Complementi di Matematica - Dipartimento di Matematica

Corso di Laurea in Scienze e Gestione delle Attività Marittime (L-28)
Complementi di Matematica
9 CFU - II semestre – A.A. 2012/2013
Integrazione
Integrali indefiniti. Primitiva di una funzione. Proprietà delle primitive*. Integrale indefinito di una funzione.
Integrali immediati. Linearità degli integrali indefiniti. Regole di calcolo degli integrali indefiniti: per
sostituzione, per parti. Integrali di funzioni razionali.
Integrali definiti. Funzioni limitate integrabili secondo Riemann. Significato geometrico dell’integrale di
Riemann. Integrali definiti. Integrabilità di funzioni monotone, continue e con numero finito di punti di
discontinuità. Proprietà degli integrali definiti: linearità, additività, monotonia. Teorema della media
integrale. Funzione integrale. Teorema fondamentale del calcolo integrale*. Teorema di Torricelli*.
Integrali in senso improprio. Nozione di integrale in senso improprio per funzioni illimitate o per domini
illimitati. Integrabilità di x^{-α} in ]0,1] e in [1,+∞[. Regolarità dell’integrale improprio per funzioni
continue e positive*, con estensione a funzioni continue a tratti e positive. Criterio del confronto. Criterio del
confronto asintotico. Nozione di funzione assolutamente integrabile e criterio dell’assoluta integrabilità.
Successioni e serie
Successioni numeriche. Richiami.
Serie numeriche. Definizione di serie. Serie convergente, divergente e indeterminata. Condizione necessaria
di convergenza* e controesempio. Serie geometrica*. Regolarità di una serie a termini positivi*. Criterio del
confronto, del confronto asintotico, del rapporto, della radice e dell'integrale. Serie armonica generalizzata*.
Serie di segno alterno e criterio di Leibnitz. Serie di segno qualsiasi: convergenza assoluta, criterio
dell'assoluta convergenza e controesempio. Operazioni tra serie.
Successioni di funzioni. Successioni di funzioni. Convergenza puntuale e uniforme. Condizione sufficiente
per la convergenza uniforme. Continuità del limite uniforme di funzioni continue. Teorema di passaggio al
limite sotto il segno di integrale. Teorema di passaggio al limite sotto il segno di derivata.
Serie di funzioni. Definizione di serie di funzioni. Convergenza puntuale e funzione somma. Convergenza
uniforme. Convergenza totale. Continuità, integrabilità e derivabilità della funzione somma.
Serie di potenze. Definizione di serie di potenze. Teorema fondamentale sulle serie di potenze*. Insieme di
convergenza e raggio di convergenza. Teorema di Abel. Teoremi per calcolare il raggio di convergenza.
Derivazione e integrazione termine a termine. Regolarità della funzione somma.
Polinomi e serie di Taylor. Polinomi di Taylor. Formula di Taylor con resto di Lagrange. Applicazione della
formula di Taylor al calcolo dei limiti. Serie di Taylor e sviluppabilità in serie di Taylor. Sviluppi in serie di
Taylor di e x , sen(x), cos(x), log(1-x). Integrazione per serie.
Cenni di Algebra Lineare
Lo spazio euclideo R n . Struttura di spazio vettoriale e base canonica. Prodotto scalare e relative proprietà.
Norma e relative proprietà. Distanza e relative proprietà. Angolo tra vettori. Prodotto esterno e relative
proprietà. Intorno sferico. Insiemi aperti, chiusi, limitati, compatti. intorni, Punti di accumulazione, interni,
esterni e di frontiera. Insiemi convessi e insiemi connessi per poligonali.

Generalità sulle matrici. Applicazioni lineari e matrici. Operazioni tra matrici. Minore estratto e rango.
Trasposta e relative proprietà. Norma di una matrice. Matrici quadrate e loro determinanti. Matrici
simmetriche, normali, ortogonali, diagonali, singolari e non. Autovalori e autovettori. Matrice semidefinita
positiva o negativa, definita positiva o negativa, indefinita.
Funzioni reali di più variabili
Limiti e continuità. Limite di funzioni reali di più variabili in un punto di accumulazione e all’infinito. Limite
sulle rette. Coordinate polari. Condizione sufficiente per l’esistenza del limite in coordinate polari.
Continuità in un punto e su un insieme. Massimo e minimo assoluto. Teorema di Weierstrass. Punti di
massimo e di minimo relativo.
Differenziabilità. Derivate parziali e derivate direzionali. Gradiente. Differenziabilità in un punto. Teorema
del differenziale totale. Relazione tra differenziabilità, continuità e derivate direzionali. Piano tangente al
grafico di una funzione in un punto. Definizione di punto stazionario e di punto di sella. Teorema di
Lagrange in R n . Derivate parziali seconde. Funzioni di classe C k . Teorema di Schwartz. Matrice Hessiana.
Condizione necessaria e condizione sufficiente per punti di massimo e minimo relativo.
Curve in R n
Curve in R n e loro sostegno. Curve semplici, aperte, chiuse. Esempi fondamentali: curva associata ad una
funzione continua in un intervallo; curva con sostegno la circonferenza di centro (0,0) e raggio r>0; curva
con sostegno il segmento [x,y] con x, y distinti in R n . Differenziabilità di una curva. Versore tangente. Curve
di classe C1. Curve regolari. Curve di classe C1 a tratti, regolari a tratti. Curve equivalenti. Orientazione di
una curva. Curve rettificabili e loro lunghezza. Rettificabilità delle curve di Classe C 1 . Curve equivalenti.
Curva unione e sue proprietà. Integrali curvilinei e proprietà.
Equazioni differenziali ordinarie
Equazioni differenziali del primo ordine in forma normale. Equazioni differenziali di ordine n e sistemi di
equazioni differenziali del primo ordine equivalenti*. Soluzioni locali, massimali e globali per un’equazione
differenziale del primo ordine. Problema di Cauchy associato a un'equazione differenziale del primo ordine,
a un’equazione di ordine n o a un sistema di equazioni del primo ordine. Teorema di esistenza di Peano.
Teorema di Cauchy di esistenza e unicità locale. Teorema di esistenza e unicità globale. Equazioni
differenziali a variabili separabili e loro risoluzione*. Equazioni differenziali lineari di ordine n, omogenee e
complete. Problemi di Cauchy associati ad equazioni differenziali lineari di ordine n e teorema di esistenza e
unicità globale. Sistema fondamentale di soluzioni e Wronskiano. Integrale generale di un’equazione lineare
omogenea del II ordine*. Integrale generale di un’equazione lineare completa del II ordine*. Equazioni
differenziali lineari del primo ordine a coefficienti continui e loro risoluzione*. Equazioni differenziali
lineari omogenee del II ordine a coefficienti costanti e loro sistema fondamentale di soluzioni*. Equazioni
differenziali lineari complete del II ordine a coefficienti costanti: metodo di variazione delle costanti
arbitrarie*. Equazioni differenziali lineari complete del II ordine a coefficienti costanti: metodi risolutivi per
termine noto di tipo particolare.
Sono contrassegnati con * i teoremi la cui dimostrazione è argomento d’esame.
Testi consigliati
[CT] C. Canuto, A. Tabacco, Analisi Matematica II, Springer, Milano, 2008.
[BDG] M. Bertsch, R. Dal Passo, L. Giacomelli, Analisi Matematica, McGraw-Hill, Milano, 2007.