Einstein e la teoria elettrogravitazionale di Weyl

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L’allungamento 16 viene generato nella reine Infinitesimalgeometrie dalla connessione metrica A, 1-forma 17 la cui azione viene caratterizzata dalla relazione ∇g = A⊗g, sulla lunghezza quadra l 2 = g (X,X) da ∇l 2 = dl 2 = Al 2 in particolare. Differenziando nella direzione del vettore Y possiamo scrivere ∇ Y l 2 = dl 2 /dt = A(Y)l 2 , dove lo scalare A(Y) è il valore di A al vettore Y, e naturalmente la derivata d/dt viene fatta lungo una curva (parametrizzata da t) il cui vettore tangente al punto in questione è Y. Semplificando otteniamo 2dl/dt = A(Y)l : la crescita infinitesimale della lunghezza l nella direzione di Y viene generata dal fattore A(Y)/2. I pregiudizi filosofici di Weyl praticamente impongono un allungamento generato da una 1-forma. Weyl parte dal proposito di mettere direzione e lunghezza sullo stesso piano; e siccome la direzione viene trasportata linearmente (nel piccolo) rispetto a se stessa e rispetto alla direzione di trasporto Y, anche la lunghezza dovrà esserlo. La regola ∇g = A⊗g sembra quindi imposta dalla simmetria tra le due caratteristiche vettoriali pretesa a priori da Weyl. Se esatta la connessione metrica sarebbe il differenziale A = dλ di una funzione λ. Essendo nullo il quadrato d 2 della derivata esterna d lo sarà anche il quadrirotore dA = d 2 λ, e pertanto una 1-forma esatta porterebbe sì ad allungamenti, ma ad allungamenti integrabili, indipendenti dal percorso, dati dal fattore exp(Δλ), dove Δλ è la differenza tra il valore finale di λ e quello iniziale. Il fattore exp(−λ) sarà la controparte di dλ nella teoria di Weyl, o meglio si è liberi di aggiungere alla connessione metrica (che sia esatta o meno) il differenziale di una funzione μ, dando A + dμ, purché si compensi moltiplicando la metrica per il fattore di calibro exp(−μ). In quanto esatta la 1-forma dμ non contribuisce al quadrirotore di A, e perciò non compromette l’integrabilità caratteristica di questo caso irrotazionale. Una connessione metrica esatta, irrotazionale, lascerebbe pertanto intatta la differenza fondamentale tra lunghezza e direzione che Weyl voleva abolire: la seconda rimarrebbe integrabile, mentre la prima, abbiamo visto, non lo è. Per generare un allungamento non integrabile serve quindi una connessione metrica non esatta, una cioè con quadrirotore dA non nullo. In questo caso l’allungamento viene dato dall’esponenziale dell’integrale di A, lungo il particolare percorso spaziotemporale seguito: cambiando percorso cambia l’integrale. Rimane la solita libertà di calibro espressa in un termine esatto, cioè nel differenziale di una funzione μ, che in quanto irrotazionale non contribuisce al quadrirotore dA + d 2 μ = dA; aggiungendolo bisogna controbilanciare moltiplicando la metrica per il fattore conforme exp(−μ), nonché l’allungamento totale per il fattore integrabile exp(−Δμ). A questo punto Weyl non poteva non notare quanto la Streckenkrümmung dA assomigliasse alla ‘vorticosità’ elettromagnetica F = dA, e passò alla fisica congetturando che l’integrabilità della lunghezza veniva appunto impedita dal campo elettromagnetico F, quadrirotore dA del quadripotenziale elettromagnetico A. Senza 16 Che naturalmente può essere positivo o anche negativo, nel qual caso diventa un raccorciamento. 17 Una 1-forma colloca un covettore—oggetto che trasforma un vettore linearmente in un numero reale—in ogni punto dello spaziotempo. 4
campo elettromagnetico il quadripotenziale era esatto e la lunghezza integrabile. Le varie 1-forme fisicamente equivalenti differivano tra di loro per un differenziale esatto; benché una trasformazione di calibro non potesse eliminare un turbinìo elettromagnetico effettivamente presente, poteva annullare una connessione metrica esatta e quindi irrotazionale. Secondo Vizgin (1994), Weyl intendeva congiungere gravitazione ed elettromagnetismo—cercavano dopotutto di farlo quasi tutti i migliori fisici matematici dell’epoca, specie quelli che avevano legami con Gottinga—dall’inizio, mentre per Bergia (1988) l’unificazione uscì, sorprendendo anche Weyl, da pregiudizi puramente matematici. Ryckman (2005) riconduce la reine Infinitesimalgeometrie, matrice matematica della teoria elettrogravitazionale, alla fenomenologia di Husserl, mentre Scholz (2001) sottolinea l’influenza di Fichte. Weyl mandò una lettera ad Einstein il 10 dicembre 1918 che sembra dirimere almeno parzialmente: “Übrigens müssen Sie nicht glauben, daß ich von der Physik her dazu gekommen bin, neben der quadratische noch die lineare Differentialform in die Geometrie einzuführen; sondern ich wollte wirklich diese “Inkonsequenz,” die mir schon immer ein Dorn im Auge gewesen war, endlich einmal beseitigen und bemerkte dann zu meinem eigenen Erstaunen: das sieht so aus, als erklärt es die Elektrizität.” 18 Quindi l’unificazione elettrogravitazionale emerse impremeditata dalla matematica. Le origini filosofiche dell’indebolimento matematico rimangono invece più congetturali. Ma risaliamo all’inizio del carteggio. Il primo marzo del 1918 Weyl scrisse ad Einstein: “Dieser Tage ist es mir, wie ich glaube, gelungen, Elektrizität und Gravitation aus einer gemeinsamen Quelle herzuleiten.” 19 Dopo cinque giorni Einstein rispose con entusiasmo—“Ihre Abhandlung ist gekommen. Es ist ein Genie- Streich ersten Ranges.” 20 —lasciando però trapelare anche qualche dubbio: “Allerdings war ich bisher nicht imstande, meinen Massstab-Einwand zu erledigen. Darüber ein andermal ausführlicher.” 21 La cartolina successiva continuò “Ihr Gedankengang ist von wunderbarer Geschlossenheit. […] Abgesehen von der Übereinstimmung mit der Wirklichkeit ist es jedenfalls eine grandiose Leistung des Gedankens.” 22 Poi il 15 aprile riprese l’obiezione ‘dei regoli’ (soprattutto ‘degli orologi’): “So schön Ihre Gedanke ist, muss ich doch offen sagen, dass es nach meiner Ansicht ausgeschlossen ist, dass die Theorie die Natur entspricht. Das ds selbst hat nämlich reale Bedeutung. Denken Sie sich zwei Uhren, die relativ zueinander ruhend 18 Einstein (1998). Traduzione: “Poi non deve credere che l’idea di introdurre la forma differenziale lineare accanto a quella quadratica mi fosse arrivata dalla fisica; in realtà volevo eliminare questo ‘difetto,’ che m’era sempre stato una ‘spina nell’occhio,’ una volte per tutte, e ho notato a mio proprio stupore: sembra spiegare l’elettricità.” 19 ibid. Traduzione: “In questi giorni credo di essere riuscito a ricondurre elettricità e gravitazione a una sorgente comune.” 20 ibid. Traduzione: “Il Suo articolo è arrivato. È un colpo di genio di primissimo ordine.” 21 Traduzione: “Però non sono ancora riuscito a mettere a punto la mia obiezione dei regoli. Vedrò di riprenderla un’altra volta.” Einstein effettivamente la riprenderà con insistenza, parlando però più di orologi che di regoli. 22 ibid. Traduzione: “Il Suoi pensieri si susseguono con straordinaria coerenza. A prescindere dall’accordo con la realtà è comunque una prodezza del pensiero.” 5
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