Complementi di Matematica - Dipartimento di Matematica
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Corso <strong>di</strong> Laurea in Scienze e Gestione delle Attività Marittime (L-28)<br />
<strong>Complementi</strong> <strong>di</strong> <strong>Matematica</strong><br />
9 CFU - II semestre – A.A. 2012/2013<br />
Integrazione<br />
Integrali indefiniti. Primitiva <strong>di</strong> una funzione. Proprietà delle primitive*. Integrale indefinito <strong>di</strong> una funzione.<br />
Integrali imme<strong>di</strong>ati. Linearità degli integrali indefiniti. Regole <strong>di</strong> calcolo degli integrali indefiniti: per<br />
sostituzione, per parti. Integrali <strong>di</strong> funzioni razionali.<br />
Integrali definiti. Funzioni limitate integrabili secondo Riemann. Significato geometrico dell’integrale <strong>di</strong><br />
Riemann. Integrali definiti. Integrabilità <strong>di</strong> funzioni monotone, continue e con numero finito <strong>di</strong> punti <strong>di</strong><br />
<strong>di</strong>scontinuità. Proprietà degli integrali definiti: linearità, ad<strong>di</strong>tività, monotonia. Teorema della me<strong>di</strong>a<br />
integrale. Funzione integrale. Teorema fondamentale del calcolo integrale*. Teorema <strong>di</strong> Torricelli*.<br />
Integrali in senso improprio. Nozione <strong>di</strong> integrale in senso improprio per funzioni illimitate o per domini<br />
illimitati. Integrabilità <strong>di</strong> x^{-α} in ]0,1] e in [1,+∞[. Regolarità dell’integrale improprio per funzioni<br />
continue e positive*, con estensione a funzioni continue a tratti e positive. Criterio del confronto. Criterio del<br />
confronto asintotico. Nozione <strong>di</strong> funzione assolutamente integrabile e criterio dell’assoluta integrabilità.<br />
Successioni e serie<br />
Successioni numeriche. Richiami.<br />
Serie numeriche. Definizione <strong>di</strong> serie. Serie convergente, <strong>di</strong>vergente e indeterminata. Con<strong>di</strong>zione necessaria<br />
<strong>di</strong> convergenza* e controesempio. Serie geometrica*. Regolarità <strong>di</strong> una serie a termini positivi*. Criterio del<br />
confronto, del confronto asintotico, del rapporto, della ra<strong>di</strong>ce e dell'integrale. Serie armonica generalizzata*.<br />
Serie <strong>di</strong> segno alterno e criterio <strong>di</strong> Leibnitz. Serie <strong>di</strong> segno qualsiasi: convergenza assoluta, criterio<br />
dell'assoluta convergenza e controesempio. Operazioni tra serie.<br />
Successioni <strong>di</strong> funzioni. Successioni <strong>di</strong> funzioni. Convergenza puntuale e uniforme. Con<strong>di</strong>zione sufficiente<br />
per la convergenza uniforme. Continuità del limite uniforme <strong>di</strong> funzioni continue. Teorema <strong>di</strong> passaggio al<br />
limite sotto il segno <strong>di</strong> integrale. Teorema <strong>di</strong> passaggio al limite sotto il segno <strong>di</strong> derivata.<br />
Serie <strong>di</strong> funzioni. Definizione <strong>di</strong> serie <strong>di</strong> funzioni. Convergenza puntuale e funzione somma. Convergenza<br />
uniforme. Convergenza totale. Continuità, integrabilità e derivabilità della funzione somma.<br />
Serie <strong>di</strong> potenze. Definizione <strong>di</strong> serie <strong>di</strong> potenze. Teorema fondamentale sulle serie <strong>di</strong> potenze*. Insieme <strong>di</strong><br />
convergenza e raggio <strong>di</strong> convergenza. Teorema <strong>di</strong> Abel. Teoremi per calcolare il raggio <strong>di</strong> convergenza.<br />
Derivazione e integrazione termine a termine. Regolarità della funzione somma.<br />
Polinomi e serie <strong>di</strong> Taylor. Polinomi <strong>di</strong> Taylor. Formula <strong>di</strong> Taylor con resto <strong>di</strong> Lagrange. Applicazione della<br />
formula <strong>di</strong> Taylor al calcolo dei limiti. Serie <strong>di</strong> Taylor e sviluppabilità in serie <strong>di</strong> Taylor. Sviluppi in serie <strong>di</strong><br />
Taylor <strong>di</strong> e x , sen(x), cos(x), log(1-x). Integrazione per serie.<br />
Cenni <strong>di</strong> Algebra Lineare<br />
Lo spazio euclideo R n . Struttura <strong>di</strong> spazio vettoriale e base canonica. Prodotto scalare e relative proprietà.<br />
Norma e relative proprietà. Distanza e relative proprietà. Angolo tra vettori. Prodotto esterno e relative<br />
proprietà. Intorno sferico. Insiemi aperti, chiusi, limitati, compatti. intorni, Punti <strong>di</strong> accumulazione, interni,<br />
esterni e <strong>di</strong> frontiera. Insiemi convessi e insiemi connessi per poligonali.
Generalità sulle matrici. Applicazioni lineari e matrici. Operazioni tra matrici. Minore estratto e rango.<br />
Trasposta e relative proprietà. Norma <strong>di</strong> una matrice. Matrici quadrate e loro determinanti. Matrici<br />
simmetriche, normali, ortogonali, <strong>di</strong>agonali, singolari e non. Autovalori e autovettori. Matrice semidefinita<br />
positiva o negativa, definita positiva o negativa, indefinita.<br />
Funzioni reali <strong>di</strong> più variabili<br />
Limiti e continuità. Limite <strong>di</strong> funzioni reali <strong>di</strong> più variabili in un punto <strong>di</strong> accumulazione e all’infinito. Limite<br />
sulle rette. Coor<strong>di</strong>nate polari. Con<strong>di</strong>zione sufficiente per l’esistenza del limite in coor<strong>di</strong>nate polari.<br />
Continuità in un punto e su un insieme. Massimo e minimo assoluto. Teorema <strong>di</strong> Weierstrass. Punti <strong>di</strong><br />
massimo e <strong>di</strong> minimo relativo.<br />
Differenziabilità. Derivate parziali e derivate <strong>di</strong>rezionali. Gra<strong>di</strong>ente. Differenziabilità in un punto. Teorema<br />
del <strong>di</strong>fferenziale totale. Relazione tra <strong>di</strong>fferenziabilità, continuità e derivate <strong>di</strong>rezionali. Piano tangente al<br />
grafico <strong>di</strong> una funzione in un punto. Definizione <strong>di</strong> punto stazionario e <strong>di</strong> punto <strong>di</strong> sella. Teorema <strong>di</strong><br />
Lagrange in R n . Derivate parziali seconde. Funzioni <strong>di</strong> classe C k . Teorema <strong>di</strong> Schwartz. Matrice Hessiana.<br />
Con<strong>di</strong>zione necessaria e con<strong>di</strong>zione sufficiente per punti <strong>di</strong> massimo e minimo relativo.<br />
Curve in R n<br />
Curve in R n e loro sostegno. Curve semplici, aperte, chiuse. Esempi fondamentali: curva associata ad una<br />
funzione continua in un intervallo; curva con sostegno la circonferenza <strong>di</strong> centro (0,0) e raggio r>0; curva<br />
con sostegno il segmento [x,y] con x, y <strong>di</strong>stinti in R n . Differenziabilità <strong>di</strong> una curva. Versore tangente. Curve<br />
<strong>di</strong> classe C1. Curve regolari. Curve <strong>di</strong> classe C1 a tratti, regolari a tratti. Curve equivalenti. Orientazione <strong>di</strong><br />
una curva. Curve rettificabili e loro lunghezza. Rettificabilità delle curve <strong>di</strong> Classe C 1 . Curve equivalenti.<br />
Curva unione e sue proprietà. Integrali curvilinei e proprietà.<br />
Equazioni <strong>di</strong>fferenziali or<strong>di</strong>narie<br />
Equazioni <strong>di</strong>fferenziali del primo or<strong>di</strong>ne in forma normale. Equazioni <strong>di</strong>fferenziali <strong>di</strong> or<strong>di</strong>ne n e sistemi <strong>di</strong><br />
equazioni <strong>di</strong>fferenziali del primo or<strong>di</strong>ne equivalenti*. Soluzioni locali, massimali e globali per un’equazione<br />
<strong>di</strong>fferenziale del primo or<strong>di</strong>ne. Problema <strong>di</strong> Cauchy associato a un'equazione <strong>di</strong>fferenziale del primo or<strong>di</strong>ne,<br />
a un’equazione <strong>di</strong> or<strong>di</strong>ne n o a un sistema <strong>di</strong> equazioni del primo or<strong>di</strong>ne. Teorema <strong>di</strong> esistenza <strong>di</strong> Peano.<br />
Teorema <strong>di</strong> Cauchy <strong>di</strong> esistenza e unicità locale. Teorema <strong>di</strong> esistenza e unicità globale. Equazioni<br />
<strong>di</strong>fferenziali a variabili separabili e loro risoluzione*. Equazioni <strong>di</strong>fferenziali lineari <strong>di</strong> or<strong>di</strong>ne n, omogenee e<br />
complete. Problemi <strong>di</strong> Cauchy associati ad equazioni <strong>di</strong>fferenziali lineari <strong>di</strong> or<strong>di</strong>ne n e teorema <strong>di</strong> esistenza e<br />
unicità globale. Sistema fondamentale <strong>di</strong> soluzioni e Wronskiano. Integrale generale <strong>di</strong> un’equazione lineare<br />
omogenea del II or<strong>di</strong>ne*. Integrale generale <strong>di</strong> un’equazione lineare completa del II or<strong>di</strong>ne*. Equazioni<br />
<strong>di</strong>fferenziali lineari del primo or<strong>di</strong>ne a coefficienti continui e loro risoluzione*. Equazioni <strong>di</strong>fferenziali<br />
lineari omogenee del II or<strong>di</strong>ne a coefficienti costanti e loro sistema fondamentale <strong>di</strong> soluzioni*. Equazioni<br />
<strong>di</strong>fferenziali lineari complete del II or<strong>di</strong>ne a coefficienti costanti: metodo <strong>di</strong> variazione delle costanti<br />
arbitrarie*. Equazioni <strong>di</strong>fferenziali lineari complete del II or<strong>di</strong>ne a coefficienti costanti: meto<strong>di</strong> risolutivi per<br />
termine noto <strong>di</strong> tipo particolare.<br />
Sono contrassegnati con * i teoremi la cui <strong>di</strong>mostrazione è argomento d’esame.<br />
Testi consigliati<br />
[CT] C. Canuto, A. Tabacco, Analisi <strong>Matematica</strong> II, Springer, Milano, 2008.<br />
[BDG] M. Bertsch, R. Dal Passo, L. Giacomelli, Analisi <strong>Matematica</strong>, McGraw-Hill, Milano, 2007.