esercizi di geometria

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2 Esercizio guida 1 – Perpendicolarità retta – piano In un piano α è dato un triangolo acutangolo ABC e H è la proiezione di A sul lato BC. Indicato con P un generico punto sulla retta perpendicolare in A al piano α, dimostrare che i triangoli PAH, PBH, PCH sono rettangoli. Il segmento AP è perpendicolare in A al piano α, perciò è perpendicolare a tutte le rette di α passanti per A e in particolare al segmento AH, risulta così dimostrato che PAH è un triangolo rettangolo. Per dimostrare che anche PBH e PCH sono rettangoli si osserva che AH è la perpendicolare al segmento BC condotta dal piede A della perpendicolare al piano α, per il teorema delle tre perpendicolari BC è perpendicolare in H al piano generato dai punti P, A, H, quindi è perpendicolare al segmento PH. Ne consegue che i triangoli PBH, PCH sono entrambi rettangoli in H. 22) In un piano α è data una circonferenza γ di centro O, tracciare nel piano α la retta t tangente a γ in un generico punto A. Indicato con P un generico punto sulla perpendicolare in O al piano α, dimostrare che AP e t sono tra loro perpendicolari. 23) Data una generica retta r siano O, P due suoi punti. Tracciare il piano α perpendicolare in O a r e, in tale piano, un rettangolo ABCD in modo che O sia il punto medio del lato AD. Dimostrare che BC è perpendicolare al segmento che ha per estremi P e il punto medio di BC. 24) Dato un quadrato ABCD di lato 3a tracciare la retta r perpendicolare in A al piano del quadrato e indicare con P il punto di r tale che AP 4 . Calcolare la distanza di P da ciascuno dei vertici del quadrato. [ PB = PD 5; PD √34 ]
3 Esercizio guida 2 – Il teorema delle tre perpendicolari In un piano α sono assegnati un segmento AB di misura 4 a e un punto O sull’asse di AB distante 4 a dal segmento stesso. Tracciata la retta r perpendicolare al piano α in O indicare con C il punto di r in corrispondenza del quale = 4 a. Calcolare la distanza di C dagli estremi del segmento AB. Poiché r è perpendicolare in O al piano α generato dai punti O, A, B e OH è perpendicolare ad AB si ha, per il teorema delle tre perpendicolari, CH perpendicolare ad AB. CB è quindi ipotenusa del triangolo CHB di cui è noto il cateto HB e calcolabile il cateto CH. HB 2 CH è ipotenusa del triangolo rettangolo COH, pertanto CH 4√2 Applicando il teorema di Pitagora al triangolo rettangolo CHB si ottiene: BC √32 4 = 6a AC ≅ BC perché i triangoli CHA e CHB sono congruenti. 25) Dato in cerchio γ di centro O e raggio 3a, sia ABCD un quadrato ad esso circoscritto. Tracciata la retta r perpendicolare in O al piano di γ indicare con P un punto di r che ha distanza 4a da O, calcolare la distanza di P da ciascuno dei vertici del quadrato. [ √34 ] 26) Dal centro di un triangolo equilatero di lato 6√3 tracciare la retta r perpendicolare al piano del triangolo e indicare con P un punto di r che ha distanza 2√3 dal piano. Calcolare la distanza di P da ciascuno dei tre vertici del triangolo. [4√3 ] 27) Un triangolo ABC rettangolo in A ha AC 3 e BC 4. Tracciata la retta r perpendicolare in C al piano del triangolo, sia P un punto di r in corrispondenza del quale PC 4. Calcolare la distanza di P da M punto medio di AB. [ PM √29 ]
Page 1: 1 Esercizi sulle rette nello spazio
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