1 LA PERPENDICOLARITA' NELLO SPAZIO Nello spazio si ...

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Ipotesi: r ⊥ α
t ⊥ s
Tesi: s perpendicolare al piano generato da r, t
DIM.
Il piano generato dalle rette r, t, che chiameremo β, può anche essere individuato con tre
punti O, H e un generico punto P sulla retta r (figura 4)
Per ipotesi s è perpendicolare in H alla retta t di β, in forza del precedente teorema basta
dimostrare che s è perpendicolare in H a un’altra retta di β.
Dimostriamo che s è perpendicolare alla retta HP seguendo una strada analoga a quella del
teorema 3. Indichiamo con A, B due punti della retta s simmetrici rispetto a H e dimostriamo
che il triangolo PAB è isoscele sulla base AB (figura 4).
POA ≅ POB per il primo criterio, infatti l’angolo in O è retto, il cateto OP è comune, i cateti
OA e OB sono congruenti perché O è, per costruzione, un punto dell’asse di AB.
In particolare è PA ≅ PB, perciò il triangolo PAB è isoscele su AB e la mediana PH è anche
altezza.
Abbiamo così provato che s è perpendicolare alle rette HO e HP del piano β, e quindi è
perpendicolare al piano stesso.
Figura 4
Due teoremi stabiliscono una relazione tra una retta, un punto e un piano perpendicolare alla
retta.
Teorema 5 Dati una retta r e un
punto P esiste ed è unico il piano che è
perpendicolare a r e passa per P.
Figura 5
Teorema 6 Dati un piano α e un punto P esiste ed è unica la retta che è perpendicolare a α e
passa per P.