1 LA PERPENDICOLARITA' NELLO SPAZIO Nello spazio si ...

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6 Alla luce di questi teoremi, chiamiamo proiezione di un punto su un piano il piede della perpendicolare al piano. Il segmento che ha per estremi un punto e la sua proiezione sul piano è detto distanza di un punto da un piano. A seconda dei contesti prendono lo stesso nome anche la lunghezza e la misura del segmento. Riguardo alla distanza di un punto da un piano vale una proprietà analoga a quella che sussiste nel piano per la perpendicolare e le oblique da un punto a una retta. Si dimostra infatti il seguente teorema. Teorema 8 Dati un piano α e un punto P che non gli appartiene, il segmento che ha per estremi P e la sua proiezione su α è minore di ogni altro segmento che ha un estremo in P e l’altro in un punto di α. Ipotesi: P ∉α PH ⊥ α A (distinto da H) ∈α Tesi: PH < PA Figura 8 La proiezione di un segmento su un piano è il segmento che ha per estremi le proiezioni degli estremi del segmento sul piano. In figura sono rappresentati un segmento AB e la sua proiezione HK su un piano α. Figura 9 Infine definiamo l’angolo che una retta forma con un piano che la intersechi come l’angolo acuto che la retta forma con la sua proiezione sul piano. In figura 10 sono rappresentate una retta r e la sua proiezione sul piano, l’angolo che la retta forma con il piano è QPH.
7 Figura 10 Se una retta è perpendicolare a un piano si dice che forma un angolo retto con il piano. L’angolo acuto che una retta incidente un piano α in un punto P forma con la sua proiezione su α gode di un’importante proprietà di minimo, si dimostra infatti che tale angolo è minore dell’angolo che la stessa retta forma con qualunque altra retta di α passante per P. In figura ... sono rappresentate la retta r, la sua proiezione s sul piano α e un’altra retta t passante per il punto O di α. Per qualunque posizione di t vale la disuguaglianza POH POA figura 11 2.2 Angoli diedri L’angolo formato da due semirette che hanno l’origine comune ha un analogo nello spazio, prima di definirlo ricordiamo che nel piano un angolo ha • due lati: semirette che hanno la stessa origine • un vertice: origine dei lati un angolo è ciascuna delle due parti di piano limitate dalle semirette.
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Page 3 and 4: 3 Figura 2 Il teorema appena dimost
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