Statica di un sistema di corpi rigidi - Università degli studi di Bergamo

Università degli Studi di BergamoCorso di Laurea in Ingegneria TessileCorso di Elementi di MeccanicaEsercitazione 2 - Statica di un sistema di corpi rigidiEsercizio n.1Calcolare il valore della distanza x alla quale deve essere posto il corpo di massa m perché lastruttura mostrata in figura 1.a sia in equilibrio. La struttura giace in un piano verticale.DAmBCMxlFigura 1.aAnalisi del sistemaLa struttura è composta da un’asta AC vincolata a terra nel punto A mediante una cerniera.L’asta è collegata nel punto C ad una fune che a sua volta si avvolge su di una puleggia, con centronel punto D, per poi connettersi ad un corpo sospeso di massa M. Un corpo di massa m èappoggiato all’asta nel punto B.Le ipotesi sulle quali si basa la risoluzione dell’esercizio sono che tutti i corpi siano rigidi, lafune sia inestensibile e che i vincoli siano ideali.L’asta AC è vincolata solo da una cerniera in A che constringe l’asta a ruotare attorno a quelpunto, lasciando così un grado di libertà all’asta stessa. Si dice quindi che l’asta è vincolata inmodo ipostatico.Sostituzione dei vincoli mediante corrispondenti reazioni vincolariIn questo esercizio alcuni corpi sono in contatto. Questo tipo di vincolo può essere sostituitocon una forza normale alle superfici a contatto (in assenza di attrito). La fune è un corpo che1

oppone resistenza solo ad azioni di trazione, per cui la reazione vincolare corrispondente saràdiretta come la fune stessa (T). Il sistema di corpi giace in un piano verticale, quindi i corpi dotatidi massa sono soggetti alla forza di gravità. In figura 1.b sono evidenziate le reazioni vincolari.mgVDDmBTTVBVBTTAHABCMVAMgFigura 1.bCalcolo delle reazioni vincolariAvendo individuato fondamentalmente quattro corpi (asta AC, corpo di massa m, puleggia,corpo di massa M), abbiamo a disposizione dodici equazioni cardinali della statica, tre per ognicorpo. Le incognite evidenziate in figura 1.b sono però meno, in quanto sulle due masse e sullapuleggia sono presenti solo forze dirette verticalmente.Per il corpo di massa m possiamo scrivereV B mg 0Per la puleggiaV D 2T 0Per il corpo di massa MT Mg 0Per l’asta AC2

H A 0V A V B T 0xV B lT 0Le equazioni possono essere raccolte in un unico sistemaV B mg 0V D 2T 0T Mg 0H A 0V A V B T 0xV B lT 0Il sistema è costituito da sei equazioni in sei incognite (H A , V A , V B , T, V D , x) che può essererisolto facilmente. Il risultato ottenuto èH A 0V A m MgV B mgT MgV D 2Mgx M m lSi conclude che l’unica posizione per la quale il sistema di figura 1.a sia in equilibrio è che ilcorpo di massa m sia posto a distanza pari a M m l dalla cerniera in A. 3

Esercizio n.2Calcolare le forze esercitate dai due corpi di masse m e M (e diametri d 1 e d 2 ) sulle pareti(liscie) del contenitore mostrato in figura 2.a. Il sistema di corpi giace in un piano verticale.CmDAMBlFigura 2.aAnalisi del sistemaIl sistema è formato da due corpi soggetti alla forza di gravità, a contatto con le pareti liscie diun contenitore. Nei punti di contatto, le forze che gli elementi si scambiano sono direttenormalmente alle superfici di contatto stesse.Sostituzione dei vincoli mediante corrispondenti reazioni vincolariIn figura 2.b sono evidenziate le reazioni vincolari.Calcolo delle reazioni vincolariPossiamo scrivere un sistema di equazioni di equilibrio per ciascun corpo appartenente alsistema. Per il corpo di massa m F H 0 F V 0R C cos H D 0R C sin mg 0dove l’angolo , definito come angolo tra la congiungente ai due centri delle circonferenze el’orizzontale, è stato calcolato come arccos l d 12 d 22d 1 d 22 2 arccos2ld 1 d 2 14

mgDCmHDRCRCAMgCHAMBVBFigura 2.bPer il corpo di massa M F H 0 F V 0H A R C cos 0V B R C sin Mg 0Le equazioni possono essere raccolte in un unico sistema che è costituito da quattro equazioniin quattro incognite (H A , V B , H D e R C ) che può essere risolto facilmente. Il risultato ottenuto èR C cos H D 0R C sin mg 0H A R C cos 0V B R C sin Mg 0H A mgtanV B M mgH D mgtanR C mgsinSoluzione del problema per via graficaLa soluzione al problema può essere affrontata anche per via grafica. Si può osservare infattiche il corpo di massa m è soggetto a tre forze concorrenti in un punto, che è il centro dellacirconferenza che delinea il profilo del corpo. E’ possibile quindi costruire il triangolo delle forze(come mostrato nel disegno a sinistra di figura 2.c) e ricavare il valore dei moduli di R C e H D comeR C mgsinH D mgtan5

αβRCmgRCRRVBαHDMgHAFigura 2.cCalcolati i vettori R C e H D si può procedere al calcolo delle altre reazioni vincolari. Le rette diazione della forza R C e della forza peso Mg passano entrambe per il centro della circonferenza equindi anche la loro risultante R che può essere trovata graficamente, come mostra il disegnocentrale di figura 2.c. Per ottenere analiticamente il modulo e la direzione del vettore R(individuabile mediante l’angolo )R Mg R C sin 2 R C cos 2 arctan Mg R C sinR Ccos Anche sul corpo di massa M sono applicate tre forze (H A , V B e R) le cui rette di applicazione siincontrano nel centro della circonferenza che descrive la geometria del corpo. Si procede quindi altracciamento del triangolo delle forze, come mostrato nel disegno a destra di figura 2.c. I valori deimoduli delle reazioni vincolari H A e V B si trovano medianteH A R cos V B R sin6

Esercizio n.3Calcolare le reazioni vincolari della struttura mostrata in figura 3.a.AhαB CD EP/2P= =lFigura 3.aAnalisi del sistemaLa struttura è composta da due aste AD e BE vincolate a terra da due cerniere nei punti A e Be collegate da una cerniera relativa nel punto D. La struttura è caricata da due forze applicate neipunti C ed E. Valgono le solite ipotesi secondo le quali le aste sono considerate rigide e i vincoliideali. La figura 3.b mostra la schematizzazione dei vincoli.AB C D EP/2 PAnalisi cinematica del corpoFigura 3.bLe cerniere nei punti A e B consentono alle travi di ruotare attorno a questi ultimi. La presenzadi una cerniera relativa posta in D elimina ogni grado di libertà rimasto alla struttura. D’altro cantoil conteggio dei gradi di libertà - gradi di vincolo dice che a 6 gradi di libertà delle due aste liberecorrispondono sei gradi di vincolo dovuti alle tre cerniere. Una struttura di questo tipo vienecomunemente chiamata arco a tre cerniere. La struttura è dunque isostatica.7

Sostituzione dei vincoli mediante corrispondenti reazioni vincolariIn figura 3.c sono evidenziate le reazioni vincolari.HAAVAHDDVDVDHBBCP/2DHDEPVBCalcolo delle reazioni vincolariLe reazioni vincolari incognite sono sei e sei sono le equazioni cardinali della statica chepossiamo scrivere per le due aste AD e BE. Raccogliendole tutte in un unico sistema di equazioniotteniamo F H AD 0 F V AD 0 M D AD 0 F H BE 0 F V BE 0 M A BE 0H A H D 0V A V D 0H D h htan V D 0H B H D 0V B P 2 V D P 0P2h2 tan V hDtan Pl 0il quale ammette come soluzione8

H A P 14 tan l hV A Ph l tan 1 4H B Ph l 14 tanV B P 3 4 h l tanH D Ph l 14 tanV D P 1 4 h l tanE’ possibile semplificare il sistema di equazioni facendo una considerazione iniziale. Scrivendoun’equazione di equilibrio dei momenti rispetto al punto D della sola asta AD si ottieneH A h htan V A 0V AH A tanovvero la reazione vincolare è diretta come mostrato in figura 3.dRAABCDEHBP/2PVBFigura 3.dGrazie a questa considerazione le incognite del sistema sono i moduli delle reazioni vincolariH B , V B e R A e tre equazioni cardinali della statica sono sufficienti per la soluzione del sistemadi equazioni F H 0 F V 0 M A 0R A cos H B 0R A sin V B P 2 P 0R A hcos P 2h2tan Pl 0il quale ammette come soluzione9

H B Ph l 14 tanV B P 3 4 h l tanR A Plhcos 14 sin10

Esercizio n.4Calcolare le reazioni vincolari per la struttura rappresentata in figura 4.a.CLADBP= =lFigura 4.aAnalisi del sistemaLa struttura è composta da due aste AB e BC vincolate a terra da due cerniere nei punti A e Be collegate da un pattino relativo nel punto D. La struttura è caricata da una forza applicata nelpunto D. Valgono le solite ipotesi secondo le quali le aste sono considerate rigide e i vincoli ideali.Le cerniere nei punti A e B consentono alle travi di ruotare attorno a questi ultimi. La presenzadi un pattino relativo in D elimina ogni grado di libertà rimasto alla struttura. D’altro canto ilconteggio dei gradi di libertà - gradi di vincolo mostra che a 6 gradi di libertà delle due aste liberecorrispondono sei gradi di vincolo dovuti alle due cerniere e al pattino. La struttura è dunqueisostatica.Sostituzione dei vincoli mediante corrispondenti reazioni vincolariIn figura 4.b sono evidenziate le reazioni vincolari.Calcolo delle reazioni vincolariLe reazioni vincolari incognite sono sei e sei sono le equazioni cardinali della statica chepossiamo scrivere per le due aste AD e BE. Raccogliendole tutte in un unico sistema di equazioniotteniamo11

VCHCCMBMBADBBHAPHBHBVAFigura 4.b F H AB 0 F V AB 0 M A AB 0 F H BC 0 F V BC 0 M B BC 0H A H B 0V A P 0M B P2 l 0H C H B 0V C 0H C L M B 0il quale ammette come soluzioneH A P l2LV A PH B P l2LM B P l 2H C P l2LV C 0Non è strettamente necessario calcolare le reazioni interne alla struttura per il calcolo dellereazioni vincolari a terra. Scrivendo un’equazione di equilibrio delle forze in direzione verticaledella sola asta AB è possibile trovare subito il valore della componente verticale della reazionevincolare V AV A P 0 V A PA questo punto le incognite rimaste sono tre e le equazioni cardinali della statica per l’interosistema sono sufficienti a risolvere il problema12

F H 0 F V 0 M A 0H A H C 0V A P V C 0P l 2 H CL V C l 0il quale ammette come soluzioneH A P l2LH C P l2LV C 0VCHCCADBHAPVAFigura 4.c13