topografia 3 rettifiche e spostamenti
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T 1<br />
T 2<br />
Bˆ<br />
B<br />
M<br />
Â<br />
Ĉ<br />
C<br />
A<br />
ω<br />
N<br />
RETTIFICHE E SPOSTAMENTI
INDICE<br />
Concetti generali<br />
RETTIFICHE<br />
Confine bilatero ABC con un confine rettilineo uscente dal vertice A<br />
Confine bilatero ABC con un confine rettilineo MN uscente da un punto M in posizione nota sul confine laterale<br />
Confine bilatero ABC con un confine rettilineo MN parallelo ad una data direzione r<br />
Confine poligonale con un confine rettilineo uscente dal vertice A<br />
Confine poligonale con un confine rettilineo MN uscente da un punto M in posizione nota sul confine laterale<br />
Confine poligonale con un confine rettilineo MN parallelo ad una data direzione r<br />
SPOSTAMENTI<br />
Confine rettilineo AB con un confine MN uscente da un punto M in posizione nota sul confine laterale<br />
Confine rettilineo AB con un confine MN parallelo ad una data direzione r
Concetti generali<br />
Rettificare un confine significa sostituire un confine<br />
(bilatero, poligonale, curvilineo) con un confine rettilineo<br />
Spostare un confine rettilineo consiste nel sostituirlo con un<br />
altro confine rettilineo di direzione diversa<br />
Sia le <strong>rettifiche</strong> che le sostituzioni si realizzano lasciando<br />
inalterate le aree dei fondi confinanti (compenso),<br />
cambiando solamente la loro configurazione geometrica<br />
Negli esempi che seguono considereremo noti tutti gli<br />
elementi misurati, lati e angoli, utili alla risoluzione del<br />
problema
RETTIFICHE
CASO 1<br />
Rettifica di un confine bilatero con un confine<br />
rettilineo di compenso uscente dal vertice A. Metodo<br />
grafico<br />
ELEMENTI NOTI<br />
distanze AB BC<br />
angoli A B C<br />
Si congiunge A con C e da B si traccia la<br />
parallela ad AC, che interseca il confine<br />
laterale nel punto M.<br />
AM è il nuovo confine rettilineo di<br />
compenso perchè i due triangoli ABC e<br />
AMC, appartenenti tutti e due al<br />
B<br />
proprietario T 2<br />
hanno stessa area (uguale<br />
base b e uguale altezza relativa h)<br />
A<br />
T 1<br />
T 2<br />
M<br />
h<br />
h<br />
b<br />
C
CASO 1<br />
Rettifica di un confine bilatero con un confine<br />
rettilineo di compenso uscente dal vertice A. Metodo<br />
analitico<br />
ELEMENTI NOTI<br />
distanze AB BC<br />
angoli A B C<br />
T 1<br />
Bˆ<br />
B<br />
M<br />
Bˆ1<br />
Â<br />
Ĉ<br />
A<br />
AC<br />
Ĉ 1<br />
C<br />
T 2
CASO 2<br />
Rettifica di un confine bilatero con un confine<br />
rettilineo di compenso MN uscente da un punto M in<br />
posizione nota sul confine laterale<br />
ELEMENTI NOTI<br />
distanze AB BC<br />
angoli A B C<br />
è nota la distanza AM del vertice M del nuovo confine da A<br />
In questo caso l’area del triangolo ABC<br />
appartenente a T2 deve essere uguale all’area del<br />
quadrilatero MACN<br />
Dopo aver calcolato tutti gli elementi del<br />
triangolo ABC, l’incognita CN si ottiene<br />
T 1<br />
applicando al quadrilatero la formula inversa di<br />
camminamento:<br />
distanza AM nota<br />
Bˆ<br />
B<br />
N<br />
S MACN = 0.5 x [MA x AC x sen MÂC + AC x CN x<br />
M<br />
sen AĈN – MA x CN x sen (MÂC + AĈN)]<br />
Â<br />
Ĉ<br />
A<br />
C<br />
CN = (2 x S MAC – MA x AC x sen MÂC) /<br />
T 2<br />
[(AC x sen AĈN – MA x sen (MÂC + AĈN)]
CASO 2<br />
Rettifica di un confine bilatero con un confine<br />
rettilineo di compenso MN uscente da un punto M in<br />
posizione nota sul confine laterale<br />
ELEMENTI NOTI<br />
distanze AB BC<br />
angoli A B C<br />
è nota la distanza AM del vertice M del nuovo confine da A<br />
T 1<br />
Bˆ<br />
B<br />
A<br />
M<br />
Â<br />
Bˆ<br />
1<br />
MÂC<br />
 1<br />
AĈN<br />
Ĉ 1<br />
Ĉ<br />
N<br />
C<br />
T 2
CASO 3<br />
Rettifica di un confine bilatero con un confine<br />
rettilineo di compenso MN parallelo ad una data<br />
direzione r<br />
ELEMENTI NOTI<br />
distanze AB BC<br />
angoli A B C<br />
la direzione r è data dalla misura dell’angolo ω rispetto ad uno dei confini laterali<br />
Questo caso può risolversi:<br />
T 1<br />
• Applicando il metodo del trapezio<br />
Bˆ<br />
B<br />
• Lavorando con il teorema dei seni<br />
A<br />
M<br />
ω<br />
Â<br />
Ĉ<br />
C<br />
N<br />
T 2
CASO 3.1<br />
Rettifica di un confine bilatero con un confine<br />
rettilineo di compenso MN parallelo ad una data<br />
direzione r<br />
ELEMENTI NOTI<br />
distanze AB BC<br />
angoli A B C<br />
la direzione r è data dalla misura dell’angolo ω rispetto ad uno dei confini laterali<br />
METODO DEL TRAPEZIO<br />
Per risolvere il problema è possibile tracciare un confine<br />
provvisorio AE parallelo alla direzione data calcolando<br />
tutti gli elementi incogniti del quadrilatero ABCE e l’area<br />
T 1<br />
S ABCE appartenente a T 2 . Per trovare la posizione del nuovo<br />
confine MN è necessario che le due aree, quella del<br />
quadrilatero ABCE e quella del trapezio MAEN risultino<br />
Bˆ<br />
B<br />
uguali:<br />
S ABCE = S MAEN = 0.5 x (AE + MN) x h<br />
Calcolata l’altezza h del trapezio sarà possibile con le<br />
A<br />
M<br />
ω<br />
Â<br />
Ĉ<br />
h<br />
C<br />
N<br />
funzioni trigonometriche calcolare le due incognite<br />
T 2<br />
E<br />
principali del problema AM e EN
CASO 3.1<br />
Rettifica di un confine bilatero con un confine<br />
rettilineo di compenso MN parallelo ad una data<br />
direzione r<br />
ELEMENTI NOTI<br />
distanze AB BC<br />
angoli A B C<br />
la direzione r è data dalla misura dell’angolo ω rispetto ad uno dei confini laterali<br />
METODO DEL TRAPEZIO<br />
S MAEN = 0.5 x (AE + MN) x h<br />
in questa equazione sono presenti due incognite MN e h. Ma:<br />
MN = AE – (AM’ + N’E)<br />
tan  = h/AM’ ---> AM’ = h/tan Â<br />
tan Ê = h/N’E ---> N’E = h/tan Ê<br />
M<br />
N<br />
sostituendo:<br />
h<br />
MN = AE – h x (1/tang  + 1/tang Ê)<br />
e sostituendo in S MADN otteniamo:<br />
A<br />
Â<br />
M’<br />
h<br />
Ê<br />
S MAEN = 0.5 x [AE + AE – h x (1/tan  + 1/tan Ê)] x h<br />
ordinando otteniamo una equazione di 2° grado avente come<br />
incognita l’altezza h del trapezio:<br />
N’<br />
E<br />
h 2 x (1/tan  +1/tan Ê) – 2 x AE x h + 2 x S MAEN = 0<br />
Delle due soluzioni si sceglie quella positiva; se lo sono<br />
entrambe la soluzione esatta è quella che più si avvicina al<br />
rapporto S MAEN /AE. Nota h, nei due triangoli rettangoli<br />
MAM’ e NN’E, con la funzione seno è possibile calcolare le<br />
due incognite del problema, AM e EN
CASO 3.2<br />
Rettifica di un confine bilatero con un confine<br />
rettilineo di compenso MN parallelo ad una data<br />
direzione r<br />
ELEMENTI NOTI<br />
distanze AB BC<br />
angoli A B C<br />
la direzione r è data dalla misura dell’angolo ω rispetto ad uno dei confini laterali<br />
F<br />
Fˆ<br />
RISOLUZIONE CON IL T. DEI SENI<br />
Se i confini laterali si incontrano nel punto F, è possibile<br />
calcolare l’area dell’appezzamento appartenente a T 1<br />
T 1<br />
(che si ottiene sottraendo all’area del triangolo AFC,<br />
l’area del triangolo ABC appartenente a T 2 ). Quest’area<br />
dovrà essere uguale a quella del triangolo MFN sempre<br />
appartenente a T 1 . Di questo triangolo sono noti i tre<br />
angoli (M corrispondente alla direzione assegnata, F<br />
calcolato, N per differenza)<br />
A<br />
M<br />
ω<br />
Â<br />
Mˆ<br />
r<br />
Bˆ<br />
B<br />
Nˆ<br />
Ĉ<br />
N<br />
C<br />
T 2
CASO 3.2<br />
Rettifica di un confine bilatero con un confine<br />
rettilineo di compenso MN parallelo ad una data<br />
direzione r<br />
ELEMENTI NOTI<br />
distanze AB BC<br />
angoli A B C<br />
la direzione r è data dalla misura dell’angolo ω rispetto ad uno dei confini laterali<br />
F<br />
Fˆ<br />
T 1<br />
Bˆ<br />
B<br />
A<br />
M<br />
Â<br />
ω<br />
 1<br />
Mˆ<br />
r<br />
Bˆ1<br />
Ĉ 1<br />
Nˆ<br />
Ĉ<br />
N<br />
C<br />
T 2
CASO 4<br />
Rettifica di un confine poligonale con un confine<br />
rettilineo di compenso uscente dal vertice A<br />
ELEMENTI NOTI<br />
distanze AB BC CD DE<br />
angoli A B C D E<br />
Per determinare la posizione del nuovo confine rettilineo<br />
T 1<br />
T 2<br />
(distanza di M dal vertice E) è necessario risolvere la<br />
poligonale ABCDE rispetto ad un sistema di riferimento<br />
con origine in A e semiasse positivo delle X diretto come il<br />
lato AB. Dopo aver calcolato azimut, coordinate è possibile<br />
E<br />
calcolare, con Gauss, l’area del contorno poligonale<br />
compreso tra la poligonale e la congiungente AE (che<br />
appartiene a T 1 ). Quest’area dovrà risultare uguale a quella<br />
A<br />
D<br />
del triangolo AEM, in cui AM rappresenta il nuovo confine<br />
M<br />
rettilineo di compenso<br />
B<br />
C
CASO 4<br />
Rettifica di un confine poligonale con un confine<br />
rettilineo di compenso uscente dal vertice A<br />
ELEMENTI NOTI<br />
distanze AB BC CD DE<br />
angoli A B C D E<br />
B<br />
T 1<br />
C T 2<br />
E<br />
A<br />
D<br />
M
CASO 4<br />
Rettifica di un confine poligonale con un confine<br />
rettilineo di compenso uscente dal vertice A<br />
ELEMENTI NOTI<br />
distanze AB BC CD DE<br />
angoli A B C D E<br />
PARTICOLARE CALCOLO ANGOLO Ê 2<br />
Ê2<br />
=<br />
(EA) - (ED)<br />
E<br />
T 1<br />
T 2<br />
(EA)<br />
Ê<br />
E<br />
(ED)<br />
Ê2<br />
MÊA<br />
Ê1<br />
A<br />
D<br />
M<br />
B<br />
C
CASO 4.1<br />
Rettifica di un confine poligonale con un confine<br />
rettilineo di compenso uscente dal vertice A<br />
ELEMENTI NOTI<br />
distanze AB BC CD DE<br />
angoli A B C D E<br />
Nel caso in cui la congiungente gli estremi della poligonale AE<br />
interseca la poligonale stessa in uno o più punti si procede in maniera<br />
leggermente diversa dal caso precedente. Dopo aver risolto la<br />
poligonale con il calcolo degli azimut e delle coordinate è necessario<br />
calcolare, con Gauss l’area del contorno poligonale ABCDEA, formata<br />
da triangoli e quadrilateri appartenenti ai proprietari T1 e T2.<br />
Applicando Gauss si ottiene un’area che risulta essere la differenza<br />
della somma algebrica tra le aree positive (percorse in senso<br />
P<br />
C<br />
T 1<br />
T 2<br />
-<br />
R<br />
+<br />
E<br />
antiorario) e quelle negative (percorse in senso orario). Se l’area così<br />
calcolata risultasse uguale a zero, la somma dei due triangoli ABP e<br />
A<br />
+<br />
D<br />
RDE, appartenenti a T1 risulterebbe uguale a quella del triangolo PCR<br />
B<br />
appartenente a T2. Il nuovo confine sarebbe proprio la congiungente<br />
AE.
CASO 4.1<br />
Rettifica di un confine poligonale con un confine<br />
rettilineo di compenso uscente dal vertice A<br />
ELEMENTI NOTI<br />
distanze AB BC CD DE<br />
angoli A B C D E<br />
Se tale ipotesi non risulta soddisfatta si dovrà analizzare quale<br />
delle due aree risulti maggiore. Se l’area che si ottiene è positiva,<br />
significa che l’area somma dei due triangoli<br />
ABP e RDE (T1),<br />
risulta maggiore di quella del triangolo PCR (T2). Se il confine<br />
fosse quello delimitato dalla congiungente AE, il proprietario T1<br />
perderebbe del terreno. Per compensare la differenza di aree, il<br />
nuovo confine AM, dovrà essere ruotato verso il basso, in modo<br />
tale che l’area del triangolo AME, risulti uguale a quella che si<br />
ottiene dalla formula di Gauss.<br />
P<br />
C<br />
T 1<br />
T 2<br />
R<br />
-<br />
MÊA<br />
D<br />
+<br />
E<br />
M<br />
A<br />
+<br />
S ABCDEA = S AEM<br />
Da questo punto in poi si procede come nel caso n° 4, risolvendo il<br />
B<br />
triangolo AEM per calcolare l’incognita del problema EM
CASO 4.1 APPLICAZIONE<br />
Rettifica di un confine poligonale con un confine<br />
rettilineo di compenso uscente dal vertice A<br />
ELEMENTI NOTI<br />
distanze AB BC CD DE<br />
angoli A B C D E<br />
T 1<br />
T 2<br />
C<br />
R<br />
E<br />
P<br />
D<br />
M<br />
A<br />
B
CASO 5<br />
Rettifica di un confine poligonale con un confine<br />
rettilineo di compenso uscente da un punto in<br />
posizione nota sul confine laterale<br />
ELEMENTI NOTI<br />
distanze AB BC CD<br />
angoli A B C D<br />
è nota la distanza AM del vertice M del nuovo confine da A<br />
In questo caso è necessario risolvere la poligonale<br />
rispetto ad un sistema cartesiano con origine nel punto M<br />
e semiasse positivo delle X diretto verso A (si considera<br />
MA noto come il primo lato della poligonale). Dopo aver<br />
T 1<br />
calcolato le coordinate, si calcola con Gauss, l’area del<br />
Dˆ<br />
D<br />
contorno poligonale MABCDM (T1). Quest’area dovrà<br />
M<br />
essere uguale a quella del triangolo MDN (T1)<br />
distanza AM nota<br />
S MABCDM = S MDN<br />
Da questo punto in poi si procede come nel caso n° 4,<br />
A<br />
Â<br />
Bˆ<br />
+<br />
Ĉ<br />
C<br />
N<br />
risolvendo il triangolo MDN per calcolare l’incognita del<br />
B<br />
problema DM<br />
T 2
CASO 5<br />
Rettifica di un confine poligonale con un confine<br />
rettilineo di compenso uscente da un punto in<br />
posizione nota sul confine laterale<br />
ELEMENTI NOTI<br />
distanze AB BC CD<br />
angoli A B C D<br />
è nota la distanza AM del vertice M del nuovo confine da A<br />
T 1<br />
T 2<br />
Dˆ<br />
D<br />
M<br />
Dˆ2<br />
NDˆM<br />
Dˆ1<br />
distanza AM nota<br />
A<br />
Â<br />
+<br />
Ĉ<br />
C<br />
N<br />
Bˆ<br />
B
CASO 6<br />
Rettifica di un confine poligonale con un confine<br />
rettilineo di compenso MN parallelo ad una<br />
direzione data r<br />
ELEMENTI NOTI<br />
distanze AB BC CD<br />
angoli A B C D<br />
la direzione r è data dalla misura dell’angolo ω rispetto ad uno dei confini laterali<br />
Per determinare la posizione del nuovo confine MN è<br />
necessario tracciare un confine provvisorio, che non<br />
intersechi il confine poligonale, avente la stessa<br />
P<br />
direzione di r. Sia PD il confine provvisorio prescelto. È<br />
T 1<br />
T 2<br />
necessario prima di tutto risolvere la poligonale ABCD e<br />
D<br />
calcolare con Gauss, l’area del contorno poligonale ABCDA<br />
(T1). Successivamente si deve poi risolvere e calcolare<br />
M<br />
l’area del triangolo PAD (T1). La somma di queste due<br />
aree dovrà essere uguale a quella del trapezio MNDP<br />
A<br />
+<br />
C<br />
sempre appartenente a T1<br />
B<br />
r<br />
N
CASO 6<br />
Rettifica di un confine poligonale con un confine<br />
rettilineo di compenso MN parallelo ad una<br />
direzione data r<br />
ELEMENTI NOTI<br />
distanze AB BC CD<br />
angoli A B C D<br />
la direzione r è data dalla misura dell’angolo ω rispetto ad uno dei confini laterali<br />
P<br />
Pˆ<br />
T 1<br />
T 2<br />
ADˆP<br />
D<br />
M<br />
A<br />
PÂD<br />
 1<br />
+<br />
C<br />
B<br />
r<br />
N
CASO 6<br />
Rettifica di un confine poligonale con un confine<br />
rettilineo di compenso MN parallelo ad una<br />
direzione data r<br />
ELEMENTI NOTI<br />
distanze AB BC CD<br />
angoli A B C D<br />
la direzione r è data dalla misura dell’angolo ω rispetto ad uno dei confini laterali<br />
P<br />
D<br />
M<br />
P’<br />
T 1<br />
h<br />
A<br />
D’<br />
C<br />
B<br />
r<br />
T 2<br />
N
SPOSTAMENTI
CASO 1<br />
Sostituzione di un confine rettilineo AB con un altro,<br />
rettilineo di compenso MN, uscente da un punto M in<br />
posizione nota sul confine laterale. Metodo grafico<br />
ELEMENTI NOTI<br />
distanze<br />
AB<br />
angoli A B<br />
è nota la distanza AM<br />
Si congiunge M con B e da A si traccia la<br />
parallela ad MB, che interseca il confine<br />
laterale nel punto N.<br />
MN è il nuovo confine rettilineo di<br />
compenso perché i due triangoli MAB e<br />
M<br />
T 1<br />
T 2<br />
b<br />
Bˆ<br />
B<br />
MNB, appartenenti tutti e due al<br />
h<br />
AM nota<br />
proprietario T 1<br />
hanno stessa area (uguale<br />
base b e uguale altezza relativa h)<br />
A<br />
Â<br />
N
CASO 1<br />
Sostituzione di un confine rettilineo AB con un altro,<br />
rettilineo di compenso MN, uscente da un punto M in<br />
posizione nota sul confine laterale. Metodo grafico<br />
ELEMENTI NOTI<br />
distanze<br />
AB<br />
angoli A B<br />
è nota la distanza AM<br />
M<br />
T 1<br />
T 2<br />
b<br />
Bˆ<br />
B<br />
Bˆ2<br />
Bˆ1<br />
h<br />
AM nota<br />
NBˆM<br />
A<br />
Â<br />
N
CASO 2<br />
Sostituzione di un confine rettilineo AB con un altro,<br />
rettilineo di compenso MN, parallelo ad una data<br />
direzione r<br />
ELEMENTI NOTI<br />
distanze<br />
AB<br />
angoli A B<br />
la direzione r è data dalla misura dell’angolo ω rispetto ad uno dei confini laterali<br />
METODO DEL TRAPEZIO<br />
Dal punto A si traccia la parallela alla direzione<br />
assegnata r, fino ad intersecare il confine<br />
laterale nel punto C. Si calcola l’area del<br />
T 1<br />
triangolo ACB, appartenente a T2 (passata a<br />
Bˆ<br />
B<br />
T1). Quest’area dovrà essere restituita a T2 in<br />
M<br />
N<br />
forma di trapezio.<br />
A<br />
Â<br />
h<br />
C<br />
SABC = SACNM<br />
ω<br />
r<br />
SACNM = 0.5 x (AC + MN) x h<br />
T 2<br />
Prof. Dagore Ristorini
CASO 2<br />
Sostituzione di un confine rettilineo AB con un altro,<br />
rettilineo di compenso MN, parallelo ad una data<br />
direzione r<br />
ELEMENTI NOTI<br />
distanze<br />
AB<br />
angoli A B<br />
la direzione r è data dalla misura dell’angolo ω rispetto ad uno dei confini laterali<br />
T 1<br />
Bˆ<br />
B<br />
M<br />
Bˆ1<br />
N<br />
A<br />
Â<br />
 1<br />
h<br />
Ĉ<br />
C<br />
ω<br />
r<br />
T 2
CASO 2<br />
Sostituzione di un confine rettilineo AB con un altro,<br />
rettilineo di compenso MN, parallelo ad una data<br />
direzione r<br />
ELEMENTI NOTI<br />
distanze<br />
AB<br />
angoli A B<br />
la direzione r è data dalla misura dell’angolo ω rispetto ad uno dei confini laterali<br />
F<br />
RISOLUZIONE CON IL T. DEI SENI<br />
Nel caso in cui i due confini laterali si<br />
intersecano nel punto F il problema può<br />
T 1<br />
risolversi calcolando l’area del triangolo ABC<br />
(T1). Quest’area dovrà essere uguale a quella<br />
Bˆ<br />
B<br />
del triangolo FMN (T1) con MN nuovo confine<br />
M<br />
Â<br />
N<br />
parallelo alla direzione data<br />
A<br />
ω<br />
r<br />
T 2
CASO 2<br />
Sostituzione di un confine rettilineo AB con un altro,<br />
rettilineo di compenso MN, parallelo ad una data<br />
direzione r<br />
ELEMENTI NOTI<br />
distanze<br />
AB<br />
angoli A B<br />
la direzione r è data dalla misura dell’angolo ω rispetto ad uno dei confini laterali<br />
F<br />
Fˆ<br />
T 1<br />
Bˆ<br />
B<br />
M<br />
Â<br />
Mˆ<br />
Nˆ<br />
N<br />
A<br />
ω<br />
r<br />
T 2
CASO 2.1<br />
Sostituzione di un confine rettilineo AB con un altro,<br />
rettilineo di compenso MN, perpendicolare ad uno dei<br />
confini laterali<br />
ELEMENTI NOTI<br />
distanze<br />
AB<br />
angoli A B<br />
Rispetto al confine laterale ω = 100 c<br />
RISOLUZIONE CON LAFUNZIONETANGENTE<br />
Nel caso in cui la direzione<br />
del nuovo confine è perpendicolare<br />
F<br />
ad uno dei confini laterali, ilproblema<br />
può essere<br />
risolto<br />
Fˆ<br />
facendo<br />
coincidere l'area del triangolo AFB (T1) con quella<br />
del triangolo rettangolo<br />
MFN<br />
S<br />
AFB<br />
in cui FM e MN sono<br />
MN<br />
tan Fˆ =<br />
FM<br />
= S<br />
MFN<br />
1<br />
=<br />
2<br />
- - - - - - ><br />
x FM x MN<br />
due incognite<br />
MN= FM x tan Fˆ<br />
M<br />
Mˆ = 100 c<br />
T 1<br />
Bˆ<br />
B<br />
sostituend o in S<br />
2 x S<br />
MFN<br />
= FM<br />
MFN<br />
2<br />
si ottiene<br />
x tan Fˆ<br />
A<br />
Â<br />
Nˆ<br />
FM =<br />
2 x S<br />
MFN<br />
tan Fˆ<br />
ω = 100 c<br />
T 2<br />
N<br />
FM<br />
cos Fˆ =<br />
FN<br />
- - - - - - ><br />
FN =<br />
FM<br />
cos Fˆ<br />
r<br />
per differenza<br />
con AF e FB si calcolano AM e BN