Complementi di Matematica - Dipartimento di Matematica

Generalità sulle matrici. Applicazioni lineari e matrici. Operazioni tra matrici. Minore estratto e rango.
Trasposta e relative proprietà. Norma di una matrice. Matrici quadrate e loro determinanti. Matrici
simmetriche, normali, ortogonali, diagonali, singolari e non. Autovalori e autovettori. Matrice semidefinita
positiva o negativa, definita positiva o negativa, indefinita.
Funzioni reali di più variabili
Limiti e continuità. Limite di funzioni reali di più variabili in un punto di accumulazione e all’infinito. Limite
sulle rette. Coordinate polari. Condizione sufficiente per l’esistenza del limite in coordinate polari.
Continuità in un punto e su un insieme. Massimo e minimo assoluto. Teorema di Weierstrass. Punti di
massimo e di minimo relativo.
Differenziabilità. Derivate parziali e derivate direzionali. Gradiente. Differenziabilità in un punto. Teorema
del differenziale totale. Relazione tra differenziabilità, continuità e derivate direzionali. Piano tangente al
grafico di una funzione in un punto. Definizione di punto stazionario e di punto di sella. Teorema di
Lagrange in R n . Derivate parziali seconde. Funzioni di classe C k . Teorema di Schwartz. Matrice Hessiana.
Condizione necessaria e condizione sufficiente per punti di massimo e minimo relativo.
Curve in R n
Curve in R n e loro sostegno. Curve semplici, aperte, chiuse. Esempi fondamentali: curva associata ad una
funzione continua in un intervallo; curva con sostegno la circonferenza di centro (0,0) e raggio r>0; curva
con sostegno il segmento [x,y] con x, y distinti in R n . Differenziabilità di una curva. Versore tangente. Curve
di classe C1. Curve regolari. Curve di classe C1 a tratti, regolari a tratti. Curve equivalenti. Orientazione di
una curva. Curve rettificabili e loro lunghezza. Rettificabilità delle curve di Classe C 1 . Curve equivalenti.
Curva unione e sue proprietà. Integrali curvilinei e proprietà.
Equazioni differenziali ordinarie
Equazioni differenziali del primo ordine in forma normale. Equazioni differenziali di ordine n e sistemi di
equazioni differenziali del primo ordine equivalenti*. Soluzioni locali, massimali e globali per un’equazione
differenziale del primo ordine. Problema di Cauchy associato a un'equazione differenziale del primo ordine,
a un’equazione di ordine n o a un sistema di equazioni del primo ordine. Teorema di esistenza di Peano.
Teorema di Cauchy di esistenza e unicità locale. Teorema di esistenza e unicità globale. Equazioni
differenziali a variabili separabili e loro risoluzione*. Equazioni differenziali lineari di ordine n, omogenee e
complete. Problemi di Cauchy associati ad equazioni differenziali lineari di ordine n e teorema di esistenza e
unicità globale. Sistema fondamentale di soluzioni e Wronskiano. Integrale generale di un’equazione lineare
omogenea del II ordine*. Integrale generale di un’equazione lineare completa del II ordine*. Equazioni
differenziali lineari del primo ordine a coefficienti continui e loro risoluzione*. Equazioni differenziali
lineari omogenee del II ordine a coefficienti costanti e loro sistema fondamentale di soluzioni*. Equazioni
differenziali lineari complete del II ordine a coefficienti costanti: metodo di variazione delle costanti
arbitrarie*. Equazioni differenziali lineari complete del II ordine a coefficienti costanti: metodi risolutivi per
termine noto di tipo particolare.
Sono contrassegnati con * i teoremi la cui dimostrazione è argomento d’esame.
Testi consigliati
[CT] C. Canuto, A. Tabacco, Analisi Matematica II, Springer, Milano, 2008.
[BDG] M. Bertsch, R. Dal Passo, L. Giacomelli, Analisi Matematica, McGraw-Hill, Milano, 2007.