esercizi di geometria

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con s. Indicato con P il punto di r tale che OP 2√3, siano: H la proiezione di P su α, A il
punto di t tale che OA OH . Calcolare l’ampiezza dell’angolo POA . [arcos √ ≈ 64°]
37) Una semiretta r interseca in O un piano α e forma un angolo di 60° con esso. Tracciare la
semiretta s, proiezione di r su α, e una semiretta t di origine O che forma un angolo di 30°
con s. Indicato con P il punto di r tale che OP 2, siano: H la proiezione di P su α, A il
punto di t tale che OA OH . Calcolare l’ampiezza dell’angolo POA . [arcos √ ≈ 64°]
Negli ultimi tre esercizi abbiamo sempre trovato come risultato un angolo POA maggiore di
quello che la semiretta r data forma con il piano α. Questo disuguaglianza ha validità generale
come è dimostrato nel prossimo esercizio guida.
Esercizio guida – L’angolo minimo
L’angolo che una semiretta r incidente un piano α, e non perpendicolare ad esso, forma con α è
minore dell’angolo che r forma con qualunque altra semiretta che ha la stessa origine e sta sul
piano α.
Preso un qualunque punto P su r, indichiamo con H la sua proiezione su α e tracciamo la semiretta
s, proiezione di r su α. Ora tracciamo una qualunque semiretta t di origine O e indichiamo con A il
punto di t in corrispondenza del quale OA OH . Vogliamo dimostrare che POH POA .
Consideriamo i triangolo POH e POA essi hanno un lato in comune e un lato congruente per
costruzione. Sul terzo lato dei due triangoli vale la disuguaglianza PH > AP, poiché i due segmenti
sono, rispettivamente, cateto e ipotenusa del triangolo rettangolo PAH. Ne consegue che sugli
angoli opposti ai lati disuguali vale la relazione POH POA .