Rendite finanziarie - Adriani Home Page

7. Rendite
In questo capitolo vedremo solamente un caso di rendita, che useremo poi per generalizzare le
rendite e dedurre tutti gli altri casi.
Si definisce rendita una successione di capitali (rate) tutte da pagare, o tutte da riscuotere, a
scadenze determinate.
Il mutuo quindi non è una rendita, perché comprende rate di segno diverso. Sono invece rendite gli
stipendi, gli affitti, le cedole sui titoli d’investimento, ecc. Le rendite inoltre possono essere
aleatorie, ovvero incostanti nel tempo (per durata, importo, o altro), oppure certe. In questo capitolo
noi ci limiteremo allo studio delle rendite certe, che sono caratterizzate da:
Rata (o termine): l’importo da versare. Può essere costante o variabile.
Periodo: l’intervallo temporale tra due scadenze dei pagamenti. Si parla di rendite annue,
frazionate (m frazioni di anno) oppure polienalli (periodi di n anni).
Durata: può essere temporanea, ovvero composta di n rate, oppure perpetua, cioè illimitata.
Scadenza: può essere anticipata o posticipata, a seconda che il pagamento avvenga all’inizio
del periodo (a cui fa riferimento) oppure alla fine. Ciascuna di queste due modalità, a sua volta,
può essere immediata o differita. Immediata se la scadenza è sincrona con il momento fissato,
differita se il pagamento avviene k periodi dopo quello a cui fa riferimento.
Esempio: l’acquisto di un bene a rate mensili, con decorrenza 6 mesi dopo l’acquisto, è una rendita
temporanea, frazionata 12 volte nell’anno, con pagamento anticipato e differito (di 6 periodi).
Si dice valore della rendita all’epoca t la somma dei montanti (calcolati con un’opportuna
funzione di montante) delle prestazioni scadute prima di t, e dei valori attuali (calcolati con
un’opportuna funzione di attualizzazione) delle prestazioni che scadono dopo t.
W(t) =
tk
t
C u( t 0
, t ) +
C v( t 0
, t )
k
k
tk
t
k
k
Il valore di una rendita si calcola quindi con la stessa procedura già vista per le operazioni
complesse. Analogamente, si definisce:
Si definisce valore attuale della rendita il suo valore all’istante t = 0 (i.e. è l’importo equo da
scambiare con la rendita all’istante t = 0).
n
W(0) =
C
k k
v(
t t
0 0
,
k
)
Si definisce montante finale della rendita il suo valore alla scandenza t n .
Se il regime è quello degli interesse composti, grazie alla scindibilità si può scrivere:
W(t) = u t k
n
tk
C k
v
0
= u t W(0) W(t n ) = u tn W(0)
Che permette di calcolare il montante a partire dal valore attuale (vero solo nei regimi scindibili).
2007 Stefano Adriani

Le rendite tipo
Consideriamo alcune delle rendite più semplici, aventi rata costante, annuale, con un regime di
interesse composto (di tasso i costante), e durata pari ad n anni. Valutiamo la rendita nei diversi
casi, considerando ogni volta un importo unitario della singola rata (basterà poi moltiplicare il
risultato per l’importo effettivo).
Rata immediata posticipata
Calcoliamo il valore della rendita all’istante iniziale. Trattandosi di una rata posticipata, il
pagamento avviene alla fine di ogni periodo T (punti neri pieni):
0 1 2 3 4 n
Il valore della rendita all’istante iniziale è:
W(0) = v + v 2 + v 3 + … + v n dov’è v = v(0, T) = e -
Infatti il valore attuale della rata k-esima è: v(0, t k ) = exp(- t k )= exp(- kT)=exp(- T) k . Ricordando
che vale = ln(1 + i), con i tasso annuale, possiamo scrivere T = 1, cioè v = exp(-).
Si ottiene quindi (somma di una progressione geometrica di ragione v, vedasi 389/2°):
W(0) = v (1 + v + v 2 + v 3 + … + v n-1 ) = v
1
v n
1
v
v
= (1 - v n )
1 v
Dalla relazione v = exp(-) = exp(-ln(1+i)) possiamo esplicitare la relazione tra v ed i :
v =
1
1 i
e quindi 1 - v =
i
1 i
Per cui:
W(0) =
1 v n
i
=
1 (1 i)
i
n
Quest’ultima grandezza compare molte volte nel calcolo delle rendite, per cui è comodo introdurre
il simbolo:
n
1 (1 i)
1 v n
Si definisce a figurato n al tasso i la quantità 1 : a n i =
=
i i
Quindi il valore della rendita all’istante iniziale si scrive:
W(0) = a n i
Osserviamo che per i = 0 vale a n i = n (la progressione ha ragione 1). Invece, per motivi di
convenzienza, si pone a n i = 0 nel caso n = 0.
1
Dall’inglese annuity, ovvero rendita annuale.
2007 Stefano Adriani

Rata immediata anticipata
Ripetendo i passaggi visti sopra, nel caso di una rendita con rata anticipata si ha:
0
1 2 3 4
n
W(0) = 1 + v + v 2 + v 3 + … + v n-1
per cui (ricordiamo u = 1+ i per definizione):
W(0) =
1 v n
1
v
=
1 i
i
(1 - v n ) = (1+ i) a n i
Anche quest’ultima grandezza compare molte volte, per cui si definisce:
Si definisce a anticipato figurato n al tasso i la quantità: ä n i = (1+ i) a n i
Quindi il valore della rendita all’istante iniziale si scrive:
W(0) = ä n i
Montante di una rendita
Calcoliamo adesso il montante di una rata annuale, immediata e posticipata, della durata di n anni.
Possiamo rappresentare le rate della rendita come già visto nel caso di una generica rata immediata
posticipata:
Rimanando nel regime dell’interesse composto, il montante finale della rendita sarà:
M(n) = m(t n - t 1 ) + m(t n - t 2 ) + m(t n – t 3 ) + … + 1
ovvero (nel regime composto):
M(n) = (1+ i) n-1 + (1+ i) n-2 + (1+ i) n-3 + … + 1 = u n-1 + u n-2 + u n-3 + … + 1
espresso in funzione del binomio di capitalizzazione, definito come u = 1 + i. Si ottiene così la
stessa espressione del caso precedente, con u al posto di v, scritta in ordine inverso. Perciò:
1
u n 1 (1 )
M(n) = =
1
u i
0 1 2 3 4 n
i n
=
( 1
i)
n 1
1 (1 i)
= (1+i ) n
i
i
Si definisce s figurato n al tasso i la quantità: s n i = (1+ i) n a n i =
n
= (1+ i ) n a n i
u n 1
i
2007 Stefano Adriani

Studio delle funzioni figurate
Riportiamo le definizioni delle grandezze definite sopra:
a figurato n al tasso i a n i =
1 v n
i
Rata immed. e posticipata
a anticipato figurato n al tasso i ä n i = u a n i Rata immed. e anticipata
s figurato n al tasso i s n i = u n a n i Montante (immed. e post.)
s anticipato figurato n al tasso i s¨ n i = u s n i Montante (immed. e antic.)
Si capisce perciò che basta studiare il primo di questi casi per dedurre tutti gli altri. Analizziamo
perciò gli andamenti delle funzioni a n i e s n i .
La funzione a n i si avvicina ad n quando i tende a zero (limite notevole: (x + 1) a – 1 ax).
Inoltre lo studio della sua derivata prima si riconduce alla condizione:
u(n+1) – n > u n+1 la derivata è positiva
che è sempre falsa: infatti, al primo membro abbiamo una retta di pendenza n+1, ed è facile
verififcare che tale retta sta sempre sotto alla curva u n+1 .
Analogamente, la funzione s n i tende ad n per i che tende a zero (regola dell’Hospital), mentre per
la derivata troviamo:
u(1 - n) + n > u 1 - n la derivata è positiva
che è sempre falsa (basta ragionare come sopra, pensando al primo membro come una retta). Si
trova così:
Altre funzioni figurate
Spesso, per comodità, si definiscono anche le funzioni:
n i = ( a n i ) -1 e n i = ( s n i ) -1
Ed è facile verificare che vale: n i = i + n i .
2007 Stefano Adriani

Rendite differite
Consideriamo una rendita differita di p anni, con rata posticipata. Ciò significa che dall’istante
d’apertura t = 0, fino al termine del p-esimo anno, non vengono versate rate. La prima rata viene
versata al termine del p-esimo anno, cioè all’istante t = p + 1 (perché posticipata).
Scadenza t = 0 t =1 … t = p +1 t = p +2 … t = p + n
Importo 0 0 0 R R R R
da cui:
W(0) = v p+1 + v p+2 + … + v p+ n = v p (v + v 2 + v 3 + … + v n )= v p a n i
Rendite perpetue
Nel caso di una rendita perpetua, il valore della rendita all’istante iniziale, per n rate (immediate e
posticipate), è dato dalla:
W * (0) = v + v 2 + v 3 + … + v n =
1 v n
i
con v = e - = (1+ i) -1
Il valore effettivo della rendita si ottiene quindi facendo tendere n
all’infinito, per cui:
W(0)= lim n
1v n
i
=
In questo caso, ovviamente, non si definisce il montante finale
della rendita.
2007 Stefano Adriani