ESERCIZI SVOLTI DI ALGEBRA LINEARE (Sono svolti alcune degli ...

Caso k = −15
La matrice dei coefficienti è
e poichè la sottomatrice
⎛
A = ⎝
16 −18 0
3 −1 −1
0 19 −8
( 16 −18
3 −1
ha determinante diverso da zero, la matrice A ha rango 2.
La matrice completa è
Poichè la sottomatrice
⎛
A|b = ⎝
⎛
⎝
)
⎞
⎠
16 −18 0 1
3 −1 −1 1
0 19 −8 0
16 −18 1
3 −1 1
0 −19 0
ha determinante 104, la matrice completa ha rango 3 e quindi il sistema è incompatibile.
3)Es.5
Studiare, al variare dei parametri reali k ed h, e quindi risolvere il sistema
La matrice dei coefficienti
⎧
⎨
⎩
x + ky = 2
x + 3y = h
2x + 6y = k
⎛
⎝
1 k
1 3
2 6
ha rango 2 se riusciamo a trovare una sottomatrice 2 × 2 con determinante diverso da zero. Le sotto
matrici che possiamo estrarre hanno determinante
∣ 1 3
∣ ∣ ∣∣∣ 2 6 ∣ = 0 , 1 k
∣∣∣ 1 3 ∣ = 3 − k , 1 k
2 6 ∣ = 6 − 2k = 2 (3 − k).
Se k = 3 le tre sottomatrici hanno determinante nullo, quindi in questo caso rango di A =1. Se k ≠ 3,
ci sono due sottomatrici con determinante diverso da zero, quindi rango A =2.
Caso k ≠ 3.
La matrice completa
⎛
A|b = ⎝
⎞
⎠
1 k 2
1 3 h
2 6 k
ha determinante 2hk − 6h − k 2 + 3k. Pertanto rango A|b = 3 per i valori di h per cui risulta
⎞
⎠
⎞
⎠
⎞
⎠ .
2hk − 6h − k 2 + 3k = 0 ⇐⇒ 2h(k − 3) = k(k − 3) ⇐⇒ h = k 2
(k ≠ 3)
Quindi
rango A|b = 2 se h = k 2
rango A|b = 3 se h ≠ k 2