1 LA PERPENDICOLARITA' NELLO SPAZIO Nello spazio si ...

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4 Ipotesi: r ⊥ α t ⊥ s Tesi: s perpendicolare al piano generato da r, t DIM. Il piano generato dalle rette r, t, che chiameremo β, può anche essere individuato con tre punti O, H e un generico punto P sulla retta r (figura 4) Per ipotesi s è perpendicolare in H alla retta t di β, in forza del precedente teorema basta dimostrare che s è perpendicolare in H a un’altra retta di β. Dimostriamo che s è perpendicolare alla retta HP seguendo una strada analoga a quella del teorema 3. Indichiamo con A, B due punti della retta s simmetrici rispetto a H e dimostriamo che il triangolo PAB è isoscele sulla base AB (figura 4). POA ≅ POB per il primo criterio, infatti l’angolo in O è retto, il cateto OP è comune, i cateti OA e OB sono congruenti perché O è, per costruzione, un punto dell’asse di AB. In particolare è PA ≅ PB, perciò il triangolo PAB è isoscele su AB e la mediana PH è anche altezza. Abbiamo così provato che s è perpendicolare alle rette HO e HP del piano β, e quindi è perpendicolare al piano stesso. Figura 4 Due teoremi stabiliscono una relazione tra una retta, un punto e un piano perpendicolare alla retta. Teorema 5 Dati una retta r e un punto P esiste ed è unico il piano che è perpendicolare a r e passa per P. Figura 5 Teorema 6 Dati un piano α e un punto P esiste ed è unica la retta che è perpendicolare a α e passa per P.
5 Si distinguono due casi • Ipotesi: P∈α Tesi: r ⊥ α in P figura 6a • Ipotesi: P ∉α Tesi: r passa per P r ⊥ α figura 6b Concludiamo con un teorema che presenta la trasposizione allo spazio di una proprietà della geometria piana. Teorema 7 Due rette perpendicolari a uno stesso piano sono tra loro parallele. Ipotesi: r ⊥ α Tesi: r // s s⊥α Figura 7
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Page 3: 3 Figura 2 Il teorema appena dimost
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