ESERCIZI SVOLTI DI ALGEBRA LINEARE (Sono svolti alcune degli ...

Caso k ≠ 0, k ≠ 12.
Poichè la matrice completa è
⎛
A|b = ⎝
1 −k −5 0
1 −2 −1 0
k 1 −2 2
il rango di A|b è 3 ( contiene come sottomatrice la matrice quadrata A) e quindi il sistema è compatibile
e le soluzioni si trovano con la regola di Cramer
⎞
⎠
x =
∣
0 −k −5
0 −2 −1
2 1 −2
k 2 − 12k
∣
=
2k − 20
k 2 − 12k
, y =
∣
1 0 −5
1 0 −1
k 2 −2
k 2 − 12k
∣
8
= −
k 2 − 12k
, z =
∣
1 −k 0
1 −2 0
k 1 2
k 2 − 12k
∣
= 2k − 4
k 2 − 12k .
Caso k = 0.
Il sistema diventa
⎧
⎨
⎩
x − 5z = 0
x − 2y − z = 0
y − 2z = 2
e sappiamo che la matrice A dei coefficienti ha rango 2. Dobbiamo vedere quale è il rango della matrice
completa
⎛
A|b = ⎝
1 0 −5 0
1 −2 −1 0
0 1 −2 2
Vediamo che essa ha rango 3 poichè vi è la sottomatrice
⎛
1 0
⎞
0
⎝ 1 −2 0 ⎠
0 1 2
ha determinante −4 ≠ 0, quindi il sistema è incompatibile.
Caso k = 12.
Il sistema diventa
⎧
⎨
⎩
x − 12y − 5z = 0
x − 2y − z = 0
12x + y − 2z = 2
e sappiamo che la matrice A dei coefficienti ha rango 2. Dobbiamo vedere quale è il rango della matrice
completa
⎛
A|b = ⎝
1 −12 −5 0
1 −2 −1 0
12 1 −2 2
Vediamo che essa ha rango 3 poichè vi è la sottomatrice
⎛
1 −12
⎞
0
⎝ −1 −2 0 ⎠
12 1 2
ha determinante 78 ≠ 0, quindi il sistema è incompatibile.
⎞
⎠ .
⎞
⎠ .