TXlbj1

บทที่ 2เทคนิคการอินทิเกรตการอินทิเกรตฟังก์ชันต่าง ๆ มีความส าคัญมาก ดังจะเห็นได้ว่านักคณิตศาสตร์พยายามที่จะสร้างสูตรส าเร็จในการหาค่าอินทิกรัลของฟังก์ชันให้ได้มากที่สุดเท่าที่จะมากได้ เพื่อสะดวกต่อการน ามาใช้อย่างรวดเร็ว แต่ก็ไม่สามารถที่จะสร้างสูตรส าหรับฟังก์ชันทุกฟังก์ชันได้ ดังนั้นการหาวิธีการใหม่ ๆ หรือวิธีการที่แตกต่างกันออกไปเพื่อที่จะท าให้สามารถหาอินทิกรัลของฟังก์ชันนั้น ๆได้ ดังนั้นในบทนี้จะเป็นการใช้เทคนิคการอินทิเกรตรูปแบบต่าง ๆ ที่นิยม คือ การอินทิเกรตแบบแยกส่วน การอินทิเกรตฟังก์ชันตรีโกณมิติแบบต่าง ๆ การอินทิเกรตด้วยวิธีการแทนค่าด้วยฟังก์ชันตรีโกณมิติ การอินทิเกรตโดยแยกเป็นเศษส่วนย่อยและการอินทิเกรตด้วยวิธีอื่น ๆ นอกจากนี้ยังมีเนื้อหาเกี่ยวกับการหาค่าของอินทิกรัลไม่ตรงแบบด้วยและในการตรวจสอบความถูกต้องของค าตอบนั้น ผู้เรียนสามารถฝึกทักษะโดยการใช้โปรแกรมส าเร็จรูปทางคณิตศาสตร์หรืออาจจะใช้วิธีการหาอนุพันธ์ย้อนกลับก็ได้เช่นกัน2.1 การอินทิเกรตแบบแยกส่วนในการหาค่าอินทิกรัลไม่จ ากัดเขตของฟังก์ชันต่าง ๆ ไม่สามารถที่จะใช้สูตรส าเร็จได้เพราะว่าสูตรต่าง ๆ นั้นมีข้อจ ากัด แต่เนื่องจากว่าฟังก์ชันทางคณิตศาสตร์มีอยู่อย่างมากมายและไม่สามารถที่จะจัดให้อยู่ในรูปของสูตรใดสูตรหนึ่งได้ จ าเป็นต้องใช้วิธีอื่นเข้ามาช่วย การอินทิเกรตแบบแยกส่วน (integration by part) จึงเป็นวิธีหนึ่งที่จะช่วยให้การหาค่าของอินทิกรัลของฟังก์ชันบางฟังก์ชันได้การอินทิเกรตแบบแยกส่วนมีหลักในการหาดังนี้ คือ ก าหนดให้ u และ v เป็นฟังก์ชันของ x จากสูตรของดิฟเฟอเรนเชียลหรือค่าเชิงอนุพันธ์ของ uv ที่ว่าduv udv vdu นั่นคือ udv duv vdu แล้วอินทิเกรตทั้งสองข้าง จะได้udv duv vdu หรือ udv uv vduดังนั้นจะได้ว่า udv uv vduซึ่งเป็นสูตรที่ใช้ส าหรับการอินทิเกรตแบบแยกส่วน

62การใช้สูตรอินทิเกรตแบบแยกส่วนดังกล่าวจะขึ้นอยู่กับการก าหนดค่าของฟังก์ชันต่าง ๆได้ถูกต้องหรือไม่ การก าหนดค่าของฟังก์ชัน u และ dv ที่เหมาะสม สามารถท าได้ดังนี้ คือ1) dv ที่เลือกจะต้องอยู่ ในรูปที่สามารถหาค่าของอินทิกรัลได้โดยง่าย2) vdu จะต้องอยู่ในรูปที่สามารถหาค่าได้ง่ายกว่าการหาค่าของ udv3) ถ้าค่าของ vdu ไม่สามารถหาค่าอินทิกรัลได้ง่าย เราต้องด าเนินการ vdu โดยใช้การอินทิเกรตแบบแยกส่วนต่อไปเรื่อย ๆ จนกว่าจะหาค่าของ vdu ได้ในการหาค่าอินทิกรัลแบบแยกส่วนนั้น จ าเป็นต้องอาศัยการอินทิเกรตรูปแบบต่าง ๆ ในบทที่ 1 มาช่วย ส่วนการใส่ค่าคงที่ c นั้น ให้ใส่ในครั้งสุดท้ายหลังจากที่หาค่าอินทิกรัลเสร็จสิ้นแล้วตัวอย่างที่จะน าเสนอต่อไปนี้ เป็นตัวอย่างของการหาค่าอินทิกรัลแบบแยกส่วน พร้อมทั้งให้หลักการแทนค่าฟังก์ชันต่าง ๆ ให้ถูกต้องและเหมาะสมxตัวอย่างที่ 2.1 จงหาค่าของ xe dxวิธีท า ให้ u x ดังนั้น du dxและdv xe dx ดังนั้นx xv e dx eจากสูตรการอินทิเกรตแบบแยกส่วน udv uv vdu แทนค่าจะได้ว่าx x xxe dx xe e dxxx xe e cx e (x 1) c#xจะสังเกตเห็นว่า ไม่ว่าจะหาค่าอินทิกรัลของ x หรือ e ก็สามารถหาค่าได้เช่นเดียวกันแต่ถ้าก าหนดให้ ux e และ dv xdx จะไม่สามารถหาค่า vdu ได้โดยง่าย ดังตัวอย่างจากตัวอย่างที่ 2.1 ถ้าให้u xe ดังนั้น dux e dxและ dv xdx ดังนั้น v xdx 2จากสูตรการอินทิเกรตแบบแยกส่วน udv uv vdu แทนค่าจะได้ว่า2 x 2 x x x e x exe dx 2 22 xxe dx2dxซึ่งการหาค่าของ ไม่ง่ายนักดังนั้นจะเห็นว่าการหาค่าอินทิกรัลแบบแยกส่วนนี้สิ่งที่ส าคัญก็คือ การสมมุติค่าของฟังก์ชันu และ dv ให้เหมาะสม2x

633 x2ตัวอย่างที่ 2.2 จงหาค่าของ x e dx3 x22 x2วิธีท า เนื่องจาก x e dx x xe dx2ให้ u x ดังนั้น du 2xdxและx 2 ดังนั้นdv xe dx1 1v xe dx xe d(x ) e22x2x22 x2จากสูตรการอินทิเกรตแบบแยกส่วน udv uv vdu แทนค่าจะได้ว่า3 x22 1 x2 1 x2x e dx x e e 2xdx2 22 1 x2x2x e e dx21 2 x2 1 x22x e e d(x )2 21 2 x2 1 x2x e e c2 2# การหาค่าของอินทิกรัลของฟังก์ชันที่อยู่ในรูปของ ln x ก็สามารถหาค่าได้ด้วยวิธีการอินทิเกรตแบบแยกส่วน เช่นกันตัวอย่างที่ 2.3 จงหาค่าของ xln xdxวิธีท า ให้ u ln x ดังนั้น1du dxxและ dv xdx ดังนั้น v xdx 2จากสูตรการอินทิเกรตแบบแยกส่วน udv uv vdu แทนค่าจะได้ว่า2 2xln xdx x x 1ln x dx2 2 x2x 1ln x xdx2 22 2x 1 xln x c2 2 22x 1 2ln x x c2 4# ตัวอย่างที่ 2.4 จงหาค่าของ xsin xdxวิธีท า สามารถเลือกก าหนดค่าของ u และ dv ได้หลายวิธีดังนี้คือวิธีที่ 1 ให้ u sin x ดังนั้น du cosxdx2x

64และ dv xdx ดังนั้น v xdx 2จากสูตรการอินทิเกรตแบบแยกส่วน udv uv vdu แทนค่าจะได้ว่า2 2x xxsin xdx sin x cos xdx2 22x cos xdx2 จะเห็นว่า จะหาค่าอินทิกรัลยากกว่าเดิม ดังนั้นจึงไม่ควรเลือกวิธีนี้วิธีที่ 2 ให้ u xsin x ดังนั้น du (xcosx sin x)dxและ dv dx ดังนั้น v dx xจากสูตรการอินทิเกรตแบบแยกส่วน udv uv vdu แทนค่าจะได้ว่าxsin xdx x xsin x x(xcosx sin x)dxเช่นเดียวกันกับวิธีที่ 1 จะเห็นว่า x(xcosx sin x)dx จะหาค่าอินทิกรัลยากกว่าเดิมดังนั้นจึงไม่ควรเลือกวิธีนี้วิธีที่ 3 ให้ u x ดังนั้น du dxและ dv sin xdx ดังนั้น v sin xdx cosxจากสูตรการอินทิเกรตแบบแยกส่วน udv uv vdu แทนค่าจะได้ว่าxsin xdx xcosx ( cosx)dx xcosx cosxdx xcosx sin x cดังนั้น xsin xdx xcosx sin x c#จากตัวอย่างที่ 2.4 จะเห็นว่าถ้าเลือกฟังก์ชัน u และ dv ไม่เหมาะสม ก็จะท าให้หาค่าของอินทิกรัลยุ่งยากขึ้นหรืออาจหาไม่ได้เลย แต่บางครั้งไม่ว่าจะเลือกฟังก์ชัน u และ dv อย่างไร ก็สามารถหาค่าอินทิกรัลได้เสมอตัวอย่างที่ 2.5 จงหาค่าของ arcsin xdxวิธีท า ให้ u arcsin x ดังนั้นและ dv dxdu12x1x ดังนั้น v dx xจากสูตรการอินทิเกรตแบบแยกส่วน udv uv vdu แทนค่าจะได้ว่าxarcsin xdx x arcsin x dx21x 2dx 12 1 2 2 x arcsin x 1 x d(1 x ) 2

65 121 2 2 x arcsin x 1 x d(1 x )212 21 (1 x )x arcsin x 2 1 c22 xarcsin x 1 x cดังนั้น2 arcsin xdx xarcsin x 1 x c#ในบางครั้งการหาค่าอินทิกรัลแบบแยกส่วนไม่สามารถที่จะหาค่าอินทิกรัลได้เลย จ าเป็นต้องใช้การอินทิเกรตแบบแยกส่วนอีกครั้ง ดังตัวอย่างต่อไปนี้xตัวอย่างที่ 2.6 จงหาค่าของ e cosxdxxxวิธีท า ให้ u e ดังนั้น du และ dv cosxdxe dx ดังนั้น v cosxdx sin xจากสูตรการอินทิเกรตแบบแยกส่วน udv uv vdu แทนค่าจะได้ว่าx x xe cosxdx e sin x e sin xdx…….(1)xเนื่องจากการหาค่าของ e sin xdx ไม่สามารถหาค่าได้โดยง่าย ดังนั้นต้องหาค่าของx e sin xdx โดยการอินทิเกรตแบบแยกส่วนอีกครั้งxxให้u e ดังนั้น du e dxและ dv sin xdx ดังนั้น v sin xdx cosxจากสูตรการอินทิเกรตแบบแยกส่วน udv uv vdu แทนค่าจะได้ว่าe x sin xdx e x cosx e x cosxdx……(2)แทนค่าจากสมการ (2) ใน (1) จะได้ว่า x x x xe cosxdx e sin x e cosx e cosxdxx x x e sin x e cosx e cosxdxx x x2 e cosxdx e sin x e cosx c 112x1 xe cosxdx e sin x cosx c2x x x e cosxdx e sin x e cosx c หรือ #

66ในการหาค่าของอินทิกรัลแบบจ ากัดเขตก็สามารถหาได้เช่นเดียวกัน โดยการหาค่าของอินทิกรัลไม่จ ากัดเขต แล้วจึงแทนค่า ซึ่งจะเหมือนกับการแทนค่าจากการหาอินทิกรัลด้วยวิธีทั่ว ๆ ไป ดังเช่นตัวอย่างต่อไปนี้ตัวอย่างที่ 2.7 จงหาค่าของ 2 3)dx2ln(xวิธีท า พิจารณาหาค่าของ ln(x 3)dx ก่อนดังนี้ให้ u ln(x 3)และ dv dx ดังนั้นdu1 dxx3 ดังนั้น v dx xจากสูตรการอินทิเกรตแบบแยกส่วน udv uv vdu แทนค่าจะได้ว่า2 2xln(x 3)dx xln(x 3) dxx32 22 222 3 xln(x 3) 1 dx2 x32 xln(x 3) 2 x 3ln(x 3) 22 2 (2ln5 2ln1) (2 3ln5 2 3ln1)ดังนั้น22 5ln5 4 ln(x 3)dx 5ln5 4#ส าหรับการหาค่าอินทิกรัลของฟังก์ชันตรีโกณมิติที่มีเลขชี้ก าลังมาก ๆ ก็เช่นเดียวกัน อาจจะใช้การอินทิเกรตแบบแยกส่วนช่วยในการหาค่าของอินทิกรัลได้ ดังตัวอย่างต่อไปนี้3ตัวอย่างที่ 2.8 จงหาค่าของ sec dxวิธีท า ให้ u secx ดังนั้น du secx tan xdxและ dv 2sec xdx ดังนั้น2v sec xdx tan xจากสูตรการอินทิเกรตแบบแยกส่วน udv uv vdu แทนค่าจะได้ว่า3 2sec dx secx tan x secx tan xdx2secx tan x secx(sec x 1)dx3secx tan x (sec x secx)dx3secx tan x sec xdx secxdx3secx tan x sec xdx ln secx tan x c 1

6732 sec dx secx tan x ln secx tan x c 1 #3 1 1sec dx secx tan x ln secx tan x c2 2การหาค่าของอินทิกรัลด้วยวิธีแบบแยกส่วนนี้บางครั้งอาจจะพบกับปัญหาที่ว่าจะต้องหาอินทิกรัลมากกว่า 2 ครั้งอยู่บ่อย ๆ ดังนั้นถ้าเจอปัญหาในลักษณะแบบนี้ สามารถน าสูตรที่เกี่ยวกับการลดทอนของการอินทิเกรตมาใช้ได้ จะช่วยให้เกิดความสะดวกในการหาค่าอินทิกรัลได้และรวดเร็วขึ้น การหาค่าอินทิกรัลแบบแยกส่วนซ้ า ๆ กันมีข้อสังเกต คือค่าของอินทิกรัลที่ได้จะอยู่ในรูปแบบเดิมซึ่งเลขชี้ก าลังจะเพิ่มขึ้นหรือลดลงก็ได้สูตรการลดทอน ( reduction formula) ที่ใช้อยู่ในขณะนี้มีอยู่มากมาย แต่จะน าเสนอไว้เฉพาะสูตรที่มักจะพบบ่อย ๆ ดังเช่นสูตรต่อไปนี้ก าหนดให้ m, n เป็นจ านวนเต็มใด ๆ และ a , b เป็นค่าคงที่ใด ๆx e dx1 mx ea ax e dxmsin xdx m1sin x cos x m 1 m mm2sin xdxmcos xdx m1cos x sin x m 1m mm2cos xdxm nsin x cos xdx m1 n1sin x cos x n 1m n m nm n2sin x cos xdxm1 n1sin x cos x m 1 sinm2x cosn xdxm n m nm ax m ax m1 axสูตรที่ 1 สูตรที่ 2สูตรที่ 3สูตรที่ 4สูตรที่ 5สูตรที่ 6สูตรที่ 7 หรือโดยที่ mnmm x m m1 x sin bxdx cosbx x cosbxdxb bmm x m m1x cosbxdx sin bx x sin bxdxb b2 2 m 22 2 m x(x a ) 2ma 2 2 m11(x a ) dx (x a ) dx , m 2m 1 2m 1 21 1 x 2m 3 dx dx (x a ) a (2m 2)(x a ) 2m 2 (x a ) สูตรที่ 8 2 2 m 2 2 2 m 1 2 2 m 1สูตรที่ 9โดยที่ m12 2 m 22 2 m 2 2 m1x(a x ) 2ma 1(a x ) dx (a x ) dx , m 2m 1 2m 1 21 1 x 2m 3 dx dx (a x ) a (2m 2)(a x ) 2m 2 (a x ) สูตรที่ 10 2 2 m 2 2 2 m 1 2 2 m 1โดยที่ m1

68การน าสูตรข้างต้นไปใช้นั้น มีหลักอยู่ว่า จะต้องจัดฟังก์ชันให้อยู่ในรูปของสูตรใดสูตรหนึ่งแล้วจึงแทนค่าให้ถูกต้อง ดังเช่นตัวอย่างต่อไปนี้3 2xตัวอย่างที่ 2.9 จงหาค่าของ x e dxวิธีท า จากสูตรการลดทอนสูตรที่ 1 m ax 1 m ax m m1 ax a nแทนค่า m 3, a 2 จะได้ว่า3 2x 1 3 2x 3 2 2xx e dx x e x e dx2 2x e dx x e x e dx 2 2xต้องใช้สูตรการลดทอนเพื่อหา x e dx อีกครั้ง โดยแทนค่า m 2 , a 2 จะได้ว่า3 2x 1 3 2x 3 1 2 2x 2 2x x e dx x e x e xe dx2 2 2 2 1 3 2x 3 2 2x 3 2x x e x e xe dx2 4 2 2xในท านองเดียวกัน ต้องใช้สูตรการลดทอนเพื่อหา xe dx อีกครั้ง โดยแทนค่าm 1, a 2 จะได้ว่า3 2x 1 3 2x 3 2 2x 3 1 2x 1 2x x e dx x e x e xe e dx2 4 2 2 2 1 3 2x 3 2 2x 3 2x 3 2xx e x e xe e d(2x)2 4 4 81 3 2x 3 2 2x 3 2x 3 2xx e x e xe e c2 4 4 8x e dx 1 3 3 3x e x e xe e2 4 4 8 cดังนั้น3 2x 3 2x 2 2x 2x 2x #3ตัวอย่างที่ 2.10 จงหาค่าของ x sin xdxวิธีท า จากสูตรการลดทอนสูตรที่ 5แทนค่า m 3, b 1 จะได้ว่า33 x 3 2 mm x m m1 x sin xdx cosx x cosxdx1 1x sin bxdx cosbx x cosbxdxb b3 2 x cosx 3 x cosxdx…………….. (1)mm x m m1ต้องใช้สูตรการลดทอน สูตรที่ 6 โดยแทนค่า m 2 , b 1 จะได้ว่า2 2x cosxdx x sinbx 2xsin xdxเพื่อหา2x cosxdxx cosbxdx sin bx x sin bxdxb b1 3 2x 3 2 2x 3 2x x e x e xe dx2 4 2

69แทนค่า ใน (1)3x sin xdx 3 2 x cosx 3x sin x 2 xsin xdx 3 x sin xdx x 3 2 sin x 6 xsin xdx ………………. (2)mm x m m1และต้องใช้สูตรลดทอน สูตรที่ 5 อีกครั้ง เพื่อหาค่าของ xsin xdx โดย แทนค่า m 1, b 1 จะได้ว่าxsin xdx xcosx cosxdxx sin bxdx cosbx x cosbxdxb b xcosx sin xแทนค่า ใน (2) x 3 sin xdx x 3 cosx 3x 2 sin x 6xcosx sin x3 2 x cos x 3x sin x 6x cos x 6sin x c3 3 2ดังนั้นจะได้ว่า x sin xdx x cosx 3x sin x 6xcosx 6sin x c#2.2 การอินทิเกรตฟังก์ชันตรีโกณมิติก่อนที่จะกล่าวถึงการอินทิเกรตฟังก์ชันตรีโกณมิตินั้น ควรจะทราบเอกลักษณ์ต่าง ๆ ของฟังก์ชันตรีโกณมิติ เพราะว่าเป็นส่วนหนึ่งที่จะท าให้ศึกษาเนื้อหาได้อย่างเข้าใจ ดังนั้นผู้เรียนควรจะได้ทบทวนความรู้เกี่ยวกับเอกลักษณ์ต่อไปนี้ และต้องสามารถน าไปประยุกต์ใช้ได้เอกลักษณ์พื้นฐานของฟังก์ชันตรีโกณมิติ โดยที่ x เป็นจ านวนจริง มีดังนี้คือ(อุบล กลองกระโทก, 2546)2 2sin x cos x 12 221cot x cosec x หรือ csc x2 21tan x sec xเอกลักษณ์ของเครื่องหมายของค่าของฟังก์ชันตรีโกณมิติsin( x) sin xcot( x) cot xcos( x) cosxsec( x) secxtan( x) tan xcsc( x) cscxฟังก์ชันของมุมประกอบsinx2 cos xcosx2 sin xtan x 2 cot xcot x 2 tan xsecx 2 cscxcscx 2 secx

70 sin x sin x cos x cos x tan x tan xcot x cot xsec x sec xcsc x cscx sin x sin xcot x cot x cos x cos x tan x tan xsec x sec xcsc x cscxฟังก์ชันของมุมประกอบที่อยู่ในรูปของผลบวกของมุมและผลต่างของมุมsin x y sin x cos y cos x sin ysin x y sin x cos y cos x sin ycos x y cos x cos y sin x sin ycos x y cos x cos y sin x sin ytan x ytan x ytan x tan y1tan x tan ytan x tan y1tan x tan yการเปลี่ยนฟังก์ชันที่เป็นผลคูณให้อยู่ในรูปฟังก์ชันที่เป็นผลบวกหรือผลต่าง2sin x cosy sin(x y) sin(x y)2cosx sin y sin(x y) sin(x y)2cosx cosy cos(x y) cos(x y)2sin x sin y cos(x y) cos(x y)การเปลี่ยนฟังก์ชันที่เป็นผลบวกหรือผลต่างของฟังก์ชันให้อยู่ในรูปผลคูณของฟังก์ชันsin x sin y x y x y2sin cos 2 2 sin x sin y x y x y2cos sin 2 2 cos x cos y x y x y2cos cos 2 2 cos x cos y x y y x2sin sin 2 2 ฟังก์ชันเอกลักษณ์ของมุมสองเท่าและสามเท่าsin2x 2sin x cosx2 2cos2x cos x sin x

7122cos x 1tan 2x2 12sin x2tan x21tan x3sin3x 3sin x 4sin x3cos3x 4cos x cosxtan3x3tan xฟังก์ชันเอกลักษณ์ของมุมครึ่ง3 tan x213tan x2 xsin 21cosx22 xcos 21cosx22 x 1cosxtan 2 1 cosxในการหาค่าของอินทิกรัลของฟังก์ชันตรีโกณมิตินั้น เพื่อความสะดวกในที่นี้จะแบ่งชนิดของฟังก์ชันตรีโกณมิติส าหรับการอินทิเกรตออกเป็น 5 รูปแบบดังนี้รูปแบบที่ 1n sin xdxรูปแบบที่ 2n cos xdxรูปแบบที่ 3m n sin x cos xdxรูปแบบที่ 4m n tan x sec xdxรูปแบบที่ 5m n cot x csc xdxการหาค่าของอินทิกรัลของฟังก์ชันตรีโกณมิติข้างต้นนั้น สามารถหาได้ด้วยวิธีดังต่อไปนี้n2.2.1 การหาค่าอินทิกรัลของฟังก์ชันตรีโกณมิติที่อยู่ในรูป sin xdxการหาค่าของnsin xdx โดย n I 0 จะน าเรื่องของการอินทิเกรตแบบแยกส่วนมาสร้างเป็นสูตรส าเร็จเหมือนกับการใช้สูตรลดทอนของฟังก์ชัน และจะได้สูตรเป็นn1พิสูจน์ ก าหนดให้1 n 1nn n n1 n2sin xdx sin xcosx sin xdxu sin x และ dv sin xdxn2ดังนั้นแทนค่าจะได้ว่าdu (n 1)sin x cosxdx และ v sin xdx cosx n n 1 n2 2sin xdx sin x cosx (n 1)sin x cos xdx

72 n1 n2 2 sin x cosx (n 1) sin x (1 sin x)dxn1 n 2 n sin x cosx (n 1) sin xdx sin xdx n1 n2 n sin x cosx (n 1) sin xdx (n 1) sin dxn n n 1 n2(n 1) sin dx sin dx sin x cosx (n 1) sin xdxn n 1 n2n sin dx sin x cosx (n 1) sin xdx1 (n 1)nnn n1 n2sin dx sin x cosx sin xdx#2ตัวอย่างที่ 2.11 จงหาค่าของ sin xdxn 1 n1 n 1n2วิธีท า จากสูตร nnแทนค่า n2 จะได้ว่าsin xdx sin xcosx sin xdx1 2 12 21 1 sin x cosx dx2 21 1 sin x cosx x c2 2 2 21 22sin xdx sin xcosx sin xdx2 1 1ดังนั้น sin xdx sin x cosx x c#2 2n2.2.2 การหาค่าอินทิกรัลของฟังก์ชันตรีโกณมิติที่อยู่ในรูป cos xdxการหาค่าของncos xdx โดย n I 0 จะน าเรื่องของการอินทิเกรตแบบแยกส่วนมาสร้างเป็นสูตรส าเร็จเหมือนกับการใช้สูตรลดทอนของฟังก์ชัน และจะได้สูตรเป็น1 n 1nn พิสูจน์ (ให้ท าเป็นแบบฝึกหัด)n n1 n2cos xdx cos xsin x cos xdxตัวอย่างที่ 2.12 จงหาค่าของ4 cos xdxวิธีท า จากสูตร n 1 n1 n 1n2nnแทนค่า n4 จะได้ว่าcos xdx cos xsin x cos xdx1 4 14 4 4 41 42cos xdx cos xsin x cos xdx

73ในการหาค่าของ2cos xdx1 34 43 2 cos x sin x cos xdx ………………….. (1) ก็ต้องใช้สูตร ดังกล่าวอีกครั้ง โดยการแทนค่า n2cos xdx1 2 1cos xsin x2 2cos xdx1 1cosxsin x dx2 21 1cosxsin x x c12 22 21 22จะได้ว่า แทนค่าในสมการ (1) จะได้1 3 1 1 4 4 2 2 1 3 3 3cos x sin x cosxsin x x c4 8 8#4 3cos xdx cos x sin x cos xsin x x c1m n2.2.3 การหาค่าอินทิกรัลของฟังก์ชันตรีโกณมิติที่อยู่ในรูป sinโดยที่ m , n I 0ถ้ากรณีที่ m 0 สามารถใช้สูตรการลดทอนของรูปแบบที่ 2 ได้ เลย นั่นคือ1 n 1nnn n1 n2cos xdx cos xsin x cos xdxถ้ากรณีที่ n 0 สามารถใช้สูตรการลดทอนของรูปแบบที่ 1 ได้ เช่นกัน นั่นคือ1 m 1mm m m1 m2sin xdx sin xcosx sin xdxส าหรับกรณีที่ m 0 และ n 01) ถ้า m เป็นจ านวนคี่ ให้แทนค่า u cosx2) ถ้า n เป็นจ านวนคี่ ให้แทนค่า u sin x มีหลักการหาอินทิกรัลดังนี้ คือxcos xdx2 2 และแทนค่า sin x 1 cos x2 2 และแทนค่า cos x 1 sin x3) ถ้า m, n เป็นจ านวนคู่ให้ใช้สูตรเอกลักษณ์ของฟังก์ชันตรีโกณมิติเพื่อลดทอนเลขชี้ก าลัง นั่นคือ ใช้สูตรเอกลักษณ์2 1cos2x2 1cos2xsin x และ cos x 223ตัวอย่างที่ 2.13 จงหาค่าของ sin xdxm nวิธีท า จะเห็นว่าเมื่อเปรียบเทียบกับรูปแบบที่ 3 sin xcos xdx จะได้ว่า m 3ซึ่งเป็นจ านวนคี่ ดังนั้นสมมุติให้ u cosx นั่นคือ du sin xdxdusin xdx3 2นั่นคือ sin xdx sin xsin xdx หรือ

74แทนค่าจะได้ว่า 3 22(1 cos x)sin xdxsin xdx (1 u )du3u u c3 แทนค่าให้อยู่ในรูปของตัวแปร xนั่นคือ3หรือ3 cos xsin xdx cosx c33u u c3 #5ตัวอย่างที่ 2.14 จงหาค่าของ cos xdxm nวิธีท า จะเห็นว่าเมื่อเปรียบเทียบกับรูปแบบที่ 3 sin xcos xdx จะได้ว่า n 5ซึ่งเป็นจ านวนคี่ ดังนั้นสมมุติให้ u sin x นั่นคือ du cosxdxแทนค่าจะได้ว่า5 4cos xdx cos xcosxdx 2 2(1 sin x) cosxdx2 4 (1 2sin x sin x)cosxdx5 2 4cos xdx (1 2u u )du3 52u u u c3 5แทนค่าให้อยู่ในรูปของตัวแปร x2 13 55 3 5นั่นคือ cos xdx sin x sin x sin x c#2 3ตัวอย่างที่ 2.15 จงหาค่าของ sin x cos xdxm nวิธีท า จะเห็นว่าเมื่อเปรียบเทียบกับรูปแบบที่ 3 sinxcos xdx จะได้ว่า n 3ซึ่งเป็นจ านวนคี่ ดังนั้นสมมุติให้ u sin x นั่นคือ du cosxdx แทนค่าจะได้ว่า2 3 2 2sin x cos xdx sin x cos x cosxdx 2 3 2 22 2 sin x(1 sin x) cosxdxsin x cos xdx u (1 u )du2 4(u u )du3 5u u c3 5

75แทนค่าให้อยู่ในรูปของตัวแปร xนั่นคือ3 5 #2 3 sin x sin xsin x cos xdx c3 54 3ตัวอย่างที่ 2.16 จงหาค่าของ cos x sin xdxm nวิธีท า จะเห็นว่าเมื่อเปรียบเทียบกับรูปแบบที่ 3 sinxcos xdx จะได้ว่า m 3ซึ่งเป็นจ านวนคี่ ดังนั้นสมมุติให้ u cosx นั่นคือ du sin xdx แทนค่าจะได้ว่า4 3 4 2cos x sin xdx cos x sin x sin xdx 4 3 4 24 2cos x sin xdx u (1 u )duแทนค่าให้อยู่ในรูปของตัวแปร xนั่นคือcos x(1 cos x)sin xdx6 4(u u )du7 5u u c7 57 5 #4 3 cos x cos xcos xsin xdx c7 54 4ตัวอย่างที่ 2.17 จงหาค่าของ sin x cos xdxm nวิธีท า จะเห็นว่าเมื่อเปรียบเทียบกับรูปแบบที่ 3 sinxcos xdx จะได้ว่า m 4 และn 4เนื่องจาก 2sin xcosx sin2x ต่างก็เป็นจ านวนคู่ ดังนั้นต้องน าเอกลักษณ์มาช่วยในการเปลี่ยนค่าของฟังก์ชัน1sin 2x164 4 4sin xcos x1 1cos 4x 16 2 1 1 2cos4x cos2 4x64 1 1cos8x 1 2cos4x64 2 1 3 4cos4x cos8x 128ดังนั้น 4 4 1sin x cos xdx 3 4cos4x cos8x dx1281 1 3x sin 4x sin8x c128 8 2#

763 3ตัวอย่างที่ 2.18 จงหาค่าของ sin x cos xdxm nวิธีท า จะเห็นว่าเมื่อเปรียบเทียบกับรูปแบบที่ 3 sinxcos xdx จะได้ว่า m 3 และn 3 ต่างก็เป็นจ านวนคี่ ดังนั้นอาจท าได้ 2 วิธี ดังนี้คือวิธีที่ 1 ถ้าพิจารณาว่า m 3 ซึ่งเป็นจ านวนคี่สมมุติให้ u cosx นั่นคือ du sin xdxtanm3 3 2 3sin xcos xdx sin x sin x cos xdxแทนค่าให้อยู่ในรูปของตัวแปร x2 3 (1 cos x) sin x cos xdx2 3 (1 u )u du5 3(u u )du6 4u u c6 46 4นั่นคือ วิธีที่ 2 ถ้าพิจารณาว่า n 3 ซึ่งเป็นจ านวนคี่สมมุติให้ u3 3 cos x cos xsin x cos xdx c6 4 sin x นั่นคือ du cosxdx3 3 3 2sin xcos xdx sin xcos xcosxdxแทนค่าให้อยู่ในรูปของตัวแปร xนั่นคือ3 2sin x(1 sin x)cosxdx3 2u (1 u )du3 5(u u )du4 6u u c4 64 6 #3 3 sin x sin xsin xcos xdx c4 62.2.4 การหาค่าอินทิกรัลของฟังก์ชันตรีโกณมิติที่อยู่ในรูปของnx sec xdx m , n I 0m nการหาค่าของอินทิกรัลของฟังก์ชันตรีโกณมิติที่อยู่ในรูป tan x sec x มีหลักการดังนี้คือ1 n 2sec xdx sec x tan x sec xdxn 1 n 11 tan xdx tan x tan xdxm1n n2 n2กรณีที่ m 0 ใช้สูตร m m 1 m 2กรณีที่ n 0 ใช้สูตร

77กรณีที่ m 0 , n 0 มีหลักการหาอินทิกรัล ดังนี้2 21) ถ้า n เป็นจ านวนคู่ ให้แทนค่า u tanx แล้วใช้สูตรเอกลักษณ์ sec x tan x 1แล้วเปลี่ยนทุกฟังก์ชันอยู่ในรูปของ u2 22) ถ้า m เป็นจ านวนคี่ ให้แทนค่า u secx แล้วใช้สูตรเอกลักษณ์ tan x sec x 1แล้วเปลี่ยนทุกฟังก์ชันอยู่ในรูปของ u3) ถ้า m เป็นจ านวนคู่ และ n เป็นจ านวนคี่ ให้ใช้สูตรเอกลักษณ์ เปลี่ยนให้อยู่ในรูปของtan x sec x 1sec x โดยเปลี่ยน2 2และ ต้องใช้สูตร tan xdx ln secx cและ secxdx ln secx tan x c3ตัวอย่างที่ 2.19 จงหาค่าของ sec xdxวิธีท า จะแสดงวิธีการหาจากสูตรลดทอน1 n 2sec xdx sec x tan x sec xdxจากสูตร n n2 n2 n 1 n 1แทนค่า n3 จะได้ว่า 3 1 1sec xdx secx tan x secxdx2 21 1 secx tan x ln secx tan x c#2 23ตัวอย่างที่ 2.20 จงหาค่าของ tan xdxวิธีท า จะแสดงวิธีการหาจากสูตรลดทอน1tan xdx tan x tan xdxm m1 m2จากสูตร m1แทนค่า m3 จะได้ว่า1tan xdx tan x tan xdx21 tan2 x ln secx c#23 2 6ตัวอย่างที่ 2.21 จงหาค่าของ sec xdxm nวิธีท า จะเห็นว่าเมื่อเปรียบเทียบกับรูปแบบที่ 4 tan x sec xdx จะได้ว่า n 62ซึ่งเป็นจ านวนคู่ ดังนั้นสมมุติให้ u tan x นั่นคือ du sec xdx6 4 2sec xdx sec x sec xdx2 2 2 (tan x 1) sec xdx

78แทนค่าจะได้ว่า แทนค่าให้อยู่ในรูปของตัวแปร xนั่นคือ4 2 2 (tan x 2tan x 1) sec xdx6 4 2sec xdx (u 2u 1)du5 3u 2u uc5 35 3 #6 tan x 2tan xsec xdx tan x c5 33 4ตัวอย่างที่ 2.22 จงหาค่าของ tan x sec xdxm nวิธีท า จะเห็นว่าเมื่อเปรียบเทียบกับรูปแบบที่ 4 tan x sec xdx จะได้ว่า m 3ซึ่งเป็นจ านวนคี่ ดังนั้นสมมุติให้ u secx นั่นคือ du secx tan xdx แทนค่าจะได้ว่า3 4 2 2tan x sec xdx tan x sec x secx tan xdx 3 4 5 32 3 (sec x 1) sec x secx tan xdx5 3tan x sec xdx (u u )duแทนค่าให้อยู่ในรูปของตัวแปร xนั่นคือ (sec x sec x) secx tan xdx6 4u u c6 46 4 #3 4 sec x sec xtan x sec xdx c6 4หมายเหตุ ตัวอย่างที่ 2.22 อาจจะพิจารณาส าหรับกรณีที่ n 4 ซึ่งเป็นจ านวนคู่ ดังนั้นจะสมมุติ2ให้ u tan x นั่นคือ du sec xdx ก็ได้เช่นเดียวกัน5 3ตัวอย่างที่ 2.23 จงหาค่าของ sec x tan xdxm nวิธีท า จะเห็นว่าเมื่อเปรียบเทียบกับรูปแบบที่ 4 tan x sec xdx จะได้ว่า m 3ซึ่งเป็นจ านวนคี่ ดังนั้นสมมุติให้ u secx นั่นคือ du secx tan xdx 5 3 4 2sec x tan xdx sec x tan x secx tan xdx4 2 sec x(sec x 1)secx tan xdx6 4(sec x sec x)d(secx)

79แทนค่าจะได้ว่า 5 3 6 4sec x tan xdx (u u )duแทนค่าให้อยู่ในรูปของตัวแปร xนั่นคือ7 5u u c7 57 5 #5 3 sec x sec xsec x tan xdx c7 52 3ตัวอย่างที่ 2.24 จงหาค่าของ tan x sec xdxm nวิธีท า จะเห็นว่าเมื่อเปรียบเทียบกับรูปแบบที่ 4 tan x sec xdx จะได้ว่า m 4ซึ่งเป็นจ านวนคู่ และ n 3 แต่เป็นจ านวนคี่ ดังนั้น ใช้สูตรเอกลักษณ์ เปลี่ยนให้อยู่ในรูป2 2ของ sec x โดยเปลี่ยน tan x sec x 12 3 2 3tan x sec xdx (sec x 1)sec xdx5 3 (sec x sec x)dx5 3 sec xdx sec xdx53จะใช้สูตรลดทอนเพื่อหาค่าของ sec xdx และ sec xdxn 1 n2 n 2 n2จากสูตร sec xdx sec x tan x sec xdxn 1 n 1sec xdx 1 sec x tan x 3 sec xdx4 45 3 3ดังนั้น 3 1 1และ sec xdx secx tan x2 2secxdxtan x sec xdx 1 3 sec x tan x sec xdx4 4 sec xdx1 3 1 3sec x tan x sec xdx4 41 3 1 1 1 sec x tan x secx tan x secxdx4 4 2 2 1 3 1 1 1sec x tan x secx tan x ln secx tan x c4 4 2 21 3 1 1sec x tan x secx tan x ln secx tan x c #4 8 82 3 3 3 3นั่นคือ

804 4ตัวอย่างที่ 2.25 จงหาค่าของ tan x sec xdxm nวิธีท า จะเห็นว่าเมื่อเปรียบเทียบกับรูปแบบที่ 4 tan x sec xdx จะได้ว่า n 42ซึ่งเป็นจ านวนคู่ ดังนั้นสมมุติให้ u tan x นั่นคือ du sec xdx (tan x4 4 6 4แทนค่าจะได้ 4 4 4 2 2tan x sec xdx tan x sec x sec xdx4 2 2tan x(tan x 1)sec xdx6 4 2 tan x) sec xdxtan x sec xdx (u u )duแทนค่าให้อยู่ในรูปของตัวแปร xนั่นคือ7 5u u c7 57 5 #4 4 tan x tan xtan x sec xdx c7 52.2.5 การหาค่าอินทิกรัลของฟังก์ชันตรีโกณมิติที่อยู่ในรูปของm n cot x csc xdxm nการหาค่าของอินทิกรัลของฟังก์ชันตรีโกณมิติที่อยู่ในรูป cot x csc x มีหลักการm nหาคล้ายกับฟังก์ชันตรีโกณมิติที่อยู่ในรูป tan x sec x ดังนี้คือ1 n 2csc xdx csc x cot x csc xdxn 1 n 11 cot xdx cot x cot xdxm1n n2 n2กรณีที่ m 0 ใช้สูตร m m 1 m 2กรณีที่ n 0 ใช้สูตรกรณีที่ m 0 , n 0 มีหลักการหาอินทิกรัล ดังนี้2 21) ถ้า n เป็นจ านวนคู่ ให้แทนค่า u cot x แล้วใช้สูตรเอกลักษณ์ csc x cot x 1แล้วเปลี่ยนทุกฟังก์ชันอยู่ในรูปของ u2 22) ถ้า m เป็นจ านวนคี่ ให้แทนค่า u cscx แล้วใช้สูตรเอกลักษณ์ cot x csc x 1แล้วเปลี่ยนทุกฟังก์ชันอยู่ในรูปของ u4) ถ้า m เป็นจ านวนคู่ และ n เป็นจ านวนคี่ ให้ใช้สูตรเอกลักษณ์ เปลี่ยนให้อยู่ในรูปของcot x csc x 1csc x โดยเปลี่ยน2 2และต้องใช้สูตร cot xdx ln sin x cและ cscxdx ln cscx cot x c

813ตัวอย่างที่ 2.26 จงหาค่าของ cot xdxวิธีท า จะแสดงวิธีการหาจากสูตรลดทอน1cot xdx cot x cot xdxm m1 m2จากสูตร m1แทนค่า m3 จะได้ว่า1cot xdx cot x cot xdx21 cot2 x ln sin x c#23 2 4ตัวอย่างที่ 2.27 จงหาค่าของ csc xdxวิธีท า จะแสดงวิธีการหาจากสูตรลดทอน1 n 2csc xdx csc x cot x csc xdxจากสูตร n n2 n2 n 1 n 1แทนค่า n4 จะได้ว่า4 1 2 2 2csc xdx csc x cot x csc xdx3 31 2 2 2 csc x cot x csc xdx3 31 2 2 csc x cot x cot x c3 3# 4ตัวอย่างที่ 2.28 จงหาค่าของ cot x csc xdxm nวิธีท า จะเห็นว่าเมื่อเปรียบเทียบกับรูปแบบที่ 5 cotx csc xdx จะได้ว่า n 42ซึ่งเป็นจ านวนคู่ ดังนั้นสมมุติให้ u cot x นั่นคือ du csc xdx แทนค่าจะได้ว่า4 2 2cot x csc xdx cot x csc x csc xdx 2 2 cot x (1 cot x) csc xdx4 33 2(cot x cot x)csc xdxcot x csc xdx (u u )duแทนค่าให้อยู่ในรูปของตัวแปร xนั่นคือ2 4u u c2 42 4 #4 cot x cot xcot x csc xdx c2 4

823 5ตัวอย่างที่ 2.29 จงหาค่าของ cot x csc xdxm nวิธีท า จะเห็นว่าเมื่อเปรียบเทียบกับรูปแบบที่ 5 cotx csc xdx จะได้ว่า n 5ซึ่งเป็นจ านวนคี่ ดังนั้นสมมุติให้ u cscx นั่นคือ du cscxcot xdx แทนค่าจะได้ว่า3 5 2 4cot x csc xdx cot x csc x(cot xcsc x)dx 2 4 (csc x 1) csc x(cot xcsc x)dx3 5 2 4cot x csc xdx (u 1)u duแทนค่าให้อยู่ในรูปของตัวแปร xนั่นคือ4 6(u u )du5 7u u c5 75 7 #3 5 csc x csc xcot x csc xdx c5 72.3 การอินทิเกรตโดยวิธีการแทนค่าด้วยฟังก์ชันตรีโกณมิติการอินทิเกรตฟังก์ชันบางฟังก์ชันถ้าเปลี่ยนให้อยู่ในรูปฟังก์ชันอื่น ๆ จะท าให้หาค่าของอินทิกรัลได้ง่ายแล้วจึงแทนค่าของฟังก์ชันให้อยู่ในรูปเดิมก็ได้เช่นกัน ดังนั้นการแทนค่าด้วยฟังก์ชันตรีโกณมิติก็สามารถท าได้ โดยที่ตัวที่ถูกอินทิเกรตต้องอยู่ในรูปแบบที่ก าหนด และมีหลักในการแทนค่าดังนี้ คือ (ไอยเรสและเมนเดลสัน. 2540)2 21) ถ้าตัวถูกอินทิเกรตมีตัวประกอบที่เป็น a x แทนค่าด้วย x asinz2 22) ถ้าตัวถูกอินทิเกรตมีตัวประกอบที่เป็น a x แทนค่าด้วย x a tanz2 23) ถ้าตัวถูกอินทิเกรตมีตัวประกอบที่เป็น x a แทนค่าด้วย x aseczหลังจากที่เปลี่ยนฟังก์ชันต่าง ๆ ให้อยู่ในรูปของฟังก์ชันตรีโกณมิติของตัวแปร z แล้วก็ใช้เทคนิคของการอินทิเกรตฟังก์ชันตรีโกณมิติ ได้เท่าไรแล้วจึงค่อยเปลี่ยนฟังก์ชันตรีโกณมิติเป็นฟังก์ชันเดิม2 2 2 2แต่เนื่องจากว่าฟังก์ชันที่เราพบนั้นไม่ใช่ว่าจะอยู่ในรูปของ a x , a x2 2หรือ x a เท่านั้น อาจจะอยู่ในรูปแบบที่แตกต่างออกไป แต่ก็ใช้หลักเดียวกันได้ เช่นกันรูปแบบ ที่มักพบอยู่บ่อย ๆ สามารถแบ่งได้แตกต่างกัน 3 แบบ ดังนี้ คือ2 2 2แบบที่ 1 ตัวถูกอินทิเกรตมีตัวประกอบที่เป็น a b xจัดให้อยู่ในรูป ใหม่ คือa b x a1 x a22 2 2 2 b 2 2

83แทนค่าด้วยxasin zb2 2 2 2ดังนั้นจะได้ว่า a b x a 1sin zacosz2 2 2แบบที่ 2 ตัวถูกอินทิเกรตมีตัวประกอบที่เป็น a b xจัดให้อยู่ในรูป ใหม่ คือแทนค่าด้วยxatan zb22 b a 1x a b a 1 x aa b x a1 x a22 2 2 2 b 2 2222 b a 1x a b a 1 x a2 2 2 2ดังนั้นจะได้ว่า a b x a 1tan zasecz2 2 2แบบที่ 3 ตัวถูกอินทิเกรตมีตัวประกอบที่เป็น b x aจัดให้อยู่ในรูป ใหม่ คือแทนค่าด้วยxaseczb22 2 2 2b2b x a a x 12a 2 2 2 2ดังนั้นจะได้ว่า b x a a sec z 1a tanz222 b a x 1a 2ba x 1aหลังจากที่อินทิเกรตได้แล้วผลลัพธ์จะอยู่ในรูปของตัวแปร z ดังนั้นจึงใช้อัตราส่วนตรีโกณมิติของรูปสามเหลี่ยมเปลี่ยนให้อยู่ในรูปของ z ดังเดิม พิจารณาได้จากตัวอย่างต่อไปนี้

84ตัวอย่างที่ 2.30 จงหาค่าของdx2 2x 4 xวิธีท า จะเห็นว่าฟังก์ชันที่ถูกอินทิเกรต12 2x 4 x2จะมีตัวประกอบอยู่ในรูป 4x2 22 2 2ซึ่งตรงกับ a x นั่นคือ 4 x 2 x จะได้ว่า a2ก าหนดให้ x 2tanzดังนั้นdx22sec zdzdx2sec zdz2 2 22x 4 x 2tan z 4 4tan z 22sec z2 22tan z 4 1tan zsec z dz22tan z 2secz1 secz2 dz4tan z1 sin2 z coszdz41 sin2 zd sin z 411 (sin z) c411 c4sin zแทนค่า z โดยการพิจารณาจากความสัมพันธ์ของอัตราส่วนตรีโกณมิติและรูปสามเหลี่ยมมุมฉากจาก x 2tanz ดังนั้นtan zsin z2x2x4x2dzภาพที่ 2.1 สามเหลี่ยมมุมฉาก ซึ่งนั่นคือจะได้ว่าxtan z 2dx 1 c2 2x 4 x 4sin z1 cx424x

8524x c#4xตัวอย่างที่ 2.31 จงหาค่าของdx 324 x 2วิธีท า จะเห็นว่าฟังก์ชันที่ถูกอินทิเกรตดังนั้น1 14 x 4 x3 2 22 2 4xจะมีตัวประกอบอยู่22 22 2 2ในรูป 4 x ซึ่งตรงกับ a x นั่นคือ 4 x 2 x จะได้ว่า a2ก าหนดให้ x 2sinzdx 2coszdz และ2 2 2 24 x 4 2sin z 4 1 sin z 4cos z1 1dx 4 x 4 x 3 2 22 2 4xdx2coszdz24cos z 2cosz1 sec2 zdz41 tan z c4แทนค่า z โดยการพิจารณาจากความสัมพันธ์ของอัตราส่วนตรีโกณมิติและรูปสามเหลี่ยมมุมฉากจาก x 2sinz ดังนั้นsin ztan zx2x4x2ภาพที่ 2.2 สามเหลี่ยมมุมฉาก ซึ่งนั่นคือจะได้ว่าxsin z 21 1dx tan z c424x 2 31 x c4 24x#

86ตัวอย่างที่ 2.32 จงหาค่าของ2xdx2x 4วิธีท า จะเห็นว่าฟังก์ชันที่ถูกอินทิเกรตx22x 42จะมีตัวประกอบอยู่ในรูป x 42 22 2 2ซึ่งตรงกับ x a นั่นคือ x 4 x 2 จะได้ว่า a2ก าหนดให้ x 2seczdx 2secz tanzdz2 2 2จะได้ว่า x 4 4sec z 4 2 sec z 1 2tanzดังนั้น2 2x4sec z 2secz tan z dx dz2 x 42tan z3 4sec zdz1 1 4secz tan z seczdz2 2 2secz tan z 2ln secz tan z cแทนค่า z โดยการพิจารณาจากความสัมพันธ์ของอัตราส่วนตรีโกณมิติและรูปสามเหลี่ยมมุมฉากจาก xนั่นคือจะได้ว่าxx 4secz และ tan z 222xdx 2secz tan z 2ln secz tan z c2x 4 2secz ดังนั้น2 2x x 4 x x 4 2 2ln c2 2 2 22ภาพที่ 2.3 สามเหลี่ยมมุมฉาก ซึ่งsec z2 2x x 4 x x 4 2ln c2 2x #2ตัวอย่างที่ 2.33 จงหาค่าของ29 4x dxxวิธีท า จะเห็นว่าฟังก์ชันที่ถูกอินทิเกรต9 4xx22จะมีตัวประกอบอยู่ในรูป 9 4x2 2 22 2 2ซึ่งตรงกับ a b x นั่นคือ 9 4x 3 (2x) จะได้ว่า a 3ก าหนดให้xdx3sin z23coszdz2 และ b2

8799 4x 9 4sin z 3 1 sin z 3cos z4จะได้ว่า2 2 2ดังนั้น29 4x 3cosz 3dx coszdzx 3sin z 222cos z 3dzsin z21sin z 3dzsin z 1 3 sin zdzsin z 3 cscz sinz dz 3ln cscz cot z coszc แทนค่า z โดยการพิจารณาจากความสัมพันธ์ของอัตราส่วนตรีโกณมิติและรูปสามเหลี่ยมมุมฉากจากcsczx3sin z2 ดังนั้น3 , cot z2xนั่นคือจะได้ว่าภาพที่ 2.4 สามเหลี่ยมมุมฉาก ซึ่งsin z9 4x2x22x3 และ2cosz9 4x39 4x dxx 3 ln cscz cot z cosz c2 23 9 4x 9 4x3ln c 2x 2x 3 sin z3 9 4x2 3ln 9 4x c2x22x #322.4 การอินทิเกรตโดยวิธีการแยกเป็นเศษส่วนย่อยการอินทิเกรตฟังก์ชันที่อยู่ในรูปของฟังก์ชันตรรกยะหรือฟังก์ชันที่อยู่ในรูปเศษส่วนบางครั้งก็สามารถใช้สูตรตรง ๆ ได้ แต่บางครั้งก็ไม่สามารถใช้ได้ ดังนั้นการแยกเป็นเศษส่วนย่อยก็เป็นอีกวิธีหนึ่งที่ช่วยให้หาค่าของอินทิกรัลของฟังก์ชันตรรกยะได้ แต่การที่เราจะอินทิเกรตเลยนั้นคงไม่ได้ ต้องจัดเศษส่วนดังกล่าวให้อยู่ในรูปของเศษส่วนแท้เสียก่อนหรืออยู่ในรูปแบบที่สามารถหาค่าอินทิกรัลได้ ดังบทนิยามต่อไปนี้

88บทนิยาม 2.1 ถ้า P(x) และ Q(x) เป็นฟังก์ชันพหุนามของ x และP(x)F(x) , Q(x) 0Q(x)จะเรียกฟังก์ชัน F(x) ว่าเศษส่วนตรรกยะ (rational fraction)ถ้าระดับขั้นของ P(x) น้อยกว่าระดับขั้นของ Q(x) เรียก F(x) ว่าเศษส่วนตรรกยะแท้(proper rational fraction) และถ้าระดับขั้นของ P(x) ไม่น้อยกว่าระดับขั้นของ Q(x)เรียก F(x) ว่าเศษส่วนตรรกยะไม่แท้ (improper rational fraction)หมายเหตุ เศษส่วนตรรกยะไม่แท้สามารถเขียนให้อยู่ในรูปของฟังก์ชันพหุนามบวกกับเศษส่วนตรรกยะแท้ได้เสมอ โดยการน า Q(x) ไปหาร P(x)เช่น ตัวอย่างที่เป็นเศษส่วนตรรกยะแท้ คือตัวอย่างที่เป็นเศษส่วนตรรกยะไม่แท้ คือ22x 122x 1,1 3x 103x 5x 6, ,232x 12x 2 2x 134 2x x 1x 3x x 1,3x1x 12เป็นต้นเป็นต้น ดังนั้นจะต้องเขียนเศษส่วนตรรกยะไม่แท้ให้อยู่ในรูป ของฟังก์ชันพหุนามบวกกับเศษส่วนตรรกยะแท้ดังนี้ เช่น22x 1 2 12 22x 1 2x 13x x 1 2 1 x xx 1 x 14 2 2x 3x x 1 (3x 1) x 3 3x 1 x 1ส าหรับเศษส่วนตรรกยะแท้ สามารถเขียนในรูปของเศษส่วนย่อย (partial fraction)เพื่อที่จะสามารถอินทิเกรตได้ง่าย ซึ่งสามารถแบ่งวิธีการเขียนเศษส่วนตรรกยะแท้ให้อยู่ในรูปเศษส่วนย่อย ได้ดังนี้ คือกรณีที่ 1 ตัวประกอบของ Q(x) มีก าลังสูงสุดเป็นหนึ่งและอยู่ในรูป ax b และตัวประกอบแต่ละตัวต้องแตกต่างกันนั่นคือ Q(x) เราสามารถแยกตัวประกอบได้เป็น Q(x) (x a 1)(x a 2)(x a 3) ... (x a n)และสามารถเขียนในรูปของเศษส่วนย่อยได้เป็นP(x) A1 A2 A3An ... Q(x) x a x a x a x a1 2 3 nA1 A2 AP(x)(x 1)(x 2)(x 3) x 1 x 2 x 33เช่น P(x)(x 1)(x 2)(x 3)เมื่อ A 1 , A 2 , A 3 ,..., A n เป็นค่าคงที่ซึ่งจะเห็นว่าการอินทิเกรตฟังก์ชันAx 1 x 2 x 31 A2 A3จะท าได้ยากกว่าการอินทิเกรตฟังก์ชัน

89ตัวอย่างที่ 2.34 จงหาค่าของ 21 dxวิธีท า พิจารณา2x 91 1x 9 (x 3)(x 3)A B x 3 x 3A(x 3) B(x 3)(x 3)(x 3)นั่นคือจะได้ว่า 1 A(x 3) B(x 3)การแก้สมการหาค่าของ A และ B ที่นิยม ท าได้ 2 แบบ คือแบบที่ 1 ใช้วิธีการเทียบสัมประสิทธิ์และการแก้ระบบสมการเชิงเส้นจาก 1 A(x 3) B(x 3) หรือ1 (A B)x (3A 3B)เทียบสัมประสิทธิ์ของ x และค่าคงที่ได้เป็นA B 0 ………………………..(1) ………………………..(2)3A 3B 1แก้ระบบสมการเชิงเส้น จะได้A16 และB1 6แบบที่ 2 ใช้วิธีการสมมุติค่า x ที่เหมาะสมที่จะหาค่าของ A และ B ได้ง่ายจาก 1 A(x 3) B(x 3)สมมุติให้ x 3 จะได้1 A(3 3) B(3 3)1 6A นั่นคือสมมุติให้ x 3 จะได้A1 A( 3 3) B( 3 3)1 6B นั่นคือB161 6จากแบบที่ 1 และ แบบที่ 2 จะได้ค่าของ A และ B เท่ากัน ดังนั้นจะได้1 1 12x 9 6(x 3) 6(x 3)1 1 1 dxx 9 6(x 3) 6(x 3) 1 1 1 1dx dx6 (x 3) 6(x 3) dx 2 1 1 ln x 3 ln x 3 c6 6น าเศษส่วนย่อยที่ได้ไปหาค่าอินทิกรัล

901 x 3ln6 x 3c#ตัวอย่างที่ 2.35 จงหาค่าของ 3 2วิธีท า พิจารณา3 2สมมุติให้x1dxx x 2xx1x1x x 2xx(x 2)(x 1)x1A B C x(x 2)(x 1)x x 2 x 1A(x 2)(x 1) B(x)(x 1) C(x)(x 2)x(x 2)(x 1)ดังนั้น x 1 A(x 2)(x 1) B(x)(x 1) C(x)(x 2)แก้สมการ เพื่อหาค่า A , B และ CC 23B 16A 121 1 2 2x 6(x 2) 3(x 1)สมมุติให้ x 1 จะได้ 2 3C นั่นคือนั่นคือ3 2x 2 จะได้ 1 6B นั่นคือx 0 จะได้ 1 2A นั่นคือx1x x 2xx1dxx x 2xดังนั้น 3 2 1 1 2 dx2x 6(x 2) 3(x 1)1 1 2 ln x ln x 2 ln x 1 c2 6 32x13 lnc1 1 x 2 x 26กรณีที่ 2 ตัวประกอบของ Q(x) มีก าลังสูงสุดเป็นหนึ่งและอยู่ในรูป ax b และตัวประกอบ ดังกล่าวมีบางตัวที่ซ้ ากัน#นั่นคือ Q(x) สามารถแยกตัวประกอบได้เป็น Q(x) 2(x a) (x b)(x c)และสามารถเขียนในรูปของเศษส่วนย่อยได้เป็นเช่นP(x) A1 A2B C 2Q(x) x a xa x b x cP(x) A1 A2B C 2 2(x 3) (x 4)(x 1) x 3 x3 x 4 x 1เมื่อ A 1, A 2 , B ,C เป็นค่าคงที่

91ตัวอย่างที่ 2.36 จงหาค่าของ 3 23x 5dxx x x 1วิธีท า พิจารณาการแยกตัวประกอบของ x 3 x 2 x 1 x 3 x 2 x 13x 5 3x 5ดังนั้น 3 2 22 x x 1 x 12x 1x 1 2x 1 x 1 x x x 1 (x 1) (x 1)A B C x 1 x1x 1 2A(x 1)(x 1) B(x 1) C(x 1)2(x 1) (x 1)2นั่นคือจะได้ว่า 3x 5 A(x 1)(x 1) B(x 1) C(x 1)แก้สมการหา A , B และ C โดยการสมมุติค่าของตัวแปร x2จาก 3x 5 A(x 1)(x 1) B(x 1) C(x 1)สมมุติให้ x 1 จะได้แทนค่า23(1) 5 A(1 1)(1 1) B(1 1) C(1 1)8 2B นั่นคือ B 4สมมุติให้ x 1 จะได้23( 1) 5 A( 11)( 11) B( 11) C( 1 1)2 4C นั่นคือสมมุติให้ x 0 จะได้C23(0) 5 A(0 1)(0 1) B(0 1) C(0 1)5 A B C นั่นคือ11A , B 4 และ C223x 5 1 4 1 3 2 2x x x 1 2(x 1) (x 1)2(x 1)นั่นคือ3 2 212A จะได้ว่า1 23x 5 1 4 1 dxx x x 1 2(x 1) (x 1)2(x 1)1 1 1 1 1 dx 4 dx dx22 (x 1) (x 1)2 (x 1) x1 11 1 ln x 1 4 ln x 1 c2 122

924 1 x 1 ln cx 1 2 x 1#กรณีที่ 3 ตัวประกอบของ Q(x) มีก าลังสูงสุดเป็นสองและอยู่ในรูป2ax bx c และตัวประกอบดังกล่าวแตกต่างกัน2นั่นคือ Q(x) สามารถแยกตัวประกอบได้เป็นและสามารถเขียนในรูปของเศษส่วนย่อยได้เป็นP(x) A A x BQ(x) a x b a x b x c1 2 221 1 2 2 2Q(x) (a x b )(a x b x c )เมื่อ A 1 , A 2 , B 2 เป็นค่าคงที่1 1 2 2 2P(x)A A x B A x B2 2(x 2)(x 2x 3)(x 3x 1) x22x 2x 32x 3x 1P(x) A Bx C Dx E 2 2 2 2(x 2)(x 2x 3)(x 3x 1) x2 x 2x 3 x 3x 11 2 2 3 3เช่น ตัวอย่างที่ 2.37 จงหาค่าของ3 2x x x 24 2 dxx 3x 2วิธีท า พิจารณาการแยกตัวประกอบของ x 4 3x 2 2 x 2 1x 2 2ดังนั้น3 2 3 2x x x 2 x x x 24 2 2 2x 3x 2 (x 1)(x 2)Ax B Cx D 2 2x 1 x 22 2(Ax B)(x 2) (Cx D)(x 1)2 2(x 1)(x 2)3 22 2หรือ อาจจะใช้(A C)x (B D)x (2A C)x (2B D)(x 1)(x 2)3 2 3 2ดังนั้น x x x 2 (A C)x (B D)x (2A C)x (2B D)จะได้ว่า A C 1 , 2A C 1 , B D 1 และ 2B D 2จากการแก้ระบบสมการเชิงเส้น จะได้ A 0 , B 1 , C 1 และ D 0นั่นคือ3 2x x x 2 1 x 4 2 2 2x 3x 2 x 1 x 23 2x x x 2 1 xdx dx4 2 2 2 x 3x 2 x 1 x 2 1 dx x dx2 2x 1 x 2 1 1 1 2 dx d(x 2)2 2x 1 2 x 2

93121 2 tan x ln(x 2) c#2กรณีที่ 4 ตัวประกอบของ Q(x) มีก าลังสูงสุดเป็นสองซ้ ากันและอยู่ในรูป ax bx cนั่นคือ Q(x) สามารถแยกตัวประกอบได้เป็นQ(x) 2 n(ax bx c) เมื่อ n เป็นจ านวนเต็มและสามารถเขียนในรูปของเศษส่วนย่อยได้เป็นP(x) A x B A x B A x B Q(x) ax bx c ax bx c ax bx c1 1 2 2 n n...2 2 nเมื่อ A 1 , A 2 , ..., A n และ B 1 , B 2 , ..., Bnเป็นค่าคงที่P(x)2 2 A x B A x BA x B1 1 2 23 3เช่น 2 3 2 2 2 2 3(x 4x 1) (x 4x 1) (x 4x 1) (x 4x 1)ตัวอย่างที่ 2.38 จงหาค่าของวิธีท าพิจารณา22x22 3 dxx 122x 3 Ax B Cx D (x 1) x 1 (x 1)2 2 2 2 22(Ax B)(x 1) Cx D3 22 2(x 1)Ax Bx (A C)x (B D)2 2(x 1)2 3 2ดังนั้น 2x 3 Ax Bx (A C)x (B D)จะได้ว่า A 0 , B 2 , A C 0 และ B D 3จากการแก้ระบบสมการเชิงเส้น จะได้ A 0 , B 2 , C 0 และ D 1นั่นคือ22x 3 2 1 (x 1) x 1 (x 1)2 2 2 2 222x 3 2 1 dx dx2 2 2 2 2 (x 1) x 1 (x 1) 2 dx 1 dx2 2 2x 1 (x 1)2 1 dx 2 dx 2tan x c2 2x 1 x 11dx(x 1)พิจารณา1และ ต้องใช้วิธีการแทนค่าโดยฟังก์ชันตรีโกณมิติ2 2สมมุติให้ xx2 tanz จะได้ dx sec zdz2 2 และ2 2 2 tan z ดังนั้น x 1 tan z 1 sec z หรือ1

941 41 cos z2 2 4(x 1) sec z1dx2 2(x 1) cos z sec zdz2 cos zdz1cos2z dz 2 1 cos2z 21 sin 2z z c2 2 1 1sin 2z z c24 24 2ดังนั้น 1แทนค่าให้อยู่ในรูปของตัวแปร x โดยที่ z tan x และภาพที่ 2.5 สามเหลี่ยมมุมฉากซึ่ง tanz xsin2z1จะได้ 2 2 2 ดังนั้น22sinzcoszx 12 2 2x 1 x 12x2x 11 1 2x 1dx tan x c(x 1) 4x 1222x 3 1 x 1 1dx 2tan x tan x c c2 22x 12(x 1)25 1x tan x c22 2(x 1)21 2#2.5 การอินทิเกรตโดยวิธีการแทนค่าแบบอื่น ๆนอกจากการใช้เทคนิคการอินทิเกรตด้วยวิธีต่าง ๆ ที่กล่าวมาแล้ว ยังมีการอินทิเกรตโดยวิธีการแทนค่าแบบอื่น ๆ ( miscellaneous substitution ) ที่ตัวถูกอินทิเกรตอยู่ในรูปของเศษส่วนและมีเครื่องหมายกรณฑ์ที่อยู่ในรูป n 22ax b , q px x หรือ q px xเป็นต้น ปรากฏอยู่ในฟังก์ชันที่ต้องการอินทิเกรตสามารถใช้วิธีการแทนค่าดังต่อไปนี้

95เพื่อเปลี่ยนตัวถูกอินทิเกรตให้อยู่ในรูปแบบเศษส่วนตรรกยะของตัวแปรที่สมมุติขึ้นมาใหม่ ดังนี้1) ถ้ามีเครื่องหมายกรณฑ์อยู่ในรูป n nax b ให้แทนด้วยตัวแปร u ax b หรือnแทน ax b u เช่น 3 332x 1 ให้แทนด้วย u 2x 1 หรือ 2x 1 u2) ถ้ามีเครื่องหมายกรณฑ์อยู่ในรูป n a bx x2 ให้แทนด้วยตัวแปร2 2a bx x (u x)n 22 2 เช่น 2 2x x ให้แทนด้วย 2 2x x (u x)3) ถ้ามีเครื่องหมายกรณฑ์อยู่ในรูป n 2 na bx x ( x)( x) ให้แทนด้วย2 2 22 2 2 n 2ตัวแปร a bx x ( x) u หรือ a bx x ( x) u เช่น 6 x xหรือ n 2 2 22 2 2(3 x)(2 x)ให้แทนด้วย 6 x x (3 x) u หรือ 6 x x (2 x) uตัวอย่างที่ 2.39 จงหาค่าของdx(x 3) x 1วิธีท า เนื่องจากตัวถูกอินทิเกรตมีเครื่องหมายกรณฑ์ เป็น x 1 ซึ่งอยู่ในรูป n ax b22ดังนั้นต้องสมมุติให้ u x 1 หรือ x 1 u ซึ่ง x u 11 1 12 3 4เนื่องจาก2x u 1dx d u 1 2udu du2 จะได้ว่า เปลี่ยนตัวแปร x ทั้งหมดให้อยู่ในรูปตัวแปร u จะได้ว่าdx2udu2(x 3) x 1 (u 4)udu 2 (u2 4) แทนค่า u x 1 จะได้ว่า ดังนั้น dx 2udu 1 u 2 2ln c2(2) u 21 u 2ln c2 u 2dx 1 x 1 2 ln c#(x 3) x 1 2 x 1 2การอินทิเกรตฟังก์ชันที่มีเลขชี้ก าลังของตัวแปรอยู่ในรูปของจ านวนตรรกยะ เช่นx , x , x เป็นต้น สามารถแทนค่าเหล่านั้นด้วยตัวแปรใหม่ ดังนี้ คือก าหนดให้1u x n โดยที่ n เป็นตัวคูณร่วมน้อยของตัวเลขที่เป็นส่วนของเศษส่วน

96ทั้งหมดที่เป็นเลขชี้ก าลังของตัวแปรของฟังก์ชันที่ถูกอินทิเกรต ทั้งนี้เพื่อให้เลขชี้ก าลังของตัวแปรใหม่ที่สมมุติขึ้นเป็นจ านวนเต็ม ดังเช่นตัวอย่างต่อไปนี้ตัวอย่างที่ 2.40 จงหาค่าของ 3x dxx 41วิธีท า เนื่องจาก x x 2 3และ x x3ซึ่งตัวถูกอินทิเกรตอยู่ในรูปของ n ax bแต่มีทั้ง x และ 3 x จะได้ว่า ตัวคูณร่วมน้อยของ 2 และ 3 คือ 6 ดังนั้น สมมุติให้1u x 6dx1dx d u 6udu du66 5 ซึ่งจะได้ว่า x u โดยที่ ดังนั้น56u duเปลี่ยนตัวแปร x ทั้งหมดให้อยู่ในรูปของตัวแปร u จะได้ว่า1 12 6 2 3x x (u ) u และดังนั้นxu 56u du2x 4 u 4 dx 3 381 13 3 6 2 2x x (u ) uu 6du2u 4 6 4 2 256 6u 4u 16u 64 u2 4x 256dx 6 u 4u 16u 64 du2x 4 u 47 5 3u 4u 16u 1 1u 6 64u 256 tan c 7 5 3 2 2 6 4 2ดังนั้น 3 แทนค่า1u x 6 จะได้37 5 116 61x x 4x 16x2661x dx 6 64x 128tan cx 4 7 5 3 2 6 6 56x x 4 x 16 x 61 x 6 64 x 128tan c 7 5 3 2#ตัวอย่างที่ 2.41 จงหาค่าของ2dxx x x 5วิธีท า เนื่องจากตัวถูกอินทิเกรตมีเครื่องหมายกรณฑ์ เป็น2x x 5n 2a bx x2 2 ดังนั้นต้องสมมุติให้ x x 5 (u x)2 2 2จะได้ว่า x x 5 u 2ux x ซึ่งอยู่ในรูป

97นั่นคือdx2x 2ux u 52u 5x 12u2dx d u 5 du du 12u 2(u u 5)du2(1 2u)2 2เนื่องจาก x x 5 (u x)ดังนั้น2 u u 5x x 5 12u2(1 2u)(2u) (u 5)(2)2(1 2u)2(u u 5)(1 2u)2222222 u 5 u u 5 u 1 2u 1 2u เปลี่ยนตัวแปร x ทั้งหมดให้อยู่ในรูปตัวแปร u จะได้ว่า2dx 1 2(u u 5) 22 2 2 dux x x 5u 5 u u 5 (1 2u)12u 12u1 2du2u 5 1 u 5 1 u 5 2 ln c ln c2 5 u 5 5 u 52 22แทนค่า u จาก x x 5 (u x) จะได้2u x x 5 xดังนั้น22u x x x 5 หรือdx 1 x x 5 x 5 lnc#2 5 2x x x 5 x x 5 x 52xตัวอย่างที่ 2.42 จงหาค่าของ 32 2(2 x x )dx2วิธีท า เนื่องจากตัวถูกอินทิเกรตมีเครื่องหมายกรณฑ์ เป็น 2 x x (2 x)(1 x)ซึ่งอยู่ในรูป n a bx x22 2 2ดังนั้นต้องสมมุติให้ 2 x x (1 x) u2 2จะได้ว่า (2 x)(1 x) (1 x) u2(2 x) (1 x)u

986uดังนั้น dx 2 2และ เนื่องจากดังนั้น(u 1)2ux 2u 12dx d 2 u 2du du u 1 du22 2(u 1)( 2u) (2 u )(2u) 6u(u 1) (u 1)2 2 2 22222 2 2 2 u 2 9u22 22 x x (1 x) u 1 uu 1 (u 1)33 2 23229u 27u2 22 3(2 x x ) (u 1) (u 1)เปลี่ยนตัวแปร x ทั้งหมดให้อยู่ในรูปตัวแปร u จะได้ว่า2 u 6u2 2 22x u 1 (u 1)dx 2 du (2 x x )3 327u2 22 332(u 1)6u 12u 2du327u4 (1 2u2 )du942 u c9u2x จะได้ u จะได้ว่า1x2x 42 x 24 2 x 2 1x dx c c3 9 1x 2 x 9 1 x 2 x 2(2 x x )2 1x 2แทนค่า u จาก 2 x (1 x)u4 4 x9 2 x x2c#การเปลี่ยนฟังก์ชันตรรกยะที่อยู่ในรูปของฟังก์ชันsinx และ cos x หรือฟังก์ชันตรีโกณมิติอื่น ๆ ให้เป็นฟังก์ชันตรรกยะในรูปของตัวแปร u สามารถช่วยในการหาค่าอินทิกรัลได้เช่นเดียวกันแล้วจึงเปลี่ยนค่าที่อินทิเกรตได้จากตัวแปร u ให้เป็นตัวแปร x หรือตัวแปรเดิม ซึ่งมีหลักการดังนี้ คือใช้วิธีการแทนค่า x 2arctanu , x จะได้

99ดังนั้น2dx d 2du du 1u2dx du1uและ sin x sin(2arctanu)2arctan u 2 2sin(arctanu) cos(arctanu) u 1 2sin arcsin cos arccos 2 2 1u 1uu 12 2 21u 1u2u1ucosx cos(2arctan x)222cos (arctan u) 12 1 2 12 1u 1u1u22ส าหรับฟังก์ชันตรีโกณมิติอื่น ๆ ก็สามารถแทนค่าให้อยู่ในรูปของตัวแปร u ได้ดังนี้ คือtan xsecx2u21u21u1u2จากนั้นให้เปลี่ยนตัวแปรu ให้กลับไปเป็นตัวแปร xเนื่องจาก x 2arctanu จะได้ว่าตัวอย่างที่ 2.43 จงหาค่าของ วิธีท า สมมุติให้ x11sin xdxarctan ucot xcscxx2 ซึ่ง2 2arctanu จะได้ว่า dx du21uเปลี่ยนตัวแปร x ทั้งหมดให้อยู่ในรูปตัวแปร u จะได้ว่า1 1 udx 1sin x 2u1 1u1u2 122 du1u 2u22 (1 u) du2du1u2u1u2u22xu tan 22uและ sin x 21u

100แทนค่า 1 2 2c c1 u 1ux1 2u tan จะได้ว่าdx c21sin xx1tan 2 #ตัวอย่างที่ 2.44 จงหาค่าของ secxdxวิธีท า สมมุติให้ x2 2arctanu จะได้ว่า dx du21uเปลี่ยนตัวแปร x ทั้งหมดให้อยู่ในรูปตัวแปร u จะได้ว่า1u 2secxdx du2 21u 1u1 2du21u1u ln c1uแทนค่าxu tan จะได้ว่า22และsecx x1tansec xdx ln 2 cx1tan 21u1u #22ตัวอย่างที่ 2.45 จงหาค่าของวิธีท า สมมุติให้ /2d1cos2 2arctanu จะได้ว่า d du21uเปลี่ยนตัวแปร ทั้งหมดให้อยู่ในรูปตัวแปร u จะได้ว่า1 1 2d 1cos 1u 1u1 1u2 แทนค่า u2 22 1duและ u du cud1 c1cos tan 2 tan จะได้ว่า 2cos x 1u1u22ดังนั้น /2d1 1 cot 1 11cos tan tan22 4 #นอกจากการแทนค่าด้วยวิธีข้างต้นที่กล่าวมาแล้ว ยังมีวิธีการแทนค่าด้วยวิธีอื่น ๆ อีก ซึ่งจะต้องอาศัยการสังเกตตัวถูกอินทิเกรตว่าจะสมมุติอย่างไร จึงจะท าให้หาวิธีการอินทิเกรตฟังก์ชันของตัวแปรใหม่ได้ง่าย

101ดังนั้นตัวอย่างต่อไปนี้จะเป็นการแทนค่าแบบอื่น ๆ เพื่อเป็นแนวทางในการหาค่าอินทิกรัลในรูปแบบต่าง ๆ กันxตัวอย่างที่ 2.46 จงหาค่าของ 1e dxวิธีท า สมมุติให้xu 1 e2 x ดังนั้น u 1ex 2e u 1 จะได้2x ln(u 1)dx 2u2du u 1นั่นคือ dx 2เปลี่ยนตัวแปร x ทั้งหมดให้อยู่ในรูปตัวแปร u จะได้ว่า2u1 e dx u du2u 1x แทนค่า2u2du2u 1 1 21 du2u 1 l u 1 2u ln c2 u 1u1 2u ln cu1xu 1 e จะได้2uduu 1xxx 1e 11 e dx 2 1 e ln c#xตัวอย่างที่ 2.47 จงหาค่าของวิธีท า สมมุติให้xu e 1xx(e 2)ex dxe 11e 1xดังนั้น e u 1 นั่นคือ x ln(u 1)dx 1 จะได้ 1dx du u 1เปลี่ยนตัวแปร x ทั้งหมดให้อยู่ในรูปตัวแปร u จะได้ว่าx x dx x (e 2)e (u 3)(u 1) 1 due 1u u 1 3 1du u แทนค่า u 3lnu cxu e 1 จะได้ว่าduu 1x x(e 2)e xxx dx e 1 3ln e 1 cx x 1 หรือ e 1e 3ln e 1 c #

102ตัวอย่างที่ 2.48 จงหาค่าของวิธีท า สมมุติให้ดังนั้นxu1x1u12 2x 3 xdxdx 1du u นั่นคือ จะได้ dx 22เปลี่ยนตัวแปร x ทั้งหมดให้อยู่ในรูปตัวแปร u จะได้ว่า1 1 1 dx du2 2 2 2 x 3 x 1 1 u 3 2 u u แทนค่าu12 2 (3u 1) udx12 2 21 (3u 1) d(3u 1)61 (3u 1) 2 c6 121 3u2 1 c31x จะได้ว่า212 21 1 3 1 3 x 1 3 x dx 1 c c c #2 22 2x 3 x2.6 อินทิกรัลไม่ตรงแบบ1udu3 x3 x3 xจากการหาอินทิกรัลจ ากัดเขต b f (x)dx มีข้อจ ากัดว่าฟังก์ชัน f ต้องเป็นฟังก์ชันต่อเนื่องaบนช่วง a,b และเมื่อ a และ b เป็นอนันต์จะไม่สามารถหาด้วยวิธีต่าง ๆ ที่กล่าวมาแล้วได้ ดังนั้นเนื้อหาที่จะกล่าวต่อไปนี้ จะเป็นการหาอินทิกรัลของฟังก์ชัน f บนช่วง [a, ) , ( ,b] หรือ( , ) และอินทิกรัลของฟังก์ชัน f บนช่วง a,b ซึ่ง f ไม่ต่อเนื่องที่จุดบางจุดในช่วงa,bนั้นจะเรียกอินทิกรัลในลักษณะนี้ว่าอินทิกรัลไม่ตรงแบบ ( improper integrals) และจะต้องน าเรื่องลิมิตของฟังก์ชันมาช่วยในการหาค่าอินทิกรัลด้วย (Howard , Irl & Stephen, 2002)พิจารณาการหาอินทิกรัลของฟังก์ชัน f (x) โดยที่ x 1 ซึ่งมีความหมาย2เหมือนกับพื้นที่ใต้โค้ง y f(x) , x 1 ซึ่งเป็นบริเวณ R ดังภาพการหาบริเวณ R ด้วยการหาจากอินทิกรัลจ ากัดเขตท าได้ดังนี้คือ1x

103ภาพที่ 2.6 กราฟแสดงพื้นที่ใต้โค้ง y f(x) , x 1เนื่องจากอินทิกรัลจ ากัดเขตของฟังก์ชัน f (x) บนช่วง 21x1,b คือ b 1 2 dxx1ก าหนดให้1ภาพที่ 2.7 กราฟแสดงพื้นที่ใต้โค้ง f (x) บนช่วง x 21,bb1 1 1 b 1I(b) dx 12x x b bพิจารณาค่าของ b ที่แตกต่างกันไป จะได้ว่า110 1 9I(10) 0.910 10100 1 99I(100) 0.99100 1001,000 1 999I(1,000) 0.9991,000 1,000………………………………………………..1,000,000 1 999,999I(1,000,000) 0.9999991,000,000 1,000,000………………………………………………………………….จะเห็นว่าถ้า b ค่าของ I(b) 1 นั่นคือ ถ้าจะหาบริเวณ R สามารถหาได้จากb1 b 1 1lim I(b) lim dx lim lim 1 1b b b 2b bb1x จากหลักการที่สามารถหาอินทิกรัลไม่ตรงแบบในรูปของลิมิตนี้ สามารถแบ่งการหาอินทิกรัลไม่ตรงแบบที่ส าคัญ ๆ ได้ 3 แบบดังนี้คือb1x

104แบบที่ 1 อินทิกรัลไม่ตรงแบบบนช่วง [a, ) ซึ่งสามารถให้บทนิยามได้ดังนี้ คือบทนิยาม 2.2 ให้ f เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องบนช่วง [a, ) อินทิกรัลไม่ตรงแบบบนช่วง [a, )จะแทนด้วยabf (x)dx lim f (x)dx ถ้าลิมิตหาค่าได้baหมายเหตุ ถ้าลิมิตหาค่าได้ จะเรียกf (x)dxและถ้าลิมิตหาค่าไม่ได้จะเรียกว่า ลู่ออก (divergent)xตัวอย่างที่ 2.49 จงหาค่าของ e dx ถ้าหาค่าได้1xวิธีท า เนื่องจาก e เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องบน [1, ) ดังนั้นxภาพที่ 2.8 กราฟแสดงพื้นที่ใต้โค้ง หรืออินทิกรัลไม่ตรงแบบรูปนี้ว่า ลู่เข้า (convergent)ay e , x [1, )bx 1 b1xe dx ljm e dxljm bxe 1 1 ljm xb e e 1xดังนั้น e dx จึงลู่เข้า #ตัวอย่างที่ 2.50 จงหาค่าของ1วิธีท า เนื่องจาก1x1e11 dxxภาพที่ 2.9 กราฟแสดงพื้นที่ใต้โค้ง ถ้าหาค่าได้เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องบน [1, ) ดังนั้น b 1y , x [1, )x1e1 1dx lim dxxxb1 1b b 1lim ln xb lim ln b ln1b1 lim ln bซึ่งหาค่าไม่ได้bดังนั้น จึงลู่ออกเพราะลิมิตหาค่าไม่ได้ #11 dxxb

105แบบที่ 2 อินทิกรัลไม่ตรงแบบบนช่วง ( ,b] ซึ่งสามารถให้บทนิยามได้ดังนี้ คือบทนิยาม 2.3 ให้ f เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องบนช่วง ( ,b] อินทิกรัลไม่ตรงแบบบนช่วง ( ,b]จะแทนด้วย bb f (x)dx lim f (x)dx ถ้าลิมิตหาค่าได้aaตัวอย่างที่ 2.51 จงหาค่าของ1e3xวิธีท า เนื่องจาก e เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องบน ( ,1] ดังนั้น3xdx1 13x aa3xe dx lim e dx1lim ea 33x1 3x 3ae e lim a 3 3 3e 33xภาพที่ 2.10 กราฟแสดงพื้นที่ใต้โค้ง y e , x ( ,1]#ตัวอย่างที่ 2.52 จงหาค่าของ1วิธีท า เนื่องจาก3(2x 1)01(2x 1)3dxเป็นฟังก์ชันต่อเนื่องบน ( ,0] ดังนั้น0 01 1dx lim dx(2x 1) (2x 1) 1y , x ( ,0](2x 1)ภาพที่ 2.11 กราฟแสดงพื้นที่ใต้โค้ง 33a3a031 lim (2x 1) d(2x 1)2aalima 1 4(2x 1)a2 1 1 lim a 4 4(2a 1)1 40a2#

106แบบที่ 3 อินทิกรัลไม่ตรงแบบบนช่วง ( , ) ซึ่งสามารถให้บทนิยามได้ดังนี้ คือบทนิยาม 2.4 ให้ f เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องบนช่วง( , ) และ c เป็นจ านวนจริงซึ่งท าให้ อินทิกรัลไม่ตรงแบบc f (x)dx และบนช่วง ( , ) จะแทนด้วยf (x)dx ลู่เข้าแล้ว อินทิกรัลไม่ตรงแบบของฟังก์ชัน fc cf (x)dx f (x)dx f (x)dxcหมายเหตุ เพื่อง่ายต่อการค านวณ f (x)dx นิยมเลือกจ านวนจริง c 0 หรือ0 f (x)dx f (x)dx f (x)dx0ตัวอย่างที่ 2.53 จงหาค่าของวิธีท า เนื่องจาก2xex2dxx22xe เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องบนช่วง ( , ) และจะเลือก c 0 ดังนั้น202x x x2 2xe dx 2xe dx 2xe dx2 x2พิจารณา 0 x0 และ2xe dx lim 2xe dxaalima x2e 1lim 1e0aaa 2 12bxx2 2xe dx lim 2xe dxb0 02b xlim e b 00 1 lim ( 1)bb e 1

107ดังนั้นx22xe dx 11 0ถ้าพิจารณาจากกราฟของฟังก์ชันR 1ภาพที่ 2.12 กราฟแสดงพื้นที่ใต้โค้งx22y 2xe x ดังภาพจะเห็นว่าy 2xe ,( , )ดังนั้น0x2 2xe dx จะมีค่าเป็นจ านวนลบและ0เนื่องจากx2 2xe dx จะมีค่าเป็นจ านวนบวก02xx2 2xe dx 2xe dx202x x x2 2xe dx 2xe dx 2xe dx00x2x2 2xe dx 2xe dx0 0 0#นอกจากการหาอินทิกรัลไม่ตรงแบบทั้ง 3 แบบ ที่กล่าวมาแล้วยังไม่อินทิกรัลไม่ตรงแบบอีกชนิดหนึ่ง ส าหรับกรณีที่ฟังก์ชัน f ไม่ต่อเนื่องที่จุดบางจุดในช่วง a,b เช่น 4 dx ซึ่ง 2ที่จุด x 1 ฟังก์ชัน21-1YD1R 2-2 2 X(x 1)01(x 1)ไม่ต่อเนื่อง และจะเห็นว่าที่จุด x 1 จะได้ค่าของ f (x) หรือ f (x) ดังนั้นจะให้บทนิยามการหาอินทิกรัลไม่ตรงแบบลักษณะนี้ ดังนี้คือบทนิยาม 2.5 ให้ f เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องบนช่วง [a,b) และอินทิกรัลไม่ตรงแบบบนช่วง [a,b) จะแทนด้วยbattbalim f (x)xbf (x)dx lim f (x)dx ถ้าลิมิตหาค่าได้ หรือ บทนิยาม 2.6 ให้ f เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องบนช่วง (a,b] และอินทิกรัลไม่ตรงแบบบนช่วง (a,b] จะแทนด้วยbabtatlim f (x)xaf (x)dx lim f (x)dx ถ้าลิมิตหาค่าได้ หรือ

108ดังนั้นจากตัวอย่าง 4 dx สามารถหาได้โดยใช้หลักดังนี้204 1 41(x 1)1 1 1dx dx dx 2 2 20(x 1) 0(x 1) 1(x 1)t 41 1lim dx lim dx 2 2t1 0(x 1) t1t(x 1)แล้วจึงหาอินทิกรัลไม่ตรงแบบดังกล่าวต่อไป ค่าของอินทิกรัลไม่ตรงแบบจะมีค่าหรือไม่ก็ขึ้นอยู่กับอินทิกรัลไม่ตรงแบบย่อย ๆ ที่ต้องการหาว่าลู่เข้าหรือไม่ตัวอย่างที่ 2.54 จงหาค่าของ10dx1xวิธีท า เนื่องจาก f เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องบนช่วง [0,1) และดังนั้นตัวอย่างที่ 2.55 จงหาค่าของ1วิธีท า เนื่องจาก2(x 3)ดังนั้นนั่นคือ1 tdx lim 2dx2t 1 20 1x 0 1xlim sin 1t x t1 01 1 t1 43lim sin t sin 01sin 1limx111x #2dx(x 3)2เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องบนช่วง (3,4] และ24 4dx lim dx2 23(x 3) t3t(x 3) 1 lim (x 3) 4t3 t 1 lim 1t 3 2x3ซึ่งหาค่าไม่ได้1lim(x 3)t34 dxลู่ออก #23(x 3)

109ตัวอย่างที่ 2.56 จงหาค่าของวิธีท า เนื่องจาก2x13[ 1,0) และ (0,8]ดังนั้น81x2132x13dx เป็นฟังก์ชันที่ไม่ต่อเนื่องที่ x 0 แต่ต่อเนื่องบนช่วง8 1 0 1 8 13 3 3 2x dx 2x dx 2x dx1 1 0t 1 8 1lim 2x 3dx lim 2x 3dxt 0 1 t0t2t28 lim 3x 3 lim 3x3t0 t0 1 t2 2 2 2 lim 3t 3 3( 1) 3 lim 3(8) 3 3t 3t0 t0 (0 3) (12 0) 9#2.7 การอินทิเกรตโดยใช้โปรแกรมส าเร็จรูปทางคณิตศาสตร์เพื่อให้ผู้เรียนมีทักษะในการใช้โปรแกรมส าเร็จรูปทางคณิตศาสตร์ส าหรับการหาค่าของอินทิกรัลแบบต่าง ๆ จึงขอใช้ตัวอย่างในบทที่ 2 บางตัวอย่าง เพื่อแสดงการหาค่าอินทิกรัลและเป็นการตรวจสอบค าตอบด้วย จะสังเกตเห็นว่าบางตัวอย่างอาจจะได้ค าตอบที่อยู่ในรูปที่ไม่เหมือนกันทั้งนี้เนื่องจากการใช้วิธีการอินทิเกรตที่แตกต่างกัน โดยเฉพาะฟังก์ชันตรีโกณมิติ แต่ถ้าใช้เอกลักษณ์ช่วย ก็สามารถพิสูจน์ได้ว่าเป็นค าตอบที่มีค่าเท่ากัน พิจารณาจากตัวอย่างต่อไปนี้(ด ารงค์ ทิพย์โยธา, 2546)จากตัวอย่างที่ 2.1 – 2.5 ค านวณได้ดังนี้คือ2.12.2xe xx 3dxsimplify e x2xexp( x)1dxsimplify exp x 22 x212.3 xln( x)dxsimplify 2 x2 exp( x) ln( x)121 4 x22.4 xsin( x)dxsimplify sin( x) xcos( x)2.5 asin( x)dxsimplify x asin( x) 1 x 2 expx21 2 e x 1 cos( x)dxsimplify exp( x) cos( x) 1 exp( x)2 2sin( x)

110จากตัวอย่างที่ 2.6 – 2.10 ค านวณได้ดังนี้คือ1asin( x)dxsimplify x asin( x)1 x 2 2 2.6 e x cos( x)dxsimplify 12 exp( x) cos( x) 12 exp( x) sin( x)2.72.82.92 2ln( x 3)dx 5 ln( 5) 4 4.047 sin( x) ln ( 1 sin( x)) ( sec( x)) 31 cos( x) cos xdxsimplify 2cos( x) 2x 3 e 2xdx12 x3 exp( 2 x)3 4 x2 exp( 2 x)2.10 x 3 sin( x)dxsimplify x 3 cos( x) 3 x 2 sin( x)( )2 34 xexp( 2 x) 38 exp( 2 x)6 sin( x)6 xcos( x)จากตัวอย่างที่ 2.11 – 2.15 ค านวณได้ดังนี้คือ2.11 sin x dx( ) 22.12 cos x x2.13 sin x x2.14 cos x xsimplify 1( ) 4 d simplify cos x 4จากตัวอย่างที่ 2.30 – 2.32 ค านวณได้ดังนี้คือ21 cos( x) sin( x)( )31sin( x)( ) 3d simplify cos( x) cos x 3( ) 5 d simplify cos x 52.15 cos( x) 4 sin x dx( ) 31simplify ( )415sin( x)12 x 3 cos( x) sin( x) 3 x8 8( )3 cos( x) 54 cos x 151( )2 7 cos x( )7sin( x)8 sin( x)15 1 112.30 dxsimplify4 x 2 2 x 2 4 x 2( 4 x)12.31 1 xdxsimplify 34 14 x 2 2 4 x 2 2 12.32 x 2 1 dxsimplify x 2 2 x 4 2 x2 2 ln x [( x 2) ( x 2)] 412

111จากตัวอย่างที่ 2.34 – 2.36 ค านวณได้ดังนี้คือ2.34 1dxsimplify 1 x 2 96 ln( x 3)16 ln( x 3)2.35 ( x 1)dxsimplify 1 1 ln( x) x 3 x 2 2 x26 ln( x 2)23 ln( 2.36 ( 3x 5)1 ( ln( 1 x) ln( 1 x) x 8 ln( 1 x) ln( 1 x) x)dxsimplify x 3 x 2 x 12( 1 x)จากตัวอย่างที่ 2.39 และ 2.41 ค านวณได้ดังนี้คือ12.39 dxsimplify atanh 1 ( 1 x) ( x 3) x 1 212 12.41 dxsimplify xx 2 x 51 5 atanh 1510จากตัวอย่างที่ 2.45 และ 2.47 ค านวณได้ดังนี้คือ ( 10 x)x 25 x 512 2.452.46211 cos( x)1 e xdxsimplify 1 12dxsimplify 2 ( 1 exp( x)) 1 22 atanh ( 1 exp( x)) 2.47 e x 2 e x dxsimplify e x 1จากตัวอย่างที่ 2.49 และ 2.52 ค านวณได้ดังนี้คือ exp( x) 3 ln( 1 exp( x))2.492.502.512.52 e x dxsimplify exp( 1)1 1dxsimplify x11e 3x1 dxsimplify exp( 3) 30 11dxsimplify ( 2x 1) 34