Sezione F7 Meccanica del continuo

XVII Congresso U.M.I.
Milano, 8-13 settembre 2003
Decadimento esponenziale per le equazioni
di Maxwell con memoria al bordo
R. Nibbi, S. Polidoro
Dipartimento di Matematica, Università di Bologna
L’evoluzione del campo elettromagnetico (E, H) in un dielettrico lineare, isotropo ed
omogeneo, in assenza di cariche libere e di sorgenti esterne, è descritta in Q = Ω × R + ,
dove Ω è un dominio sufficientemente regolare d R 3 , dalle equazioni di Maxwell
(1) ε ∂E
∂t − ∇ × H = 0,
µ∂H ∂t
+ ∇ × E = 0, ∇ · E = 0, ∇ · H = 0.
Supponiamo che la frontiera ∂Ω sia realizzata da un “buon conduttore”, in modo tale che
la relazione tra il campo elettrico ed il campo magnetico al bordo sia:
(2) E τ (t) = η 0 H(t) × n +
∫ ∞
0
η(s)H(t − s) × n d s,
dove E τ è la componente tangenziale del campo elettrico sul bordo e n rappresenta la
normale esterna al bordo. Nelle ipotesi η ∈ L 1 (R + ) ∩ H 1 (R + ) con η ′ < 0, η ′′ ≥ 0 ed
introdotta la “storia passata integrata” H t (s) = ∫ s
H(t − τ)d τ, la funzione
0
(3) Ψ(t) = 1 ∫
[
ε|E(t)| 2 + µ|H(t)| 2] d x − 1 ∫ ∫ ∞
η ′ (s)|H t (s) × n| 2 d s d σ(x)
2
2
Ω
può essere considerata come energia del sistema.
Mediante la teoria dei semigruppi di contrazioni negli spazi di Hilbert, mostriamo che
l’ipotesi che il nucleo di memoria η “decada esponenzialmente” (ossia: esiste una costante
positiva κ per cui η ′′ + κη ′ > 0 in R + ) sia una condizione sufficiente per il decadimento
esponenziale dell’energia (3): Ψ(t) ≤ M exp(−µt)Ψ(0), con M e µ costanti positive. Infine
dimostriamo che se la norma della soluzione del problema (1)−(2) decade esponenzialmente
(in media), nel senso che esiste una costante α positiva per cui
∫ ∞
( ∫
(
exp(2αt) |Eτ (t)| 2 + |H(t) × n| 2) )
d σ d t < ∞,
0
∂Ω
allora anche il nucleo di memoria η decade esponenzialmente (in media).
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1991 Mathematics Subject Classification. 35Q60, 74D05, 78A25, 78M35.
∂Ω
0