ESERCIZI SVOLTI DI ALGEBRA LINEARE (Sono svolti alcune degli ...

Già sappiamo che la matrice dei coefficienti ha determinante nullo, pertanto il sistema omogeneo ammette
soluzioni diverse da quella banale. La sottomatrice
( ) 1 1
0 1
della matrice dei coefficienti ha determinante diverso da zero, pertanto le soluzioni del sistema si ottengono
risolvendo il sistema
⎧
⎨
⎩
α + β
β
γ
= −2λ
= −λ
= λ
da cui
⎧
⎨
⎩
α
β
γ
= −λ
= −λ
= λ
Questo significa che, ponendo per esempio λ = 1, si ottiene la relazione di dipendenza lineare
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
1 1 2 0
− ⎝ 0 ⎠ − ⎝ 1 ⎠ + ⎝ 1 ⎠ = ⎝ 0 ⎠ .
1 1 2 0
Osserviamo che, qualunque altro numero mettiamo al posto di λ ≠ 0, otteniamo una relazione di dipendenza
lineare. Ad esempio, ponendo λ = 3 si ha
cioè
⎛
−3 ⎝
1
0
1
⎞
⎛
⎠ − 3 ⎝
1
1
1
⎞
⎛
⎠ + 3 ⎝
2
1
2
⎞
⎛
⎠ = ⎝
OSSERVAZIONE: Era possibile osservare, senza svolgere il procedimento sopra descritto, che
v 3 − v 2 = v 1
v 1 + v 2 − v 3 = 0.
Questa è una relazione di dipendenza lineare, equivalente a quella già trovata.
3) Es. B5
I vettori
⎛
v 1 = ⎝
3
1
k
⎞
⎛
⎠ , v 2 = ⎝
−k
1
0
⎞
0
0
0
⎛
⎠ , v 3 = ⎝
sono linearmente dipendenti quando k assume i valori che rendono nullo il determinante della matrice
⎛
3 −k
⎞
2k
A(k) = ⎝ 1 1 −2 ⎠
k 0 k
Poichè
|A(k)| =
∣
3 −k 2k
1 1 −2
k 0 k
⎞
⎠ .
2k
−2
k
∣ = k2 + 3k = k (k + 3)
|A(k)| = 0 ⇔ k = 0 , k = −3.
⎞
⎠