti di confronto fra due
qualsiasi grandezze di una medesima classe e per mezzo di
questi procedimenti si definisce quando le due grandezze sono
uguali e quando sono disuguali, e in questo secondo caso
quale è la maggiore e quale la minore
• è possibile istituire, in una semplice infinità di maniere diverse,
corrispondenze biunivoche, ordinate e reciproche fra tutte le
grandezze di una medesima classe e tutti i numeri reali
positivi; queste corrispondenze biunivoche fanno corrispondere
a grandezze uguali numeri uguali e viceversa; a grandezze
disuguali numeri disuguali e viceversa
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Grandezze e loro misurazione
Bertrand Russel, Principia Mathematica (1910-1913)
dicesi misura di una grandezza, nel senso più generale, qualsiasi
metodo con cui si stabilisca una corrispondenza univoca e
reciproca tra tutte o tra alcune grandezze di un determinato genere
e tutti o alcuni, numeri interi, razionali o reali secondo il caso. In
questo senso generale la misurazione richiede una relazione
uno-uno tra i numeri e le grandezze in questione: relazione che può
essere diretta o indiretta
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Tipologie di applicazioni di misura
le applicazioni che sono interessate da processi di misurazione si
possono classificare in una delle seguenti tipologie (o una loro
combinazione):
1 attività di monitoraggio
2 controllo di processi
per monitoraggio si intende la semplice rilevazione dei parametri di
un sistema, al fine di valutarne l’evoluzione, senza finalità di
controllo.
le misurazioni sono utilizzate per determinare le azioni da attuare
su un sistema al fine di regolarne il funzionamento (per esempio in
anelli di feedback).
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La misurazione
la misurazione è il processo mediante il quale sono
assegnati dei numeri a entità o eventi del mondo reale
una entità o un evento sono generalmente
mappati in un range di valori
l’affermazione
“L’altezza di Sebastiano è di 70 cm”
non ha valore in termini scientifici
Affermazioni scientificamente valide sono
• “L’altezza di Sebastiano è compresa tra 70 e 71 cm”
• “L’altezza di Sebastiano è di 70.5 cm con una incertezza di
più o meno 0.5 cm”
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Componenti della misurazione
“l’altezza di Sebastiano è di 70 cm
con una incertezza di più o meno 0.5 cm”
una misurazione deve includere le seguenti componenti
1. il valore (numero) 70
2. l’unità di misura cm
3. lo specificatore altezza
4. l’origine Sebastiano
5. l’incertezza più o meno 0.5 cm
ciascuna componente contribuisce alla misurazione, anche se in un
sistema di calcolo (es. un apparato di controllo) in genere ciò che
conta è il numero
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Rappresentazione di una misura
una misurazione, completata dalla sua incertezza, si può
rappresentare come segue:
(valore misurato di x) = x ∗ ±δx
significa che vi è una certezza sufficientemente elevata
che la grandezza da misurare ricada nell’intervallo
[x ∗ −δx,x ∗ +δx]
il valore x ∗ rappresenta quindi la migliore stima possibile per la
misurazione effettuata
nell’esempio precedente
x ∗ = 70
δx = 0.5
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La discrepanza
una stessa grandezza può dare luogo a differenti valori misurati
(inclusivi dell’incertezza)
la discrepanza è
la discrepanza è la differenza tra i valori misurati
• significativa: gli intervalli delle incertezze non si
sovrappongono
• non significativa: gli intervalli delle incertezze si
sovrappongono tra loro
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Il “valore vero”
il valore vero è il valore associato ad una grandezza
perfettamente definita, misurata nelle condizioni in cui è
presa in considerazione
alcune osservazioni:
1 vorrebbe indicare il valore misurato nel caso fosse possibile
ottenere una misura perfetta
2 il valore vero è un’astrazione
3 la meccanica quantistica stabilisce l’impossibilità di effettuare
una misura “perfetta”
si considera il valore vero convenzionale: valore prossimo al
valore vero, dal quale si differenzia di una quantità incognita ma
comunque non significativa per l’utilizzo della misurazione
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Incertezza relativa
l’incertezza assoluta è importante, ma può falsare la valutazione
nel confronto fra misure aventi ordini di grandezza diversi
esempio: errore δx = 2 cm
1 ha un determinato impatto sulla misurazione se x ∗ = 70 cm
2 ne ha uno ben maggiore se x ∗ = 5 cm
nell’esempio precedente
1 2/70 = 0.0286 = 2.9%
2 2/5 = 0.4 = 40%
(incertezza relativa) = δx
|x ∗ |
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Due forme equivalenti per esprimere una misura
le due forme seguenti sono equivalenti
(valore misurato di x) = x ∗ ±δx
(valore misurato di x) = x ∗
1± δx
|x∗
|
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Propagazione dell’incertezza
le grandezze misurate vengono tipicamente utilizzate per
• calcolare altre grandezze
• confrontarle con valori veri convenzionali
• effettuarne il confronto tra loro (due o più)
è opportuno chiedersi:
• quale è l’incertezza sulla grandezza calcolata?
• che effetto hanno sul valore calcolato le incertezze sulle
misurazioni?
• e che ruolo giocano nel confronto fra grandezze?
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Sottrazione tra valori misurati
noti:
si desidera calcolare:
(valore misurato di x) = x ∗ ±δx
(valore misurato di y) = y ∗ ±δy
q = x −y
che può essere espresso come:
(valore calcolato di q) = q ∗ ±δq
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Sottrazione tra valori misurati
la migliore approssimazione per il valore della misura è
q ∗ = x ∗ −y ∗
in quanto x ∗ e y ∗ rappresentano le migliori approssimazioni dei
valori misurati di cui si dispone
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Sottrazione tra valori misurati
l’errore δq si ricava considerando i valori probabili più alti e più
bassi per (x −y)
• valore più alto quando x = x ∗ +δx e y = y ∗ −δy
• valore più basso quando x = x ∗ −δx e y = y ∗ +δy
quindi il valore massimo probabile vale
mentre il minimo probabile vale
x ∗ −y ∗ +(δx +δy)
x ∗ −y ∗ −(δx +δy)
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Sottrazione tra valori misurati
quindi
riassumendo
dove
δq = (δx +δy)
q = x −y = q ∗ ±δq
q ∗ = x ∗ −y ∗
δq = δx +δy
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Moltiplicazione tra valori misurati
noti:
si desidera calcolare:
(valore misurato di x) = x ∗
1± δx
|x∗
|
(valore misurato di y) = y ∗
1± δy
|y∗
|
che può essere espresso come:
q = xy
(valore calcolato di q) = q ∗
1± δq
|q∗
|
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Moltiplicazione tra valori misurati
la migliore approssimazione per il valore della misura è
q ∗ = x ∗ y ∗
in quanto x ∗ e y ∗ rappresentano le migliori approssimazioni dei
valori misurati di cui si dispone
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Moltiplicazione tra valori misurati
l’errore δq si ricava considerando i valori probabili più alti e più
bassi per xy
• valore più alto quando x = x ∗ (1+δx/|x ∗ |) e
y = y ∗ (1+δy/|y ∗ |)
• valore più basso quando x = x ∗ (1−δx/|x ∗ |) e
y = y ∗ (1−δy/|y ∗ |)
quindi il valore massimo probabile varrà
massimo = x ∗ y ∗
1+ δx
|x∗
1+
|
δy
|y∗
|
= x ∗ y ∗
1+ δx
|x∗ δy
+
| |y∗ δx
+
| |x∗ |
δy
|y ∗ |
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Moltiplicazione tra valori misurati
a questo punto è possibile trascurare il prodotto degli errori relativi
l’approssimazione è valida se tali errori sono piccoli
si ottiene
massimo = x ∗ y ∗
1+ δx
|x∗ δy
+
| |y∗
|
si può ripetere il procedimento per il valore minimo, ottenendo
δq
|q∗ δx
=
| |x∗ δy
+
| |y∗ |
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Moltiplicazione tra valori misurati
riassumendo
con
q = x −y = q ∗ ±δq
q ∗ = x ∗ −y ∗
δq
|q∗ δx
=
| |x∗ δy
+
| |y∗ |
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Riepilogo
nel caso di differenza di valori misurati
l’incertezza sul risultato è pari
alla somma delle incertezze dei valori coinvolti
nel caso di prodotto di valori misurati
l’incertezza relativa sul risultato è pari
alla somma delle incertezze relative dei moltiplicandi
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Moltiplicazione per un numero esatto
noti:
si desidera calcolare:
l’incertezza vale
(valore misurato di x) = x ∗ ±δx
valore noto A
q = Ax
δq = |A|δx
• si tratta di un prodotto: le incertezze relative si sommano
• l’incertezza di A è nulla!
• nella formula δq δx
|q| = |x|
risultante si sostitusce |q| = |Ax|
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Somme e divisioni
è semplice, con procedimenti analoghi ai precedenti, trovare che
per somme e divisioni valgono i risultati di differenze e
moltiplicazioni, rispettivamente
nel caso di somma di valori misurati
l’incertezza sul risultato è pari
alla somma delle incertezze degli addendi
nel caso di divisione di valori misurati
l’incertezza relativa sul risultato è pari
alla somma delle incertezze relative dei valori coinvolti
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Funzione di una variabile
noto:
si desidera calcolare:
che può essere espresso come:
(valore misurato di x) = x ∗ ±δx
q = f(x)
(valore calcolato di q) = q ∗ ±δq
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Funzione di una variabile
la migliore approssimazione per il valore calcolato risulta
mentre l’incertezza vale
q ∗ = f(x ∗ )
δq =
df
dx
δx Tullio Facchinetti Corso di Robotica Misure ed errori

Funzione di più variabili
noti:
si desidera calcolare:
che può essere espresso come:
valori misurati x1,...,xn
(valori misurati xi) = x ∗ i ±δxi
q = f(x1,...,xn)
(valore calcolato di q) = q ∗ ±δq
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Funzione di più variabili
la migliore approssimazione per il valore calcolato risulta
q ∗ = f(x ∗ 1 ,...,x∗ n )
mentre l’incertezza vale
δq =
∂f
∂x1
δx1
+...+
∂f
∂xn
δxn Tullio Facchinetti Corso di Robotica Misure ed errori

Propagazione in espressioni complesse
• siano x e y due grandezze misurate di cui si è stimata
l’incertezza
• si desidera calcolare la seguente funzione
a·x 2 −b ·y 2
dove a e b sono due coefficienti noti e costanti
• si calcola la funzione x 2
• si moltiplica la funzione calcolata per a
• si calcola la funzione y 2
• si moltiplica la funzione calcolata per b
• si calcola la differenza tra i valori precedentemente calcolati
• si calcola la radice quadrata delvalore risultante
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Principali fonti di incertezza
1 la definizione imprecisa dell’entità da misurare
2 l’entità da misurare è difficile/impossibile da “isolare”
3 il campione di riferimento non rappresenta l’entità da misurare
4 il campione di riferimento è alterato rispetto alle condizioni
attese
5 l’influenza delle condizioni ambientali
6 l’errore nella lettura dello strumento
7 la risoluzione dello strumento di misura
8 in misurazioni ripetute, variazioni delle condizioni di
misurazione che invece vengono considerate identiche
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Precisione
la precisione è il grado di convergenza di dati individualmente
rilevati su un valore medio della serie cui appartengono
• la dispersione di valori può essere prodotta da variazioni
casuali non ripetibili (errore statistico)
• per ottenere un valore medio affidabile è necessario effettuare
un numero sufficientemente elevato di rilevazioni
• in statistica la precisione è esprimibile in termini di deviazione
standard
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Precisione
la precisione è caratterizzata da:
• ripetibilità: la variazione dovuta allo strumento di misura; è la
dispersione di valori ottenuta usando gli stessi strumenti, con
gli stessi operatori, nelle stesse condizioni ed in un tempo
ragionevolmente breve
• riproducibilità: è la variazione dovuta al sistema da misurare;
è la dispersione ottenuta compiendo le stesse misurazioni con
strumenti e/o operatori differenti e/o su un tempo
relativamente lungo
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Precisione
la precisione è caratterizzata da:
• ripetibilità: la variazione dovuta allo strumento di misura; è la
dispersione di valori ottenuta usando gli stessi strumenti, con
gli stessi operatori, nelle stesse condizioni ed in un tempo
ragionevolmente breve
• riproducibilità: è la variazione dovuta al sistema da misurare;
è la dispersione ottenuta compiendo le stesse misurazioni con
strumenti e/o operatori differenti e/o su un tempo
relativamente lungo
anche se qualcuno non ha una buona opinione della statistica:
• il 94.5% delle statistiche è sbagliato (Woody Allen)
• l’inutilità delle statistiche è statisticamente dimostrata (Umberto Domina)
• lo statistico è un uomo che fa un calcolo giusto partendo da premesse dubbie
per arrivare ad un risultato sbagliato (Jean Delacour)
• tortura abbastanza a lungo i dati ed essi confesseranno qualunque cosa
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Errore statistico
incertezza
statistica
valore reale
singola
misurazione
valore medio
Errore statistico
scarto tra i valori misurati e il valore medio che ne deriva
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Errore statistico
dati i seguenti valori statistici
media
x = 1
n
n
i=1
scarto quadratico medio (deviazione standard)
σ = 1
n
(xi −x)
n−1
2
l’errore statistico viene generalmente espresso come rapporto tra lo
scarto quadratico medio e il valore medio, in percentuale
i=1
xi
err = σ/|x|
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Errore statistico ed errore standard
è possibile affermare che, dato un insieme di misurazioni, si ha:
• la media rappresenta la migliore stima per il valore misurato
• l’incertezza è legata alla deviazione standard, la quale, nel
caso (tipico) di distribuzione normale, garantisce che il 68%
delle misure ricada nell’intervallo
x ±σ
per tenere conto del fatto che più misurazioni vengono effettuate e
più migliora la stima dell’incertezza, si definisce l’errore standard
come
σx = σ √ n
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L’accuratezza
l’accuratezza è il grado di corrispondenza del dato teorico,
desumibile da una serie di valori misurati (es. il valore medio di
diverse misurazioni), con il dato reale o di riferimento
l’errore costante e ripetibile che si ottiene in questo modo è
l’errore sistematico (o bias)
l’accuratezza è caratterizzabile da tre componenti:
• linearità: considera l’effetto dell’intervallo di misurazione sulla
correttezza della misurazione stessa
• accuratezza propriamente detta: è la differenza tra la media
dei valori misurati e un campione di riferimento
• stabilità: l’accuratezza della misura col passare del tempo;
considera la variazione nel tempo della misura dello stesso
strumento, sullo stesso campione
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Esempio
metro di materiale metallico
temperatura di taratura
metro di materiale metallico
temperatura maggiore
di quella di taratura
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1 m
1 m

Errore sistematico
incertezza
statistica
singola
misurazione
valore medio
errore sistematico
valore reale
Errore sistematico
scarto tra il valore medio calcolato e il valore reale
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Stabilità e accuratezza del segnale
f
f 0
preciso ma
non accurato
stabile ma
non accurato
t
f
f 0
ne’ preciso
ne’ accurato
ne’ stabile
ne’ accurato
t
accurato ma
non preciso
accurato ma
non stabile
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f
f 0
t
f
f 0
accurato e
preciso
stabile e
accurato
t

Errori, accuratezza e precisione
• l’errore statistico è relativamente facile da valutare, in quanto
basta calcolare la deviazione standard della distribuzione dei
valori misurati
• l’errore sistematico è più complesso ed è generalmente dovuto
ad errori di calibrazione o a variazioni dei parametri dello
strumento di misura dovute, ad es., alla temperatura
• uno strumento deteriorato o alterato, usato per acquisire una
serie di valori, può essere preciso, in quanto i valori ottenuti
sono vicini tra loro, ma essere scarsamente accurato se questo
valore differisce dal valore che realmente si dovrebbe ottenere
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Calibrazione di un sensore
si supponga di voler calibrare uno strumento per la misura di
distanza
viene preso un campione di riferimento di 1 m
# misura [m] # misura [m]
1 0.990 11 0.995
2 1.007 12 1.004
3 1.004 13 1.003
4 0.991 14 1.000
5 0.989 15 0.992
6 1.008 16 0.994
7 0.997 17 1.005
8 1.002 18 0.995
9 0.996 19 0.991
10 1.001 20 1.004
come si può valutare
l’accuratezza dello strumento
di misura?
Tullio Facchinetti Corso di Robotica Misure ed errori

Calibrazione di un sensore
• media x = 0.9984 m (-1.6 mm)
• deviazione standard s = 0.0061 (6.1 mm)
istogramma delle frequenze nell’intervallo [0.986, 1.014] m
ciascun sotto-intervallo ha dimensione ∆ = 0.002m
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Calibrazione di un sensore e distribuzione limite
potendo effettuare un numero infinito di misurazioni e potendo
impostare ∆ → 0, l’istogramma tende ad assumere la forma di una
funzione della distribuzione limite
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Distribuzione normale
la funzione che definisce la forma della campana è la seguente
ed è detta “gaussiana”.
f(x) = 1
σ √ 2π e−(x−µ)2 2σ2 la distribuzione dei dati misurati che è associata ad una gaussiana
è detta distribuzione normale
la distribuzione normale è tipica di un insieme
di misurazioni caratterizzare da errori statistici
piccoli e determinati da molte diverse cause
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Calibrazione di un sensore e distribuzione normale
se assumiamo che la distribuzione sia normale, allora si ha che
• il 68% delle misure sta nell’intervallo µ±σ (x ±s)
• il 95% delle misure sta nell’intervallo µ±2σ (x ±2s)
• il 99.7% delle misure sta nell’intervallo µ±3σ (x ±3s)
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L’informazione
informazione è ciò che diminuisce l’incertezza
il problema viene così spostato alla definizione di incertezza
la branca della scienza che studia il rapporto tra informazione e
incertezza è la teoria dell’informazione che, tra le altre cose, è alla
base della teoria sui codici di correzione degli errori
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Probabilità e lettura di un sensore
alcune definizioni
• chiamiamo x il valore di una variabile casuale
• i possibili valori di x sono inclusi nell’insieme
AX = {a1,a2,...,ai,...,aN}
• le rispettive probabilità sono PX = {p1,p2,...,pi,...,pN}
utilizzando le definizioni:
• scriveremo P(x = ai) = pi
• si ha
ai∈AX P(x = ai) = 1
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Probabilità di un simbolo
distribuzione della frequenza delle lettere nel documento “The
Frequently Asked Questions Manual for Linux”
i ai pi i ai pi i ai pi
1 a 0.0575 10 j 0.0006 19 s 0.0567
2 b 0.0128 11 k 0.0084 20 t 0.0706
3 c 0.0263 12 l 0.0335 21 u 0.0334
4 d 0.0285 13 m 0.0235 22 v 0.0069
5 e 0.0913 14 n 0.0596 23 w 0.0119
6 f 0.0173 15 o 0.0689 24 x 0.0073
7 g 0.0133 16 p 0.0192 25 y 0.0164
8 h 0.0313 17 q 0.0008 26 z 0.0007
9 i 0.0599 18 r 0.0508 27 – 0.1928
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Contenuto informativo di Shannon ed entropia
definizione del contenuto informativo di Shannon:
definizione di entropia:
H(X) =
h(pi) = log 2
ai∈AX
1
pi
P(x)log 2
1
P(x)
Un messaggio di n simboli contiene nH bit di informazione
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Alcune caratteristiche dell’entropia
• H(X) ≥ 0
H(X) =
• H(X) = 0 ⇔ ∃i : pi = 1
• H(X) ≤ log(AX)
ai∈AX
P(x)log 2
• H(X) = log(AX) ⇔ ∀i : pi = 1/AX
1
P(x)
l’ultimo punto indica che l’entropia è massimizzata se la
distribuzione delle probabilità è uniforme
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Contenuto informativo di Shannon
contenuto informativo di Shannon delle lettere nel documento The
Frequently Asked Questions Manual for Linux
i ai pi h(pi) i ai pi h(pi) i ai pi h(pi)
1 a 0.0575 4.1 10 j 0.0006 10.7 19 s 0.0567 4.1
2 b 0.0128 6.3 11 k 0.0084 6.9 20 t 0.0706 3.8
3 c 0.0263 5.2 12 l 0.0335 4.9 21 u 0.0334 4.9
4 d 0.0285 5.1 13 m 0.0235 5.4 22 v 0.0069 7.2
5 e 0.0913 3.5 14 n 0.0596 4.1 23 w 0.0119 6.4
6 f 0.0173 5.9 15 o 0.0689 3.9 24 x 0.0073 7.1
7 g 0.0133 6.2 16 p 0.0192 5.7 25 y 0.0164 5.9
8 h 0.0313 5.0 17 q 0.0008 10.3 26 z 0.0007 10.4
9 i 0.0599 4.1 18 r 0.0508 4.3 27 – 0.1928 2.4
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Entropia e sensori
che c’entra l’entropia e la teoria dell’informazione con la robotica e
il campionamento di sensori?
spunto (approfondito in seguito):
quando un segnale viene campionato, la
distribuzione del segnale sul range di
campionamento raramente (praticamente MAI!) è
uniforme...
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