esercizi di geometria

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4 28) Un triangolo rettangolo ABC ha i cateti AB = 3a e AC = 4 a , tracciare la retta r perpendicolare al piano del triangolo in A e indicare con P un punto di r tale che AP ≅ AC. Indicato con Q un punto di BC, per quale posizione di Q il segmento BC è perpendicolare al piano generato dai punti A, P, Q? Quanto misura PQ? [ Q deve essere distante dal vertice B, allora PQ √34 ] Angolo retta – piano Esercizio guida – Angolo retta - piano E’ dato un triangolo rettangolo isoscele ABC in cui 6. Disegnare la retta r perpendicolare in A al piano del triangolo e indicare con P il punto di r tale che 8. Calcolare l’angolo che ciascuno dei segmenti PC, PB forma con il piano di base. La retta r, perpendicolare al piano del triangolo, è perpendicolare ai lati AB e AC. Essendo ABC un triangolo isoscele sulla base BC, i triangoli PAB e PAC sono congruenti per il primo criterio. PBA e PCA sono gli angoli che i segmenti PB, PC, rispettivamente, formano con il piano del triangolo e sono tra loro congruenti. Attraverso i teoremi sui triangoli rettangoli otteniamo tg(PBA) = = perciò PB A = artang 29) Da un punto A di un piano α si traccia un segmento AB che forma un angolo di 30° con il piano. Se AB = 6 a, qual è la distanza di B dal piano? [ 3a ] 30) Una retta r incidente un piano α in un punto A forma un angolo di 45° con α. A che distanza da A si trova il punto della retta che ha distanza 8 a da α? [ 8√2 ] 31) Un segmento AB 5 forma un angolo α = arcos con un piano α a cui appartiene il √ punto A. Qual è la distanza di B da tale piano? [ 2√5 ] 32) Un punto P nello spazio ha distanza 10 a da un piano α. Indicata con H la proiezione di P su α, calcolare a quale distanza da H si deve prendere un punto Q su α affinché il segmento PQ formi un angolo di 60° con il piano α. [ HQ = ] √
5 33) Dato un quadrato ABCD di lato a indicare con O il suo centro, tracciare la retta r perpendicolare in B al piano del quadrato. Per quale posizione di P il segmento PO forma un angolo di 45° con il piano del quadrato? [ PB ] √ 34) Un triangolo isoscele ABC di base AB ha i lati obliqui di misura 4a e l’angolo al vertice di 120°. Tracciare la mediana CM del triangolo e la retta r perpendicolare in C al piano del triangolo e la retta t che passa per M e forma un angolo di 60° con il piano del triangolo. Determinare a quale distanza da C si trova il punto d’intersezione delle rette r e t. [2√3 ] Esercizio guida – Proprietà angolo retta - piano Una semiretta r interseca in O un piano α e forma un angolo di 45° con esso. Tracciare la semiretta s, proiezione di r su α, e una semiretta t di origine O perpendicolare a s. Indicato con P il punto di r tale che 2√2, siano: H la proiezione di P su α, A il punto di t tale che . Calcolare l’ampiezza dell’angolo . POA è un angolo del triangolo POA di cui è noto il lato OP, ricaviamo le misure degli altri due lati e, attraverso il teorema di Carnot, l’ampiezza dell’angolo richiesto. = 2a AP AH HP = 2√3 (teorema di Pitagora applicato al triangolo PHA) AP = OP + OA – 2 OP ⋅OA ⋅ cosPOA (teorema di Carnot applicato al triangolo POA) sostituendo le misure dei lati del triangolo otteniamo 12 = 8 + 4 - 2⋅ 2√2⋅2a⋅ cosPOA riducendo i termini simili si ottiene cosPOA = 0 perciò POA = 90° 35) Una semiretta r interseca in O un piano α e forma un angolo di 45° con esso. Tracciare la semiretta s, proiezione di r su α, e una semiretta t di origine O che forma un angolo di 45° con s. Indicato con P il punto di r tale che OP 2√2a, siano: H la proiezione di P su α, A il punto di t tale che OA OH . Calcolare l’ampiezza dell’angolo POA . [ 60°] 36) Una semiretta r interseca in O un piano α e forma un angolo di 30° con esso. Tracciare la semiretta s, proiezione di r su α, e una semiretta t di origine O che forma un angolo di 60°
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