Teoria generale della matematica finanziaria - Adriani Home Page

5. Teoria generale
Regimi finanziari
Nel capitolo precedente abbiamo introdotto alcuni parametri in grado di descrivere qualsiasi tipo di
regime. Ciò ci permette di definire in generale i regimi finanziari.
Regime di capitalizzazione: una famiglia di funzioni “fattore di montante” che dipende da uno
o più parametri.
L’espressione “fattore di montante” significa che le funzioni devono soddisfare ai tre requisiti
richiesti per il fattore di montante, ovvero f(t) è tale che:
1. E’ definita su tutto l’intervallo [t 1 , t 2 ].
2. Vale f(0)= 1.
3. E’ una funzione non decrescente.
Esempio: la famiglia m(t) = 1 + t 2 , con > 0, è un regime di capitalizzazione, perché soddisfa
le tre condizioni (è definita sui reali positivi).
Osservazione: data una legge di capitalizzazione si può sempre scrivere m*(t 1 , t 2 ) = m(t) , ovvero
sostituire t con (t 2 - t 1 ), ma in generale non è vero il viceversa. Vediamo un esempio:
m(t 1 , t 2 ) = 1 + ( t 2
2
- t 1 2
)
E’ un regime di capitalizzazione (se 0), che non può essere espresso in funzione di t = t 2 - t 1 .
In modo analogo, possiamo definire anche i regimi di attualizzazione:
Regime di attualizzazione: una famiglia di funzioni “fattore di sconto” che dipende da uno o
più parametri.
Esempio: consideriamo > 0 e la funzione v(t 1 , t 2 ) definita per t 2 > t 1 :
v(t 1 , t 2 ) =
1
2
1 (
t
2
2
t1
)
E’ un regime di attualizzazione, perché soddisfa le tre condizioni:
1. Definita su tutto l’intervallo [t 1 , t 2 ].
2. Tale che v(t 1 )= 1.
3. E’ una funzione non crescente rispetto a t 2 .
2007 Stefano Adriani

Altri esempi
Le seguenti famiglie di funzioni definiscono ciascuna un regime di capitalizzazione m(t):
1
1 + h t 2 1 + ht e ht 1 ht
La famiglia f(t) = 1 + ht è detta regime di capitalizzazione semplice, mentre l’ultima è una
funzione omografica (definita solo su [0, 1/h), poiché il fattore di montante ha significato solamente
se positivo).
Il modello differenziale
Consideriamo adesso l’equazione differenziale definita per h 0 :
(I)
dm ( t)
dt
= h m (t) cioè dm(t) = h m (t) dt
dove il simbolo d ha il significato matematico di differenziale (non è il tasso di sconto).
La soluzione generale dell’equazione, per 1, è la seguente:
cioè
m 1 - (t) = h (1-) t + 1
m(t) = (h(1-)t + 1) 1/(1-) (valida per 1)
la quale rappresenta una funzione candidata a fattore di montante. Nel prossimo paragrafo
mostreremo che, per i casi = 0, 1, 2 , la funzione m(t) fornisce i regimi studiati finora.
Regimi di capitalizzazione
Applichiamo la proposizione per alcuni casi notevoli, cioè = 0, 1, 2.
Caso = 0
L’equazione (I) diventa dm(t) = h dt , che ha soluzione:
m(t) = ht – c
Imponendo la condizione iniziale m(0) = 1 si trova c = -1, e quindi:
m(t) = 1 + ht
Che corrisponde al fattore di montante del RIS.
2007 Stefano Adriani

Caso = 1
L’equazione (I) diventa dm(t) = h m(t) dt , che ha soluzione:
m(t) = c e ht
(c è una costante reale non nulla)
Imponendo la condizione iniziale m(0) = 1 si trova c = -1 e quindi:
m(t) = e ht
Che corrisponde al fattore di montante del RIC.
Caso = 2
L’equazione (I) diventa dm(t) = h m 2 (t) dt , equazione differenziale a variabili separate. Ponendo m
(t) 0 si ha (notiamo che m(t) = 0 è soluzione banale):
m(t) =
1
c ht
Imponendo la condizione iniziale m(0) = 1 si trova c = -1 e quindi:
m(t) =
1
1 ht
Che corrisponde al fattore di montante del RIA.
Leggi a tassi variabili
Se nell’equazione differenziale generale (I) si considera h come una funzione del tempo, anziché
una costante, l’equazione diventa:
(I) bis
dm(t) = h(t) m (t) dt
Per i casi = 0, 1, 2 si trovano le soluzioni:
m 0 (t) = 1 + t
h( ) d
m 1 (t) = exp( t h( ) d
) m 2 (t) =
0
0
1
t
0
1
h(
)
d
risulta perciò conveniente definire il tasso medio h * (sul periodo 0 t):
(II)
t
1
h* = t h( ) d
0
in modo da poter scrivere le soluzioni della (I) bis come:
2007 Stefano Adriani

1
m 0 (t) = 1 + h * t m 1 (t) = exp(h * t) m 2 (t) =
1
h*t
Osservazione: se la funzione h(t) è costante a tratti, ovvero assume il valore h k sui tratti t k-1 t t k ,
allora h* può essere espresso come la media ponderata degli n valori:
h* =
hk
Tk
T
T
T
k1 n 0
k1
Leggi traslabili
Nel capitolo precedente abbiamo definito le leggi traslabili come quelle per cui vale:
m(t 1 , t 2 ) = m(t 1 + q, t 2 + q) q [0,+] , 0 t 1 t 2
Tale relazione vale per tutte le leggi fisiche, ma nel caso della matematica finanziaria potrebbe non
essere vero, perché al traslare degli istanti t 1 e t 2 in genere non corrisponde la traslazione uniforme
nel tempo di alcuni parametri (come ad esempio il tasso d’interesse). Si verifica che:
Proposizione: una legge finanziaria è traslabile se e solo se h(t) è costante.
La condizione sufficiente è evidente (basta traslare la (II)). Vediamo come dimostrare la condizione
necessaria. Sia m(t) traslabile, ovvero:
t
2
t1
h(
) d
t 2
=
q
t1q
h( ) d
Se togliamo la parte in comune tra i due integrali (sezione verde di
figura), otteniamo:
t 1 q
t1
h( ) d
= t 2 q
t 2
h( ) d
cambiando variabili (’ = - t 1 nel primo, ’’ = - t 2 nel secondo), si ha:
0
q
q
h ( t ) d = 1 h ( t ) d
cioè 2 ( h(
t1 ) h(
t2))
d
= 0
0
dove abbiamo scritto =’ = ’’ per indicare la variabile muta negli integrali. Affinché l’ultima
relazione valga per qualsiasi coppia t 1 e t 2 deve essere:
0
q
h( + t 1 ) = h( + t 2 ) 0 t 1 t 2
ovvero h(t) deve essere costante. CVD.
2007 Stefano Adriani

Leggi scindibili
Usando il modello differenziale possiamo dimostrare che vale:
Proposizione: una legge finanziaria è scindibile se e solo se m(t) è esponenziale.
La verifica in una direzione è immediata: se m(t) è esponenziale, ovvero del tipo:
m(t 1 , t 2 ) = exp( 2 t1
t
h(
) d
)
allora, per le proprietà degli integrali e dell’elevamento a potenza, la legge è scindibile.
Viceversa, se la legge è scindibile, consideriamo il regime coniugato v(t) tale che:
m(t 1 , t) = 1 / v(t 1 , t)
per cui la proprietà di scindibilità può essere scritta come:
m(t 1 , t 2 ) = m(t 1 , t) m(t, t 2 ) =
m(
t1,
t)
v(
t,
t )
2
Ricorriamo adesso ad un artificio: la quantità m(t 1 , t 2 ) non dipende da t, per cui possiamo pensare
che essa abbia derivata nulla rispetto a t. Ciò permette di scrivere:
t
m(
t1,
t)
v(
t,
t )
2
mv
= 0 da cui
2
v
mv
= 0
ovvero
t
m( t 1
, t)
1
m(
t 1
, t)
= v( t,
t
2
)
t
1
v(
t,
t 2
)
ciò significa che il primo menbro non dipende da t 1 , ed il secondo membro non dipende da t 2
(perchè l’uguaglianza vale per qualsiasi valore). Possiamo perciò esprimere il secondo membro
come una sola funzione della t, ovvero:
t
m( t 1
, t)
1
m(
t 1
, t)
= h(t)
che integrata fornisce:
t
m(t 1 , t) = exp(
t1
h( ) d
) C.V.D.
2007 Stefano Adriani

Proposizione: una legge finanziaria è scindibile se e solo se la forza di interesse ist (t 1 , t 2 ) è
costante nel tempo.
Supponiamo che la legge sia scindibile, per cui vale:
m(t 1 , t 2 ) = m(t 1 , t) m(t, t 2 )
applicando il logaritmo ad ambo i lati, e derivando rispetto a t 2 otteniamo:
d
d
ln(m(t 1 , t 2 )) = 0 + ln(m(t, t2 ))
dt 2
dt 2
d
Ricordando la definizione di forza di interesse, ovvero ist = dt
ln(m(t)) abbiamo:
ist (t 1 , t 2 ) = ist (t, t 2 )
Quindi la forza di interesse è indipendente dal tempo.
Viceversa, se la ist (t 1 , t 2 ) non dipende dal tempo, possiamo scrivere:
ist (t 1 , t 2 ) = costante
e ricordando che dalla (t) è possibile esprimere il fattore di montante come:
t 2
m(t 1 , t 2 ) = exp( ( t1 , ) d
)
t1
dalle proprietà dell’integrale e dell’elevamento a potenza segue immediatamente la tesi. C.V.D.
A questo punto, dalle due proposizione trovate in precedenza, si deduce che:
Proposizione: la forza di interesse ist (t 1 , t 2 ) è costante se e solo se m (t 1 , t 2 ) è esponenziale.
Volendo (per motivi didattici) si può fornire anche la dimostrazione di quest’ultima proposizione.
Se ist (t 1 , t 2 ) è costante, basta esprimere il fattore di montante come:
m(t) = exp ( )
per verificare che m(t) ha forma esponenziale.
Viceversa, se m(t) è esponenziale, possiamo calcolare la derivata prima:
m’(t) = e (t)t (’(t)t + (t)) con m(t) = e (t)t
dividendo ambo i lati per m(t) si trova:
(t)= ’(t)t + (t) ovvero ’(t) = 0 C.V.D.
2007 Stefano Adriani