ESERCIZI SVOLTI DI ALGEBRA LINEARE (Sono svolti alcune degli ...

da cui
⎧
⎨
⎩
α
β
γ
= −λ
= 3λ
= λ
Questo significa che, ponendo per esempio λ = 1, otteniamo
⎧
⎨
che fornisce la relazione di dipendenza lineare
⎩
α = −1
β = 3
γ = 1
− v 1 + 3 v 2 + v 3 = 0,
facilmente verificata perchè
⎛
− ⎝
3
1
3
⎞
⎠ −
⎛
⎝
3
1
0
⎞
⎠ +
⎛
⎝
−6
−2
−3
⎞
⎛
⎠ = ⎝
0
0
0
⎞
⎠ .
II. Foglio di esercizi su sistemi lineari”
1)Es.3
Studiare, al variare del parametro reale k, e quindi risolvere il sistema
⎧
⎨
La matrice dei coefficienti A ha determinante
|A(k)| =
∣
⎩
x + 2y − 2z = k
2x − y − 4z = 2
3x + y − 6z = −2
1 2 −2
2 −1 −4
3 1 −6
Poichè la sottomatrice ( 1 2
2 −1
)
∣ = 0.
ha determinante diverso da zero, la matrice A ha rango 2. Il sistema è compatibile per quei valori di k
che rendono 2 anche il rango della matrice completa
⎛
1 2 −2
⎞
k
A|b = ⎝ 2 −1 −4 2 ⎠ .
3 1 −6 −2
Le sottomatrici 3×3 diverse da A che si possono estrarre dalla matrice completa A|b , hanno determinante
∣ ∣ 1 2 k
∣∣∣∣∣ 1 −2 k
∣∣∣∣∣ 2 −1 2
∣ 3 1 −2 ∣ = 20 + 5k , 2 2 k
2 −4 2
3 −6 −2 ∣ = 0 , −1 −4 2
= 40 + 10k.
1 −6 −2 ∣
Per k ≠ −4 allora rango(A|b) = 3 pertanto il sistema non è compatibile. Se k = −4 la matrice completa
ha rango 2 e quindi il sistema è compatibile. Le soluzioni sono quelle del sistema
⎧
⎧
⎨ x + 2y = −4 + 2λ ⎨ x = 2λ
2x − y = 2 + 4λ , y = −2
⎩
⎩
z = λ
z = λ