1 LA PERPENDICOLARITA' NELLO SPAZIO Nello spazio si ...
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1<br />
<strong>LA</strong> PERPENDICO<strong>LA</strong>RITA’ <strong>NELLO</strong> <strong>SPAZIO</strong><br />
<strong>Nello</strong> <strong>spazio</strong> <strong>si</strong> definiscono la perpendicolarità <strong>si</strong>a tra una retta e un piano <strong>si</strong>a tra due piani.<br />
2.1 La perpendicolarità retta piano<br />
Nel piano la perpendicolarità tra rette è una condizione di incidenza particolare, ricca di<br />
conseguenze, basti pensare ai teoremi sui triangoli rettangoli. Anche nello <strong>spazio</strong> la perpendicolarità<br />
tra una retta e un piano è una <strong>si</strong>tuazione di incidenza che dà origine a proprietà notevoli.<br />
Ma cosa <strong>si</strong>gnifica che una retta è perpendicolare a un piano?<br />
Tutti noi vediamo gli spigoli della stanza e diciamo che sono perpendicolari al piano del pavimento,<br />
ma su che ba<strong>si</strong> <strong>si</strong> fonda la nostra affermazione?<br />
Ritorniamo alla perpendicolarità tra rette osservando che lo spigolo che diciamo “verticale” è<br />
perpendicolare agli altri due spigoli che concorrono in un angolo della stanza. Ma queste non sono<br />
le uniche rette perpendicolari allo spigolo verticale, qualunque altra retta del piano del pavimento<br />
che concorre nello stesso angolo della stanza è a sua volta perpendicolare allo spigolo verticale,<br />
come as<strong>si</strong>cura il seguente teorema.<br />
Teorema 3 Se una retta è perpendicolare a due rette incidenti allora è perpendicolare a tutte le rette<br />
del loro fascio e non è perpendicolare a nessun’altra retta della stella.<br />
Ipote<strong>si</strong>: r ⊥ a, r ⊥ b<br />
Te<strong>si</strong>: 1) r ⊥ c<br />
c retta del fascio generato da a, b<br />
d retta della stella, ma non del fascio<br />
2) r non perpendicolare a d<br />
figura 1
2<br />
DIM<br />
1) Indichiamo con α il piano generato dalle rette a, b e con O il loro punto d’intersezione.<br />
Tracciamo nel piano α una qualunque retta c passante per O.<br />
Per dimostrare che r è perpendicolare a c costruiamo un triangolo che ha una mediana coincidente<br />
con c e dimostriamo che tale triangolo è isoscele.<br />
• Costruzione del triangolo<br />
Tracciamo nel piano α una retta s non passante per O e indichiamo con A, B, C i suoi punti<br />
d’intersezione con le rette a, b, c . Indichiamo con P, Q due punti della retta r equidistanti da O.<br />
Allora la retta c contiene la mediana CO del triangolo PCQ.<br />
• PCQ è un triangolo isoscele<br />
Per dimostrare che CP CQ proviamo che sono lati di due triangoli congruenti PAC e QAC.<br />
AP AQ perché la retta a è asse di PQ<br />
BP BQ perché la retta b è asse di PQ<br />
Allora PAB QAB per il terzo criterio, un lato è in comune e le altre due coppie di lati sono<br />
congruenti per la dimostrazione appena effettuata. Quindi sono congruenti coppie di angoli dei<br />
due triangoli e, in particolare vale PAC QAC.<br />
Allora i triangoli PAC e QAC sono congruenti per il primo criterio e, in particolare, sono<br />
congruenti i lati CP e CQ. Così abbiamo dimostrato che PCQ è un triangolo isoscele di base PQ.<br />
La mediana relativa alla base è anche altezza, perciò le rette r e c sono fra loro perpendicolari.<br />
2) Con<strong>si</strong>deriamo ancora la retta r perpendicolare al piano α in O.<br />
Supponiamo per assurdo che e<strong>si</strong>sta una retta d, perpendicolare in O a r, ma non appartenente<br />
al piano α (figura 2). Le rette incidenti r, d generano a loro volta un piano che chiamiamo β.<br />
I piani α e β sono incidenti in O perciò hanno in comune una retta passante per O, la<br />
indichiamo con e.<br />
Le rette r, d, e sono tutte nel piano β, in cui accade che:<br />
r ⊥ d in O per ipote<strong>si</strong><br />
r ⊥ e in O per quanto dimostrato al punto 1)<br />
Abbiamo così ottenuto l’assurdo, perché in un piano non possono esserci due rette<br />
perpendicolari a una retta in uno stesso punto.
3<br />
Figura 2<br />
Il teorema appena dimostrato risponde alla domanda posta in apertura del paragrafo, <strong>si</strong> dà la<br />
seguente definizione.<br />
Def Si dice che una retta è perpendicolare a un piano in un suo punto se è perpendicolare a<br />
tutte le rette del piano passanti per quel punto.<br />
Il teorema 3 as<strong>si</strong>cura che, per dimostrare che una retta è perpendicolare a un piano in suo<br />
punto, è sufficiente dimostrare che la stessa è perpendicolare a due rette del piano distinte e<br />
passanti per quel punto.<br />
Proponiamo ora il secondo teorema sulla perpendicolarità retta – piano, vedremo nel seguito<br />
che è il fondamento delle dimostrazioni di importanti proprietà di figure solide.<br />
Teorema 4 – Teorema delle tre perpendicolari. Se dal piede della perpendicolare a un<br />
piano <strong>si</strong> conduce la perpendicolare a un’altra retta del piano, quest’ultima è perpendicolare<br />
al piano formato dalle prime due.<br />
L’enunciato sembra uno scioglilingua, il suo contenuto <strong>si</strong> chiarirà costruendo la figura.<br />
Disegniamo una retta r perpendicolare a un piano α in un suo punto O, piede della<br />
perpendicolare. Tracciamo nello stesso piano una retta s non passante per O, e da O<br />
conduciamo la retta t perpendicolare a s, indichiamo con H il piede della perpendicolare.<br />
Abbiamo così disegnato tre rette a due a due perpendicolari ( figura 3)<br />
Figura 3
4<br />
Ipote<strong>si</strong>: r ⊥ α<br />
t ⊥ s<br />
Te<strong>si</strong>: s perpendicolare al piano generato da r, t<br />
DIM.<br />
Il piano generato dalle rette r, t, che chiameremo β, può anche essere individuato con tre<br />
punti O, H e un generico punto P sulla retta r (figura 4)<br />
Per ipote<strong>si</strong> s è perpendicolare in H alla retta t di β, in forza del precedente teorema basta<br />
dimostrare che s è perpendicolare in H a un’altra retta di β.<br />
Dimostriamo che s è perpendicolare alla retta HP seguendo una strada analoga a quella del<br />
teorema 3. Indichiamo con A, B due punti della retta s <strong>si</strong>mmetrici rispetto a H e dimostriamo<br />
che il triangolo PAB è isoscele sulla base AB (figura 4).<br />
POA ≅ POB per il primo criterio, infatti l’angolo in O è retto, il cateto OP è comune, i cateti<br />
OA e OB sono congruenti perché O è, per costruzione, un punto dell’asse di AB.<br />
In particolare è PA ≅ PB, perciò il triangolo PAB è isoscele su AB e la mediana PH è anche<br />
altezza.<br />
Abbiamo così provato che s è perpendicolare alle rette HO e HP del piano β, e quindi è<br />
perpendicolare al piano stesso.<br />
Figura 4<br />
Due teoremi stabiliscono una relazione tra una retta, un punto e un piano perpendicolare alla<br />
retta.<br />
Teorema 5 Dati una retta r e un<br />
punto P e<strong>si</strong>ste ed è unico il piano che è<br />
perpendicolare a r e passa per P.<br />
Figura 5<br />
Teorema 6 Dati un piano α e un punto P e<strong>si</strong>ste ed è unica la retta che è perpendicolare a α e<br />
passa per P.
5<br />
Si distinguono due ca<strong>si</strong><br />
• Ipote<strong>si</strong>: P∈α<br />
Te<strong>si</strong>: r ⊥ α in P<br />
figura 6a<br />
• Ipote<strong>si</strong>: P ∉α<br />
Te<strong>si</strong>: r passa per P<br />
r ⊥ α<br />
figura 6b<br />
Concludiamo con un teorema che presenta la traspo<strong>si</strong>zione allo <strong>spazio</strong> di una proprietà della<br />
geometria piana.<br />
Teorema 7 Due rette perpendicolari a uno stesso piano sono tra loro parallele.<br />
Ipote<strong>si</strong>: r ⊥ α<br />
Te<strong>si</strong>: r // s<br />
s⊥α<br />
Figura 7
6<br />
Alla luce di questi teoremi, chiamiamo proiezione di un punto su un piano il piede della<br />
perpendicolare al piano.<br />
Il segmento che ha per estremi un punto e la sua proiezione sul piano è detto distanza di un<br />
punto da un piano. A seconda dei contesti prendono lo stesso nome anche la lunghezza e la<br />
misura del segmento.<br />
Riguardo alla distanza di un punto da un piano vale una proprietà analoga a quella che<br />
sus<strong>si</strong>ste nel piano per la perpendicolare e le oblique da un punto a una retta. Si dimostra<br />
infatti il seguente teorema.<br />
Teorema 8 Dati un piano α e un punto P che non gli appartiene, il segmento che ha per<br />
estremi P e la sua proiezione su α è minore di ogni altro segmento che ha un estremo in P e<br />
l’altro in un punto di α.<br />
Ipote<strong>si</strong>: P ∉α<br />
PH ⊥ α<br />
A (distinto da H) ∈α<br />
Te<strong>si</strong>: PH < PA<br />
Figura 8<br />
La proiezione di un segmento su un piano è il segmento che ha per estremi le proiezioni<br />
degli estremi del segmento sul piano.<br />
In figura sono rappresentati un<br />
segmento AB e la sua proiezione HK<br />
su un piano α.<br />
Figura 9<br />
Infine definiamo l’angolo che una retta forma con un piano che la intersechi come<br />
l’angolo acuto che la retta forma con la sua proiezione sul piano.<br />
In figura 10 sono rappresentate una retta r e la sua proiezione sul piano, l’angolo che la retta<br />
forma con il piano è QPH.
7<br />
Figura 10<br />
Se una retta è perpendicolare a un piano <strong>si</strong> dice che forma un angolo retto con il piano.<br />
L’angolo acuto che una retta incidente un piano α in un punto P forma con la sua<br />
proiezione su α gode di un’importante proprietà di minimo, <strong>si</strong> dimostra infatti che tale<br />
angolo è minore dell’angolo che la stessa retta forma con qualunque altra retta di α<br />
passante per P.<br />
In figura ... sono rappresentate la retta r, la sua proiezione s sul piano α e un’altra retta t<br />
passante per il punto O di α. Per qualunque po<strong>si</strong>zione di t vale la disuguaglianza POH <br />
POA <br />
figura 11<br />
2.2 Angoli diedri<br />
L’angolo formato da due semirette che hanno l’origine comune ha un analogo nello <strong>spazio</strong>, prima di<br />
definirlo ricordiamo che nel piano<br />
un angolo ha<br />
• due lati: semirette che hanno la stessa origine<br />
• un vertice: origine dei lati<br />
un angolo è ciascuna delle due parti di piano limitate dalle semirette.
8<br />
Per definire il nuovo ente che chiameremo angolo diedro o, più brevemente, diedro aumentiamo di<br />
una dimen<strong>si</strong>one gli enti che limitano l’angolo<br />
Semirette → semipiani<br />
Vertice<br />
→ retta<br />
Def Si dice angolo diedro ciascuna delle parti di <strong>spazio</strong> limitate da due semipiani che hanno<br />
l’origine comune.<br />
Ciascun semipiano è detto faccia del diedro, mentre la retta, origine dei semipiani, è detta spigolo<br />
Figura 12<br />
Come per gli angoli piani <strong>si</strong> dice diedro convesso la parte di <strong>spazio</strong> che non contiene i<br />
prolungamenti della facce, diedro concavo l’altra.<br />
Se le facce sono complanari e opposte allo spigolo, lo <strong>spazio</strong> è diviso in due semispazi, che sono<br />
figure convesse, in questo caso ciascuno dei due diedri è detto diedro piatto.<br />
Proseguendo nell’analogia con gli angoli, due diedri <strong>si</strong> dicono consecutivi se hanno in comune<br />
un’intera faccia e nessun altro punto.<br />
La somma di due diedri consecutivi è il diedro che li contiene e ha per facce le facce non comuni.<br />
Una clas<strong>si</strong>ficazione dei diedri, analoga a quella degli angoli piani, avviene attraverso l’intersezione<br />
del diedro con un piano che ne interseca le facce, la figura che <strong>si</strong> ottiene è un angolo detto sezione<br />
del diedro.
9<br />
figura 13<br />
In figura 13 è rappresentato l’angolo aOb sezione di un diedro con un piano α perpendicolare allo<br />
spigolo.<br />
Ogni sezione di un diedro con un piano perpendicolare allo spigolo è detta sezione normale, a<br />
questo riguardo <strong>si</strong> dimostra il seguente teorema.<br />
Teorema 9 Le sezioni normali di uno stesso diedro sono congruenti.<br />
Segnaliamo alcune conseguenze importanti.<br />
• Due diedri sono congruenti se lo sono le loro sezioni normali. Si dimostra che la relazione<br />
di congruenza tra diedri introdotta è una relazione di equivalenza. La grandezza comune a<br />
tutti i diedri congruenti è detta ampiezza e viene misurata con le stesse unità di misura<br />
dell’angolo piano.<br />
• Si dice che un diedro è acuto, retto o ottuso se lo sono, rispettivamente, le sue sezioni<br />
normali.<br />
L’analogo nello <strong>spazio</strong> della bisettrice di un angolo è il piano bisettore di un diedro, definito come<br />
quel piano che passa per lo spigolo del diedro e lo divide in due diedri congruenti.<br />
2.3 La perpendicolarità tra piani<br />
Se con<strong>si</strong>deriamo due piani che <strong>si</strong> intersecano, lo <strong>spazio</strong> viene diviso in quattro parti ciascuna delle<br />
quali è un diedro. A partire dalla clas<strong>si</strong>ficazione dei diedri <strong>si</strong> definisce la perpendicolarità tra piani.<br />
Def. Si dice che due piani sono perpendicolari se intersecando<strong>si</strong> formano quattro diedi retti.<br />
figura 14
10<br />
Riguardo alla perpendicolarità tra piani <strong>si</strong> enunciano tre importanti teoremi in ciascuno dei quali<br />
sono diversamente coinvolti due piani e una retta perpendicolare a uno dei due.<br />
Teorema 10 Ogni piano β passante per una<br />
retta s perpendicolare a un piano α è<br />
anch’esso perpendicolare a questo piano.<br />
Teorema 11 Ogni piano α perpendicolare a<br />
una retta s di un piano β è perpendicolare<br />
anche a questo piano.<br />
figura 15<br />
Teorema 12 Se due piani sono perpendicolari, ogni retta perpendicolare alla loro intersezione e<br />
<strong>si</strong>tuata su uno dei due piani, è perpendicolare all’altro piano.<br />
Ipote<strong>si</strong>: t ≡ α ∩ β<br />
r ∈ α<br />
r ⊥ t<br />
Te<strong>si</strong>: r ⊥ β<br />
figura 16