Dell'Ovo, Giovanna e gli alunni della II e III del Liceo Classico

LICEO CLASSICO “SANTA TERESA DI GESU‟” RomaLA SEZIONE AUREA DI UN SEGMENTO:MEDIA ED ESTREMA RAGIONESiamo studenti del 2' e 3' liceo classico dell'Istituto. Santa Teresa di Gesù, e il nostro obiettivo inquesta presentazione è quello di approfondire ciò che spesso si tende a giudicare come un concettodi natura geometrica fine a se stesso: la sezione aurea.Abbiamo deciso di prendere in esame questo argomento a causa della sua straordinarietà; allasezione aurea sono infatti associati l'equilibrio, la proporzionalità, l'armonia, ma questa è a sua voltalegata a contesti del tutto estranei a quello matematico, ed è questo il motivo che ci ha spinti adanalizzarne tutti gli aspetti.In filosofia ha grande importanza tra i Pitagorici, tanto che lo stesso Pitagora lega la sezione aureaalle terne pitagoriche.In ambito artistico è presente in molte opere architettoniche, come nella facciata del Partenone adAtene, e in numerosi affreschi celebri, come la Gioconda, l'Ultima cena, la Nascita di Venere.Per quanto riguarda la musica, la sezione aurea fu utile a Debussy nella scansione del tempo dellesue composizioni.Inoltre, per quanto possa sembrare strano, la sezione aurea fa parte della nostra quotidianità, e atestimonianza di ciò abbiamo infatti le scale a chiocciola e le carte di credito sulle quali è applicatasempre la proporzione aurea.Iniziamo con una massima di Keplero in merito alla sezione aurea:“La geometria ha due grandi tesori: uno è il teorema di Pitagora, l’altro è la sezione aurea di unsegmento. Il primo lo possiamo paragonare ad un oggetto d’oro, il secondo lo possiamo definire unprezioso gioiello.”Dividere in estrema e media ragione una retta terminata data “Prop. 30 di Euclide libro VI

La sezione aurea è quella parte di segmento media proporzionale tra l‟intero segmento (a) e la parterimanente (x). Si può scrivere la seguente proporzione definita “divina” per indicare il carattere“superiore” di tale numero e si svolge con una normale equazione moltiplicando medi ed estremia : xx : ( ax)x2a(ax)x2a2axx22xa20x1,2aab2aa 52a 52ba(522b2a1)4acaa22a4(a2)(1)a25a2aa25aa521152115211,6180339887Quest‟ultimo è invece il rapporto aureo, il rapporto, cioè, tra l‟intero segmento e la sua sezioneaurea. Si indica con un numero irrazionale, non rappresentabile quindi come frazione di numeriinteri, e algebrico, soluzione di un‟equazione polinomiale a coefficienti interi.Può essere approssimato con maggior precisione dai rapporti fra due termini successivi dellasequenza di Fibonacci.E‟ chiamato numero di Fidia dall‟iniziale dello scultore e architetto greco che interpretò al megliogli ideali della classicità (Atene 490-430 a.C.); egli eccelleva nella perfezione formale, nellaplasticità e si basava su ideali di eterna bellezza. Fu colui che diede vita a molti progetti in etàpericlea, supervisionò, infatti, la costruzione del Partenone e rappresentò nudi. Ma rimane noto algiorno d‟oggi per la realizzazione e la sistemazione dell‟Acropoli.

Costruzione della sezione aurea di un segmentoSi dice sezione aurea di un segmento quella parte del segmento (la maggiore), che è mediaproporzionale fra l‟intero segmento e la rimanente parte (la minore).- Tesi:Se il punto E divide il segmento AB in due parti tali che si abbia: AB : AE = AE : EB, diremo cheAE è la sezione aurea del segmento AB.- Costruzione della sezione aurea di un segmento:Dato il segmento AB, si conduca per l‟estremo B la perpendicolare ad AB, si stacchi sullaperpendicolare un segmento OB = (AB/2).Con centro in O e raggio OB si descriva una circonferenza, si tracci da A una secante che passi peril centro O e intersechi la circonferenza nei punti C e D.Con centro in A e raggio AC si descriva un arco che intersechi AB in E.Il segmento AE è la sezione aurea del segmento AB.Infatti per il teorema della tangente e della secante si ha:AD : AB = AB : AC.Applicando la proprietà dello scomponendo:( AD – AB ) : AB = ( AB – AC ) : AC.Ma siccome è AB ≡ CD e AC ≡ AE, si ha pure AD – AB ≡ AD – CD = AC ≡ AE eAB – AC ≡ AB – AE = EB; la proporzione diventa sostituendo, AE : AB = EB : AE, da cui per laproprietà dell‟invertendo (invertendo i rapporti) si ottiene: AB : AE = AE : EB che dimostra laproprietà della sezione aurea del segmento ABPertanto la sezione aurea è dunque la parte di un segmento AB, AE media proporzionale fra l‟interosegmento e la rimanente parte EB; cioè :AB : AE = AE : EB

IL RETTANGOLO AUREOSi chiama rettangolo aureo il rettangolo avente un lato che è sezione aurea dell'altro.Se ABCD è un rettangolo aureo, si ha, per definizione,AB : AD =AD : (AB - AD) (1)o anche, prendendo, su AB, AM ≡ AD,AB : AM = AM : MB.Se sul lato maggiore AB del rettangolo aureo ABCD, esternamente al rettangolo, si costruisce ilquadrato AEFB, si ottiene un nuovo rettangolo aureo EFCD. Infatti per la proprietà del comporreapplicata alla (1), si ha

(AB +AD) : AB = [AD +(AB - AD)] : ADcioè (fig. 35), essendo AB ≡ AE,DE:AB = AB:ADDE:AE = AE:ADe resta così dimostrato, essendo AE ≡ EF, che il lato minore EF del nuovo rettangolo EFCD è laparte aurea del lato maggiore DE.Ripetendo più volte tale costruzione, si ottiene una successione di quadrati, ognuno dei quali ha illato che è sezione aurea del lato del quadrato successivo. Costruendo in ogni quadrato un arco dicirconferenza come indicato nella figura, si ottiene una curva, detta, se pur impropriamente, spiralelogaritmica. Tale curva si ritrova in natura, ad esempio nella conchiglia del Nàutilus.LA SUCCESSIONE DI FIBONACCILa successione di Fibonacci è una successione di numeri che, partendo da 0 e 1, si ottengonosommando i due termini precedenti0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, ...Si può osservare che, se si divide ogni termine, a partire dal terzo, per il precedente, la successionedei rapporti tende al rapporto aureo.Infatti, se scriviamo la successione dei rapporti a partire dal terzo termine, si ha1; 2; 1,5; 1,6; 1,6; 1,625; 1,61538...; 1,61904...; 1,61764...; 1,61818...;

da cui si vede che i valori dei rapporti si avvicinano sempre più a 1,61803... che è il valore delrapporto aureo.Nell'esempio precedente di costruzione della spirale logaritmica, la successione dei lati dei quadratisi ottiene come quella dei numeri di Fibonacci, partendo dai lati di un rettangolo aureo, anziché da 0e 1, e ottenendo ogni termine dalla somma dei due precedenti.Musica e matematicaAl contrario di quanto si immagina comunemente la musica, almeno in origine, ha avuto fortilegami con la matematica. Per esempio Pitagora, oltre che grandissimo matematico dell‟antichità, èstato anche il primo vero teorico musicale; nel medioevo, invece, la matematica figurava tra lematerie di indirizzo scientifico. Per quanto riguarda la sezione aurea, qualcuno ha fatto anchenotare, non senza ironia, che persino la forma dell‟orecchio umano ricorda molto una spiralelogaritmica.ViolinoNel caso del violino alcuni molti sono del parere che l‟abilità del liutaio consista nel costruire lostrumento secondo alcune geometrie; per esempio l'arco che ne costituisce la base ha spesso il suocentro di curvatura proprio in posizione aurea rispetto alla lunghezza complessiva dello strumento.Si hanno testimonianze che lo stesso Stradivari rispettasse questa proporzione.PianoforteNel pianoforte, invece, particolare rilievo viene dato alla struttura della tastiera, in special modo conparallelismi fra i numeri di questa e quelli di Fibonacci. I tredici tasti delle ottave (un‟ottava è ladistanza tra due note che hanno lo stesso nome), sono distinti in otto bianchi e cinque neri che a lorovolta sono divisi in gruppi da due e tre tasti ciascuno. 2, 3, 5, 8, 13 appartengono infatti tutti allasuccessione di Fibonacci.

Analisi MusicologicaPrima dell‟8-900 l‟uso della sezione aurea nella composizione è per lo più involontario. Nel 1950 J.H. Douglas Webster con un articolo su Music&Letters apre la strada allo studio della sezione aureanell‟analisi musicologica. Il più grande esperto e studioso del settore fu Erno Lendvai.Béla Bartòk - Sezione “A-B” del terzo tempo della “Musica per archi, percussioni e celesta”“L‟aspetto ritmico della musica di Bartòk mi interessa moltissimo, al punto che vorrei studiare afondo la sua applicazione della Sezione Aurea” (Sofia Gubajdulina, compositrice). Il brano constadi 15 misure in 4/4 cioè in totale 60/4. I primi 14/4, occupati da un episodio introduttivo, durano 15secondi; altri 30/4 da un‟esposizione tematica di 34 secondi; infine gli ultimi 16/4 da un‟episodiorisolutivo di 12 secondi, di transizione al tema successivo. Con la dovuta approssimazionerichiamano i numeri di Fibonacci 13,21,34.Claude Debussy – “La cathédrale engloutie”, preludio per PianoforteDebussy era molto attratto dall‟uso in musica della sezione aurea, che lui chiamava divine nombre.Nel brano si hanno in totale 89 battute di cui: le prime 68 hanno un tempo doppio delle restanti 21(cioè dopo battuta 68 il brano rallenta il tempo della metà). Così all‟ascoltatore sembra che lebattute di questa prima sezione siano 34, e che il brano abbia una lunghezza di 55 battute.21,34,55,89 sono tutti numeri di Fibonacci.

Genesis – “Firth Of Fifth”, dall’album “Selling England by the Pound” (1973)La sezione aurea viene utilizzata talvolta anche nella popular music, riprendendone in alcuni casi isignificati esoterici. Nel pezzo “Firth Of Fifth” dei Genesis, considerando il numero di battute o dinote, vi sono molte analogie con la serie Fibonacci (55, 34, 144...); considerando l‟unità più piccoladi tempo, la struttura ricorrente è 30,30,60,90,150,240,390, ovvero i primi 7 valori della serie diFibonacci moltiplicati per 30 (1,1,2,3,5,8,13).Terne pitagoricheUna terna pitagorica è una terna di numeri naturali x, y, z tali che x 2 + y 2 = z 2Esiste un legame tra le terne pitagoriche e i numeri di Fibonacci scoperto da Charles Raine:presi 4 numeri di Fibonacci consecutivi, indicati rispettivamente con a, b, c, d.x=ady=2bcRisulta che la somma dei loro quadrati è un quadrato perfetto.x 2 + y 2 = z 2Possiamo considerare la terna una terna pitagorica.Inoltre, quattro numeri di Fibonacci consecutivi, il prodotto del primo col quarto è sempre pari alprodotto del secondo col terzo aumentato o diminuito di 1.ad=bc±1

Esempio: a=2, b=3, c=5,d=8.2∙8=162∙3∙5=3016²+30²==256+900==1156==34²16 =15+1La costruzione di un compasso aureoIl compasso aureo è uno strumento semplice che ci si può costruire facilmente da soli: esso cipermette di tracciare segmenti che mantengano fra loro la proporzione aurea, oppure di determinarese due segmenti hanno fra loro detta proporzione.Basta infatti tagliare due strisce di cartone o di legno, con le due estremità appuntite, di 2 cm dilarghezza e 34 cm di lunghezza, nelle quali faremo un foro a una distanza di 13 cm da una delleestremità. Perciò uniamo i due fori con un chiodo.Il compasso ottenuto è diviso in due parti, una di 13 cm e una di 21 cm, due termini consecutivi dellasuccessione di Fibonacci il cui rapporto è ϕ; è quindi un compasso aureo.Per verificare se due segmenti sono in rapporto aureo, basta aprire un'estremità fino a che questacoincida con il segmento minore, e, senza variare l'apertura dei bracci del compasso, porre l'altroestremo sul segmento maggiore; se coincide con la sua lunghezza, i due segmenti sono inproporzione aurea.La sezione aurea in architettura: Fidia e il Partenone, Gaudì e la scala a chiocciolaGià in età greca venne introdotta la proporzione divina: ogni opera e costruzione è stata pensata infunzione dell‟uomo e delle sue necessità. Utilizzare la sezione aurea per l‟uomo greco significavarealizzare un tempio, in questo caso il Partenone, in cui l‟equilibrio tra le parti garantisse il suorapporto con le divinità. Era importante, quindi, non costruire un “blocco chiuso” ma innalzarlo eaprirlo all‟ambiente esterno: ogni parte doveva essere proporzionale ad un‟altra.Il bello, secondo i greci, crea un'emozione perché la bellezza tende alla perfezione e la perfezione èdivina e ed è per questo che tale rapporto viene definito “aureo”, divino, come gli dei perfetti checampeggiavano sull‟Olimpo. Il fine era sempre quello di conferire agli edifici l'idea di equilibrio eperfezione, di raggiungere l‟Armonia universale, ossia come perfetto equilibrio tra l‟opposizionedei principi.Gli architetti e gli artisti greci facevano largo uso dei rettangoli aurei. Se da un rettangolo aureo sitaglia poi un quadrato, anche il rettangolo che rimane è un rettangolo aureo. Questi erano usati perdisegnare la pianta del pavimento e della facciata dei templi, come appunto il Partenone,sull‟Acropoli di Atene.

La pianta, infatti, è un rettangolo con lati aventi dimensioni taliche la lunghezza sia pari alla radice di 5 volte la larghezza, mentrenell'architrave in facciata il rettangolo aureo è ripetuto più volte.La facciata, come si può ben vedere in figura, è un rettangoloaureo. Le altre linee nel mezzo indicano una peculiarità delrettangolo aureo: se da esso ne togliamo un quadrato di lato pariall‟altezza, la parte rimanente è ancora un rettangolo aureo.Lo scultore greco Fidia fu il primo a servirsi della divinaproporzione, inserendola nel Partenone, non solo nella pianta enella facciata, ma anche in alcuni particolari, come le Cariatidi,con proporzioni fisiche auree, che reggono l‟Eretteo, altro tempiopresso l‟Acropoli ateniese. La cariatide è inscritta in una serie direttangoli nei quali il rapporto tra altezza e lunghezza è unrapporto aureo. Utilizzando la proporzione aurea, per suddividereripetutamente un rettangolo, otteniamo i punti per tracciare la"spirale aurea".Piazzando i soggetti lungo la spirale compositiva, èpossibile attivare l'occhio dello spettatore che tende naturalmenteverso i punti di contrasto di colore o di luminosità.Un esempio sono le scale costruite da Gaudì nei suoi palazzi enella Sagrada Famiglia. Le scale di accesso alle torri dellaCattedrale costituiscono uno splendido esempio di elicoideleggermente conico che percettivamente viene letta, sia dall‟altosia dal basso, come una splendida spirale logaritmica.

Una scala a chiocciola nella Sagrada Familia di GaudìLA STELE DEL RE GETArs sine Scientia nihil est: l‟arte senza la Scienza è nulla. Lacelebre frase fu pronunciata nel 1399 dal Maestro GiovanniMignot, architetto parigino, chiamato a Milano per valutarel‟opera della fabbrica del Duomo. Si accese una disputa con lemaestranze locali sulle proporzioni da dare ai contrafforti inrapporto al tipo di pietra usata, e nel corso della disputa ilMaestro Mignot pronunciò questa celebre frase, in cui «arte»significa tecnica e «scienza» indica la geometria. Mignot nonintendeva certo affermare nulla di nuovo, si limitava a ribadireuna sapienza custodita da secoli che già echeggiava nell‟unicoframmento dello scultore Policleto che la storia ci ha restituito:«l‟arte si ottiene con molti numeri e badando ai minimidettagli».L‟unico modo per documentare l‟uso di teorie geometrichenell‟arte è quello di impugnare squadra e compasso perindividuare se l‟opera è frutto di un sistema coerente. Circa lastele del re Get osserviamo che la sua limpida scansione sembrascaturire dalla sezione aurea, che si intravede soprattutto nelrettangolo che circoscrive il palazzo e il glifo del re: il serpente.Nella stele, proveniente da Abido e oggi al Louvre, è iscritto ilnome del re Get, della prima dinastia e indicato col serpente, sulquale è il falco del dio Horus.In età antica, almeno nel mondogreco, la simmetria indica solamente, che l‟opera è costruita conlo «stesso metro», ovvero con lo stesso modulo.Una semplice proporzione armonica come 1:2, „asimmetrica‟ per il mondo moderno, è inveceperfettamente „simmetrica‟ nel mondo antico: perché è commensurabile con lo stesso modulo.

Una concezione dinamica della simmetria, dunque, di cui la stele del re Get è squisita e sapientetestimonianza: si osservi nell‟immagine sottostante come la mediana della stele scandisca il ritmodelle colonne secondo un ritmo armonico d‟ottava,o1:2. In realtà il modulo che informa la stele nonè aureo, ma deriva da un processo chiamato dinamizzazione del quadrato: proiettando la suadiagonale si ottiene un rettangolo il cui lato maggiore è pari alla diagonale del quadrato originario.Questo processo, che può essere ripetuto ottenendo rettangoli in radice di 2, 3, 4, è tipico degliavori tardo romani, dei fregi bizantini e delle composizioni medievali. La stele di Get ci offredunque un precedente storico di rilevante interesse. Si tratta di una composizione i cui rapportivengono tutti stabiliti mediante archi di cerchio e proiezioni dei loro raggi. Tuttavia anche laproporzione aurea vi svolge un ruolo non secondario: sia nell‟assetto di Horus che nel rettangolo delPalazzo; il rettangolo in cui ondeggia il serpente è in rapporto aureo col quadrato costituito dalpalazzo: il re è la parte „aurea‟ della terra regale; agli Egizi non sfuggivano le proprietà correlatealla Sezione Aurea: fattore costante e armonico di crescita.Ciò significa dunque che l‟arte egizia già padroneggiacon eleganza sistemi compositivi piuttosto articolati,capaci di armonizzare le proporzioni dinamiche con leauree e con le armoniche. Cosa tutt‟altro che semplice sesi considera che le proporzioni auree e dinamiche sonoirrazionali, governate cioè da numeri infinitesimali,mentre le armoniche sono razionali, basate invece sunumeri interi.Tra gli aspetti peculiari della stelel‟equilibrio dinamico, ottenuto attraverso il sapientespostamento dell‟asse della composizione; il rapporto tramicro e macrocosmo, tra cielo e terra, sottolineatodall‟uso di rettangoli di medesime proporzioni per lastele e il palazzo del re; la sorprendente derivazione delrettangolo che circoscrive il Palazzo e il Re da dueintersezioni apparentemente secondarie, che nondimenodobbiamo considerare come «emanazioni» di Horus;infine l‟uso della «tavola tripartita», ancor oggi gioiellodel Maestro nella massoneria simbolica: segnoinequivocabile che per millenni è stato uno dei segretidel mestiere. Quando ancora il mestiere era mysterium.L‟anonimo scultore egizio che scolpì la stele del Re Get è partito, come è frequente nei secolisuccessivi, da un quadrato. I modi di costruzione regolare del quadrato utilizzati sono in genere due:la sua inscrizione in un cerchio, o il suo sviluppo a partire da un lato. In questo caso è probabile chele dimensioni della stele abbiano indotto a costruirlo dal lato CD. Proiettati due archi di cerchio conraggio pari a CD, e due verticali da C e D, si determinano i punti A e B. Il formato della stele risultada una dinamizzazione di questo quadrato originario ABCD: puntando il compasso in C e D conraggio CA e DB si determinano i punti F ed E di un rettangolo in radice di 2 (d‟ora in poi V2): seassumiamo che il quadrato abbia misura 1, la sua diagonale, per il teorema di Pitagora, sarà pari aV2 . Poiché il rettangolo EFCD ha come lato minore quello del quadrato, e come maggiore laproiezione della diagonale, è detto rettangolo V2.Dal rettangolo EFCD lo scultore ha proiettato le diagonali CE e DF, ottenendo l‟intersezione G chefissa l‟altezza della stele. È molto probabile che lo scultore si sia avvalso anche della sezione aurea.In questo caso, puntato il compasso sulle mediane M ed N del quadrato ABCD con raggio NA eMB, ha ottenuto i punti H e I. Si noterà che l‟intersezione degli archi AI e BH, il punto L, è statoproiettato su IC ottenendo il punto S, che funge da base per l‟arco di chiusura della stele. L‟arco AIdetermina l‟altezza di Horus, e la diagonale CA l‟estremo per la coda. Sull‟asse LS è impostato il

suo vigile occhio. Le zampe si stringono tra la mediana GP e la sezione aurea QR. Per determinarequesta misura lo scultore, dal rettangolo aureo HICD, puntato il compasso con raggio HA, haottenuto il punto Q e quindi il quadrato aureo HQRA (è «aureo» perché è in proporzioni auree con ilquadrato maggiore ABCD).Sorprendente è il sistema d‟individuazione delrettangolo, su cui poggia Horus, con il Palazzo Reale e ilserpente. Dall‟intersezione dell‟arco BE con la diagonaleDF del rettangolo V2, lo scultore ha tratto il punto H, e ilpunto I dalla intersezione dell‟altra diagonale CE con illato AB del quadrato di base. H e I, proiettati su CD,determinano i punti M ed N dai quali lo scultore haricavato il quadrato STMN. Questo quadrato è statodinamizzato col medesimo sistema: puntando su M ed Ncon raggio MS ed NT, ha ottenuto il rettangolo V2UVMN. Quindi con le diagonali MU ed NV hadeterminato il rettangolo XYMN V3 che circoscrivePalazzo e Re. Sull‟asse UV del rettangolo V2 è statoimpostato il serpente. L‟analogia non è casuale: sia ilglifo del re Get, rappresentato dal serpente, sia Horus,suo omologo celeste, sono impostati sul rettangolo V2.La corrispondenza tra cielo e terra non potrebbe esserepiù netta. Lo scultore utilizza anche la «tavolatripartita», ovvero il sistema di divisione tripartito deilati d‟un quadrato che genera una scacchiera di novecaselle.Il quadrato minore ABCD, diviso dalle due diagonali CA e DB, viene scandito dalle oblique checongiungono l‟angolo con la mediana del lato opposto, come per esempio BE ed EC. L‟intersezionedi queste oblique con le due diagonali consente di individuare quattro punti che possono essereattraversati da due coppie di segmenti paralleli. In questo caso ci siamo limitati a segnare le dueparallele verticali e l‟orizzontale superiore. Su questa s‟arrestano gli sgusci delle colonne, mentre ledue verticali vengono usate per scandire il ritmo delle tre colonne. L‟ampiezza della maggiore è parial terzo centrale del quadrato ABCD.I GRECII Greci apprezzavano il rettangolo aureo per le sue proporzioni perfette e caratteri magici in quantoriproducibile geometricamente un' infinità di volte (illuminante esempio di questa proprietà delrapporto aureo è la stella a cinque punte che ebbe grande successo tra i Pitagorici). Questo principiomatematico di bellezza, riflette appieno la genialità dello spirito greco che caratterizza gran partedelle opere scultoree del periodo classico.

FIDIA E IL PARTENONEFra gli artisti chiamati da Pericle ai lavori pubblici,Fidia,figlio di Carmide, scultore ingegnere architetto genioartistico fra i più completi è quello di maggiore prestigio. Lasua gloria è affidata al Partenone, il tempio di Atena erettocon la sua collaborazione, da Ictino e Callicrate. L'edificioancora conserva, nonostante le distruzioni e le spoliazioni,tutto il fascino che gli viene da una struttura equilibrata eproporzionata, in un miracoloso accordo di misuregeometriche esatte e di un'ispirazione libera da regole fisse,viva, naturale. E' come se l'architettura si tramutasse inscultura per variare armoniosamente di effetti con il variaredella luce. E ciò appunto è il messaggio e la conquista dellospirito Greco: armonia del vero e dell'ideale, di ciò che èmomentaneo e di ciò che dura, del senso e dello spirito; leemozioni e i sentimenti vivono e mantengono il loro valoreaccanto al valore immortale della ragione e dell'idea. IlPartenone il più celebre monumento dell'architettura Ellenicacontiene molti rettangoli aurei e le stesse proporzioni auree siriscontrano nelle statue in esso presenti. Esempiosignificativo sono le Korai dell'Eritteo.IL CANONE DI POLICLETOPolicleto, indicò come ideale supremo da perseguire la simmetria anatomica della figura umana,maschile e femminile, equilibrata nelle sue parti. Ignorando la lezione di Fidia e l'intensa caricaemotiva espressa dalla sua opera,egli scrisse addirittura un canone in cui dava le misure perfette eassolute della figura umana: questa era concepita salda , atletica, armoniosa, con la testa piccola e lafronte larga, nella ricerca geometrica strutturale per la resa delle parti del corpo, vincolate tra loroda un rapporto dimensionale e di simmetria: la metà del corpo deve essere nell‟attacco delle gambe,il piede è un settimo della lunghezza del corpo, la testa un‟ ottavo, e la faccia un decimo. Il risultato,dice in un frammento rimasto di quest‟ opera letteraria Policleto, dipende da una piccolezzadecisiva in mezzo ai rapporti di proporzione.La statuaria antica risente dell'influsso di questi grandi maestri, tenendo sempre maggiormenteall'equilibrio perfetto e inalterabile di ogni composizione. La sezione aurea riconosciuta come unrapporto esteticamente piacevole è stata usata come base per la composizione di quadri o dielementi architettonici. In realtà è dimostrato che la percezione umana mostra una naturalepreferenza e predisposizione verso le proporzioni in accordo con la sezione aurea; gli artistitenderebbero dunque, quasi inconsciamente, a disporrre gli elementi di una composizione in base atali rapporti.Gli artisti e i matematici del Rinascimento tra cui Leonardo da Vinci, Piero dellaFrancesca, Bernardino Luini e Sandro Botticelli rimasero molto affascinati dalla sezione aurea.Allora essa era conosciuta come divina proportione e veniva considerata quasi la chiave misticadell‟armonia nelle arti e nelle scienze.De divina proportione è anche il titolo del trattato redatto dal matematico rinascimentale LucaPacioli e illustrato da sessanta disegni di Leonardo da Vinci (1452-1519).Questo libro è statopubblicato nel 1509 ed influenzò notevolmente gli artisti ed architetti del tempo, ma anche delle

epoche successive. In questo trattato Pacioli ricercò nella proporzione dei numeri i principiispiratori in architettura, scienza e natura: la regola aurea introdotta fu in seguito chiamata praxisitalica. L‟aggettivo divina si giustifica perché essa ha diversi caratteri che appartengono alladivinità: è unica nel suo genere, è trina perché abbraccia tre termini, indefinibile in quanto èirrazionale, è invariabile. Utilizzando la sezione aurea nei suoi dipinti Leonardo inoltre scoprì che,guardando le opere, si poteva creare un sentimento di ordine. In particolare Leonardo incorporò ilrapporto aureo in tre dei suoi capolavori: La Gioconda, L’ultima cena e L'Uomo di Vitruvio.LA SEZIONE AUREA E L’ARTE MODERNALa sezione aurea vanta grande importanza anche nell‟ambito artistico: indipendentemente dallaconsapevolezza della sua presenza all‟interno di un‟opera d‟arte, infatti, è stato scientificamenteprovato che dipinti nei quali essa sia presente suscitano nell‟osservatore un immediato senso diarmonia, di regolarità, di equilibrio. Il “gioiello della geometria”, insomma, sarebbe particolarmentegradito all‟occhio umano, ancor prima che chi contempla l‟opera si renda effettivamente conto dellasua struttura.Molti artisti, nel corso della storia, sono stati consapevoli delle potenzialità derivatedall‟applicazione della “proporzione divina” nelle loro opere e, affascinati da essa, l‟hanno studiatacon passione e inserita fedelmente in quelli che sono divenuti veri e propri capolavori.Nella nostra trattazione citeremo solo qualche esempio tra i più significativi, concentrandocisull‟arte moderna: essa, infatti, ha avuto come obiettivi principali- la collaborazione fra le varie forme dell‟arte (pittura, scultura, architettura)- la fusione di arte e scienza (dunque anche di arte e geometria)e, in questo senso, ha “aperto la via” all‟arte contemporanea.Rappresentativi, a tal proposito, sono:- G. P. Seurat, esponente del Pointillisme (o Divisionismo)- P. Mondrian e T. Van Doesburg, aderenti al cosiddetto De Stijl- J. Itten e P. Klee nel Bauhaus- J. Villon e J. Gris nel movimento della “Section d’Or”- S. Dalì, uno dei maggiori pittori del Surrealismo- G. Severini nel Futurismo.IL POINTILLISME"Se scientificamente, con l'esperienza artistica ho potuto trovare le leggi dei colori pittorici, nonposso scoprire un sistema egualmente logico, scientifico e pittorico, che mi permette di concordarele linee del quadro verso l'armonia, come faccio per i colori?" (George Pierre Seurat, 1859-1891)Questa eloquente affermazione si deve a G. P. Seurat, il più noto esponente del pointillisme,movimento artistico che si sviluppa sulla scia impressionista nell‟ultimo ventennio dell‟Ottocento esi propone di applicare all‟arte un metodo scientifico che dia ordine razionale alle intuizioniimpressioniste sul rapporto luce-colore. In particolare, artisti come Seurat ritengono che non esistail “colore locale” bensì ogni colore, così come l‟occhio umano lo percepisce, sia il “prodotto”dell‟influenza dei colori vicini su quello di partenza: per questo motivo i colori non devono essere

mischiati, né sulla tavolozza né sulla tela, ma piuttosto accostati separatamente (sotto forma dipuntini o linguette) ai loro complementari così da esaltarsi a vicenda (“contrasto simultaneo”), inmodo che la “fusione” avvenga nella retina dell‟osservatore. Di qui il termine pointillisme, datradursi in italiano come “divisionismo” piuttosto che col termine “puntinismo”, giacché Seuratvoleva porre l‟accento sulla divisione dei colori più che sulla forma della pennellata.Il capolavoro di Seurat è senza dubbio Una domenica pomeriggio all’isola della Grande Jatte(1884-86). Soffermiamoci sulla struttura dell‟opera: le figure sembrano rigidi automi “congelati” inun‟atmosfera atemporale, in cui tutto è geometricamente calcolato. La tela è divisa esattamente ametà dalla donna con l‟ombrello rosso al centro. Ciascuna delle due metà che si vengono a creare,poi, è a sua volta divisa da una verticale secondo le norme della sezione aurea (v. figura), in mododa creare due settori medi proporzionali tra l‟intera metà e la sua parte rimanente.G. P. Seurat, Una domenica pomeriggio all’isola della Grande Jatte; 1884-1886; olio su tela; 2,05x3,08 m. Chicago,Art Institute.Anche in un altro quadro, La parade du cirq, Seurat utilizza vari rettangoli aurei, alcuni dei qualievidenziati in figura.

DE STIJL (1916-1927)De Stijl (che, in olandese, significa “Lo Stile”) è il nome di una rivista fondata dall‟architettoolandese Theo Van Doesburg e pubblicata dal 1917 fino al 1932 (anno successivo alla morte diVan Doesburg stesso). Per estensione esso indica gli artisti riunitisi intorno alla rivista (anche se,effettivamente, si può collocare l‟esperienza del movimento tra il 1916 e il ‟27).Nel “Manifesto” del movimento, pubblicato nel 1918, venivano esposti gli obiettivi principali degliaderenti: la ricerca di un rapporto equilibrato tra l‟universale e il particolare e la collaborazione trale varie forme dell‟arte. L‟attività del De Stijl, fondamentale per lo sviluppo dell‟architetturamoderna, è caratterizzata in particolare dall‟uso di forme elementari e colori primari.Piet Mondrian (1872-1944) fu senz‟altro uno dei principali esponenti del movimento. Mondrianutilizzò spesso la “proporzione divina” nella ricerca di equilibrio all‟interno della composizione:esempio significativo è senza dubbio “Losanga con piani ocra e grigi” (1919), dove vari rettangoliaurei si intrecciano entro i confini di una losanga (v. figura1) e Composition (v. figura 2), doverettangoli aurei di diversi colori sono accostati in modo da esaltarsi reciprocamente e racchiusi dauna marcata linea di contorno.FIGURA 1: Losanga con piani ocra e grigi (1919; Otterlo - Rijksmuseum kroller-Müller)

FIGURA 2: P. Mondrian, Composition.Lo stesso Van Doesburg utilizza rapporti aurei con gli stessi scopi di Mondrian, ad esempio neidisegni e nella realizzazione di alcuni ambienti del Café Aubette a Strasburgo (1927, v. figuresottostanti).BAUHAUS (1919-1933)“Diamo vita tutti assieme alla nuova costruzione del futuro in cui tutto - architettura, scultura epittura - sarà destinato a fondersi ”. (Walter Gropius)“Le forme hanno non di meno in ultima analisi una grande e precisa relazione tra loro. Infine, anchequesta relazione è esprimibile in forma matematica, benché in questo caso si operi più con numeriirregolari che con numeri regolari. Come ultima espressione astratta rimane in ogni arte il numero”.(Wassily Kandinsky)Il Bauhaus (bau-haus, “casa dell‟edilizia”) è stato una scuola d‟arte fondata a Weimar nel 1919dall‟architetto Walter Gropius e chiusa a Berlino, dove si era trasferita, nel 1933.Il programma del Bauhaus si proponeva come obiettivo fondamentale l‟unità tra arte e tecnica. Tra idocenti della scuola vi furono W. Kandinsky, P. Klee e J. Itten

J. Itten (1888-1967), nel suo corso di “teoria del colore”, proponeva accostamenti cromaticidisposti secondo schemi compositivi geometrici. Un esempio in questo senso si ha nello Studio diproprietà cromatiche rosso-bianco-nero, di un suo allievo (Ludwig Hirschfeld-Mack): vi sonopresentate suddivisioni dello spazio secondo la tripartizione (colonna n°1), la progressionearitmetica (colonna n°2), la progressione geometrica (colonna n°3), la sezione aurea (colonna n°4).Ludwig Hirschfeld-Mack, Studio di proprietà cromatiche rosso-bianco-nero.Itten era molto interessato alla matematica e alle scienze naturali. Tra i risultati dei suoi studi spiccala Torre del Fuoco, un‟opera dal valore simbolico originariamente collocata di fronte al suo atelier(a Weimar) e, purtroppo, andata distrutta nel 1920: essa consisteva in una spirale logaritmicatridimensionale analoga alla conchiglia del Telescoptum (v. figura sottostante, che rende l‟idea dicome dovesse essere) e conciliava arte, matematica e natura.Altra opera significativa di Itten è L’incontro (1916): sulla tela due spirali auree si incontrano e siintrecciano.

J. Itten, L’incontro; 1916.Paul Klee (1878-1940) fu una delle personalità di spicco all‟interno del Bauhaus: nelle sue opereegli ricercava la struttura primordiale delle cose, la loro essenza, che esprimeva attraverso formegeometriche e colori primari (per questo anch‟egli applicò la sezione aurea in molti dei suoi lavori).Nell‟opera Constructiv-Impressiv (1927), per dare ritmo e movimento alla composizione, Kleericorre a quadrilateri animati attraverso la distribuzione del colore. Alcuni tra questi sono rettangoliaurei.P. Klee, Constructiv-Impressiv; 1927; Berna – Kunstmuseum.LA “SECTION D’OR”La “Section d‟Or” (nome molto eloquente) è un movimento creato nel1912 da un gruppo di giovani cubisti che criticava i maestri Picasso e Braque per una presuntastaticità e mancanza di colore nelle loro opere e voleva conferire all‟arte un significato scientifico euna base razionale più evidenti.All‟interno del movimento sottolineiamo la presenza dei fratelli Villon (Jaques Villon, MarcelDuchamp, Raymond Duchamp - Villon) e dello spagnolo Juan Gris. Tra l‟altro il nome del grupposi deve proprio al primo dei fratelli Villon ed è dovuto al forte interesse di questi artisti per lamatematica.

IL SURREALISMOIl surrealismo è un movimento nato nel 1924 (anno di pubblicazione del primo manifesto ad operadi André Breton): esso si proponeva di esprimere l‟ “io” interiore in piena libertà, senza l‟interventodella ragione, che, mettendo in atto meccanismi inibitori dovuti all‟insegnamento che riceve findalla nascita, condiziona l‟uomo, obbligandolo a reprimere istinti e sentimenti, a nasconderliseppellendoli nel profondo di se stesso, finendo per apparire proprio come la società costituita vuoleche egli sia. Per raggiungere questa totale libertà, secondo i surrealisti bisognava lasciarsi guidaredall‟inconscio.Tra gli esponenti principali ricordiamo Salvador Dalì (1904-1989). La sua arte si caratterizza per ilfatto che egli tendeva a rappresentare con minuzia quasi ossessiva ogni oggetto entro spazi conclusidalla linea dell‟orizzonte. Inoltre, invece che inventare forme nuove, il pittore preferiva comporreimmagini reali spesso deformandole in posizioni irreali: egli si poneva, dunque, in netta antitesi conl‟astrattismo, soprattutto con quello geometrico, razionale, neoplatonico di Mondrian, oppostoall‟irrazionalismo esasperato dei surrealisti (anche se i due pittori, pur così diversi, trovano un puntodi contatto nell‟applicazione della sezione aurea in alcune delle loro opere).Tra le opere di Dalì segnaliamo L’ultima cena, in cui la composizione è racchiusa in un rettangoloaureo e sovrastata da un grande dodecaedro che, con le sue facce pentagonali, richiama la sezioneaurea.S. Dalì, L'Ultima cena; Washington, National Gallery of Art.IL FUTURISMO“La composizione poggia su tutte le nozioni geometriche e matematiche del pittore ch‟egli puòapplicare con una varietà infinita.”“L‟Arte non è altro che la scienza umanizzata.”“Il numero è come un principio d‟armonia nascosto nelle cose.”Del Futurismo prendiamo in considerazione solo Gino Severini (1883-1966), fra gli esponenti piùrilevanti. Egli nel 1910 firmò il primo “Manifesto della cultura futurista” e scrisse molti articoli neiquali rivelava il proprio interesse per lo studio delle relazioni esistenti tra musica e arte, entrambearmonizzate da numeri e rapporti.

Significativa è la sua opera Corrispondenza tra musica e colore (1919, v. figura sottostante), chepresenta un rettangolo aureo costituito da 16 rettangoli aurei più piccoli di vari colori associati allenote musicali.G. Severini, Corrispondenza tra musica e colore; 1919.Ancora, in Maternità (1919), quale spiegazione migliore se non quella data dallo stesso Severini?“Per collocare la tenda ho diviso il lato superiore della tela secondo la „Sezione aurea‟ e laampiezza della finestra è determinata secondo una uguale proporzionalità tra lato minore e latomaggiore”.G. Severini, Maternità;1919.Concludiamo, sottolineando ancora una volta che l‟arte e le scienze non rappresentano due “mondidiversi e inconciliabili”, bensì sono unite da un sottile legame che solo pochi sanno cogliere (tra di

essi gli artisti sopra citati): a tal proposito, ci sembra “illuminante” questo passo, tratto da unoscritto di Severini stesso, La Divina Proporzione ed altri rapporti d’armonia nelle arti (1941):“In tutte le epoche d‟arte veramente grandi, vedremo usare, o riportare in uso, le forme semplicidella geometria; poiché il corpo dell‟opera d‟arte, la sua struttura interna, non può basarsi che suqueste forme primarie eterne che fanno scaturire in tutti gli uomini, con variazioni minime, unordine di sensazioni primarie costanti e invarianti.Infatti il quadrato, p. e., darà sempre la sensazione della stabilità, mentre la circonferenza quelladella continuità indefinita. Una linea retta orizzontale darà l‟impressione del movimento continuo ecalmo, una linea spezzata conduce al movimento discontinuo e al ritmo.A queste forme semplici si devono aggiungere delle forme secondarie e derivate, e dall‟unione diforme primarie e di forme secondarie scaturisce tutto un gioco di sensazioni costanti, sempre inaccordo con la proprietà e il carattere delle suddette forme, che così quasi automaticamenteconducono alla sinfonia, al monumento, alla statua o al quadro.Si sa quanto nella pratica delle arti sia importante il metodo, perciò m‟interessai un tempo, in modoparticolare, di trovare nell‟esempio dei nostri maestri, la chiave, per così dire, dei metodi da loroadottati. Ed anche questa investigazione ci conduce naturalmente allo studio delle forme semplici,al modo di dividere le superfici, e prima di tutto ai bei rapporti, e alle belle proporzioni, tra le qualiuniversalmente conosciuta per le sue qualità proprie e per le sue applicazioni nel dominio delle artiè certo quella della sezione aurea.”LASEZIONE AUREA IN BOTANICADue scienziati, Von Ettingshausen e Prokorni, hanno trasferito il metodo Fibonacci in botanica;dato che la crescita delle piante avviene mediante il processo di divisione cellulare, le dimensionifondamentali delle piante di diverse età negli stessi periodi dell'anno devono assolutamentemanifestarsi attraverso tale successione. Infatti ritroviamo questa serie quando misuriamo lo stelo diuna pianta da un germoglio all'altro e durante la sua crescita. Questi esempi di sezione aurea sonoriscontrabili nelle foglie di finocchio, pioppo e rosa. Le lunghezze degli assi laterali di un "piumino"(si chiama così qualsiasi pianta rappresentabile schematicamente) sono fra loro in rapporto aureocome i numeri della successione di Fibonacci; inoltre questi assi laterali sono disposti ad elicaattorno al fusto e la loro proiezione su un piano forma una spirale logaritmica. Troviamo un altroesempio nel girasole, dove si distinguono chiaramente due famiglie di spirali dirette in sensoopposto che dal centro dell'apice si dirigono dove nascono i petali. Le piccole protuberanze chetracciano questo disegno sono chiamate "primordi"; esse spuntano dall'apice e, durante la crescitadella pianta, migrano verso destra dando vita ad un petalo o ad una foglia. Se consideriamo unaspirale molto stretta e tracciamo su di essa punti successivi separati da un angolo di 137° circa,otteniamo due famiglie di spirali orientate in direzione opposta. Grazie alla relazione che intercorretra l'angolo scelto, la sezione aurea e i numeri di Fibonacci, il numero dei raggi delle due famiglie dispirali è dato da due numeri consecutivi della serie di Fibonacci. Quindi, numerando in ordinecronologico i primordi di un girasole, è possibile osservare che essi si dispongono lungo una spiralestretta e che la distanza che li separa è di circa 137°.Il fondatore della statistica delle frequenze Lambert A.J. Quetelet trattò approfonditamente il temadelle proporzioni dell'uomo e misurando un dato numero di europei di statura normale capì che lalunghezza totale del corpo umano viene divisa dalla vita secondo la proporzione aurea. Tenendo lemani e le braccia pendenti si può osservare che la punta del dito medio divide a sua volta lalunghezza totale determinando nuovamente una sezione aurea. Per finire si può notare che le spalle

e i genitali dividono la lunghezza totale del corpo in tre parti e che il loro rapporto è 3:5:8. Comeabbiamo già accennato prima, questi dati sono riscontrabili anche nelle affermazioni degli antichigreci i quali ritenevano che nell'uomo perfetto la lunghezza complessiva del corpo viene divisa daifianchi seguendo le proporzioni della sezione aurea. La distanza tra la laringe e i genitali vienedivisa dall'ombelico secondo un rapporto aureo, così come quella tra la testa e l'ombelico divisadalla laringe. Questi ultimi sono riscontrabili anche nella distanza tra le spalle e il dito medioquando viene divisa dal polso e anche nella distanza tra il punto della circonferenza massima dellacoscia e la pianta dei piedi quando viene divisa dal ginocchio. Infine il rapporto aureo si ritrovaanche nel capo: la fronte divide l'altezza totale secondo tale rapporto così come la bocca divide laparte inferiore del viso.Negli oggetti quotidiani, possiamo trovare alcuni esempi di sezione aurea:dalle schede telefonichealle carte di credito e bancomat, dalle carte SIM dei cellulari alle musicassette: sono tutti rettangoliaurei con un rapporto tra base ed altezza pari a 1,618. Il Ventesimo Secolo ha determinato unaramificazione capillare su tutto lo scibile umano della sezione aurea e dei rapporti ad essariconducibili, affermandosi anche nella più blanda quotidianità: la forma totale delle barrette dicioccolato Kit Kat, ad esempio, è un rettangolo, così come le carte di credito Visa e Mastercard. Ilsecolo scorso, inoltre, grazie alle nuove tecnologie, ha portato a compiere studi sempre piùcomplessi in merito al numero d‟oro, tra cui il più preciso calcolo del valore di φ effettuatodall‟americano David Johnson con il calcolatore Transac S-2000: egli ha calcolato ben 2878 cifredecimali del numero d‟oro, notando che tra le prime 500 ricorre l‟insolita sequenza 177111777.A partire dal 1927, Ralph Nelson Elliott, ingegnere americano, si dedicò allo studio degli andamentidei mercati mobiliari dal 1850 in poi, formulando, sulla base della serie di Fibonacci un possibileschema di andamento aureo degli indici borsistici. Tale teoria trova ancora oggi svariati riscontritangibili in borsa ed avrebbe potuto essere praticamente generalizzabile se Elliott avesse basato levariazioni dei valori non solo sulle reazioni umane agli eventi politici, ma sugli eventi stessi. Uncomplesso studio relativo ai videogiochi ha fatto emergere la bizzarra teoria secondo la quale unvideogioco sarebbe tanto più longevo quanto più il rapporto tra il suo coefficiente di ludicità equello di sviluppo tecnico (entrambi assegnati tramite canoni ben definiti) si avvicina a φ .Una recente ricerca anatomica ha invece rivelato la strutturazione a nautilus dell‟organo di Corti(coclea) nell‟apparato uditivo umano: da ciò si è dedotto che, come la selezione dei suoni nel nostroorecchio avviene secondo canoni aurei, anche la progettazione di alcuni strumenti musicali e canned‟organo, che si basa sulla nostra anatomia, segue gli stessi principi. Anche i megaliti diStonehenge, secondo gli attuali sostenitori del numero d‟oro come unità del mondo, sarebberoespressioni di divina proporzione: i due cerchi di pietre azzurre e sarsen sarebbero tra loro inrapporto molto vicino a φ. Allo stesso modo, alcuni cartografi, probabilmente studiosi di sezioneaurea, ritengono voluta la presenza di un rettangolo aureo unito ad un segmento aureo nellasuperficie della Centurazione Cesenate Romana. Uno studioso inglese nostro contemporaneo haosservato che il seno dell‟angolo di 666°, numero comunemente associato al maligno, è uguale a -0,8090169, che è esattamente la metà del negativo di φ , altrimenti detto “antiphi”: considerando ilnumero d‟oro come espressione di una proporzione divina, la matematica confermerebbe la valenzadiabolica di questo numero.La smania di conoscenze relative a quello che Luca Pacioli ed Albrecht Dürer hanno definito“l‟elemento proporzionale analogico tra la figura umana e la natura soggettiva” è ancora oggi moltoforte e gli studi che ne conseguono portano ogni giorno a nuove scoperte, ultima delle quali,risalente ad alcuni mesi fa, quella relativa alla presenza di φ nei quasi-cristalli, strani materialiindividuati nell‟ultimo ventennio dall‟ingegnere israeliano Dany Schectman. Sicuramente l‟utopiadel numero d‟oro come unità naturale del mondo non avrà mai riscontro matematico, ma è

altrettanto certo che l‟evoluzione lunga miliardi di anni, di cui la natura è stata protagonista, haportato allo sviluppo in più ambiti di alcune costanti (come φ), che rivelano come la matematica sial‟unica via che conduce alla perfezione La sezione aurea non è evidente solo nell'uomo, ma doponumerosi studi si ha la certezza che moltissimi animali rispettano le sue proporzioni ( le farfalle, ipesci, le stelle e i ricci di mare ) ed è incredibile come in alcune conchiglie sia possibile trovarespirali ottenibili da una successione infinita di rettangoli aurei. Un particolare esempio ci è dato daalcuni insetti che, a causa della struttura dei loro occhi, non hanno una visione frontale, macamminano seguendo un certo angolo che li porta a formare un cammino a spirale. Nelle conchiglienon c'è nessuna legge particolare di accrescimento, se non quella di crescere secondo le stesseproporzioni, per questo aumenta in grandezza, ma non cambia forma. La spirale logaritmicacaratterizza i tessuti morti come le corna o le conchiglie, per cui è sempre accompagnata da segni diaccrescimento che segnano le varie fasi di crescita. Un particolare tipo di crescita è lo" gnomone ", scoperto in matematica, che consiste nell'aggiungere a una qualsiasi figura un'altrafigura che conservi la similitudine tra la figura finale e quella iniziale.Riportiamo qui di seguito alcune proposizioni relative alla sezione aurea di Luca Pacioli:Del titolo che conviene al presente trattato o compendio:Mi sembra, o Eccelso Duca (di Milano), che il titolo conveniente al nostro trattato debba essereLa Divina Proporzione, e questo a causa del gran numero di somiglianze che trovo in questanostra proporzione, di cui si tratta in questo utilissimo discorso, che se sembrano effettivamentecorrispondere a Dio. Per il nostro proposito sarà sufficiente considerarne 4, tra le tante.La prima è che essa è una e non più, e non è possibile assegnarle altre specie o differenze. Taleunità è il supremo attributo di Dio stesso, secondo ogni scuola teologica e filosofica.La seconda è che la Santa Trinità, poiché, come nel Divino vi è una sostanza in tre persone,Padre, Figlio e Spirito Santo, allo stesso modo una stessa proporzione si incontrerà sempre tratre termini, mai di più o di meno, come poi si vedrà.La terza è che, così come Dio non può propriamente essere definito né compreso da noiattraverso le parole, la nostra proporzione non può essere determinata attraverso un numerointelligibile né espresso attraverso alcuna quantità razionale, rimanendo sempre occulta esegreta, così da essere chiamata irrazionale dai matematici.La quarta consiste nel fatto che, come Dio non può mutare permanendo in tutta la sua identità etutto in ogni sua parte, in ugual maniera la nostra proporzione è sempre in ogni quantitàcontinua o discreta, grande o piccola, la stessa è sempre invariabile, in alcun modo può cambiaree in nessun altro modo il nostro intelletto può apprenderla, come sarà dimostrato nella nostraesposizione.RELATORI ALUNNI: Flavia Alfonsi, Luigi Alfonsi, Emanuela Ferrara, Silvia Pigozzi, MonicaMuzzì, Francesco Anzuini, Paolo Tollis, Margherita Pizzi, Federico Rossi.Prof.ssa Giovanna Dell‟Ovo