Frazioni continue e sezione aurea

Sviluppo in frazione continua di un numero realeRidotte di una frazione continua e proprietàNumero aureoTeorema di HurwitzUNIVERSITÁ DEGLI STUDI DI FIRENZEFACOLTÁ DI SCIENZE M.F.NAnno accademico 2006/2007Tesina per la laurea triennale in Matematicadi Nadia RicchettiFrazioni continue e sezione aurearelatore: Prof. Giorgio OttavianiNadia RicchettiFrazioni continue e sezione aurea

Sviluppo in frazione continua di un numero realeRidotte di una frazione continua e proprietàNumero aureoTeorema di HurwitzPonendo α = a ′ 1 , deniamo a 1 = ⌊α⌋, la parte intera di α. Perciò si ha cheα = a 1 + r 1 .Se r 1 ≠ 0, allora il resto r 1 è compreso fra 0 e 1 (esclusi), cioè sarà del tipor 1 = 1 , con a ′ a ′ 2 > 1; quindi, denendo a 2 = ⌊a ′ 2⌋, possiamo scrivere2a ′ 2 = a 2 + r 2 .In generale se r i−1 ≠ 0, allora r i = 1 , con a ′ a ′ i> 1; ponendo dunqueia i = ⌊a ′ ⌋, per r i i = a ′ − a i i ≠ 0 prenderemo a ′ = 1i+1, in modo daa ′ −a i iscrivere a ′ inella formaa ′ i= a i + 1a ′ i+1.Nadia RicchettiFrazioni continue e sezione aurea

Sviluppo in frazione continua di un numero realeRidotte di una frazione continua e proprietàNumero aureoTeorema di HurwitzQuindi lo sviluppo di α in frazione continua sarà:che denotiamo anche1α = a 1 +, a1i ≥ 1, ∀i > 1a 2 +a 3 + 1. ..α = [a 1 , a 2 , a 3 , . . .] = [ a 1 , a 2 , a 3 , . . . , a i , a ′ i+1],dove gli a i sono detti quozienti parziali e a ′ i+1 = [a i+1, a i+2 , a i+3 , . . .] èdetto quoziente completo dello sviluppo di α.Nadia RicchettiFrazioni continue e sezione aurea

Sviluppo in frazione continua di un numero realeRidotte di una frazione continua e proprietàNumero aureoTeorema di HurwitzDenizioneSia [ a 1 , a 2 , a 3 , . . . , a i , a ′ i+1]lo sviluppo di α ∈ R. Si denisce ridotta oconvergente i-sima ad α la frazioneOvvero si avranno:c i = p iq i= [a 1 , a 2 , a 3 , . . . , a i ] , ∀i ≥ 1.c 1 = a 1 , c 2 = a 1 + 1 1, c 3 = a 1 +a 2a 2 + 1 , . . .a 3Nadia RicchettiFrazioni continue e sezione aurea

Sviluppo in frazione continua di un numero realeRidotte di una frazione continua e proprietàNumero aureoTeorema di HurwitzTeoremaI[numeratori p i e i denominatori q i delle ridotte c i della frazione continuaa1 , a 2 , a 3 , . . . , a i , a ′ ]i+1 , soddisfano le uguaglianzep i = a i p i−1 + p i−2 , q i = a i q i−1 + q i−2 (∀ i ≥ 1), (1)dove abbiamo posto come valori inzialip −1 = 0 , p 0 = 1 , q −1 = 1 , q 0 = 0 .Se p i e q i soddisfano la (1), allora ∀i ≥ 0 valep i q i−1 − p i−1 q i = (−1) i .Inoltre numeratori e denominatori di ciascuna convergente sono ridotti aiminimi termini.Nadia RicchettiFrazioni continue e sezione aurea

Sviluppo in frazione continua di un numero realeRidotte di una frazione continua e proprietàNumero aureoTeorema di HurwitzOsservazionePossiamo scrivere α anche con la seguente notazione, che segue perinduzione usando il Teorema precedente:Teoremaα = a′ i+1 p i + p i−1a ′ i+1 q i + q i−1Sia α irrazionale e siano p iq ie p i+1q i+1due sue ridotte consecutive. Allora∀ i ≥ 2 vale la relazione12 q i+12 < ∣ ∣∣∣α − p iq i∣ ∣∣∣< 1q i2Nadia RicchettiFrazioni continue e sezione aurea

Sviluppo in frazione continua di un numero realeRidotte di una frazione continua e proprietàNumero aureoTeorema di HurwitzUtilizzando lo sviluppo in frazione continua, calcoliamo la radice positivadell'equazione x 2 = x + 1 :x = 1 + 1 x , x = 1 + 11 + 1 , . . .xTroviamo, così, lo sviluppo in frazione continua del numero aureo√5 + 11Φ = = 1 += [1, 1, 1, . . .] = [¯1]211 +1 + 1. ..Nadia RicchettiFrazioni continue e sezione aurea

Sviluppo in frazione continua di un numero realeRidotte di una frazione continua e proprietàNumero aureoTeorema di HurwitzNumeri di FibonacciF 1 = 1 = F 2F i = F i−1 + F i−2 , ∀ i > 2 .Le ridotte di φ sono:11 , 2 1 , 3 2 , 5 3 , 8 5 , 138 , 2113 , 3421 , 5534 , 8955 , 14489 , . . . .Ogni convergente è il rapporto di due numeri di Fibonacci consecutivi!Nadia RicchettiFrazioni continue e sezione aurea

Sviluppo in frazione continua di un numero realeRidotte di una frazione continua e proprietàNumero aureoTeorema di Hurwitz`Il numero aureo è l'irrazionale chesi approssima peggio' ?!!Nadia RicchettiFrazioni continue e sezione aurea

Sviluppo in frazione continua di un numero realeRidotte di una frazione continua e proprietàNumero aureoTeorema di HurwitzDenizioneDue numeri α e β si dicono equivalenti (α ≡ β) se∃ a,b,c,d ∈ Z tali cheTeoremaα = a β + bc β + d, con a d − b c = ±1.Due numeri α e β sono equivalenti se e solo seα = [a 1 , a 2 , . . . , a n , g 1 , g 2 , . . .] e β = [b 1 , b 2 , . . . , b m , g 1 , g 2 , . . .],cioè se i quozienti di α dopo l'n-simo coincidono con quelli di β dopol'm-simo.Nadia RicchettiFrazioni continue e sezione aurea

Sviluppo in frazione continua di un numero realeRidotte di una frazione continua e proprietàNumero aureoTeorema di HurwitzTeorema di Hurwitz (1891)Ogni irrazionale α ha una innità di approssimazioni razionali p qsoddisfano la disuguaglianza∣ α − p q ∣ < √ 1 .5 q2cheIl numero √ 5 è il migliore possibile: l'aermazione sarebbe falsa se a √ 5 sisostituisse un qualsiasi numero maggiore.Nadia RicchettiFrazioni continue e sezione aurea

Sviluppo in frazione continua di un numero realeRidotte di una frazione continua e proprietàNumero aureoTeorema di HurwitzTeorema√5−1Se α è diverso da ξ =2(o un suo equivalente), allora ammette inniteapprossimazioni razionali p qche soddisfano la disuguaglianza∣ α − p q ∣ < 12 √ 2 q 2Nadia RicchettiFrazioni continue e sezione aurea

Sviluppo in frazione continua di un numero realeRidotte di una frazione continua e proprietàNumero aureoTeorema di HurwitzJ.F.Koksma, Diophantische Approximationen, in Ergebnisse derMathematik und ihrer Grenzgebiete, Springer, Berlin 1936, pp.29 eseguenti.C.D. Olds, Frazioni continue, Zanichelli, Bologna 1968.G.H. Hardy, E.M. Wright, An introduction to the Theory of Numbers,Oxford University Press, Oxford 1979.M. Livio, La sezione aurea, Rizzoli, Milano 2003.M. Abate, Il Girasole di Fibonacci, convegno Matematica e Cultura,Venezia 2006, in Springer, 2006.N. Ricchetti, La Sezione Aurea, in Il Paradosso, Firenze 2006, pp. 4-7.Nadia RicchettiFrazioni continue e sezione aurea