1 LA PERPENDICOLARITA' NELLO SPAZIO Nello spazio si ...

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2 DIM 1) Indichiamo con α il piano generato dalle rette a, b e con O il loro punto d’intersezione. Tracciamo nel piano α una qualunque retta c passante per O. Per dimostrare che r è perpendicolare a c costruiamo un triangolo che ha una mediana coincidente con c e dimostriamo che tale triangolo è isoscele. • Costruzione del triangolo Tracciamo nel piano α una retta s non passante per O e indichiamo con A, B, C i suoi punti d’intersezione con le rette a, b, c . Indichiamo con P, Q due punti della retta r equidistanti da O. Allora la retta c contiene la mediana CO del triangolo PCQ. • PCQ è un triangolo isoscele Per dimostrare che CP CQ proviamo che sono lati di due triangoli congruenti PAC e QAC. AP AQ perché la retta a è asse di PQ BP BQ perché la retta b è asse di PQ Allora PAB QAB per il terzo criterio, un lato è in comune e le altre due coppie di lati sono congruenti per la dimostrazione appena effettuata. Quindi sono congruenti coppie di angoli dei due triangoli e, in particolare vale PAC QAC. Allora i triangoli PAC e QAC sono congruenti per il primo criterio e, in particolare, sono congruenti i lati CP e CQ. Così abbiamo dimostrato che PCQ è un triangolo isoscele di base PQ. La mediana relativa alla base è anche altezza, perciò le rette r e c sono fra loro perpendicolari. 2) Consideriamo ancora la retta r perpendicolare al piano α in O. Supponiamo per assurdo che esista una retta d, perpendicolare in O a r, ma non appartenente al piano α (figura 2). Le rette incidenti r, d generano a loro volta un piano che chiamiamo β. I piani α e β sono incidenti in O perciò hanno in comune una retta passante per O, la indichiamo con e. Le rette r, d, e sono tutte nel piano β, in cui accade che: r ⊥ d in O per ipotesi r ⊥ e in O per quanto dimostrato al punto 1) Abbiamo così ottenuto l’assurdo, perché in un piano non possono esserci due rette perpendicolari a una retta in uno stesso punto.
3 Figura 2 Il teorema appena dimostrato risponde alla domanda posta in apertura del paragrafo, si dà la seguente definizione. Def Si dice che una retta è perpendicolare a un piano in un suo punto se è perpendicolare a tutte le rette del piano passanti per quel punto. Il teorema 3 assicura che, per dimostrare che una retta è perpendicolare a un piano in suo punto, è sufficiente dimostrare che la stessa è perpendicolare a due rette del piano distinte e passanti per quel punto. Proponiamo ora il secondo teorema sulla perpendicolarità retta – piano, vedremo nel seguito che è il fondamento delle dimostrazioni di importanti proprietà di figure solide. Teorema 4 – Teorema delle tre perpendicolari. Se dal piede della perpendicolare a un piano si conduce la perpendicolare a un’altra retta del piano, quest’ultima è perpendicolare al piano formato dalle prime due. L’enunciato sembra uno scioglilingua, il suo contenuto si chiarirà costruendo la figura. Disegniamo una retta r perpendicolare a un piano α in un suo punto O, piede della perpendicolare. Tracciamo nello stesso piano una retta s non passante per O, e da O conduciamo la retta t perpendicolare a s, indichiamo con H il piede della perpendicolare. Abbiamo così disegnato tre rette a due a due perpendicolari ( figura 3) Figura 3
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