Sezione F7 Meccanica del continuo

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XVII Congresso U.M.I. Milano, 8-13 settembre 2003 Cubic Nonlinear Waves in Elastic Materials Carlo Cattani Università di Roma “La Sapienza”, Sunto The lecture is devoted to cubic nonlinearity of hyperelastic waves in materials and deals with: 1) Cubic nonlinear wave equations for hyperelastic plane waves in materials; 2) Third harmonics generation by initially excited harmonic longitudinal wave; 3) New simple waves generation by initially excited simple longitudinal wave. Especial attention is payed to simple waves and similarity between new harmonic and simple waves generation. Some peculiarities of using the wavelets analysis to revealed wave effects are discussed. It is shown that cubic nonlinearity and nonlinearities of higher order follow naturally from classical nonlinear acoustics approach and should be considered equally important compared with the quadratic nonlinearity. Cubic non-linearity is widely discovered and investigated surface waves in fluids. in the theory of internal and Nonlinear deformations are realized in classical theory using the Murnaghan elastic potential W (ɛ ik) ) = 1 2 λ(ɛ mm) 2 + µ(ɛ ik ) 2 + + 1 3 Aɛ ikɛ im ɛ km + B(ɛ ik ) 2 ɛ mm + 1 3 C(ɛ mm) 3 . (1) Here λ, µ are Lame elastic constants, A, B, C are Murnaghan elastic constants, ɛ ik = 1 2 (u i,k + u k,i + u m,i u m,k ) is the nonlinear Green strain tensor. The Murnaghan potential describes a broad class of materials, is basic in mechanics of materials and widely used. The Murnaghan representation, usually noted as cubic, relatively to the strain tensor is W quad = 1 ( 2 λ( ) 2 1 u m,m + 4 µ( ) 2 u i,k + u k,i + µ + 1 )u 4 A i,k u m,k u m,i + + 1 ( ) ( ) 2 1 λ + B um,m ui,k + 2 12 Au i,ku k,m u m,i + + 1 2 Bu i,ku k,i u m,m + 1 3 C( u m,m ) 3. (2) This form preserves the initial cubic nonlinearity, but already not on the strain tensor. Owing to nonlinearity of the Green strain tensor, the complete representation of the Murnaghan potential will include summands from the second to the sixth orders relatively to the gradient. All these terms will be taken into account, coming into the third and more orders nonlinearities in material deformations. Dipartimento di Matematica “G.Castelnuovo”, Università di Roma “La Sapienza”, P.le A. Moro 5, I-00185 Rome E-mail address: carlo.cattani@uniroma1.it
XVII Congresso U.M.I. Milano, 8-13 settembre 2003 Riflessione e trasmissione in solidi anisotropi stratificati: esistenza e unicità G. Caviglia e A. Morro Università di Genova Si considera uno strato solido di spessore finito, con parametri materiali variabili con continuità lungo una direzione assegnata n. Lo strato è compreso fra due semispazi (solidi) omogenei; in generale, i piani di contatto sono superfici di discontinuità dei parametri materiali. Si suppone che i solidi siano viscoelastici lineari anisotropi. Essendo assegnata un’onda che incide sullo strato, si esamina il problema della riflessione-trasmissione. Nel dominio delle trasformate di Fourier, si sceglie la dipendenza dalle coordinate trasversali e dal tempo tipica delle onde piane, modellando così l’effetto di onde incidenti oblique. In queste ipotesi le equazioni di propagazione sono scritte nella forma di un sistema di sei equazioni differenziali ordinarie del primo ordine, lineari, a coefficienti complessi, nel quale sono incognite le componenti dello spostamento e della trazione sui piani ortogonali alla direzione della stratificazione, n. Si associa ad ogni onda uno scalare, F, che rappresenta il flusso di energia per unità di tempo e per unità di superficie perpendicolare ad n. Come conseguenza del secondo principio della termodinamica si dimostra che F decresce durante la propagazione nel caso di solido viscoelastico e che si mantiene costante nel caso di solido elastico. Si dimostra inoltre che F è generato da una matrice hermitiana Φ avente tre autovalori positivi e tre autovalori negativi. Mediante gli autovettori di Φ associati agli autovalori positivi (negativi) si definiscono i tre generatori delle onde che si propagano in avanti (all’indietro) rispetto al verso di n, essendo inteso che il verso di propagazione di un’onda è determinato dal segno del corrispondente flusso di energia F. Rappresentando in termini di generatori le onde incidente (assegnata), riflessa (incognita) e trasmessa (incognita) e sfruttando la proprietà del flusso F si dimostra un teorema di esistenza e unicità per il problema delle riflessione e trasmissione. E-mail address: caviglia@dima.unige.it 1991 Mathematics Subject Classification. Classificazione AMS: 74J20, 74D05. La ricerca che ha condotto a questo lavoro è stata svolta nell’ambito del Progetto di Ricerca COFIN 2002 “Modelli Matematici per la Scienza dei Materiali” del MIUR.
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