202 - Dipartimento di Economia e Statistica

1423Sintesi delle distribuzioniDalle operazioni preliminari del capitolo precedente si esce con una o più distribuzioni di frequenza che riassumonoil contenuto informativo acquisito per i vari aspetti che si è ritenuto di studiare sulle unità. La quantità didati che esse detengono, pur nelle astrazioni e semplificazioni effettuate, è eccessiva perché si possa coglierel’essenza delle variabili o per confrontarle efficacemente. E’ perciò necessario procedere ad una sintesi delledistribuzioni in pochi indici descrittivi (detti statistiche) delle loro caratteristiche più salienti.Quali sono i tratti principali di una distribuzione di frequenza? Qual’è il modo più efficiente per evidenziarli?Quale tecnica può agevolare la comprensione del processo che ha generato i dati? La Statistica, nel corso deltempo, ha focalizzato l’attenzione su alcuni aspetti differenzianti delle distribuzioni quali: la centralità cioèl’esistenza di una modalità, fittizia o reale, che prevalga sulle altre e sia di queste rappresentativa (paragrafo 3.1);la variabilità e cioè l’attitudine delle modalità a disperdersi o a concentrarsi su particolari valori (paragrafo 3.2);la simmetria cioè la tendenza all’equilibrio ovvero al prevalere dei valori piccoli o dei valori grandi studiata nelparagrafo 3.3. Nell’esporre concetti ed indici cercheremo di tenere in primo piano l’avviso di Ehrenberg (1983)che invita ad insegnare la Statistica che si usa limitando l’enunciazione di principi astratti applicati a problemiche nessuno si porrà. In questo capitolo più che nei due precedenti, i calcoli ed i grafici saranno in primo pianoed a questo fine valgono le avvertenze già date nella premessa: qualcuno può anche essere svolto con penna ecalcolatrice, ma è meglio impostarli sul foglio elettronico tipo Excel o con un pacchetto applicativo tipo SPSSche sollevano dalle fasi più ingrate dell’apprendimento per dare maggiore tempo alla riflessione.

3.1 I valori mediI valori medi, o anche indici di posizione o di tendenza centrale individuano il livello di maggiore addensamentodelle modalità ovvero la categoria o il valore (espresso nella stessa unità di misura del fenomeno) intorno a cuiruota l’intera rilevazione.143Esempi:a) Nel grafico sono riportati tre poligoni di frequenza simili tra di loro tranne che per il centro.Le modalità c1, c2, c3 rappresentano il “centro” della distribuzione, interpretabile anche come il livello di equilibrio naturale a cui ladistribuzione tenderebbe in assenza di forze diversificatrici.b) Livi (1963, p. 58) riflette ... Nei giudizi e nei ragionamenti che si fanno su fatti e cose soggetti a variare e a mutare si operaistintivamente un conguaglio di più qualità o quantità disuguali. Su questa cosciente o subcosciente operazione di sintesi o diconguaglio si fonda il comune concetto di media.Per “media”, in Statistica, si intende comune a tante misure ed in ciò differisce dal significato usuale che associail termine “media” ad una somma di valori divisa per il numero degli addendi. La media è una modalità, ipoteticao effettivamente osservata, rappresentativa e tipica della distribuzione. L’unico vincolo nella sua scelta è lacondizione di internalità se la scala di misurazione è almeno ordinale e cioè: X (1)≤ Media ≤X (n).Esempi:ALibri Utenti1 242 233 114 55 265BLinguaggio ParlantiMandarino 740Inglese 403Russo 277Spagnolo 266Indostano 264Arabo 160Bengalese 1552265Nel caso A la media può essere un qualsiasi numero (anche frazionario) compreso tra 1 e 5; nel secondo caso, trattandosi di unavariabile nominale, la media dovrà coincidere con una delle modalità del dominio. La condizione di internalità permette alla media diinformare sull’ordine di grandezza del fenomeno segnalando che una parte delle modalità è minore di essa ed una parte maggiore.Il processo di estrema sintesi che porta al collassamento della distribuzione su di una singola modalità costituiscel’handicap maggiore degli indici di posizione perché distribuzioni molto dissimili possono presentare la stessamedia e quindi questa, da sola, non è in grado di discernere tra situazioni diverse.Esempio:Il centro C è comune a tre diversi poligoni di frequenza. A partire dalla sola conoscenza della modalità C non si riesce a stabilire suquale particolare poligono di frequenza sia stata individuata.c

144Esercizio_SD01: il termine “media” è tradotto in inglese con “mean”, ma anche con “average”.a) Scoprite l’etimologia del termine “average”;b) In inglese, il termine “mean” oltre ad indicare una media generica, ha anche una connotazione negativa.Perché?La centralità è il concetto più facilmente riscontrabile in una distribuzione ed ha dato luogo a numerose definizionioperative che, a scopo esemplificativo, dividiamo in tre gruppi:1) Le medie lasche in cui l’indicatore di centralità coincide con una delle modalità effettivamente riscontrate nellarilevazione (ovvero è funzione di una o due di esse) che si distingue per un qualche aspetto rilevante ai fini dellarappresentatività della distribuzione: la moda, la mediana, i quantili, il valore massimo, il valore minimo.2) Le medie ferme (o analitiche) ottenute con il concorso esplicito di tutte le modalità verificatesi nella rilevazione:la media aritmetica e le medie di potenze.3) Le medie revisionate che coinvolgono tutte le modalità ricadenti in un certo intervallo laddove, su quelleesterne, si effettuano modifiche o sostituzioni quando non siano addirittura soppresse.3.1.1 La modaE’ l’indice di posizione più facile da calcolare, ma anche quello più grezzo. Si identifica con la modalitàcorrispondente alla maggiore frequenza relativa (o con l’ascissa del punto di massima densità di frequenza nelcaso di variabili continue) e può essere locale o globale: una moda locale M jsi determina quando una modalitàha una frequenza relativa più alta rispetto alla modalità che immediatamente la segue e la precede nel dominio(purché la scala di misurazione sia almeno ordinale):{ } = { ≤ = … }M = x f ≤ f ≥ f ; M M f f ; i , , kj j j− 1 j j+1 o j i j 12La frequenza relativa maggiore determina la moda globale: M oper cui una distribuzione può avere più modelocali e una o più mode globali. Il calcolo avviene in due fasi: prima si determinano le frequenze localmente oglobalmente maggiori e poi si considerano “mode” le modalità ad esse corrispondenti; attenzione a non fermarsialla prima fase e considerare “moda” la frequenza maggiore: è un errore visto che la moda deve essere unamodalità. Il senso di questo indice è che la distribuzione possa essere rappresentata -su tutto l’arco dei valoridallamodalità che si è ripetuta più spesso.Esempi:a) Classificazione del molare destro per numero di b) Valutazioni espresse da un gruppo di 100 giudicicanali su 1000 soggetti sulla qualità di una confezione.N. di canali Soggetti Valutazioni Giudici1 2Ottimo 152 914Buono 293 76Sufficiente 194 8Mediocre 251000Pessimo 12100Nel primo caso esiste una sola moda ed è rappresentativa visto che riguarda più del 91% dei soggetti; nel secondo la distribuzione ha duemode locali della stessa importanza (29% e 25%), ma per giudizi abbastanza discosti. Ne consegue che la moda globale “buono” è sìdeterminabile analiticamente, ma non logicamente dato che la sua tipicità non può estendersi oltre l’ambito delle valutazioni non sfavorevoli.Esercizio_SD02: presenze nei governi di alcuni partiti (9 legislature).a) Calcolare la moda per le partecipazioni al governo e per le presenze conministri;b) Ha senso calcolare la moda per il rapporto M/P?Partito Partecipazioni Ministro M/PDC 45 78 1.73PSDI 26 19 0.73PLI 14 7 0.50PRI 22 10 0.45PSI 19 32 1.68Per calcolare la moda non è necessario usare tutte le informazioni: le modalità non entrano infatti nella sua formulache è basata sul confronto delle frequenze; questo è un vantaggio per la rapidità di calcolo, ma è anche un limite e nonsorprende perciò che in certe occasioni la moda possa dare indicazioni inaccettabili.

145Esempio:Bachman e Paternoster (1997, p. 86) propongono la seguente situazione: un gruppo di n=20 uomini arrestati per violenza in famigliavenne sottoposto a vigilanza speciale per due anni. Al termine del periodo si registrò la distribuzione qui riportata per la reiterazionedel reato.Denunce Pregiudicati0 81 12 13 14 35 36 320La frequenza massima è “8” corrispondente a “0” denunce ed appare piuttosto significativa dato che la frequenza più grande dopoquella modale è meno della metà. Tuttavia, dire che è tipico che, in libertà vigilata, si abbiano zero denunce sarebbe una inammissibilecopertura per un gruppo di sei criminali che ha ripetuto lo stesso bruttissimo reato per cinque o sei volte.Esercizio_SD03: quali sono le ragioni di maggiore insoddisfazione dei clienti? Una indagine campionaria sugliacquirenti di prodotti elettronici ha ottenuto i risultati in tabella.Motivo principale %Commesso/a che non ascolta 23Non trova prodotto pubblicizzato 3Lunga attesa al telefono per aver risposta 10Apparecchiatura difficile da usare 9Costo elevato delle riparazioni 13Eccessivo materiale pubblicitario postale 12Difficoltà nel far valere la garanzia 16Acquistare un prodotto difettoso 6Essere pressati da venditori insistenti 8100a) Individuate la moda; b) Valutate la sua validità come categoria rappresentativa in questo tipo di indagine;c) La moda è ritenuta un indicatore di centralità piuttosto stabile. In che senso si deve intendere questa caratteristica?L’individuazione della moda è immediata se si dispone di una rappresentazione grafica della distribuzione:istogramma o poligono di frequenza. Basta trovare le ascisse corrispondenti ai picchi; quella associata al piccopiù alto sarà la moda globale.Esempi:a) Talvolta, la frequenza non corrispondere ad un valore unico. Inoltre, la frequenza che individua la moda potrebbe superare di pocoquelle di altre mode locali al punto da invalidare la moda come valore rappresentativo.Mo Mo 1 Mo 2La bimodalità è di solito l’esito di un accentuato dimorfismo quale ad esempio la distribuzione di una specie di uccelli per peso o perapertura alare in cui la diversità dei sessi determina la creazione di due poli di addensamento dei valori.b) Classificazione di 100 persone, di tre diverse etnie, secondo il gruppo sanguigno.Etnia 1 Etnia 2 Etnia 3Gruppo f i Gruppo f iGruppo f iA 0.20 A 0.38 A 0.25B 0.45 B 0.37 B 0.26AB 0.15 AB 0.20 AB 0.24O 0.20 O 0.05 O 0.251.00 1.00 1.00La distribuzione dell’etnia “1” è unimodale con moda rappresentativa nel gruppo “B”, la distribuzione “2” è bimodale ovvero non hauna moda univoca, la “3” è una distribuzione uniforme in cui ogni categoria è rappresentativa di se stessa e quindi esistono delle modelocali (ma non una moda globale).

146Esercizio_SD04: numero di pazienti ammessi ogni giorno in una clinica privata.Pazienti Giorni f 0.305 8 0.04446 12 0.06670.257 17 0.0944 0.208 35 0.19449 50 0.27780.1510 33 0.1833 0.1011 13 0.072212 10 0.0556 0.0513 2 0.0111 0.00180 1.0000 5 6 7 8 910 11 12 13a) Calcolare la moda; b) Vi sembra che sia una efficace sintesi della distribuzione?Esercizio_SD05: morti in incidenti stradali in sinistri distinti per statali, provinciali e comunali (A) e perautostrade e superstrade (B).Morti Sinistri A Sinistri B0 31 271 26 322 29 313 16 154 11 85 7 4>5 5 3125 120a) Calcolare la moda per le due distribuzioni e per la distribuzione congiunta ottenuta sommando le frequenze;b) Rappresentare la distribuzione congiunta e interpretare la eventuale bimodalità.La moda ha il grave difetto delle oscillazioni campionarie: se la popolazione ha due punti di addensamento M 1e M 2(di cui uno è la moda globale) molti campioni avranno come moda M 1, ma altri avranno la M 2e ciòdiminuisce la possibilità di generalizzare il risultato all’intera popolazione.Esempio:L’estrazione di due campioni di ampiezza n=40 da una popolazione bipolare che cioè si addensa intorno ad un centro e ad unanticentro, ha prodotto gli istogrammi qui riportati.La moda è nettamente diversa nei due campioni: si intuisce la presenza della bimodalità, ma non è sicura ed in mancanza di altrenotizie si opterà per una sola moda significativa (e nettamente diversa) in entrambi i casiNella statistica inferenziale vedremo come le eccessive fluttuazioni campionarie di una statistica comportinocampioni di ampiezza maggiore (e quindi più costosi e più soggetti ad errori).La moda per dati raggruppati in classiPer dati raggruppati in classi la frequenza relativa maggiore individuerà, dopo aver eliminato l’influenza delladiversa ampiezza, la classe modale; all’interno di tale classe occorre determinare il valore puntuale più rispondenteall’idea di moda. La diversità di ampiezza deve essere superata in quanto la frequenza di una classe puòdipendere dalla sua maggiore o minore estensione ed a questo fine basterà confrontare la densità di frequenzache rende comparabile l’incidenza delle classi: h o≥h iper i=1,2,…,k. A questo punto qualsiasi valore ricadentenella classe modale può assumere il ruolo di moda tanto che, per evitare ambiguità, si preferisce spesso concludereil calcolo alla classe modale.

147L’indeterminatezza insorge perché si ignora il comportamento dei valori nella classe: se ci sono ragioni di pensareche queste si dispongano simmetricamente rispetto al valore centrale: M o=(U o+L o)/2 allora si potrà consideraremoda proprio il valore centrale della classe modale:Esempio:Alcuni pazienti sono stati raggruppati a seconda del livello di colesterolo LDL presente nel sangue.Livelli n f c170 180 18 0.1084 175180 190 29 0.1747 185190 200 32 0.1928 195200 210 24 0.1446 205210 220 21 0.1265 215220 230 14 0.0843 225230 240 11 0.0663 235240 250 9 0.0542 245250 260 6 0.0361 255260 270 2 0.0120 265166 1.0000La moda è X=195. E’ un calcolo approssimato, ma di solito soddisfacente. Da notare però che, a differenza del calcolo della modaper variabili nominali, ordinali e metriche discrete, la moda non necessariamente è una delle modalità osservate: non siamo quindisicuri che qualcuno dei soggetti abbia fatto registrare un livello di LDL pari a 195. La condizione di internalità è comunque rispettataautomaticamente.Ipotesi di attrazioneTenuto conto della soggettività della strutturazione in classi che possono essere variate in numero ed ampiezzasembra inutile cercare tecniche sofisticate per un calcolo così ovvio. Tuttavia, se si dovesse per forza proporrecome “media” la modalità di massima frequenza e non sembri soddisfacente il valore centrale della classe modalesi può seguire uno schema alternativo.Moda secondol'ipotesidi attrazioneCABDModa secondo l'ipotesisimmetria e unimodalitàL oU oSi ipotizza che la moda sia più vicina all’estremo della classe modale che confina con la classe a maggiore densità(che risulta perciò esercitare una più forte attrazione) fra le classi contigue a quella modale (se la classe modalefosse estrema il problema non si porrebbe). La moda si determina come ascissa del punto di intersezione delledue rette AB e CD nel grafico a destra che rende uguale il peso delle classi adiacenti:( )( )( )⎡ hM o = L o +o − h o−1 ⎤⎢⎥⎣⎢( h o − h o−1 )+ h o − h o+1 ⎦⎥ U o − L oLa situazione in figura mostra una moda -calcolata con l’ipotesi di attrazione- inferiore al valore centrale dellaclasse modale perché la classe antecedente ha densità maggiore di quella susseguente e quindi dà maggiore pesoalle modalità più a sinistra. Le due formule coincidono se le classi contigue della modale hanno la stessa densità:h o-1= h o+1.

148Esempi:a) Un’azienda attiva nel campo della grande distribuzione ha suddiviso in classi di importo (in milioni di lire) gli ordini ricevuti nell’ultimomese. Casse modale: (4.0-5.9); valore centrale classe modale=(4.0+5.9)/2=4.95;moda secondo l’ipotesi di attrazione:⎡ 0.1852 − 0.1558 ⎤4.0 + ⎢⎥ *1.9 = 4.38⎣( 0.1852 − 0.1558)+ ( 0.1852 − 0.0677)⎦Importi Ordini fid i h i0.0 1.9 102 0.1726 1.9 0.09082.0 3.9 175 0.2961 1.9 0.15584.0 5.9 208 0.3519 1.9 0.18526.0 7.9 76 0.1286 1.9 0.06778.0 9.9 23 0.0389 1.9 0.020510.0 11.9 7 0.0118 1.9 0.0062591 1.0000b) Una radiografia è stata scomposta in pixel (elemento minimo di risoluzione) e di ognuno si è rilevato il livello di grigio.Classe modale: 31-49; valore centrale della classe modale: (31+49)/2=40;ipotesi di attrazione:⎡ 0.0071 − 0.0004 ⎤31 + ⎢⎥ *18 = 41.05⎣( 0.0071 − 0.0004)+ ( 0.0071 − 0.0018)⎦Riflettenza Pixel fi d i h i0 30 54 0.0113 30.0 0.000431 49 613 0.1277 18.0 0.007150 98 421 0.0877 48.0 0.001899 127 716 0.1492 28.0 0.0053128 160 432 0.0900 32.0 0.0028161 191 798 0.1663 30.0 0.0055192 240 1579 0.3290 48.0 0.0069241 255 187 0.0390 14.0 0.00284800 1.0000Nonostante il maggiore formalismo e l’aura di precisione che il calcolo della moda sembra possedere nell’ipotesi di attrazione, restail dubbio se sia un vero e proprio miglioramento rispetto al valore centrale della classe modale, soprattutto in distribuzioni come questa,chiaramente bimodali e con mode non contigue.La moda è una statistica che ha un significato peculiare che non sempre trova riscontro nella distribuzione o netrova più di uno. E’ per questo che, pur essendo calcolabile per variabili su ogni tipo di scala, risulta utilizzatameno assiduamente rispetto agli altri indici di centralità che studieremo nei prossimi paragrafiEsempi:a) Dalenius (1965) riporta la seguente situazione in cui la moda è la migliore indicazione di centralità: un fabbricante di scarpe ha avutodei guasti nei macchinari che gli consentono di produrre una sola misura. Dovrà produrre la misura modale se vuole minimizzare ilnumero di prodotti che rimangono in magazzino.b) La moda è il valore più frequente nella distribuzione. Se i valori osservati debbono costituire una base empirica per previsioni sullesuccessive manifestazioni del fenomeno, allora la moda è il valore su cui puntare in mancanza di altre informazioni.Esercizio_SD06: costo del pasto alle mense universitarie (anno 1992).Costo Atenei f d 100*h

1493.1.2 La medianaImmaginate una compagnia di soldati schierata per un picchetto d’onore od anche un gruppo di majorettes pronteper la sfilata. In entrambi i casi i giovani sono disposti in ordine di altezza crescente. La fila che sta al centro èla fila mediana: se il numero di file è dispari, la mediana è tale che metà delle file è formata da persone più altee metà delle file da persone più basse da quelle inserite nella mediana; se il numero di file è pari allora la mediananon è più una fila effettiva, ma una riga ideale tracciata a metà strada tra le due file che occupano le posizionipiù centrali.Uno dei più noti indici di posizione, la mediana, si basa proprio sull’idea di fila centrale.⎧⎪⎪M e = ⎨⎪⎪⎩X⎛ n+1⎝ 2⎞⎠se "n" è dispariX ( n/2)+ X ( n/2)+12se "n" è pariLa formula, per “n” pari, presuppone che abbia senso pensare ad un valore centrale tra due di esse. Se dietro ildominio esiste un continuo percettivo la mediana sarà un ideale grado intermedio tra le categorie ordinali più alcentro; se il continuo non esiste la mediana dovrà essere interpretata e non solo calcolata. Da notare, infine, chela mediana -per costruzione- verifica la condizione di internalità.Esempio:Si considerino i seguenti costi di estrazione (dollaro/barile) in varie zone di produzione. I valori ordinati sono:{2.5,5.0,6.0,6.2,6.3,7.4,7.5,10.7,15.1,17.5}. Poiché la graduatoria prevede n=10 unità, le posizioni centrali saranno la “5” e la “6” :X 102M e =( ) + X 10 2( )+1= X ( 5) + X ( 6)6.3 + 7. 4=22 2= 6.85Usa/Alaska 7.5 Canada 5.0Messico 6.0 Venezuela 6.2Argentina 15.1 Medio Oriente 2.5Indonesia 10.7 Africa 7.4Nord Europa 17.5 Russia 6.3Esercizio_SD08: salari iniziali per laureati in economia con indirizzo internazionale.Laureata StipendioGina F. 1940Lina D. 1730Tina R. 1690Pina A. 2000Nina T. 2580Laureata StipendioDina S. 1710Rina C. 1680Mina G. 1460Mita L. 2170Rita A. 2360Laureata StipendioLisa B. 1830Aida H. 2040Mira S. 2170Irma F. 1950a) Calcolare lo stipendio mediano;b) Interpretate il risultato alla luce del significato attribuito a questo indice di centralità.Quando le modalità si ripetono numerose l’attenzione si sposta sulle frequenze relative cumulate. La medianaè la modalità più piccola cui corrisponde la frequenza relativa cumulata maggiore o uguale a 0.5. La definizionecoincide con l’ascissa della ogiva di frequenza (cumulata o retrocumulata) corrispondente all’ordinata tale cheF(x)=G(x)=0.5.Esempi:a) Riunioni settimanali necessarie al completamento di un progetto.Sedute Settimane f i F i0 4 0.0769 0.07691 9 0.1731 0.25002 15 0.2885 0.53853 11 0.2115 0.75004 6 0.1154 0.86545 4 0.0769 0.94236 2 0.0385 0.98087 1 0.0192 1.000052 1.000016141210864200 1 2 3 4 5 6 7La mediana è 2 settimane che coincide anche con la moda della distribuzione.

150b) Classificazione dei clienti di un punto vendita per numero di acquisti effettuati nel mese. La mediana è “3” la cui frequenza relativacumulata (0.7590) è la prima a raggiungere la soglia di 0.5.{ }Me = Min x F ( x )≥ 05Acquisti Clienti f F0 40 0.0964 0.0964.1 69 0.1663 0.26272 95 0.2289 0.49163 111 0.2675 0.75904 74 0.1783 0.93735 26 0.0627 1.0000415 1.0000c) Espressione grafica della mediana.M eM eLa mediana corrisponde alla retta X=M e che separa due parti uguali dell’istogramma o dell’area sottesa al poligono di frequenza.La mediana è una statistica piuttosto stabile: l’aggiunta di una nuova modalità la cambia solo se il nuovo valorealtera l’ordinamento. Se la mediana del “numero di acquisti effettuati da un cliente” è “3 acquisti” la medianarimarrà invariata se si aggiungono coppie di clienti con “1” e “4” acquisti o qualsiasi altra coppia di modalitàinferiore e superiore alla mediana. Questo però potrebbe anche essere un difetto se il comportamento nelle codeè utile per comprendere il fenomeno. La mediana, in effetti, sfrutta solo le relazioni ordinali tra le modalità edil dominio della variabile deve perciò essere almeno su tale scala. In caso di variabile ordinale la mediana saràla prima categoria della graduatoria corrispondente alla frequenza relativa cumulata 0.5 o superiore.Esempio:il boss mafioso don Mariano, nel “Giorno della civetta” di Leonardo Sciascia, dà una eloquente classificazione delle persone. Qui èproposta con delle frequenze ipotetiche, ma rispondenti all’idea del boss.Categorie Persone fi FiUomini 5 0.0002 0.0002Mezzi uomini 50 0.0024 0.0026Ominicchi 1000 0.0476 0.0502Fessi 5000 0.2381 0.2883Quaqquaraqquà 14945 0.7117 1.000021000 1.0000Secondo don Mariano è facile individuare la mediana.E’ chiaro che la scelta delle categorie influenza la mediana: un raffinamento o un accorpamento può determinarelo spostamento della mediana che conserva perciò un certo grado di soggettività per variabili ordinali.Esercizio_SD09: provincie per residenti in zone urbane/residenti totali:Tipologia Province f FAltamente urbane 27 0.2621 0.2621Urbane 31 0.3010 0.5631In transizione 19 0.1845 0.7476Rurali 17 0.1650 0.9126Altamente rurali 9 0.0874 1.0000103 1.0000a) Calcolare la mediana;b) Se la mediana cadesse tra “urbane” e “in transizione” che interpretazione dareste?La mediana per dati in classiSe le modalità sono in classi sarà possibile individuare univocamente solo la classe mediana cioè la classe cuicorrisponde la frequenza relativa cumulata 0.5. Per determinare un valore puntuale sarà necessario, come per lamoda, fare un’ipotesi sulla distribuzione dei valori ricadenti nella classe mediana.

151Quella più ricorrente è che le modalità si distribuiscano uniformemente all’interno della classe; ciò implica:(M e = L e + 0.5 − F e−1); per "e" tale che F e =h eMin { F F j ≥ 0.5}1≤ j≤kEsempi:a) Uno studio di consulenza ha classificato le operazioni di auditing per la revisione dei conti annuali secondo la durata in giorni delciclo di operazioni. Il calcolo della mediana avviene in due passi: si individua la classe mediana e poi si interpola linearmente perottenerne il valore puntuale.0.5 − 0.3333M e = 15 + ( ) = 18.110.2143 4Durata Revisioni f F5 7 5 0.0595 0.05958 10 9 0.1071 0.166710 14 14 0.1667 0.333315 19 18 0.2143 0.547620 24 15 0.1786 0.726225 29 12 0.1429 0.869030 34 11 0.1310 1.000084 1.0000Nel calcolo della mediana per modalità in classi non si accenna alla distinzione tra “n” pari ed “n” dispari che ha una qualche importanzasolo se l’ampiezza della rilevazione è piccola. D’altra parte, per i dati in classi, il calcolo della mediana avviene già in forma approssimatae si suppone che questa sia valida sempre.b) Un’indagine sulle bibite contenenti alcool in commercio nella Comunità europea ha portatoalla tabella qui riprodotta. La mediana sarebbe la bibita che in ordine di contenuto di alcooloccupa la 53ª posizione. L’aggregazione in classi ha però fatto perdere questa informazioneche deve essere data in via presuntiva: M e =3.5.% Alcool Bibite N0.0 - 1.0 3 30.1 - 2.0 7 102.0 - 3.0 15 253.0 - 3.5 28 533.5 - 4.0 31 844.0 - 5.0 16 1005.0 - 8.0 5 105105c) La formula di calcolo della mediana è applicabile anche quando la distribuzione ha degli estremi indeterminati In questo caso ilcalcolo della moda potrebbe essere precluso se la classe con densità massima è una di quelle terminali. Rilevazione su n=200 clientidi un megastore di articoli sportivi. Dalle ricevute rilasciate gli importi più piccoli e più grandi sono stati acquisiti come ordine digrandezza e non come valore esatto.( 05 . − 047 . )M e = 101 += 105.645( 0. 155 / 24)Xi ni fi Fi25 7 0.035 0.03526 50 11 0.055 0.09051 75 40 0.200 0.29076 100 36 0.180 0.470101 125 31 0.155 0.625La mediana ricade nella classe [101-125] e il suo calcolo puntuale è avvenuto senza problemi.Esercizio_SD10: unità locali per addetto nelle confezioni di vestiario.Addetti Unità locali f F≤3 1124 0.2171 0.21714 5 637 0.1230 0.34026 9 636 0.1229 0.463010 19 1206 0.2330 0.6960126 150 26 0.130 0.755151 175 15 0.075 0.830176 200 12 0.060 0.890201 225 10 0.050 0.940226 250 9 0.045 0.985251 3 0.015 1.000200 1.00020 99 1212 0.2341 0.9301100 249 238 0.0460 0.9760250 499 91 0.0176 0.9936500 999 25 0.0048 0.9985≥1000 8 0.0015 1.00005177 1.0000a) Calcolare la mediana;b) In quali casi l’indeterminatezza degli estremi può divenire un ostacolo?Esercizio_SD11: raggruppamento dei giorni di un anno secondo la velocità massima in nodi del vento osservatain una stazione di rilevamento eolica.Velocità Giorni f F0.0 0.4 176 0.4822 0.48220.4 2.9 60 0.1644 0.64663.0 7.9 34 0.0932 0.73978.0 12.9 31 0.0849 0.824713.0 17.9 26 0.0712 0.895918.0 22.9 20 0.0548 0.950723.0 27.0 18 0.0493 1.0000365 1.0000a) Calcolare la mediana;b) Redigere l’istogramma e verificare che l’area a sinistra ed a destra della mediana siano uguali.

152La mediana rende minima la somma dei valori assoluti degli scarti, cioè la quantità:è minima se A=M e.QA ( )= ∑ X i − Aki=1f iEsempi:a) Proviamo a darne una dimostrazione per modalità tutte positive scomponendo la somma dei valori assoluti in due somme parziali:( )( )QA ( )= ∑ X()i − Af() i + ∑ A−X()i f()iX() i > AX()i ≤ A= ∑ X()i f() i − A ∑ f()i + A ∑ f()i − ∑ X()i f() i ± ∑ X()i f()iX() i > AX() i > A X() i ≤ A X() i ≤ AX()i ≤ A= ∑ X()i f() i + ∑ X()i f() i − A[ 1− F( A)]+ AF( A)− 2 ∑ X()i f()iX() i > AX() i ≤ AX()i ≤ A=µ−A[ 1− 2F( A)]− 2 ∑ X()i f()iX ≤ A() idove µ è la media aritmetica (cfr. par. 3.1.4) non dipendente da A. L’andamento di Q(A) è decrescente per A tale che F(A)0.5; il minimo è perciò raggiunto per F(A)=0.5 che corrisponde ad A=M e .b) Siano {X (1) , X (2) , …,X (k) } delle stazioni disposte lungo una linea ferroviaria. Supponiamo che un treno parti da un punto genericoA lungo la linea per lasciare il carico alla stazione X (1) e poi, tornato ad A, riparta carico per andare a scaricare a X (2) e così proseguendofino a che non lasci l’ultimo carico alla stazione X (k) . In quale punto deve essere collocato A in modo da rendere minima la distanzacomplessivamente percorsa?X (1) X (2)X (i)M e X (i+1)X (k-1) X (k)Evidentemente dovrà trovarsi interno a (X (1) ,X (k) ) altrimenti sarebbe possibile ridurre la distanza scegliendo A=X (1) oppure A=X (k) . Allostesso modo “A” deve essere interno a (X (2) ,X (k-1) ) a (X (3) ,X (k-2) ) e così via. Pertanto, se vi è un elemento che si trova in posizionecentrale A coinciderà con esso ovvero A=mediana. Se esiste una coppia di punti centrali A sarà il punto intermedio tra di esse.Esercizio_SD12: si consideri la distribuzione di frequenza( ) = …Xi, fi, i 12 , , , k.a) Che succede alla mediana se le frequenze delle prime k/2 modalità sono dimezzate e quelle successive sonoraddoppiate?b) Che succede alla moda?Esercizio_SD13: variazioni percentuali in ribasso di un indice sintetico per la borsarispetto alla linea di tendenza teorica (cfr. Cap. 4). Valutazioni su 500 giornate borsistiche.a) Calcolare la mediana;b) Rappresentare il poligono delle frequenze ed individuate graficamente la mediana.Variazione Giornate-50 -45 7-45 -40 19-40 -35 32-35 -30 45-30 -25 68-25 -20 85-20 -15 79-15 -10 62-10 -5 55-5 0 48500Esercizio_SD14: un vasto studio sui gemelli mirava a stabilire se il primo nato èpiù aggressivo nei confronti. Un indicatore di aggressività con valori crescenti tra50 e 100 è stato rilevato su 120 coppie.a) Calcolare moda e mediana per entrambe le distribuzioni;b) E’ ragionevole, in base a questi dati, l’ipotesi della maggiore aggressività delprimogenito?Indice 1° nato 2° nato50 55 3 656 60 4 1061 65 6 1866 70 9 2571 75 14 2476 80 20 1681 85 21 1286 90 23 591 95 12 396 100 8 1120 120

1533.1.3 I quantiliL’idea della mediana può essere generalizzata. Ogni ascissa X p-detta quantile di ordine “p”- della funzione digraduazione vista nel capitolo precedente può essere adoperata per misurare la centralità della distribuzioneconfigurandosi come il valore che supera il p% ed è superato dall’(1-p)% delle modalità rilevate. La formulausuale per modalità discrete è( ) + < < ≤ < + =X = 1 −γ X γX , 0 p 1 ; i np i 1 ; γp () i ( i+1)⎧05. se [ np]=np⎨⎩1se [ np]

154Esempio:Principali coltivazioni agricole delle Marche nel 1998. Valori in ettari. Calcolo del quantile di ordine 0.60:n* p = 9* 060 . = 54 . ⇒ i = 54 . + 05 . 59 . 5; γ 59 . 5 09 .X06 . = 0. 1* X( 5) + 0. 9 * X( 6)= 23' 300.6[ ]= [ ]= = − =Coltivazione SuperficiePomodoro 1'304 Mais ibrido 14'558Pesca 1'486 Uva da vino 24'272Cavolfiore 1'967 Grano tenero 36'553Olivo 6'218 Girasole 38'281Grano duro 123'049Esercizio_SD18: superficie delle fiere in m 2 . Periodo 1987-1996.Milano 12'677'412 Firenze 1'209'431 Padova 462'414Bologna 5'187'952 Genova 1'129'177 Parma 373'761Verona 2'413'274 Rimini 845'366 Forlì 216'356Napoli 2'018'978 Bari 547'539 Roma 81'286Torino 1'150'220 Foggia 475'864 Longarone 50'560Calcolare il quantile che separa il primo 15% dal resto.Per modalità in classi si adopera la formula:Xp= L +i( )p−Fihi−1; per " i" tale che F = Min FF≥p;i{ j j }1≤j≤kche è basata, come per la mediana, sull’interpolazione lineare all’interno della classe di interesse.Esempio:Dimensioni delle operazioni di fusione e di acquisizione in Italia per fatturato. Calcolo di X 0.80 .(0.80− 0.7477)X 0.80= 40 + = 51.18( 0.0935/ 20)Fatturato Operazioni fi Fi1 5 30 0.2804 0.28045 20 36 0.3364 0.616820 40 14 0.1308 0.747740 60 10 0.0935 0.841160 100 12 0.1121 0.9533100 150 5 0.0467 1.0000107 1.0000Esercizio_SD19: disoccupati impegnati in lavori socialmente utili.Età Operai f F15 19 85 0.0050 0.005020 24 1676 0.0976 0.102625 29 5455 0.3178 0.420430 34 6137 0.3575 0.777935 39 2552 0.1487 0.9265Calcolare i percentili di ordine 0.60 e 0.30.40 44 740 0.0431 0.969645 49 322 0.0188 0.988450 54 127 0.0074 0.995855 59 50 0.0029 0.9987≥60 22 0.0013 1.000017166 1.0000E’ raro che un quantile sia usato da solo. In genere si adoperano come estremi di classi con numerosità prestabilitaoppure per individuare soglie di troncamento e di esclusione. Fra i quantili più noti ci sono i 3 quartili chesuddividono i valori in quattro gruppi ciascuno comprendente il 25% delle unità. Pure usati sono i 4 quintili(richiamati in diverse valutazioni cliniche) e i 9 decili nello studio della distribuzione dei redditi.Esempi:a) Deputati di un partito per classi di età. Calcolo dei quattro quintili.Età Deputati f F≤30 2 0.0114 0.011430 34 11 0.0629 0.074335 39 12 0.0686 0.142940 44 39 0.2229 0.365745 49 51 0.2914 0.657150 54 46 0.2629 0.920055 59 10 0.0571 0.977160 64 2 0.0114 0.988665 74 2 0.0114 1.0000175 1.00000. 20 − 0.1429C 1= 40 + ( )*4 = 41. 020.22290. 40 − 0.3657C 2 = 45 + ( ) *4 = 45. 470. 29140.60 − 0. 3657C 3= 45 + ( )*4 = 48.220. 2914C = 50 + ( 0.80− 0.6571 )*4 = 52.174 0.2629

155b) L’esito dell’ammissione ad un corso a numero chiuso è riassunto nella tabella. La commissione decide di ammettere il 40% conpunteggio più alto, di escludere il 25% inferiore e di sottoporre il restante 35% a test suppletivi. Quali sono le soglie di divisione?X = 0.05 +⎛ 0.25 − 0.152⎞0.25 ⎝0.205⎠ 0.10 − 0.05X =⎛0.600.15+ 0.60 − 0.536⎞⎝0.143⎠ 0.20 − 0.15Punteggio Candidati fi Fi0.40 3 0.027 1.000112 1.000Esercizio_SD20: scala di Stapel per valutare il tempo di espletamento di un servizio.Calcolare i due terzili.( ) = 0.0843;( ) = 0.1724Le soglie che si originano dai quantili hanno naturadi conteggio che non assicura l’omogeneità dei valoriinclusi tra due soglie e può pertando succedereche in una stessa classe siano inserite modalità moltodistanti. Tale problema si attenua aumentando ilnumero di soglie ovvero riducendo le frazioni di unitàda includere tra di esse.4.03.53.02.52.01.51.00.50.0Voto 5 4 3 2 1 -1 -2 -3 -4 -5Giudici 67 53 26 19 11 9 6 5 3 1 200EsclusiAmmessi-0.1 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5Esercizio_SD21: un campione di comuni è stato classificato per il numero di addetti allapubblica amministrazione iscritti nelle rispettive liste anagrafiche.1) Calcolare il 1° ed il 9° decile;2) Calcolate e interpretate la statistica:X01 . + X09.V =2Addetti Comuni50 75 7876 100 71101 125 63126 150 51151 200 39201 250 28251 350 26351 500 19501 1000 8383Medie di quantiliI quantili possono essere utilizzati per definire misure di centralità poco sensibili ai valori remoti e che coinvolgonopiù strettamente le modalità osservate. In particolare si possono considerare le statistiche:τ kk'⎛k'⎞∑ ⎜ ⎟ Xi=0⎝i ⎠=k'2i+1k + 1, k' = k −1; k dispari;dove⎛ N⎞N!⎜ ⎟ =⎝ n ⎠ n! ( N−n)!“k” è il numero di suddivisioni dell’intervallo unitario effettuate con i quantili (k=1 implica la mediana). L’indice èbilanciato rispetto al centro nel senso che quantili precedenti e susseguenti scelti in posizioni equidistanti dalla medianasono moltiplicati per lo stesso fattore grazie ad una proprietà del coefficiente binomiale (cfr. capitolo 6). Inoltre, sempreper le proprietà dei coefficienti binomiali, la somma dei fattori è pari al denominatore per cui i pesi sono positivi esommano ad uno (ciò assicura la internalità). Valori di τ kmaggiori della mediana indicheranno il prevalere di valorigrandi e valori inferiori alla mediana segnaleranno la presenza più incisiva delle modalità piccole.Esempio:Valori medi mensili degli stipendi dei parlamentari europei. Calcolo della trimedia (k=3). Per il calcolo dei quantili si applica la formuladelle variabili discrete∑2 ⎛2⎜ ⎞ 10 ⎝ ⎠ ⎟ Xi+i= iτ 4 025 2 05 075 47 2 62 783 =6 22522= X . + X . + X . . + * . + .== .44Paese Stipendio Paese StipendioGrecia 2.8 Danimarca 6.4Portogallo 4.1 Olanda 6.9Spagna 4.7 Belgio 7.8Lussemburgo 5.4 Germania 8.8Irlanda 5.7 Francia 9.9Regno Unito 6.0 Italia 11.9Esercizio_SD22 per la serie della distanza dal sole dei pianeti:{36, 67, 93, 142, 484, 887, 1765, 2791, 3654}a) Calcolare la pentamedia (cioè k=5); b) Verificare la condizione di internalità.

1563.1.4 La media aritmeticaE’ la media per antonomasia. Essa interpreta l’idea di centralità partendo dall’ammontare complessivo riscontratonella rilevazione: T=∑X in iin cui sono accorpate le modalità ripetute: la media aritmetica è la modalità cheogni unità dovrebbe presentare affinché ciascuna abbia la stessa quota del totale della variabile:µ=Xn 1 1+ Xn 2 2+ … + Xn knkk= ∑ Xfi=1i iInfatti, se ad ogni modalità X isi sostituisce µ, l’ammontare totale T rimane invariato.Xki nn∑ i n∑ µn i =µ n i =µn =µi=1∑ = ∑ X i n iµi=1i=1ni=1Il calcolo di µ è insensibile all’ordinamento delle modalità ed anche alla loro sequenza di rilevazione: modificandol’ordine degli addendi, la somma non cambia.Esempio:Compagnie petrolifere per numero di distributori propri di carburante. Se tutte potessero scambiarsi i distributori fino a che nedispongano di un uguale numero, quale sarebbe il numero posseduto da ciascuna?µ=5063 + 2352+…+149710= 1880910= 1880.9 ≅ 1881Compagnia DistributoriAgip 5063Ip 2362Esso 2467Q8 1825Erg 1594Tamoil 701Shell 1220Api 1191Fina 889Indipendenti 149718809Esercizio_SD23: risorse finanziarie per la formazione nel 1997 (capoluoghi di provincia, valori in mgl di lire).Regioni FondiValle d'Aosta 58190 Friuli V.G. 601446 Marche 402625 Molise 20000Piemonte 358475 Veneto 1744559 Lazio 2866487 Puglia 573702Liguria 933162 Emilia-Rom. 2222032 Abruzzo 126382 Calabria 230515Lombardia 2378020 Toscana 1637204 Campania 1033256 Sicilia 2149265Trentino A.A. 477000 Umbria 724000 Basilicata 97596 Sardegna 645840a) Calcolare la media aritmetica;b) In che unità di misura è espressa la media aritmetica?c) Se i valori sono arrotondati ai milioni, che succede alla media aritmetica?Interpretare la media aritmetica solo sotto il profilo di valore ripartitorio ne limiterebbe l’ammissibilità a queifenomeni nei quali ha senso lo scambio tra unità di ciò che si rileva cioè ai cosiddetti caratteri “trasferibili”:reddito tra persone, popolazione tra comuni, assetti societari, dipendenti tra imprese. Un approccio alternativo(cfr. Lombardo, 1994, pp. 252-253), più pratico e generale, ne estende l’interpretabilità a molte altre situazioni:la media aritmetica è il punto di equilibrio di forze parallele applicate ai punti rappresentati dalle modalità edaventi come intensità le frequenze relative.Esempio:La media aritmetica è il fulcro su cui poggiare l’asta rigida perché questa resti in equilibrio.X n-5 1-1 10 13 14 15 17 39⎛µ = −5* ⎜1 ⎞⎝ 9⎠⎟ − 1* ⎛⎜1 ⎞⎝ 9 ⎠⎟ + 0* ⎛⎜1 ⎞⎝ 9 ⎠⎟ + 3* ⎛⎜1 ⎞⎝ 9 ⎠⎟ + 4* ⎛⎜1 ⎞⎝ 9 ⎠⎟ + 5* ⎛⎜1 ⎞⎝ 9 ⎠⎟ + 7* ⎛⎜3 ⎞⎝ 9⎟= 27⎠ 9 = 3

157Se ogni modalità attrae il fenomeno in forza del suo valore e della frequenza relativa, la media aritmetica è il puntoin cui le forze operanti alla sinistra e quelle a destra si bilanciano tenendo il sistema in equilibrio stabile.Esempi:a) Numero di figli maschi in famiglie di otto figli.Figli Famiglie f X * f0 161 0.0044 0.00001 152 0.0041 0.00412 3957 0.1071 0.21433 7603 0.2058 0.61754 10263 0.2779 1.11145 8498 0.2301 1.15036 4984 0.1349 0.80967 1055 0.0286 0.19998 264 0.0071 0.057236937 1.0000 4.1643Per calcolare la media aritmetica si forma una colonna con i prodotti delle modalità per le frequenze relative e si sommano i risultati(per limitare gli errori di arrotondamento si potrebbero anche moltiplicare le modalità per le frequenze assolute e poi dividere il totaleper “n”). L’esito non è un intero nonostante il tipo di dominio della variabile lo richiederebbe: la media aritmetica è tra quattro e cinquefigli, ma con prevalenza del quattro.b) Soggetti classificati per mesi compiuti tra l’ultimo compleanno e la data di decesso (Andrews e Herzberg, 1985, p. 430).X 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11n 99 99 114 106 106 103 107 114 109 104 110 110 1281f 0.08 0.08 0.09 0.08 0.08 0.08 0.08 0.09 0.09 0.08 0.09 0.09 1.00Xf 0.00 0.08 0.18 0.25 0.33 0.40 0.50 0.62 0.68 0.73 0.86 0.94 5.58La media aritmetica è 5 mesi e mezzo. Parrebbe esserci una tendenza a completare un altro anno, ma non è molto evidente.Esercizio_SD24: dipendenti di un’impresa per permessi brevi nell’ultimo anno.Permessi Dipendenti f2 8 0.02013 30 0.07544 80 0.20105 148 0.37196 98 0.24627 28 0.07048 6 0.0151398 1.0000a) Calcolare la media aritmetica;b) Supponete che, per errore, le frequenze assolute siano state raddoppiate. E’ possibile ottenere la mediaaritmetica senza ripetere i calcoli?Proprietà della media aritmetica1) La media aritmetica verifica la condizione di internalità. Infatti, dalla disuguaglianza:k∑ X f ≤ ∑X f ≤∑X f() 1 ii ii= 1 i=1 i=1kin cui ogni modalità è stata sostituita dalla più piccola (lato sinistro) e dalla più grande (lato destro) si ottiene:k( n)ikkX ∑ f ≤ ∑X f ≤X ∑ f ⇒ X ≤ ∑ X f ≤X() 1 ii i ( n) i() 1i = 1 i = 1 i = 1dato che X (1)e X (n)sono costanti rispetto all’indice di sommatoria.2) La somma degli scarti semplici tra modalità e media aritmetica è nulla:kki=1ii( n)k∑( X i −µ ) f i = ∑ X i f i − ∑µf i = ∑ X i f i −µ = ∑ X i f i −µ =µ−µ=0i=13) La media aritmetica rende minima la somma degli scarti al quadrato.kkki=1ki=1[ ] =ki=1222 2∑( X − A) f = ∑ ( X −µ )+( µ− A)f ( X −µ ) + ( µ− A) + 2(µ− A) ( X −µ ) fi i iii= 1i= 1i=1ki=1k∑[ ]i i i

158k2 2( ) + ( µ− ) + ( µ− ) ∑( −µ )= ∑ X −µ f ∑ A f 2 A X fi=1ki i i i ii=1i=12k2i i ii=1( ) + ∑( µ− )= ∑ X −µ f A fi=1kkIl terzo termine della prima relazione risulta nullo per la proprietà già dimostrata della media aritmetica diannullare la somma degli scarti semplici. Proseguendo lo sviluppo si ottiene:k( X i −µ ) 2 kf i + ( µ−A ) 2 k= ( X i −µ ) 2 f i + ( µ−A ) 2 k k∑ ∑ ∑∑ f i = ∑ X i −µi=1i=1i=1i=1 i=1( ) 2 f i + ( µ−A ) 2Nell’ultima relazione possiamo tralasciare il primo addendo perché non dipende da A per considerare solo ilsecondo. Questo è semplicemente un quadrato che ha il minimo nello zero, raggiunto per A=µ.Esempio:Le prime (per fatturato) cento società estere per numero di sedi operative in Italia.12∑(X-A) 2i10Sedi Società f i X if i1 46 0.4600 0.460083 24 0.2400 0.720064 18 0.1800 0.72007 5 0.0500 0.350048 4 0.0400 0.3200210 2 0.0200 0.2000µ12 1 0.0100 0.12000A100 1.0000 2.89000 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5L’andamento parabolico della somma degli scarti raggiunge il minimo se il riferimento è la media aritmetica. Tale proprietà consenteun’ulteriore interpretazione della media aritmetica (cfr. Frosini, 1987, pp. 82-83): se con lo scarto al quadrato si misura un aspettonegativo: una perdita, un rischio, un costo, etc. µ è il valore che lo mantiene al minimo (se gli scarti sono in valore assoluto talecaratteristica è della mediana).4) Riproducibilità rispetto a trasformazioni lineari. Supponiamo che la variabile X sia trasformata lineare:Vediamo che succede alla media aritmetica.Y = a+ bX i = 12 , ,…,nii( ) =µ = ∑ Y f = ∑ a + bX f ∑ af + b∑X f = a + bµykkki ii i i i i xi= 1 i= 1 i=1 i=1La media aritmetica segue la stessa sorte della variabile subendo una uguale trasformazione.kEsempio:Bilancio delle principali squadre di calcio di serie A (in milioni).Squadre Lire DollariJuventus 1847 947.18Milan -27093 -13893.85Inter -21442 -10995.90Roma 504 258.46Parma -25418 -13034.87Lazio 251 128.72Fiorentina -10579 -5425.13Sampdoria -879 -450.77Bologna -8822 -4524.10µ=-10181.22 -5221.14Conversione in migliaia di dollari. Ipotizzando un rapporto di conversione 1000: 1950, la media in lire µ=-10’181.22 diventa µ=-10’181.22/1950=-5’221.14 in migliaia di dollari che coincide con la il calcolo diretto della media in tale unità di misura.Esercizio_SD25: è stata calcolata la media aritmetica di n=20’000 misurazioni comprese tra 1 e 1000 ottenendoun valore di µ=199; prima di pubblicare i risultati ci si accorge che i dati erano in realtà dei decimali in cuiera stato omesso lo “0.”; si può recuperare la media aritmetica dei valori originali?

1596) La media aritmetica è associativa. Supponiamo di individuare “g” gruppi di unità all’interno delle nostre unità(si parla di miscuglio). Le modalità hanno due indici: il primo per il gruppo ed il secondo per le unità del gruppo.Gruppi Valori UnitàniG1 X11 X12 X1nn1 1Xg∑ ijj = 1G2 X21 X22 X2nn2 2 ∑ ni= n; µi= ; i = 12 , ,…,gi=1niMG X X X ng g1 g2gnggµ iè la i-esima media aritmetica parziale. La proprietà associativa consente di ricavare la media aritmeticacomplessiva µ da quelle dei singoli gruppi:µ=g n i∑ ∑ X iji=1j=1n=n i∑ Xg ijj=1∑ n ii=1 n in=g∑ n i µ ij=1ng= ∑µ i f ij=1Ne consegue che si può calcolare la media globale a partire dalle medie di gruppo anche ignorando i valori dellesingole osservazioni.Esempio:Per tre diverse aree si è considerato il consumo medio annuo per famiglia di zucchero.Aree Unità MedieZona_ A 647 115Zona_ B 173 80Zona_ C 435 75totale 1255 ?µ= 647 173 435*115 + *80+1255 1255 1255 *75= 96.31Note le µ i e le numerosità, il calcolo della media aritmetica globale non presenta ostacoli. La media aritmetica del miscuglio è pari allamedia aritmetica dei singoli gruppi; se poi le medie di gruppo sono uguali a µ, allora anche la media del miscuglio è pari a µ comeè evidente dalla sua espressione (cfr. Olivieri, 1995, pp.44-45).Esercizio_SD26: la variabile Z è data dalla somma di “m” variabili:Z = ∑ X ; i = 12 , ,…,kSi può ricavare la media aritmetica di Z se sono note le medie delle “m” variabili {X i}?imj=1ijEsercizio_SD27: la distribuzione dei redditi in euro in un Paese è stata divisa in quintili e le medie aritmetichedei percettori di reddito ricadenti nelle varie categorie sono: µ 1=6217, µ 2=18374, µ 3=25701, µ 4=31498,µ 5=43533,. Qual’è la media aritmetica globale?La media aritmetica per dati in classiSe fossero disponibili le medie e le frequenze per ciascuna delle classi il calcolo di µ sarebbe semplice: mediaaritmetica delle medie parziali. Il fatto è che le medie aritmetiche di classe -solitamente- non sono note ed occorrestimarle. L’accorgimento più immediato e ricorrente è l’uso del valore centrale delle classi:Ui+ Liµ i = ; i = 12 , ,…,k2Qualora uno degli estremi fosse indeterminato, il valore centrale potrà essere calcolato con le formule viste nelparagrafo 2.2.4 o altra procedura ritenuta opportuna.

160Esempi:a) Casi di epatite A in un comune.Età Pazienti c f Xif≤9 662 6.75 0.5400 3.644810 19 420 14.50 0.3426 4.967420 29 117 24.50 0.0954 2.338130 39 18 34.50 0.0147 0.506540 49 5 44.50 0.0041 0.1815≥50 4 52.25 0.0033 0.17051226 1.0000 11.8087Calcolo della media aritmetica ipotizzando per le classi estreme un’ampiezza pari alla metà dell’ampiezza delle classi loro contigue.Uso dei valori centralib) Percentuale di un elemento chimico nelle ceneri in n=130 prelievi in un bosco distrutto dagli incendi.L U n f (0.6L+0.4U)f (0.5L+0.5U)f0 0.99 4 0.031 0.012 0.0151 1.99 14 0.108 0.151 0.1612 2.99 38 0.292 0.702 0.7293 3.99 43 0.331 1.125 1.1564 4.99 23 0.177 0.778 0.7955 5.99 6 0.046 0.249 0.2546 6.99 2 0.015 0.055 0.100130 1.000 3.072 3.210Per correggere la tendenza della media aritmetica a privilegiare i valori elevati le medie di classe sono state calcolate dando più pesoall’estremo inferiore.Esercizio_SD28: luoghi d’arte per prezzo di ingresso. Calcolare µ stimando le medie di classe come:a) µ =(2) L + (5 7 7 ) U i = 12 , ,…, k;i i ib) 2 L 1 3 3U i 12 , , , kµ =( ) + ( ) = …i i iCosto Luoghi1000 2000 22000 3000 73000 4000 244000 5000 455000 6000 526000 7000 177000 8000 88000 9000 69000 10000 3164Le medie ponderateLa formula della media aritmetica può essere considerata un caso speciale di media ponderata:che coincide con µ se w i=f iper ogni “i”.kMw ( 1 ,w 2 ,…,w k )= ∑ w i X i ; con w i ≥ 0; ∑ w i = 1i=1ki=1Esempi:a) Un campione di giovani disoccupati diplomati e laureati è raggruppato per numero di domande inviate alle aziende fuori dalla regionedi residenza. La media aritmetica, calcolata in base alle frequenze relative, è µ=2.86; nella tabella è riportato il calcolo con pesi:wi=1fi; i= 12 , ,…,kk∑ 1fi=1iDomande Disoccupati f 1/f w Xw i0 25 0.1667 6.0000 0.0239 0.00001 30 0.2000 5.0000 0.0199 0.01992 26 0.1733 5.7692 0.0230 0.04593 20 0.1333 7.5000 0.0298 0.08954 14 0.0933 10.7143 0.0426 0.17055 11 0.0733 13.6364 0.0543 0.27136 8 0.0533 18.7500 0.0746 0.44777 7 0.0467 21.4286 0.0853 0.59698 4 0.0267 37.5000 0.1492 1.19389 3 0.0200 50.0000 0.1990 1.790710 2 0.0133 75.0000 0.2984 2.9845150 1.0000 251.2985 1.0000 7.6108Qui si inverte l’importanza delle modalità: quelle meno frequenti hanno maggiore peso e quelle più riscontrate vedono ridotto il loroapporto alla media che ora vale: µ=7.61b) Spesso, le rilevazioni campionarie risultano dall’aggregazione di varie sottorilevazioni di ampiezza diversa che cercano di riprodurrela composizione della popolazione rispetto ad alcune variabili criterio ovvero di aumentare o diminuire la presenza di particolaricategorie di unità per via ponderale cioè tenendo conto di tute le unità, ma non pesi unitari. Una media non ponderata e che quindiignorasse queste procedure potrebbe portare fuori strada.

161La media ponderata ha molte applicazioni come vedremo (una l’abbiamo già incontrata nella stima delle mediedi classe per il calcolo della media aritmetica). Il punto di forza, ma anche di debolezza, è la flessibilità nella sceltadei pesi che è arbitraria.Esercizio_SD29: si definiscano i pesi come segue:wi⎧⎪= ⎨⎪⎩⎪( )2firfirse fse fii> Mediana{ f }≤ Mediana{ f }a) Applicatela ai dati dell’esempio precedente;b) E’ possibile usare pesi negativi?ii2iifi≤ Me{ fi} fi>Me{ fi}= … = ∑ + ( )i 12 , , , k ; con r f ∑ f3.1.5 Le medie di potenzeLa media aritmetica rientra in una classe, le “medie di potenza”, che esprime l’ordine di grandezza del fenomenocon il coinvolgimento di tutti i valori osservati:⎧ kα ⎫MX ( 1 ,…,X k ;f 1 ,…,f k ;α)= ⎨ ∑ X i f i ⎬⎩i=1⎭Le medie di potenze, fermo restando il vincolo di internalità, soddisfano l’importante principio, suggerito da O.Chisini nel 1926, di misurare la centralità lasciando invariato un particolare aspetto del fenomeno allorché alposto di ogni X isi sostituisca la M:gX ( , X, …, X; f, … f)= gMM , ,…, M; f, …,f1 2 k 1 k 1 k1 α( )Ad esempio, la media aritmetica posta in vece di ciascuna X iconserva l’ammontare complessivo delle modalità(ammesso che ciò abbia un senso nel contesto considerato). Per ogni α si ottiene una media che riproduce lasomma delle potenze α-esime:k∑i=1[ M( α )] α n i = M( α )[ ] α n ikα∑ Xki nik∑ = i=1α* n = ∑ X i nii=1 n i=1Esempio:Il vincolo della internalità non è automaticamente soddisfatto dalle medie di potenze. Riprendiamo l’esempio suggerito da Jecklin(1949) scegliendo due modalità con x 1 2.Le medie di potenze godono di molte proprietà (la loro dimostrazione è proposta nel compito di riepilogo SD70).Esercizio_SD30: la condizione di internalità risale a A.L. Cauchy: “On appelle moyenne entre plusiers quantitésdonnées une nouvelle quantité comprise entre la plus petite et la plus grande de celles que l’on considère”. Nelladefinizione c’è un problema. Quale?

162Esercizio_SD31: si consideri il seguente triangolo:2 2Sia: OP = m 1 ; OQ = m 2 . La lunghezza del terzo lato, grazie al teorema di Carnot, è: m = m + m − 2m m cos( θ)3 1dove θ è l’angolo tra i due lati di lunghezza nota. Supponiamo di cercare una “media”, M, dei due lati che diacomunque lo stesso valore m 3una volta sostituita alle lunghezze dei lati, cioè:2 2 2M + M − 2M cos( θ) = ma) Calcolare M ; b) Cosa si può dire sulla condizione di internalità?321 2La media geometricaE’una misura di centralità adatta per fenomeni evolutivi (andamento esponenziale) in cui le modalità si realizzanoproporzionalmente al livello già raggiunto:k∑fG = X i fi = X 1 f1 * X 2 f2 *…*X k k = e f iLn( X i )i=1∏i=1L’uso dei logaritmi evita il prodotto nell’argomento che potrebbe produrre valori troppo grandi (o troppo piccoliin caso di modalità frazionarie). La base “e” non è obbligatoria e possono essere scelti i logaritmi in qualsiasi base.kEsempi:a) I laboratori di analisi specificano la concentrazione di una sostanza misurata per diluizioni successive con espressioni del tipo x i =2 i c,i=0,1,2,… dove “c” è una costante. Ne deriva una distribuzione su diversi livelli, la cui centralità è meglio misurata dalla media aritmeticadei logaritmi (considerando poi l’antilogaritmo). Infatti, la successione dei logaritmi è equispaziata cioè due logaritmi consecutividifferiscono per la stessa costante: Log(x i+1 ) -Log(x i ) =Log(2 i+1 c) -Log(2 i c)=(i+1)Log(2)+log(c)-iLog(2)-Log(c)=(i+1-i)Log(2)=Log(2).b) Un risparmiatore investe una certa somma A in una attività a rendimento variabile X i . Indichiamo con T i il reddito accumulato allafine del periodo i-esimo si avrà, per ogni “i”:T1 = A+ X1A= A( 1+X1) ; T2 = T1 + X2T1 = T1( 1+X2)= A( 1+X1) ( 1+X2) ; …kTi = Ti−1 + XiTi−1 = Ti−1( 1+Xi)= A( 1+X1) ( 1+X2)… ( 1+Xi)⇒ R= A∏ ( 1+Xi)i=1Se il rendimento fosse costante, diciamo G, nei “k” periodi, dopo l’ultimo di essi si avrebbe un capitale pari a R=A(1+G) k . Uguagliandole due espressioni di R si ottiene:1A ( 1 + G) k k⎡ k ⎤ k= A ∏ ( 1 + X i )⇒ ( 1 + G)= ⎢ ∏ ( 1 + X i ) ⎥i=1⎣i=1⎦La media geometrica dei fattori di capitalizzazione è quel valore (1+G) che, sostituito a tutti gli altri, lascerebbe inalterato l’importo.c) I logaritmi sono meno soggetti a variazioni rispetto ai valori originari e quindi la loro media aritmetica (che corrisponde alla mediageometrica) è più stabile ovvero meno influenzata da valori grandi. Infatti, nella progressione geometrica in ragione “2” si ha:Xi 2 4 8 16 32 64 128 256 512 1024 204.6Log(X i) 0.3010 0.6021 0.9031 1.2041 1.5051 1.8062 2.1072 2.4082 2.7093 3.0103 1.6557 45.2548con una media geometrica, G=45.25 che supera ed è superata dallo stesso numero di valori rispetto ad una media aritmetica: µ=204.6che ne supera sette ed è superata solo da tre.d) Numero di casse attive su 7 in un supermercato rilevate in n=110 spot temporali. Anche in questo caso conviene calcolare la mediaaritmetica dei logaritmi per poi calcolare la media geometrica come antilogaritmo:G = e 0.4284 = 1.5348Attive Lotti f Ln(Xi)f1 70 0.6364 0.00002 14 0.1273 0.08823 8 0.0727 0.07994 7 0.0636 0.08825 6 0.0545 0.08786 3 0.0273 0.04897 2 0.0182 0.0354110 1.0000 0.4284Da notare che µ=1.93 e ciò desterebbe un maggiore allarme sullo stato del processo.

163Esercizio_SD32: alcuni criceti sono sottoposti per n=20 volte ad un test non cruento.La tabella che segue indica il numero di animali che hanno superato il test.a) Calcolare la media geometrica;b) Che effetto potrebbe avere una frequenza nulla?c) E se fosse nulla una modalità?Successi Prove f5 1 0.05006 2 0.10007 3 0.15008 8 0.40009 4 0.200010 2 0.100020 1.0000Il raggruppamento delle modalità in classi comporta -come sempre- problemi di indeterminatezza dovute allaperdita dei valori di dettaglio. Il fatto che la media geometrica totale sia pari alla media geometrica delle parziali(si veda il compito SD50) non è di aiuto perché queste sono solitamente incognite. Per approssimarle si adoperala media geometrica degli estremi: G i=√U iL iEsempi:Parco autoveicoli per anni di servizio. Calcolo delle media geometrica.G = e 1.5969 = 4.9377Anni Veicoli G i fi Ln(Xi)f i1 2 23 1.4142 0.0979 0.03393 4 81 3.4641 0.3447 0.42825 7 75 5.9161 0.3191 0.56738 12 40 9.7980 0.1702 0.388512 16 16 13.8564 0.0681 0.1790235 1.0000 1.5969Esercizio_SD33: popolazione presente non residente per sesso in Emilia-Romagna.Età F M1 15 822 87115 24 802 98325 34 1473 247334 44 668 121245 54 388 50155 64 655 6384808 6678a) Calcolare la media geometrica delle due distribuzioni separatamente;b) Calcolare la media geometrica della distribuzione ottenuta aggregando per le distribuzioni per sesso.La media armonicaLa media armonica è definita come il reciproco della media aritmetica dei reciproci:H =k∑1f ii=1 X i; per X i ≠ 0E’ un indice che esprime bene la centralità per modalità ottenute da moltiplicazioni: distanze come prodotto divelocità per tempo, valori come prodotto di prezzo per quantità, rendimenti per tempi di produzione, etc.Esempi:a) Si spende A per acquistare la quantità X 1 di una merce al prezzo p 1 in modo che A=X 1 p 1 , lo stesso importo è speso per acquistarne laquantità X 2 al prezzo p 2 con A=X 2 p 2 e così via fino spendere l’importo A per acquistarne la quantità X k al prezzo p k dove A=X k p k . Alla finesi disporrà di un ammontare di merce Q=X 1 +X 2 +…+X k per una spesa complessiva pari ad T=kA. Qual’è il prezzo medio che si è pagato?p = T Q = kA = kA k 1= =k k A k 1 k 1∑ X i ∑ ∑ ki=1 i=1 p i i=1 p ∑ i i=1 p ib) Un percorso di 100 Km è diviso in due tratti di uguale lunghezza. Nella prima metà la velocità è stata di 10 Km/h e nella seconda di 50Km/h. Qual’è stata la velocità media sull’intero percorso? La risposta spontanea sarebbe la media aritmetica: 30 Km/h perché (10+50)/2=30 cheperò è meno valida della media armonica per esprimere la centralità. Il tempo totale impiegato è di 5 ore per percorrere i primi 50 Km e diun’ora per gli altri 50 Km quindi 6 ore per 100 Km che porta a 100/6=16.67 Km/h (De Finetti, 1966/1990): 2/[(1/10)+(1/50)]=100/6=16.67La media armonica è inoltre impiegata quando l’ordine di grandezza dei valori è piccolo ad esempio quando lemodalità esprimono il contributo frazionario dell’unità alla composizione di un tutto.

164Esempi:a) Quota di provenienza degli iscritti nel gruppo delle lauree letterarie per vari ordini di scuola superiore:Profes sional e Tecnici Magistrali Scientifici Classici Artistici Altri0.340 0.136 0.605 0.168 0.304 0.470 0.3731 7 7H = = =7 1 25.9975 = 0.26937 (1/7)∑ ∑i=1 X i=1X i ib) Rilevazione di famiglie per numero di figli. Calcolo della media armonica. A questo fine conviene prima calcolare la media aritmeticadei reciproci e poi considerarne il reciproco.Figli Famiglie f (1/Xi)f1 185 0.5362 0.53621H =0.7119 = 1.4047 2 78 0.2261 0.11303 33 0.0957 0.03194 25 0.0725 0.01815 13 0.0377 0.00756 8 0.0232 0.00397 3 0.0087 0.0012345 1.0000 0.7119Esercizio_SD34: particelle α emesse in 1000 repliche di un esperimento.Particelle Repliche1 542 1433 1794 2315 1676 1107 898 209 410 31000a) Calcolare la media armonica;b) Se si utilizza la trasformazione: Y i=1/(X i+a) con a>0 sarà possibile includere lo zero tra le modalità?Per modalità in classi la media armonica si ottiene stimando le medie di classe con la formula:1H i =λ 1+ λ i = 1, 2,…,k; con λ 1 + λ 2 = 1 (In genere si pone: λ 1=λ 2=0.5)2L i U iEsempi:a) Gare d’appalto per importi a base d’asta oltre la soglia comunitaria. Valori in decine di milioni.Importi Gare Hi fi fi/Hi35 100 20329 51.85 0.8438 0.0162734100 500 2846 166.67 0.1181 0.0007088500 1000 452 666.67 0.0188 0.00002811000 5000 205 1666.67 0.0085 0.00000515000 10000 147 6666.67 0.0061 0.000000910000 20000 92 13333.33 0.0038 0.000000320000 40000 21 26666.67 0.0009 0.000000024092 1.0000 0.0170167Le medie armoniche parziali sono state stimate con la media armonica degli estremi delle classe. La media armonica globale è H=1/0.017=58.82 ricadente, come è giusto, nella prima classe dato che questa include più dell’80% delle gare bandite.b) Tasso di disoccupazione (lavori persi ogni mille posizioni) per varie tipologie professionali.Calcolo delle medie. Tra le proprietà che caratterizzano le medie di potenza vi èl’andamento crescente rispetto alla potenza che si risolve nella diseguaglianza:H ≤ G≤ µin cui l’uguaglianza si ottiene per la distribuzione degenere, cioè una rilevazione cheproduce un unico valore per tutte le unità. Nell’esempio, le relazioni sono confermatesegnalando un tasso di disoccupazione medio per le 150 attività lavorative che va dallo0.85% della media armonica all’1.4% della media aritmetica. Forse il divario non sembraaccentuato, ma applicato ad un milione di lavoratori e lavoratrici significa una differenzadi 6’500 persone. La scelta della media non è una questione solo tecnica e verrà approfonditain un prossimo paragrafo.Tasso Attività c µ G H0.1 0.3 3 0.20 0.004 -0.032 0.1000.3 0.5 7 0.40 0.019 -0.043 0.1170.5 0.7 18 0.60 0.072 -0.061 0.2000.7 0.9 27 0.80 0.144 -0.040 0.2250.9 1.0 16 0.95 0.101 -0.005 0.1121.0 1.1 19 1.05 0.133 0.006 0.1211.1 1.3 29 1.20 0.232 0.035 0.1611.3 1.5 14 1.40 0.131 0.031 0.0671.5 1.7 9 1.60 0.096 0.028 0.0381.7 2.0 6 1.85 0.074 0.025 0.0222.0 2.5 2 2.25 0.030 0.011 0.006150 -0.045 1.1671.036 0.956 0.857Esercizio_SD35: popolazione maschile in Calabria al 1976 per classi di età (si scelga L 1=6 e U k=108).Età Maschi≤9 186610 19 202220 29 169430 39 111140 49 116850 59 89160 69 81370 79 466≥80 13510166Calcolare la media armonica stimando H icome media armonica degli estremi con pesi uguali.

1653.1.6 I valori anomali e le medieLa presenza di valori isolati rispetto al resto della distribuzione ha una incidenza diversa sulla centralità secondoil tipo di media che si adopera. Ad esempio, per la media di potenza A, l’aggiunta di una nuova modalità “x”produce l’effetto:⎛M' ( α,x)= A + xα ⎞⎜⎝ n + 1⎟⎠La M’(α,x) cresce con l’aumentare della modalità e si dimostra che, al tendere di “x” all’infinito (cioè man manoche M è sempre più caratterizzato dalla “x”), tutte le medie di potenze tendono ad “x” annullando il ruolo dellealtre modalità; pensate all’analogia dei pesi sull’asse in equilibrio: più è lontano il punto di pressione, maggioreè l’effetto di squilibrio. Una tale incisività è dovuto al coinvolgimento esplicito di tutte le modalità: una ragionedi forza in generale, ma che diventa una debolezza in presenza di valori abnormi.1 αEsempio:Valutiamo media aritmetica e mediana delle due rilevazioni seguenti:A 5 8 9 9 10 11 12 15 20B 5 8 9 9 10 12 12 15 2013La A e la B differiscono per l’ultima modalità: da 20 a 2’013: la media aritmetica passa però da 11 a 232.5 perdendo gran parte della suaidoneità a rappresentare la centralità dei valori. La mediana, basata solo sulle relazioni d’ordine, non cambia (sia in A che in B è uguale a10) qualunque sia la modifica sugli estremi, purché la graduatoria rimanga invariata; la moda cambia se la modifica del valore più grandealtera le relazioni d’ordine tra frequenze relative, ma se ciò accadesse vorrà dire che il valore non è poi tanto anomalo visto che è quelloche si verifica più spesso.Le medie lasche, grazie al legame meno stretto con le singole modalità, limitano l’impatto dei valori estremi,laddove le medie di potenze ne possono essere travolte.I valori anomaliLa possibilità di accertare l’anomalia, ci ricorda D.J. Finney (1975), dipende dal contesto in cui avviene larilevazione perché solo qui si può avvertire la presenza di valori estranei o straordinariamente distinti dal restodelle osservazioni. La serie: {5, 13, 2, 291, 11, 6} può far pensare ad un errore tipografico per spiegare la presenzadi “291”, che è 22 volte più grande del maggiore tra gli altri. Non è pacifico. Esistono diversi fenomeni in cuisi rinvengono valori così eterogenei e solo apparentemente non rappresentativi ed invece legittimati a presentarsidallo spessore delle code (cfr. cap. 7). Ad esempio il numero di difetti in un’auto nuova od anche il numero diclienti in fila davanti ad uno sportello. Diverso è il caso se i valori derivano da un fenomeno di cui abbiamoconoscenza. Ad esempio, se la serie {3.6, 2.7, 2.8, 3.9, 2.1, 85.8, 3.4, 2.8} è riferita al peso alla nascita di alcunineonati: il valore “85.8” è viziato da macroscopica illogicità.Esempi:a) Tre persone furono denunciate per truffa ai danni dell’ENEL perché avevano posto in uso contatori “lenti” che segnavano unconsumo minore della effettiva energia erogata. Il furto fu evidenziato da un calo abnorme del consumo rispetto a quelli precedenti.b) Percentuale di non votanti in alcuni comuni capoluoghi nelle politiche del 1996.Capoluogo Perc.Alessandria 14Genova 16.7Venezia 17.1Latina 12.4Chieti 16.2Capoluogo Perc. Capoluogo Perc.Napoli 27.3 Macerata 12.7Brindisi 19.3 Roma 14.1Vibo Valentia 51.7 Caserta 15.5Varese 13.7 Salerno 16.9La Spezia 12.4 Cosenza 24.5Il dato 51.7 relativo a Vibo Valentia è visibilmente incoerente con le altre percentuali: il valore ad esso più prossimo è quello di Napoli:27.3 che è pari solo alla metà di quello di Vibo. Pur ipotizzando una condizione di forte disaffezione dal voto il dato sembra troppoestremo per non includere anche una qualche forma di protesta o di disagio sociale.c) Buckland ed al. (1993, p. 35) sostengono che qualche valore strano, scarsamente compatibile con il profilo complessivo dei dati,è usuale nelle indagini sul campo e ne raccomandano l’eliminazione vista la scarsa utilizzabilità nello studio delle distribuzioni.I valori anomali (outliers) sono modalità inconsuete alla luce di ciò che è noto senza che le si possa ritenere errateovvero senza che ci sia una causa naturale o una teoria che porti a giudicarle spurie o difettate, da scartare senzaesitazione.

EEEEEEE166Esempio:Foto all’incanto. Prezzi di aggiudicazione esitati a New York il 15.4.1992.Autore Anno Valore P. Outerbridge 1936 3'000'800B. Abbot 1935 4'364'800 I. Penn 1971 27'280'000M. Bourke-White 1932 4'364'800 J. Sudek 1955 3'546'400A. Kertész 1929 19'096'000 E. Weston 1936 25'916'000In questo ambito l’anomalia è più difficile da individuare dato che nella formazione del prezzo concorrono fattori emotivi e ragioni diprestigio. Secondo Christies non esiste un valore eccessivo, qualunque sia l’oggetto battuto.E’ chiaro che, in un insieme di modalità disposte in ordine, una di esse sarà maggiore delle altre ed un’altra saràminore; solo se questi estremi sono molto remoti rispetto alle modalità loro contigue ovvero remoti rispetto aquanto ragionevolmente ci si può attendere, nascerà il sospetto di disfunzioni: se una ASL ha storicamenterichiesto il rimborso di un numero mensile di “parti cesarei con complicazioni” che oscilla tra i 20 ed i 30 e, undato mese, richiede rimborsi per 120 di tali operazioni non necessariamente è un fatto anomalo, ma potrebbeessere la spia di un cambiamento nel meccanismo dei rimborsi o nel management della ASL.Esempio:I massimi mensili (classi di ampiezza di 1 dml) delle precipitazioni giornaliere in una stazione delle isole Fiji sono riassunte (Revfeim,1986) nella tabella che segue. Si riporta inoltre il poligono delle frequenze per valori non superiori ai 19 dml.Xini0 1 391 2 472 3 433 4 434 5 405 6 416 7 287 8 208 9 169 10 1110 11 711 12 712 13 713 14 414 15 515 16 216 17 417 18 218 19 0>19 5504540353025201510500 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20Le 5 unità nella classe “>19” sono in parte manifestazioni estreme di un fenomeno normale, ma anche veri e proprie catastrofiatmosferiche (lo è ad esempio il valore massimo: 272 dml, non riportato).E’ facile confondere valori discordanti, ma ragionevoli con valori remoti del tutto incompatibili con gli altridati o con la teoria in cui si inquadra la rilevazione. Se un fenomeno può produrre modalità estremamente piccolee/o grandi è inevitabile che nel corso della rilevazione qualcuno di questi si mostri prima o poi apparendo peròdiscrepante dalla maggioranza e non rappresentativo.Esempi:a) Se un provveditorato sbaglia una volta su cento a comunicare il numero di docenti in servizio sarà difficile accorgersi della presenzadi un valore anomalo confrontando poche rilevazioni: {1781, 1975, 1789, 1763}. Le possibilità aumentano se il numero di rilevazioniè più esteso. Se si analizza la serie per un numero maggiore di anni si potrà spiegare lo scostamento di un dato da tutti gli altri: {1736,1778, 1801, 1795, 1733, 1756, 1719, 1728, 1768, 1781, 1975, 1789, 1763}. In questo caso, il dato “1975” è da attribuire o ad unainversione di cifre (1795) ovvero alla confusione del numero di docenti con l’anno di rilevazione. Il giudizio sull’anomalia non puòprescindere dal numero di osservazioni considerate.b) Hamilton (1990, p150-152) propone come caso di valore remoto il numero di matrimoni ogni 100 residenti per gli Stati dellafederazione USA. Ecco il diagramma a punti per il logaritmo del rapporto:EEEEEEE E EE EEEEEEEEE EEE1.9 2.1 2.3 2.5 2.7 2.9 3.1 3.3 3.5 3.7 3.9 4.1 4.3 4.5 4.7 4.9 5.1Nonostante l’effetto telescopico della scala logaritmica il dato relativo al Nevada (142.83) contro una mediana di circa 10.57 ed unvalore penultimo di 17.27 emerge senza ombra dubbio come valore anomalo. In questo caso la sua cancellazione dal data set èmotivata dalle disinvolte leggi di quello Stato che agevola particolarmente le nozze dei non residenti e che lo rendono un casodisomogeneo rispetto al resto.Esercizio_SD36: il rischio di violazione della riservatezza dei dati rilasciati nelle indagini statistiche è influenzatodalla presenza di casi unici. Diversi studiosi ipotizzano che la percentuale di casi eccezionali presenti inuna determinata area dipenda soprattutto dal numero di unità presenti in essa.a) Che relazione ritenete possa esistere tra la percentuale di incremento di casi unici e la percentuale diincremento di popolazione dell’area; b) Il caso unico può sempre essere considerato un caso anomalo?c) Discutete il trade-off tra aumento dei dettagli rilevati sull’unità ed il rischio di violazione della privacydell’unità stessa.

167Caratteristiche della anomaliaIglewicz e Hoaglin (1996, pp. 6-7) affermano che, a livello teorico e pratico, è riconosciuta la necessità dieffettuare sui dati controlli di routine per la ricerca di valori eccezionali. Anche se questi dovessero risultareosservazioni isolate e inattendibili, spesso hanno origine in una causa identificabile e la sua conoscenza contribuiràad una migliore comprensione del fenomeno che produce i dati. Spesso, i valori anomali sono trattati consospetto e fastidio dato che compromettono l’opportunità di rappresentare la rilevazione empirica con un modelloteorico semplice e ben conosciuto e c’è il rischio concreto che una minuscola frazione dei dati finisca con ildeterminare le conclusioni di un’indagine.L’anomalia di per sé non è una caratterizzazione negativa. Infatti, ricordano Barnett e Lewis (1978, p. 32)un fisico delle particelle può considerare un colpo di fortuna e non un errore la presenza di una osservazionetalmente discosta dalle altre da far pensare piuttosto ad un nuovo tipo di particella. Come si è già detto altrove,molte scoperte scientifiche e molti successi commerciali sono dovuti alla constatazione di valori troppo estremio fuori posto rispetto al contesto ed al tentativo riuscito di spiegarne la ragione. I valori anomali sono lampi diluce scorti da lontano. A produrre il brillìo può essere un coccio di bottiglia lasciato dai gitanti oppure unosmeraldo grezzo; per capire di che si tratta occorre andare a vedere.Esempi:a) La procura della repubblica avviò un’indagine intesa ad accertare i motivi per i quali a Catanzaro si verificava una consistenteaffluenza di candidati provenienti da altre regioni per gli esami di Stato per l’abilitazione alla professione di avvocato. Uno dei dati dipartenza fu una percentuale di promossi molto più elevata di quanto non si registrasse in altri distretti di corte d’appello.b) Barnett e Lewis (1978, p. 6) riportano la seguente serie: {43, 43, 41, 41, 41, 41, 43, 58, 58, 41, 41} relativa alla temperatura in gradiFarhenheit tra la sera del 31.12.1960 e il mattino del 1.1.1961 nel Nord della Scozia. Il valore “58” è manifestamente incoerente conil livello generale degli altri. Tanto più inverosimile se si pensa che corrisponde a circa 14° il che non è male per la notte di Capodannoa due passi dal Polo Nord. Un esame più approfondito accertò che, dopo la mezzanotte, venne adottato un sistema di registrazionedelle temperature in gradi Celsius per cui “58” andava letto come “5.8” corrispondente a 42 gradi Farenheit; inoltre, “41” era ”4.1” ilche equivale a 39F° e quindi in linea con quelli registrati prima.Esercizio_SD37: copie diffuse per giornalisti assunti per i quotidiani italiani (ads 12/99; 11/2000).0.37 0.45 0.46 0.56 0.61 0.61 0.63 0.63 0.63 0.69 0.71 0.75 0.80 0.80 0.81 0.850.85 0.86 0.89 0.89 0.89 0.89 0.93 0.95 0.99 1.02 1.03 1.10 1.13 1.19 1.23 1.241.24 1.25 1.35 1.37 1.37 1.38 1.51 1.62 1.62 1.73 2.08 2.13 2.16 2.64 3.00 3.15Rappresentare graficamente la distribuzione e discutere la presenza di valori remoti.Esercizio_SD38: una ricerca di mercato tentò di individuare quanto fossero efficaci i canali televisivi. La ricercasi concentrò su 24 zone divise in tre gruppi: A, B, C in cui il prodotto era pubblicizzato con gli stessi spot su TVnazionali, su TV locali inserite in network nazionali e TV locali. Gli incrementi di vendita furono i seguenti:TV Naz. 6.7 8.1 7.2 8.3 6.8 7.1 1.5 8.2TV L/N 3.2 0.1 3.9 4.1 4.4 4.5 3.3 2.9TV Loc. 1.5 1.2 1.1 1.4 1.3 1.6 1.4 1.3I valori inclusi nei cerchi furono riconosciuti anomali: un insuccesso così patente delle campagna pubblicitariain quelle zone era sorprendente. Un semplice incrocio di dati bastò per accertare che le due zone erano sedi distabilimenti per la produzione del bene che davano molta occupazione tra diretta ed indotta. Ogni incrementodi pubblicità qui era da considerarsi superfluo. Che insegnamento si può trarre?Le medie troncateUn espediente ingegnoso per instaurare un legame forte tra modalità e indice di centralità e -nello stesso tempocontenerel’effetto dei valori abnormi è il taglio delle ali ovvero l’eliminazione di una certa percentuale in unao in entrambe le code come ancora si fa nella valutazione delle performances in diversi sport. Limiteremo peròla discussione alla sola media aritmetica. Indichiamo con M γ1,γ2la media calcolata sulle modalità superiori alquantile di ordine γ 1ed inferiori al quantile γ 2:Mγ1, γ =2n−[ nγ2 ]∑ Xi ()i=[ nγ1 ]n nγnγ− [ 2]− [ 1]Questa formula è nota come media aritmetica troncata o potata (in inglese: trimmed) e la rilevazione che risultadalla potatura dei valori più estremi è detta rilevazione troncata.

168Esempi:a) Un partito politico ha ottenuto, negli n=29 comuni considerati in un sondaggio, i voti qui indicati.831 195 781 294 249 241 749 146 286 14451367 266 977 1668 1122 563 498 630 1164 1240620 377 1516 240 724 300 1097 228 2213La media aritmetica totale è M 0.0 =759.55. Eliminiamo adesso i valori inferiori al primo decile e superiori all’ultimo ventile, cioè vincoliamoi voti nell’intervallo: X 0.1 < X

169Le medie winsorizzateInvece di eliminare del tutto i valori anomali si possono sostituire con delle opportune stime ottenendo le mediewinsorizzate (dall’autore, il naturalista C.P. Winsor, che ne avviò l’uso).( )

1703.1.7 Uso dei valori mediI valori medi danno conto del centro della distribuzione che può essere visto sia come il punto da cui le modalità distanomeno che come la modalità tipica o riscontrata in una posizione tipica della distribuzione. Il loro uso non può esseredisgiunto dall’apporto informativo di altre statistiche e dall’essere riferiti ad una rilevazione campionaria o totale, percui le considerazioni qui svolte saranno incomplete. La compatibilità con la scala di misurazione è un requisitoessenziale: la media aritmetica (e le medie potenze) richiedono la scala metrica: è vero che in diverse indaginile scale ordinate o parzialmente ordinate sono tradotte in numeri (un esempio del genere è, come abbiamo visto,il calcolo del voto medio sugli esami sostenuti), ma è arbitrario ed ogni altro insieme di numeri che producesseuna media antagonista non potrebbe essere contestata. Il principio di Chisini è un buon ausilio per scegliere lamedia: l’idea che essa sia funzionale alla preservazione di un aspetto particolare fornisce un’indicazione immediatae comprensibile su come orientarsi ed abbiamo visto varie circostanze in cui era preferibile ora l’una oral’altra media di potenze. C’è da notare però che tali medie stanno tra di loro in una relazione d’ordine ed è difficileche conclusioni tratte ad esempio sulla base della media aritmetica siano sconvolte o sostanzialmente alteratedall’uso della media geometrica o armonica. D’altra parte se manca una finalità da inquadrare nel principio difunzionalità, qualsiasi media di potenza potrebbe essere la prescelta.Esempi:a) Monari (1981) scrive: “...Scegliere la media aritmetica come misura di sintesi equivale a ritenere ugualmente probabili gli errori diuguale ammontare in eccesso o in difetto. Quando invece vi è ragione di ritenere ugualmente possibili gli errori che danno luogo arapporti di uguale ammontare in eccesso o in difetto, la misura di sintesi più conveniente diventa la media geometrica.”b) Yule e Kendall (1968, p.114-115) ritengono che, se la rilevazione trattata è parte di una indagine più ampia che prevede lacombinazione di più rilevazioni, allora la media aritmetica è quella che si presta meglio alla aggregazione diretta degli indici di centralità(ciò non è possibile per la mediana e per la moda) ed è algebricamente più complesso per le altre medie di potenze.c) Un vecchio metodo per il calcolo della ricchezza privata di una nazione quando non si disponeva di rilevazioni più specifiche sibasava sull’ammontare dei beni trasmessi in eredità in un singolo anno moltiplicato per la durata media dell’intervallo tra duesuccessivi trapassi: il cosiddetto intervallo devolutivo medio (Boldrini, 1968, p. 457, De Finetti, 1966/1990). A questo fine era utilizzatala media aritmetica degli anni che intercorrono tra la morte dei genitori e quella dei figli, ma si trattava di un errore: l’intervallo medionon interessa come durata, ma come velocità di trasferimento dei patrimoni per cui doveva essere usata la media armonica. Si abbiano“n” patrimoni i cui valori siano v 1 , v 2 , …,v n e che siano trasferiti -per donazione o lascito- con gli intervalli temporali in anni t 1 , t 2 , …,t n ;la quantità di ricchezza annualmente trasferita per l’i-esima persona è r i =v i /t i . L’uguaglianza tra la somma dei valori patrimonialitrasferiti v i e la somma dei prodotti delle r i per il comune intervallo devolutivo comporta:n∑ vn ni∑ v i = ∑ r i I d ⇒I d = i=1ni=1 i=1 ∑ r ii=1n∑ v i= i=1n∑ itii=1vd) Nel mercato d’arte non è la qualità che fa il prezzo, ma, almeno fino ad un certo punto, è il prezzo che fa la qualità; perciò, volendoriassumere con un unico dato il valore dei quadri di De Chirico battuti da Southeby’s conviene servirsi della media quadratica (a=2) che riflettemaggiormente i prezzi superiori. (Boldrini ed al. 1962, p.101).Più attraente è l’idea delle medie troncate e delle medie di quantili come guida all’uso di misure meno sensibiliai valori anomali che possono affacciarsi nelle rilevazioni e che, in mancanza di una spiegazione della loroesistenza o di un preciso vincolo di completezza si preferisce emarginare dai calcoli.Valori anomali ed ampiezza della rilevazioneUn’altra scelta, pure dotata di una certa attrattiva, è la winsorizzazione dei valori troppo piccoli o troppo grandicioè la loro sostituzione con valori meno selvatici. Una strada che, alla luce di ciò che si è detto sui valori anomali,deve essere percorsa con prudenza: i valori anomali o remoti sono tali solo se si ha una conoscenza adeguata dellospettro dei valori riscontrabili in un fenomeno. Di solito, le modalità osservate sono troppo poche rispetto a quellepotenzialmente rilevabili e questo può indurre a valutazioni errate sull’anomalia.Esempio:Nelle rilevazioni piccole si può avere il seguente paradosso: nel primografico la A sembra anomala. Nella rilevazione più grande, la A risultaperfettamente allineata, ma è il resto della prima rilevazione che puòessere considerato anomalo. Certi suoni a frequenza molto bassa omolto alta sono “remoti” rispetto al nostro udito che infatti non li percepisce;questo però non significa che non esistono, anzi sono fondamentaliper la sopravvivenza di altri esseri.Rilevazione piccolaARilevazione grande

171D’altra parte, è ben nota la sensibilità della media aritmetica ai valori più grandi ed è perciò inappropriata nei casi incui tali manifestazioni rivestano un ruolo marginale: se si guarda agli atenei per numero di iscritti, l’inclusione di Roma“La Sapienza” porterà molto in alto il numero medio di iscritti. Se il caso fosse unico allora si potrà escluderlo , se invecenon è caso isolato oppure si vuole tenerne esplicitamente conto, la media aritmetica ridiventa ammissibile.Un discorso a parte meritano le medie lasche: moda e mediana in particolare. La prima è l’unica a poter essereutilizzata anche per variabili nominali e la seconda a partire dalle variabili su scala ordinale ed hanno, quindi, un raggiod’azione più ampio delle medie di potenze. Non solo, le medie lasche sono determinabili anche in distribuzioni concode spesse, causa più verosimile dei valori remoti. La moda, nei casi in cui esiste una frequenza relativa che svettadecisamente sulle altre, è l’indice più indicato: nessuna altra media potrebbe aggiungere informazioni significative.Peraltro, le mediana è l’unica a poter essre calcolata con una certa accuratezza allorché gli estremi della primoe/o dell’ultima classe sono indeterminati.Esempio:Un campione di titoli è raggruppato in base ai giorni mancanti per la maturazione della cedola.Giorni Investimenti20 29 230 39 440 49 350 59 860 69 3170 79 980 89 690 99 265La classe “60-69” comprende da sola quasi il 50% delle rilevazioni. Ogni modalità ad essa interna è una candidata legittima comeindice di centralità e qualunque sia la media (ragionevole) scelta ben difficilmente si andrà al di fuori di tale intervallo.La moda ha però difetti che ne complicano l’uso: non è sempre calcolabile oppure -se calcolabile- non è sempresignificativa: nelle distribuzioni plurimodali ad esempio insorgono incertezze su quale modalità debba considerarsi“moda”. Inoltre, risente molto della strutturazione in classi e non sfrutta una parte delle informazioni. Questo difettoè condiviso dalla mediana che non coinvolge puntualmente le modalità, ma solo il loro ordinamento. Le medie lasche,in effetti, possono tornare utili allorché il poligono di frequenza presenti asimmetrie fortissime e inaspettate, verosimilmenteda attribuire a distorsioni nei dati.Esempi:a) Una strada ad alta intensità di traffico è stata suddivisa in tratti regolari e in ognuno è stato rilevato il numero di incidenti.Incident Tratti fi F i0 229 0.3969 0.39691 211 0.3657 0.76262 93 0.1612 0.92373 35 0.0607 0.98444 7 0.0121 0.99655 2 0.0035 1.0000577La moda non può essere utilizzata in quanto indicherebbe lo “0” ignorando il verificarsi di incidenti che è l’oggetto della rilevazione. La mediaaritmetica µ=0.94, ci informa che, in media, in ogni tratto è avvenuto circa un incidenti, ma può trattarsi di una informazione inutile. La medianaM e =1 è un indice più chiaro: sulla metà dei tratti è avvenuto almeno un incidente.b) In un negozio si è rilevato il numero di clienti serviti per ogni giorno di apertura.Clienti Giorni ci f0 10 9 5.00 0.029611 20 21 15.50 0.069121 25 39 23.00 0.128326 30 88 28.00 0.289531 35 66 33.00 0.217136 40 42 38.00 0.138241 50 27 45.50 0.088851 60 12 55.50 0.0395304 1.00000.300.250.200.150.100.050.000 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60La moda (28.76), la mediana (29.77) e la media aritmetica (30.92) differiscono poco e questo accade se il poligono di frequenza èsimmetrico intorno alla mediana.Esercizio_SD44: per distribuzioni unimodali e simmetriche o anche moderatamente asimmetriche dovrebbevalere la relazione: (mediana-moda)=3(media-mediana) cioè, la mediana è posta, rispetto a “µ”, ad un terzodella distanza cui è posta la moda.a) Verificare l’uguaglianza (anche approssimativa) per i dati dell’esempio precedente;b) Perché non è valida nelle distribuzioni a “L”, a “J” e ad “U”?

1723.2 La variabilitàLe medie forniscono informazioni sul centro della distribuzione ovvero individuano la modalità dominante onormale cioè quella che dovrebbe essere scelta se si volesse rappresentare con un solo valore tutte quelle rilevate.Tuttavia, è tipico dei fenomeni che interessano la Statistica di presentare valori o attributi diversi (in verità, tuttele scienze si interessano dei cambiamenti) e dunque le medie potranno assolvere il loro compito di sintesi in modopiù o meno efficace secondo la variabilità presente nel fenomeno. In questo paragrafo studieremo il concetto ela misura della variabilità per variabili metriche sia in termini assoluti che relativi. Discuteremo anche la misuradella variabilità per le variabili nominali ed ordinali (mutabilità).Concetto di variabilitàLa variabilità è la tendenza a differenziarsi della variabile. E’ cioè frutto dell’assenza o dell’annullamento di forzeche spingono ad un valore o una categoria costante in tutte le rilevazioni (ad esempio la velocità della luce rispettoalla sua fonte). Un fenomeno ha più variabilità quanto maggiore è la gamma di modalità che presenta confrequenza non nulla e quanto minore è la diversificazione tra le frequenze con cui le modalità del suo dominiosi verificano.Esempio:Distribuzione "1" Distribuzione "2" Distribuzione "3"Xi niX niXi ni1 1 1 1 1 53 23 2 2 2 55 1 3 19 3 525 4 2 4 55 1 5 525 25Distribuzione "4"Xin i3 2525La “1” ha meno variabilità della “2” e “3” perché, a parità di unità, è minore il numero di modalità che presenta (tre rispetto a cinque).La “3” ha maggiore variabilità della “2” perché, a parità del numero di modalità e del numero di unità, sono minori le differenze trale frequenze. La “4” è un caso estremo- detto distribuzione degenere- in cui si presenta una sola modalità e la variabilità è assente.Da notare che le quattro distribuzioni hanno in comune moda, mediana e media aritmetica e quindi, dal punto di vista della centralitàsono indistinguibili; lo diventano solo se si allarga il confronto estendendolo ad altri aspetti oltre che la tendenza centrale.La variabilità è una caratteristica tanto evidente e generale che A. Costanzo (1969, p. 9) considera confermatal'opinione di molti statistici del passato che l'indagine statistica altro non sia che un insieme di tecniche rivolteallo studio della variabilità. Graficamente la variabilità corrisponde alla forma più o meno assottigliata delpoligono o della densità di frequenza ed alla estensione più o meno vasta dell’arco dei valori. Consideriamo ledistribuzioni del rendimento di due fondi di investimento.BALa curva B è maggiormente addensata intorno al suo centro; le code della A sono più spesse. La distribuzioneB è meno variabile della A Gli investitori in B rischiano meno, ma pure guadagnano meno; in A c’è più rischioe le perdite possono essere gravi, ma sono anche possibili alti guadagni.Requisiti degli indici di variabilitàGli indici di variabilità V(x 1,x 2,…,x n) esprimono l’attitudine a variare delle modalità (cfr. Castellano, !962).Qualunque sia lo schema di costruzione e la scala di misurazione del dominio, un indice di variabilità dovrà:1) Essere nullo se e solo se le modalità sono tutte uguali;2) Aumentare se e solo se aumenta la diversificazione tra le modalità.

173Queste proprietà fanno pensare ad un modello di riferimento costituito dalla piatta uniformità delle unità rispettoal fenomeno, cioè tutte presentano la stessa modalità. In questo caso l’indice di variabilità deve valere zero. Viavia che aumentano gli scostamenti dall’uguaglianza generale l’indice dovrà crescere. A parità di altre condizioni,se due distribuzioni hanno un diverso indice di variabilità, quella con l’indice più grande sarà giudicata piùdispersa.Esercizio_SD45: l’istogramma riguarda le misurazioni del peso in milligrammi di un prodotto fornito dall’esterno.Un controllo di qualità accerta che le misure rientrino nei limiti di tolleranza, tuttavia i valori risultanosorprendentemente variabili (si ricorda che qui è proprio la variabilità il nemico da vincere).0.160.120.080.04Quale potrebbe essere la causa?0.000.00 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10 0.123.2.1 Indici posizionali di variabilitàDerivano dallo scarto tra quantili in posizioni equidistanti dalla mediana. La formula è data da Parzen (1979):D p = X 1−p − X p ; 0 < p ≤ 0.5La loro finalità è di fornire soglie di controllo che fanno poi scattare allarmi ed interventi allorché siano superate.Campo di variazione (range).E’ il più semplice degli indici di variabilità e si ottiene dalla differenza tra la modalità più grande e la più piccola(D pper p→0). Di quest’indice si possono dare diverse formule:∑[ ]n( n) ( 1) { i j } =( i) −( i−1)i=21) R = X − X ; 2) R = Max X − X ; i, j = 12 , ,…, n ; 3)R X XCome mostrano le definizioni, R è un indice basato sul confronto di tutte le modalità e non solo di quelle estreme.Esempio:Variazioni dell’indice di borsa MIB rispetto al giorno precedente.2.3% 1.8% -0.7% 0.2% 1.4% 2.2% -1.9% -0.5% 1.9%1 2 3 4 5 6 7 8 9Una volta ordinate le modalità si ottiene R=2.3 - (-1.9) = 5.2. Il calcolo effettivo dice però meno di quanto non si riesca a comunicareesprimendo R con i suoi termini: da -1.9 a 2.3Il campo di variazione è espresso nella stessa unità di misura del fenomeno cui è applicato: la differenza tra chilometrio litri è espressa in chilometri o litri e può essere confrontata con il campo di variazione dello stesso fenomeno in altrecircostanze. L’indice, inoltre, rispetta il primo requisito richiesto alle misure di variabilità perché è nullo solo secoincidono X (1)e X (n)cioè se le modalità sono tutte uguali. Rispetto al secondo requisito R è carente in quantoinsensibile ad alterazioni delle modalità o all’aggiunta di nuovi valori o cancellazione di già esistenti che noncoinvolgano i due estremi.

174Esempio:A 12 15 18 21 24 27 30 33 36B 12 24 24 24 24 24 24 24 36C 12 13 13 13 24 27 35 35 36Le tre rilevazioni in tabella hanno un identico campo di variazione pur in presenza di una struttura di variabilità molto diversa.Esercizio_SD46: PIL per abitante delle regioni italiane.Regione PIL x ab.Piemonte 19853.0 Friuli V.G. 18913.6Val d’Aosta 22026.5Lombardia 55538.8Trentino 19716.0Veneto 19533.1Molise 12090.1Campania 11255.8Puglia 11965.9Sicilia 11552.1Marche 17950.6Lazio 19452.1 Sardegna 12539.5Abruzzi 14323.9 Liguria 19709.9Emilia R. 20977.8Toscana 19150.6Umbria 15510.0Basilicata 9873.0Calabria 9524.0Calcolate il campo di variazione per il Nord-Centro (fino al Molise) e del Sud (Sardegna inclusa). Dove c’èmaggiore variabilità?Poiché R è strettamente legato ai valori estremi può dare indicazioni fuorvianti: basta una sola modalità atipicaper alterarne significativamente il valore. Pertanto, il campo di variazione è utilizzabile per controllare soloprocessi stabili in cui la presenza di un valore fuori norma implichi il verificarsi di una situazione abnorme.Esercizio_SD47: extracomunitari rispetto al riconoscimento della cittadinanza.Mese Regol. Iscriz. Mese Regol. Iscriz. Mese Regol. Iscriz.Gennaio - Maggio 24 13 Settembre 12 8Febbraio 11 19 Giugno 29 24 Ottobre 26 2Marzo 28 55 Luglio 28 8 Novembre 11 2Aprile 62 146 Agosto 10 5 Dicembre 12 1a) Calcolare il campo di variazione delle due serie storiche;b) Lo scarto mensile tra le due serie potrebbe essere considerato una misura di variabilità?Uno dei difetti di R è che il suo ordine di grandezza non è legato alla numerosità della rilevazione. Per eliminarequesta carenza si può adoperare il campo di variazione medio:R * =Rn −1 =n∑ [ X ( i ) − X ] ( i −1 )i =2Esempio:Le due serie che seguono riguardano il mercato dei titoli di stato in Europa in due anni diversi. Il confronto della variabilità attraversoil range diventa meno epidermico se si tiene conto della diversità nel numero di unità rilevate:n −1R97 = 1164. 5 − 0. 9 = 1163. 6; R96= 1202. 9 − 0.9 = 1202* 1163.6* 1202R97 = = 116. 36; R96= = 120.1010Paese Imp.1997 Paese Imp.1996Germania 793.0 ermania 859.8Francia 660.4 rancia 669.5Italia 1164.5 talia 1202.9Spagna 275.2 pagna 296.0Belgio 252.4 Belgio 269.9Olanda 183.9 ustria 74.8Austria 70.6 inlandia 54.8Finlandia 51.0 rlanda 31.1Olanda 186.1 ussemburgo 0.9Irlanda 27.7 ortogallo 56.8Lussemburgo 0.9 recia 107.6Esercizio_SD48: se i dati sono raggruppati in classi, si potrebbe adoperare la formula R = U k- L 1(supponendoperò noti i limiti delle classi estreme).Modalità Frequenze-10 -5 12-5 -3 19-3 2 212 6 146 8 571a) Calcolate R ed R* per la distribuzione in tabella: b) Qual’è l’efficacia di R per dati raggruppati in classi?

175La differenza interquartilicaConfronta barriere riguardanti il 50% centrale della rilevazione: DI=Q 3-Q 1(D pper p=0.25). L’idea è che quantopiù è piccolo l’intervallo che include la metà centrale delle modalità tanto minore sarà la variabilità presentatadal fenomeno.Esempi:a) I modelli di auto più rubati in Italia. DI=X (13) - X (5) =11’597-3’368=8’229.Modello Furti Modello Furti Modello Furti Modello Regol.Fiat Uno 76239 Lancia Thema 9364 Peugeot 205 3439 A.R. 75 2578Fiat Punto 18021 Fiat Tipo 8568 Renault clio 3399 Lancia Dedra 2253A. Y10 17915 Fiat Croma 8238 Fiat 500 3368WW Golf 13252 Mercedes 200 4828 BMW serie 3 2787Fiat Bravo/a 11597 AR 164 3667 Fiat Tempra 2694La metà delle marche subisce un numero di furti che va da 3’400 a 11’600 con uno scarto di 8’200 macchine.b) Due gruppi di volontari in sovrappeso si sono sottoposti -sotto stretto controllo medico- a tre diversi tipi di dieta. Ecco i chili persinei tre protocolli:ABC3.8 4.2 4.8 5.3 5.9 6.3 7.0 7.5 7.7 7.9 8.0 8.3 8.5 9.4 9.8 10.0 10.7 11.2 12.0 12.6 13.0 13.24.7 6.3 6.9 7.6 8.1 8.4 8.6 8.8 9.0 9.3 9.4 9.7 10.0 10.3 10.6 10.8 11.0 11.5 11.8 13.0 13.1 13.81.3 2.2 2.8 3.5 4.2 4.7 5.2 5.9 6.3 6.8 7.6 8.1 8.7 9.2 9.7 10.3 10.6 10.8 11.4 11.7 12.0 12.5Dieta Q1 Q3DIA 05 . * 59 . + 0563 . . = 61 . 05 . * 10+ 05 . * 107 . = 1035 . 425 .B825 . 1090 . 265 .C495 . 1045 . 550 .Le differenze di risultato ci sono: la dieta B è meno variabile delle altre ed ha in genere risultati migliori. Resta< da stabilire se i risultatisu gruppi di 22 soggetti siano attendibili cioè ragionevolmente generalizzabili a tutte le persone in sovrappeso.c) Numero di aerei atterrati in un’ora campione per n=150 ore.Aerei ore0 31 52 83 104 115 296 377 268 109 610 311 2150Q1 = X( 38) = 5, Q3 = X( 113)= 7;DI = 7− 5=22C’è un forte addensamento al centro dato che il 50% delle modalità è compreso tra i “5” ed i “7” atterraggi: più le modalità sono stretteintorno al centro, minore è la variabilità segnalata dall’indice.La differenza interquartilica è espressa nella stessa unità di misura della variabile su cui è calcolata, ma mancadella univocità del valore nullo. E’ sufficiente che sia costante il 50% centrale della distribuzione perché la DIsia nulla.La variabilità presente nelle code non è visibile con questo indice per il quale, a differenza del campo divariazione, il valore nullo non indica che tutte le modalità sono uguali, ma che sono uguali solo quelle nella metàcentrale.La DI è invariante rispetto ad aggiunte, esclusioni o cambiamenti di modalità che lascino inalterati il 1° edil 3° quartile. Questo, non è del tutto negativo perché così i quartili resistono ai valori abnormi che tanto possonoincidere sul campo di variazione. Ne consegue che la differenza interquartilica può ben essere adoperata nellesituazioni in cui si voglia tenere sotto controllo le modalità intermedie della distribuzione trascurando ciò chesuccede nelle code.

176Esercizio_SD49: istituti di credito per classi di “prime rate” praticati alla clientela.Xi ni fi Fi9.00 9.05 16 0.0808 0.08089.05 9.10 30 0.1515 0.23239.10 9.15 44 0.2222 0.45459.15 9.20 51 0.2576 0.71219.20 9.25 36 0.1818 0.89399.25 9.40 14 0.0707 0.96469.40 9.50 7 0.0354 1.0000198 1.0000a) Calcolare la differenza interquartilica;b) Come reagisce la DI rispetto alle varie ipotesi che si possono fare sulla distribuzione interna delle classi?BoxplotNel capitolo 2 è stato introdotto il diagramma ramo-foglia come metodo di organizzazione dei dati che, senzatroppe sofisticazioni e con mezzi reperibili ovunque, è in grado di dare un’idea immediata della distribuzione.In linea con questa impostazione è il boxplot o diagramma a scatola proposto da J.W. Tukey nel 1977 (Tufte, 1983,p. 123 segnala un riferimento bibliografico del 1952). Si tratta di una rappresentazione basata sui quartili chefornisce, a mezzo di cinque numeri, l’essenza della distribuzione di una variabile metrica. I valori coinvolti sono:X (1), Q 1, M e, Q 3, X (n)che si traducono in elementi di disegno con la seguente corrispondenza: gli estremi delcampo di variazione sono marcati con due piccoli cerchi (o anche dei trattini ortogonali all’asse del disegno) chedelimitano fisicamente il campo di variazione. La presentazione verticale o orizzontale è una scelta personaleanche se, quella verticale, sembra più idonea per un confronto tra rilevazioni diverse.X (1)Q 1 Q 3M eX (n)Il primo ed il terzo quartile sono riportati su di un quadrato che ha base pari alla differenza interquartilica edun’altezza convenzionale, proporzionata alla grandezza complessiva del grafico per non guastarne l’impattovisivo. Il tratto che va da X (1)a Q 1mostra la parte del dominio che è necessario coinvolgere per includere il 25%più piccolo e dà quindi un’idea della coda a sinistra della distribuzione; analogamente il tratto da Q 3a X (n)fornisce una misura di quanto dominio dedicare alla copertura del 25% più grande, cioè la coda a destra. Se unodei due tratti è più lungo dell’altro ciò sarà dovuto al prevalere dei valori più piccoli (o più grandi) nel complessodella rilevazione. Il rettangolo delimitato dai quartili fissa geometricamente l’arco di valori in cui è racchiuso(inscatolato, da cui il nome) il 50% centrale: minore è la sua lunghezza, maggiore sarà il raggruppamento intornoal centro.L’area del rettangolo potrebbe essere legata all’ampiezza della rilevazione (ad esempio pari a √n) nelconfronto di rilevazioni di diversa numerosità (McGill ed al. 1978). La mediana è indicata con una linea verticale:se non è proprio al centro rivela uno sbilanciamento verso i valori inferiori (se vicina a Q 1) oppure verso i valorisuperiori (se si accosta a Q 3) e quindi esprime, come si apprenderà nel prossimo paragrafo, l’asimmetria delladistribuzione; vedremo, inoltre, i quantili più estremi svelano il comportamento nelle code.Esempi:a) Extracomunitari iscritti alle liste di collocamento per Paese di origine (media 1997).309 425 50 235 3606 4445 644 1696 2142 2863 1032 9596 429 32389 14092141 3440 953 11565 2503 1138 11704 452 10142 3469 687 982 71 758 161La distribuzione è squilibrata dal Marocco: 32’389, non troppo sorprendente visti i flussi extracomunitari provenienti da questo Paese,ma comunque molto più grande degli altri.50452 3469127432389La forma del grafico conferma la presenza di un valore dominante (da solo, il Marocco fornisce una quota del 30% degli immigratiextracomunitari in Italia) che ha schiacciato l’intera distribuzione.

177b) Province secondo gli orari di ricevimento degli uffici.169.87 169.87 169.87 151.00 141.56 138.99 135.90 132.12 132.12 130.23 126.65120.33 119.21 113.25 113.25 113.25 113.25 113.25 113.25 113.25 113.25 112.66111.07 109.92 109.71 106.17 106.17 105.53 105.16 105.16 105.16 105.16 103.81103.58 102.95 102.95 101.53 100.79 100.66 100.46 99.38 99.09 99.09 99.0999.09 98.69 97.07 97.07 97.07 96.26 95.25 94.37 94.37 93.88 93.5592.66 92.01 92.01 91.23 91.23 90.60 90.60 90.08 89.93 88.98 88.6388.47 87.29 87.11 86.60 85.70 84.94 84.94 84.94 84.94 84.94 84.9484.94 84.94 84.94 84.94 84.94 83.45 83.27 83.05 82.76 82.51 82.3681.79 79.79 79.27 78.19 77.86 77.21 76.85 76.44 75.50 74.05 73.6162.29 56.62 100.00Massimo 169.873° Quartile 106.17Mediana 95.251° Quartile 84.94Minimo 56.62Gli orari sono concentrati intorno alla mediana con un leggero allungamento verso i valori alti. La distribuzione è più compatta peri valori inferiori alla mediana che per quelli superiori.Esercizio_SD50: percentuali di crescita delle vendite in un gruppo di imprese.10.9 11.1 7.0 11.0 7.3 7.6 13.0 5.6 9.2 14.2 14.4 7.4 7.7 9.3 13.1 13.3 11.0 13.3 12.713.3 5.6 8.2 5.6 14.1 10.9 14.9 14.6 5.1 11.1 6.3 6.0 13.1 10.8 7.6 13.2 7.6 10.4 9.513.4 6.9 5.3 10.3 7.2 11.0 12.3 5.0 10.3 14.1 6.3 7.6 6.1 13.4 5.8 9.4 11.1 11.3 12.210.2 16.9 15.4 8.3 17.9 12.9 15.8 13.0 16.8 14.1 8.4 10.1 14.5 14.8 10.9 14.7 14.2 11.4 15.42.2 9.8 2.0 10.1 2.9 3.2 5.9 11.1 7.6 9.0 6.7 9.7 2.3 7.9 4.8 9.3 4.8 2.1 2.59.0 9.0 9.0 9.0 9.0 9.0 9.0 9.0 9.0 9.0 9.0 9.0 9.0 9.0 9.0 9.0 9.0 9.0 9.0Redigere il boxplot dei dati e commentare il risultato.Il boxplot è utile quando si debbano presentare molte variabili contemporaneamente o il calcolo di indici piùpuntuali sia inattendibile per problemi di misurazione o di rilevazione. Disporre in parallelo dei boxplot divariabili diverse, ma su scala omogenea, è una tecnica consolidata di analisi statistica comparativa. Il boxplotsemplifica il confronto tra le distribuzioni facendolo passare per quantità essenziali e meno soggette a deformazioni:estremi, mediana e quartili.Esempi:a) Disponibilità da riduzione di spese e da autofinanziamento in una selezione di comuni capoluogo.180000160000140000120000100000800006000040000200000Città Riduz. Autofin.Torino 69'068 48'000Genova 67'743 29'500Milano 133'598 79'400Padova 77'670 42'019Bologna 104'395 59'003Firenze 77'483 41'700Pisa 62'637 27'000Roma 132'002 161'500Napoli 144'000 92'000Salerno 15'433 21'800Bari 53'542 56'000Catania 44'327 26'000Messina 32'102 26'500Palermo 60'422 35'000Cagliari 45'180 20'400Riduzione speseAutofinanziamentoLe due figure forniscono una chiave di lettura agevolata del fenomeno: la riduzione delle spese è più dispersa rispetto all’autofinanziamentoche è comunque centrato su valori più bassi. In entrambe le distribuzioni c’è un allungamento verso i valori alti. Si rivelanoperciò differenze nitide di centralità e di variabilità tra le due distribuzioni.b) Ad un campione di studenti già laureati è stato chiesto di indicare il loro voto di diploma di scuola secondaria.Veri/Ndic.00 0 0 0Veri/Dic00000000Dich.0 0 00 0000 0 000036 40 44 48 52 56 60Dai dati anagrafici dei rispondenti si è risaliti all’istituto presso il quale è stato ottenuto il diploma e si è rilevato il dato vero; si sonoinoltre acquisiti i dati di coloro che avevano scelto di non rispondere al quesito. Nel grafico è presentato il boxplot delle tre distribuzioni.Il grafico evidenzia due fatti di cui occorre tenere conto nei sondaggi di opinione: le persone tendono a presentarsi in una luce migliorerispetto alla realtà e tendono a non ricordare o ad approssimare in una precisa direzione i fatti negativi o che giudicano tali nel corsodell’intervista (cfr. Hamilton, 1990, pp. 130-131).

178Esercizio_SD51: indagine sulle unità sanitarie locali nel 1989. Percentuali di risposte delle USL e degli esentida ticket per motivi di reddito.Regioni % Risposte % Esenti Regioni % Risposte % EsentiLiguria 93.74 15.56 Marche 81.07 19.18Lombardia 89.06 12.94 Molise 36.73 35.06Piemonte 91.74 15.06 Toscana 80.47 15.23Val d'Aosta 100.00 11.66 Umbria 85.01 15.10Emilia-Rom. 73.70 17.53 Basilicata 83.50 16.88Friuli V.G. 96.86 15.52 Calabria 73.18 39.92Pr. Au. Trento 100.00 16.53 Campania 69.71 26.40Pr.Au. Bolzano 100.00 11.86 Puglia 93.68 37.02Veneto 95.86 17.22 Sardegna 79.98 25.28Abruzzo 80.19 22.90 Sicilia 73.24 37.60Lazio 60.69 14.21Costruite il boxplot per le due variabili. Cosa emerge dal loro confronto?Boxplot e valori remotiNel grafico si introducono due serrafile, uno inferiore: Q 1-1.5DI e l’altro superiore: Q 3+1.5DI. Le modalità chesi trovassero all’esterno di: [Q 1-1.5DI, Q 3+1.5DI] sono “allarmanti” nel senso che ci sono elementi per pensareche provengano da un meccanismo diverso da quello del resto della rilevazione ovvero lo stesso meccanismo,ma contaminato da errori o da fonti sconosciute di variabilità. Questo, come si è già osservato, non significa chedebbono essere esclusi, ma che sono dei sorvegliati speciali ed i loro valori saranno asseverati e revisionati. Sipossono inoltre inserire due ulteriori serrafile: Q 1-3DI e Q 3+3DI e le modalità che si collocano all’esterno di [Q 1-3DI, Q 3+3DI] saranno anomale oltre ogni ragionevole dubbio. Le modalità che oltrepassino le soglie di allertae di esclusione dovrebbero essere presentate nel boxplot individualmente e, se possibile, etichettate (di parerecontrario sono i progettisti di diversi pacchetti statistici che hanno scelto di escludere dal grafico i valori chesuperano i prescritti steccati dell’anomalia).Esempio:Durata in giorni dei periodi di assenza dal lavoro di un campione di n=45 dipendenti:41 15 6 21 10 21 9 7 44 8 16 7 28 21 1416 15 7 8 6 22 15 29 36 175 126 27 34 43 4130 13 8 15 15 20 56 6 21 98 29 14 90 14 28Q 1=13, M e= 20, Q 3=30, DI=17;Soglie di allarme: Q 3 +1.5DI=55.5;Soglia dei valori remoti: Q 3 +3*DI=81.Q1MeQ3Q3+1.5DIQ3+3DI* * * *13 20 3055.581Nel corso della rilevazione si è incontrato un valore sospetto: 56 (ma non troppo dato che è appena superiore alla soglia di allarme)e ben 4 valori discordanti. Le medie di potenze potrebbero risentire della loro presenza. Per la media aritmetica e geometrica si ha:µ= 29. 44, µ t = 19. 50, µ w = 23. 56; G = 20. 12, Gt = 16. 93, Gw= 18.83Le troncate -ottenute escludendo i valori oltre la soglia di anomalia- differiscono molto dalle globali, ma la perequazione, realizzatasostituendo i valori remoti con il valore ammissibile più prossimo: 56 attenua il problema. La media geometrica risulta meno sensibileai valori remoti rispetto a quella aritmetica.Se le soglie di allarme risultano esterne ai valori estremi osservati nella rilevazioni vorrà dire che le code nonpresentano allungamenti anomali. Osserva Cleveland (1994, p. 140): Il boxplot non nasconde i valori anomalisotto il tappeto.Esercizio_SD52: una rivista femminile ha rilevato il patrimonio (se superiore a 25 miliari) di scapoli e vedoviancora liberi nel jet set italiano. Valori arrotondati all’intero superiore.20 25 26 26 28 30 32 33 37 40 61 68 75 8088 109 112 114 116 124 126 152 152 155 156 172 205 324a) Utilizzare il boxplot per indagare la presenza dei valori remoti;b) In caso affermativo, calcolare la media aritmetica troncata dei valori oltre soglia.

3.2.2 Altri indici di variabilitàPartiamo dalla rilevazione di due variabili metriche le cui modalità siano presentate ordinatamente in un diagrammacartesiano in corrispondenza di ascisse equispaziate.179Esempio:Ogni coppia (X i ,Y i ) produce almeno uno scarto perché oltre ad un confronto tra i due elementi , si potrebbero considerare scarti ottenuticombinando una qualsiasi X i con una qualsiasi Y i .Possiamo misurare la variabilità in base allo scarto complessivo tra le due serie in cui una, diciamo la Yi, forniscelo standard con cui l’altra, la Xi, si confronta. Occorre perciò trovare un indice che quantifichi i cambiamenti daapportare al grafico delle Xi perché si possa sovrapporre esattamente -e nella sequenza fissata- al grafico delleYi. La sintesi si può realizzare considerando la metrica di Minkowsky ponderata:S α ⎡ nα ⎤α n= ⎢ ∑ X i − Y i wi⎥ ; wi ≥ 0, ∑ w i = 1⎣i=1⎦i=11Esempio:Produzione di decreti dalla 1ª alla 10ª legislatura (pesi uguali).Legislatura Presentati Convertiti S iI 29 16 13II 60 25 35III 30 17 13IV 94 39 55V 69 22 47VI 124 40 84VII 167 37 130VIII 284 171 113IX 304 136 168X 409 172 237895450400350300250200150100500PresentatiConvertitiE’ evidente l’aumento del divario col progredire delle legislature segno di un progressivo scollamento tra governo e maggioranza.Esercizio_SD53: in un test sulla maneggevolezza di un nuovo tipo di automobile da presentare con un allestimento“classico” o “sportivo” vennero coinvolti 20 automobilisti che hanno prodotto i tempi seguenti per unparcheggio in file parallele.Guidatore 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20Classico 37.8 25.8 16.2 24.2 39.6 33.4 23.8 58.2 33.6 24.4 23.5 22.2 36.6 29.8 38.3 48.1 29.1 35.7 32.8 28.4Sportivo 41.8 29.8 17.2 25.2 41.6 32.4 26.8 59.2 35.6 25.4 30.5 25.2 39.6 36.8 39.3 50.1 31.1 40.7 33.8 31.4Rappresentate graficamente le due serie. Ritenete ci sia molta o poca variabilità tra le due serie?La S a potrebbe anche essere interpretata come la distanza complessiva percorsa se ogni X isi spostasse sullacorrispondente Y i. Le due serie potrebbero anche essere ordinate (ad esempio in senso ascendente) con lapossibilità di valutare la dissimilarità con la metrica di Minkowsky per modalità ordinate:D α ⎡ nα ⎤α n= ⎢ ∑ X ( i)− Y ( i)wi⎥ ; wi ≥ 0, ∑ w i = 1⎣i=1⎦i=1con un’intepretazione analoga alla S α , ma con il vincolo di una sola possibile successione di confronti.1

180Esempio:Ricoveri ospedalieri. 1989. Pazienti da altre regioni (avere) e residenti ricoverati in altre regioni (dare).Regioni Avere Dare Regioni Avere DarePiemonte 44'147 32'874 Marche 17'758 21'46690Val d'Aosta 5'324 1'390 Lazio 31'009 59'168 75Lombardia 62'627 86'006 Abruzzo 21'236 13'538PA Bolzano 5'920 5'723 Molise 8'590 7'462 60PA Trento 10'270 11'672 Campania 52'011 23'965Veneto 32'237 54'781 Puglia 46'333 31'807Friuli V.G. 9'988 21'849 Basilicata 25'945 7'501Liguria 22'247 48'834 Calabria 45'023 6'4764530Emilia R. 30'655 70'342 Sicilia 50'180 5'484AvereEToscana 25'646 45'680 Sardegna 9'756 2'250 15E EUmbria 12'765 11'409 E E E E E 0E EJ EJE EE E J J JJ J J DareJ J J J J J JIl grafico non è forse il più adatto per mostrare il forte disagio delle regioni meridionali e della Calabria in particolare. Si riesce peròa cogliere la presenza di alcune regioni con forti importazioni ed esportazioni di pazienti (estrema destra del grafico).JEJ E J EJEJJEEEsercizio_SD54: professori universitari in Italia. 1997.a) Misurare la variabilità con gli indici:n⎡2 ⎤ 2 ⎡2S 2 ⎢ ∑ X i − Y i ⎥=i=1⎢ ⎥ ; D 2 ⎢ ∑ X ( i)− Y ( i)=i=1⎢⎢ n ⎥ ⎢ n⎣⎢⎦⎥⎣⎢b) Quale dei due indici esprime meglio la variabilità?1n12⎤⎥⎥⎥⎦⎥Gruppo Ordinari AssociatiScientifico 2865 3737Medico 2961 3926Ingegneria 2431 2826Agrario 959 862Economico 1019 949Politico-sociale 455 530Giuridico 927 421Letterario 2066 2332Altre 511 682Variabilità come scarto da un valore tipicoL’approccio delineato ha il difetto più grave nella genericità: perché l’andamento di una serie dovrebbe essere untermine di paragone per l’altra? Qual’è il significato logico di trasformare l’una nell’altra? E quello di spostarsi da unpunto ad un altro? Non mancano risposte interessanti, ma per il momento conviene pensare a confronti più semplici,in cui una delle due fonti di variabilità, quella della X o quella della Y, sia soppressa.Esempio:Si supponga che le X i siano tutte uguali: (X i = A per i=1,2,...,n) ci si troverà perciò nella situazione indicata in figura.La variabilità dipende ora dallo scostamento di ogni singola modalità da un valore fisso ovvero dalla distanza percorsa complessivamente(o in media) perché ogni modalità eguagli il valore standard.La variabilità può essere misurata scegliendo un termine di confronto A ed una sintesi degli scarti:⎡ nSA,α ( )= X i − A α ⎤⎢ ∑ f i ⎥⎣i=1⎦1α; fi{ }= frequenze relativePer ogni scelta di A e di α la statistica risulta espressa nella stessa unità di misura della X poiché l’elevamentoa potenza è controbilanciato dalla radice dello stesso ordine. Inoltre, si annulla solo per la variabile degenere ecioè per una rilevazione che abbia dato luogo per “n” volte ad uno stesso valore (in questo caso mediana, mediaaritmetica e tutti gli altri indici di centralità coincidono con il valore costante A). Un aumento di S(A,α) è possibilesolo in presenza di un aumento di variabilità, anche se non necessariamente un aumento di variabilità produceun aumento della statistica: una modalità che si allontani da A per uno scarto di uguale misura e frequenzabilanciato dall’avvicinamento di un’altra non sarà rilevato da S(A,α) che rimarrà invariata pur in presenza di unaumento della diversificazione tra le modalità.

181Lo scarto quadratico medioE’ la misura più classica di variabilità (nota anche come deviazione standard):k( ) 2 f iσ = ∑ X i −µ ; µ= ∑ X i f ii=1ki=1Esempi:a) Tariffe di interconnessione telefonica per minuto al 1997 (valori in centesimi di ECU).Paese Tariffa Paese Tariffa Paese TariffaGran Bretagna 0.64 Finlandia 1.84 Italia 1.80Spagna 1.51 Danimarca 0.98 Belgio 2.78Francia 0.71 Olanda 2.00 Austria 7.61Germania 1.00 Svezia 1.68Le modalità prossime alla media producono scarti di entità piccola (Olanda, Italia, Finlandia). Scarti elevati si determinano per modalitàdiscoste dalla media: sono queste che contribuiscono maggiormente alla formazione del valore di σ (l’Austria, ad esempio):22.5538.0152µ= = 205 . ; σ = = 1.8591111Il quadrato dello scarto quadratico medio: σ 2 , detto varianza, è spesso richiamato come indicatore di variabilità anche se non èespresso nella giusta unità di misura: una distanza in metri ha una varianza in metri quadri.b) Un profilo (circa 37.2 metri) di suolo è stato suddiviso in sezioni di 31 centimetri. Per ogni sezione si è rilevato il numero di eventirari nell’epoca geologica in esso rappresentata. In media, in ogni sezione si registrano 2 eventi rari con scarto pari a 1.48 (la formuladello scarto quadratico medio è espressa in una forma giudicata spesso più semplice).Eventi Sezioni f i X if i2X i if0 16 0.1333 0.0000 0.00001 31 0.2583 0.2583 0.25832 34 0.2833 0.5667 1.13333 22 0.1833 0.5500 1.65004 9 0.0750 0.30005 4 0.0333 0.16676 3 0.0250 0.15007 1 0.0083 0.0583120 1.0000 2.05001.20000.83330.90000.40836.3833⎛ k2 2⎞σ = ⎜ ∑ x f −µ ⎟ = − =i i 6. 3833 4. 2025 1.48⎝i=1 ⎠Sia µ che σ sono grandezze continue che si applicano male alle variabili discrete e necessitano di forzature per essere interpretate.c) Parco macchine per percorrenza (migliaia di Km).Percorrenza Auto c i f i f i*c i(c 2i -µ) f i10 19.9 6 14.95 0.0462 0.6900 10.636720 24.9 16 22.45 0.1231 2.7631 7.261325 29.9 48 27.45 0.3692 10.1354 2.653930 34.9 33 32.45 0.2538 8.2373 1.365135 39.9 18 37.45 0.1385 5.1854 7.417140 49.9 9 44.95 0.0692 3.1119 15.2033130 1.0000 30.1231 44.5374Si ignorano i valori di dettaglio e per il calcolo si utilizzano i valori centrali delle classi. La percorrenza media è di 30 mila chilometricon un σ =√44.5374=6.67 mila chilometri. Il risultato è approssimato come è naturale in un quadro di informazione così incompleto,ma fornisce elementi sufficienti per capire come si comporta il fenomeno.d) Talvolta le misure di riferimento del boxplot sono la media aritmetica ed alcuni valori di soglia espressi come distanze da µproporzionali allo scarto quadratico medio: ±σ, ±1.96σ, ±2.58σ. Prodotto interno lordo procapite per 89 Paesi. Analisi con il boxplot.4035302520151002250450067 5090 0011 25 0135001575018 00 0408 837 1606 2774 4645 12000 15518496 914 1689 2830 4799 12618 15887514 952 1721 3068 4890 12653 16362514 956 1869 3075 5185 12721 16471527 978 1876 3332 5208 12724 16798530 1029 2092 3380 5746 12955 17945547 1085 2102 3569 6167 13281569 1104 2173 3622 6253 13484608 1162 2178 3685 7082 13918634 1282 2215 3807 9203 13986711 1385 2240 3826 9637 14091734 1432 2247 3882 9802 14458740 1493 2250 3942 9843 14709762 1510 2719 4253 11363 15105

182408Min17945Max5474.42µ10866.43µ+s116042.76µ+2sIl boxplot non segnala particolari anomalie se non un addensamento di valori nei livelli più bassi del PIL. Nasconde però un fenomenoben noto agli economisti dello sviluppo: la bimodalità della distribuzione. Oltre ai valori più frequenti della prima classe (Paesi poveri)esiste un picco di Paesi a maggiore benessere dal quale si distaccano poi i Paesi più ricchi.e) In caso di calcoli statistici con dati arrotondati la cui unità di arrotondamento (il valore che può essere sottratto dal numero senzaconseguenze) sia pari ad “r” si dovrebbe fare in modo che 0≤r≤σ/2 (Nicholson, 1979).Esercizio_SD55: costo del metano (incluse imposte) al 1° gennaio 1998 nelle principali città italiane.(Lit/m 3 ).Città Cucina e acqua Riscald.Torino 755.5 1102.7Milano 719.2 1130.8Verona 719.2 1019.0Venezia 719.2 1083.3Bologna 755.5 1072.0Forlì 755.5 1012.8Ancona 741.2 1055.7Firenze 755.5 1087.7Roma 806.1 1257.6L'Aquila 735.7 893.6Napoli 836.9 1301.0Palermo 846.8 1220.2a) Calcolare lo scarto quadratico medio delle due serie;b) Ha senso il confronto della variabilità con lo scarto quadratico medio?Esercizio_SD56: numero di cristalli ottenuti dalla vaporizzazione del solfatodi potassio.a) Calcolare lo scarto quadratico medio;b) Le medie di classe sono utili al calcolo della deviazione standard?Cristalli Soluzioni20 24 825 29 1730 34 2435 39 3640 44 41Cristalli Soluzioni45 49 8350 54 5255 59 3560 64 565 69 9310Come è evidente dalla sua formula, la deviazione standard si annulla esclusivamente se tutte le modalità coincidonocon la media aritmetica. E’ però insensibile a certe modifiche compensative. Supponiamo di sottrarre laquantità d alla modalità X je di sommarla alla quantità X i(entrambe riscontrate una sola volta nella rilevazione).La media aritmetica rimane invariata. Per la deviazione standard, limitatamente ai valori modificati, si ha:2 2 2 2( X + δ)−µ( X δ)−µ[ X ] + X −µ 2δ X δ X[ ] + −[ ] = −µ[ ] + ( + − )i j i j i jPoiché X j=X i+d l’ultimo addendo si annulla e s non cambia. Un aumento della deviazione standard è conseguenzadi un aumento della variabilità, ma non è vero che ogni aumento di variabilità si riflette in un aumento delladeviazione standard.La correzione di SheppardConsiderare uniforme la distribuzione delle modalità all’interno delle classi porta ad una valutazione approssimatadell’ammontare effettivo di variabilità. L’entità ed il segno dell’errore dipendono dalla forma della distribuzionee l’uso dei valori centrali può fornire un σ inferiore o superiore a quello reale senza che si possaprevederne l’effetto in tutti i casi.Esempio:f(x)µx

183Nelle classi a sinistra della media le modalità tendono ad addensarsi verso gli estremi superiori cosicché qui i valori centrali sottostimanole medie di classe producendo scarti più grandi di quelli che dovrebbero essere. Nelle classi a destra della media le modalitàsi addensano negli estremi inferiori cosicché i valori centrali sovrastimano le medie di classe dando luogo anche qui a scarti maggioridel dovuto. Nel complesso si ottiene uno scarto quadratico medio maggiore di quello reale.In certe condizioni è però possibile apportare una correzione che migliora lo scarto quadratico medio: se il graficotende ad appiattirsi sia per valori grandi che per valori piccoli, se le classi sono numerose e se hanno la stessaampiezza “d”, il σ è meglio approssimato con la formula:⎡ kσ = ⎢ ∑ X i −µ⎣i=1( ) 2 f i⎤⎥12 ⎦− d2Esempio:Un ornitologo ha condotto la pesatura di un campione di una specie di uccelli migratori.Peso Uccelli ci f i f i*c i (ci-µ)^ 2fi0.0 0.9 15 0.45 0.0383 0.0172 0.61691.0 1.9 24 1.45 0.0612 0.0888 0.55672.0 2.9 31 2.45 0.0791 0.1938 0.32123.0 3.9 64 3.45 0.1633 0.5633 0.16834.0 4.9 103 4.45 0.2628 1.1693 0.00015.0 5.9 99 5.45 0.2526 1.3764 0.24496.0 6.9 26 6.45 0.0663 0.4278 0.26137.0 7.9 13 7.45 0.0332 0.2471 0.29548.0 8.9 11 8.45 0.0281 0.2371 0.44569.0 9.9 6 9.45 0.0153 0.1446 0.3803392 1.0000 4.4653 3.2906σ ordinario =1.814;σ corretto=1.795La correzione, detta di Sheppard dal nome dell’autore che l’ha suggerita all’inizio del 1900, ha poco effetto se “n” è grande oppurese la comune ampiezza degli intervalli è piccola rispetto alla media del fenomeno. D’altra parte le condizioni di applicabilità sonopiuttosto vaghe per cui non è usata spesso; rimane tuttavia un esempio eccellente di come lo conoscenze teoriche consentono spessodi integrare, modificare e correggere i dati.Esercizio_SD57: neonati sottoposti a cure per peso (in grammi) alla nascita.Peso Neonati601 800 604801 1000 7101001 1200 8811201 1400 4851401 1600 6203300a) Calcolare la deviazione standard utilizzando la correzione di Sheppard;b) Come vi regolereste se le classi terminali avessero estremi indeterminati?La disuguaglianza di TchebycheffLo scarto quadratico medio, a differenza del campo di variazione o della differenza interquartilica, non ha unainterpretazione diretta in termini delle modalità della rilevazione e, soprattutto, non è chiaro il ruolo che riveste nelladescrizione del fenomeno. Per comprendere meglio questo indice richiamiamo un importante risultato teorico dovutoal matematico sovietico P. Tchebycheff (1821-1894) che ha apportato molti contributi alla matematica ed alla statisticasoprattutto al fine di definire processi di soluzione numerica (algoritmi). L’esempio più importante di questo approccioè la disuguaglianza di Tchebycheff. Scomponiamo la varianza in tre addendi:σ2k( )2 2 2 2( )( )∑( )= ∑ X −µ f = ∑ X −µ f + ∑ X −µ f + X −µ fi dove b>0i ii ii iii= 1x≤µ−bσ x≥µ+ bσ µ− bσ

184in cui si è esclusa la variabilità dovuta alle classi centrali della distribuzione. Poiché b e σ sono positivi si ha µ-bσ

185La sua portata è però rilevantissima quando verrà riferita alle variabili casuali del capitolo 7 in cui, grazie allaTchebycheff si potranno ottenere agevolmente risultati altrimenti difficili da dimostrare.Esercizio_SD58: distribuzione delle officine autorizzate per tempo medio necessario alla revisione delle auto.Tempo Off.Aut. c i c i ni2 c i n i20 25 5 22.5 112.5 2531.325 30 15 27.5 412.5 11343.830 35 25 32.5 812.5 26406.335 40 17 37.5 637.5 23906.340 45 11 42.5 467.5 19868.845 50 8 47.5 380.0 18050.050 55 6 52.5 315.0 16537.555 60 3 57.5 172.5 9918.890 3310.0 128562.5Verificate che siano rispettate le soglie della Tchebycheff per b=1 e b=2 anche in presenza di stima delle mediedi classe con i valori centrali.La Tchebycheff è utile per interpretare la deviazione standard. Poniamo c=bσ ovvero b=c/σ; quindi:fr. rel. ( X −µ < c)≥ − ⎛ σ1⎞⎝ c ⎠Fissato l’intervallo µ-c≤ x ≤µ+c, se aumenta la deviazione standard diminuisce la frequenza delle modalità chericadono nell’intervallo intorno alla media. Più grande è σ meno tipica e rappresentativa sarà la media aritmetica; d’altraparte, più piccolo è σ, tanto più corto sarà l’intervallo -centrato su µ- nel quale ricade una data percentuale di modalitàcon la conseguenza che meno dispersa sarà la distribuzione e più espressiva della centralità sarà la media aritmetica.Esercizio_SD59: si supponga che una variabile X abbia media µ=10 e scarto quadratico medio σ=5. Cosa siriesce a dire sulla dispersione della X?Esercizio_SD60: il numero di incidenti automobilistici coinvolgenti giovani verificatisi in un tratto di superstradaha media 90 e varianza pari a 9. Qual’è la frequenza massima attribuibile all’intervallo: {x|81≤x≤99}?2La scomposizione della varianzaSupponiamo che la rilevazione sia il risultato dell’accorpamento di sottorilevazioni in “g” gruppi distinti dinumerosità n i, i=1,2,…,g e che di ciascun gruppo sia nota la media aritmetica:µ i =n i∑ X ijj=1n i; i = 1, 2,…,gLa varianza si presta ad una riscrittura che evidenzia quanta parte sia attribuibile alla diversificazione interna aigruppi (detta “within”) e quanta invece sia dovuta a differenze fra i gruppi ( “between”).∑ [( ) + µ −µ ]( ) + µ −µg ni g ni g nig nig niσ 2 222 2ijij i ( i )ij i ∑ ∑( i )i= 1j=1i= 1j=1i= 1j=1i=1j=1i=1j=1( )( ) −µn = ∑ ∑ ( X −µ ) = ∑ X −µ; = ∑ ∑ X −µ+ 2 ∑ ∑ µ −µ X ;ni∑ ( )X −µg ij i gj=1= ∑ ni+ ∑ niµ −µn2n∑ ( )2i( ) + 2 ∑( µ −µ ) X −µi i ij ii= 1 i i= 1i=1 j=1gi ij iLa quantità nσ 2 è la devianza. L’ultimo termine si annulla in quanto ogni suo addendo è la somma degli scartisemplici dalla media aritmetica del rispettivo gruppo. Quindi, la varianza totale è:

186gσ 2 2= ∑ f i σ i + ∑ f i µ i −µi=1gi=1( ) 2Si sono ottenuti due fattori:1) varianza nei gruppi (media ponderata delle varianze all’interno dei gruppi;2) varianza tra i gruppi (media ponderata degli scarti tra le medie parziali e la media totale).Una conseguenza diretta è:gg∑( µ i −µ )n i = ∑µ i n i − ∑ µn i = nµ−nµ =0i=1i=1gi=1cioè la media totale rende nulla la somma ponderata degli scarti dalle medie parziali. Note (g-1) medie parzialie nota anche la media totale, l’ultima media parziale è automaticamente determinata dal vincolo appena dimostrato.Questo fatto si descrive dicendo che si è perso un grado di libertà. Calcolando le medie parziali si perdeun grado di libertà per ogni media. Supponiamo di dover trasmettere -in forma di telegramma- l’esito dellarilevazione rispetto all’i-esimo gruppo: le n imodalità in esso incluse e la media di gruppo µ i. Possiamo risparmiareil costo di un’informazione trasmettendo tutte le n imodalità e chi riceve si calcola autonomamente la mediaoppure, trasmettiamo (n i-1) valori e la media di gruppo µ icosicché chi riceve può ricavarsi l’informazionemancante.Esempio:Le emissioni tossiche di tre stabilimenti sono state monitorate per 5 giorni.A B C TotaleGiorni Stabil. "A" Stabil. "B" Stabil. "C"Medie 47.92 52.22 43.32 47.821 46.30 48.60 45.10(µ -µ) 2 0.01 19.36 20.252 43.70 52.30 46.70Varianze 6.96 5.77 5.19 19.183 51.20 50.90 41.80Varianza w. 2.32 1.92 1.73 5.974 49.60 53.60 40.40Varianza b. 0.00 6.45 6.75 13.21 19.25 48.80 55.70 42.6054525048464442Stab. AStab. BStab. CGlobaleLa fonte maggiore di variabilità è quella “between”. In particolare lo stabilimento “C” che ha una media di inquinante tendenzialmentemeno elevata unita ad una maggiore variabilità interna. Il profilo delle medie riportato in grafico è un ottimo ausilio per descriverevisivamente il comportamento dei gruppi.La suddivisione della varianza ne consente una nuova interpretazione: se i gruppi avessero la stessa media nonci sarebbe variabilità “between” e la variabilità complessiva deriverebbe solo da diversificazioni interne aigruppi; d’altra parte, se i gruppi presentassero sempre la stessa modalità sparirebbe la variabilità “within” econterebbero solo le differenze tra i livelli dei gruppi. Possiamo avere perciò variabilità perché i gruppi differisconoal loro interno o perché differiscono tra di loro o per entrambe le ragioni.Esercizio_SD61: lunghezza in chilometri della rete stradale per regioni e tipi.Regione Autostrade Statali ProvincialiPiemonte 704 2686 10891Lombardia 545 3272 8974Toscana 387 3495 7279Campania 440 2672 6918Calabria 295 3347 5780Sicilia 570 3606 11024a) Calcolare le medie e le varianze parziali nonché quelle totali;b) Come si presenta una rilevazione in cui sia nulla la variabilità tra gruppi gruppi?c)Come si presenta una rilevazione in cui sia nulla la variabilità nei gruppi?

187A nalisi della varianzaLa scomposizione della varianza prelude ad una tecnica statistica -l’analisi della varianza- che qui accenniamosolo fugacemente per riprenderla in fasi più avanzate del corso. In pratica ci occupiamo solo di un indice cheesprime l’effetto della divisione in gruppi sulla variabilità. Tale indice è dato dal rapporto tra la devianza dellemedie parziali e la devianza nei gruppi.g( ) 2∑ n i µ i −µF = s 2 2i=12s = ( g − 1)g n i 1∑ ∑ x ij −µ ii=1j=1( ) 2( n − g)( )( )= n − gg − 1g∑i=1g n in i ( µ i −µ ) 2∑ ∑( x ij −µ i ) 2i=1j=1La statistica F è un indice non negativo ed invariante rispetto a trasformazioni lineari. La suddivisione non avràavuto alcun effetto se le medie parziali sono tutte uguali: µ 1=µ 2=…=µ ge quindi il numeratore sarà nullo e qualunquecausa abbia determinato la categorizzazione è da ritenersi ininfluente sul fenomeno. Se invece le medie di gruppo sonodiverse allora la suddivisione in gruppi è una fonte di variabilità ed è tanto più forte quanto più cresce il numeratorerispetto al denominatore. La F, infatti, tende ad infinito man mano che la differenza tra le medie di gruppo diventa l’unicafonte di variabilità e cioè ogni gruppo presenta la stessa modalità al suo interno distinta dalla modalità presentata daglialtri gruppi: X ij=µ iper j=1,2,…,n i; i=1,2,…,g. Ne consegue che i valori grandi di F saranno dovuti ad una o più medieparziali piuttosto lontane dalle altre e la classificazione in categorie distinte può effettivamente dare un contributoalla comprensione del fenomeno: in breve, la classificazione è significativa. Se ci si aspetta omogeneità per i livellimedi e si scopre che la variabilità “within” è maggiore della “between” allora i dati contrastano l’ipotesi dipartenza; se accade il contrario questo non deve necessariamente essere considerato una conferma, ma un contributoa supporto dell’ipotesi di sostanziale uguaglianza tra le medie aritmetiche dei vari gruppi. La statistica F,tuttavia, non è in grado di dirci quale gruppo abbia contribuito di più e quale meno alla variabilità: ci informa chei gruppi non hanno lo stesso livello medio, ma non si pronuncia sull’ordinamento tra le medie rinviando adulteriori indagini l’accertamento sulle singole medie. I calcoli per la F sono riassunti nella tabella che segue:Variabilità Devianze Gradi di libertà Scarto mediogg∑ n i µ i −µTra gruppi ∑ n i ( µ i −µ ) 22g − 1 s 2 = i=1i=1( g − 1)g n i∑ ∑ xg n ij −µ iiNei gruppi ∑ ∑ ( x ij −µ i ) 22 i=1 j=1n − g s 1 =i=1 j=1( n − g)g n iTotale ∑ ∑ ( x ij −µ ) 2 n − 1 F = s 2 22i=1 j=1s 1( ) 2( ) 2Esempio:I punteggi di alcuni candidati a posti di responsabile della comunicazione di impresa sono stati suddivisi in tre gruppi: laurea scientifica,laurea umanistica, laurea in economia.Ec Sc Um86 75 9277 77 9084 74 8787 78 8291 80 7589 89 7292 7382Totalin i8 7 6 21T i688 546 498 1732µ i86 78 83 µ=82.48(µ i-µ) 2 n 99.3373 140.2546 1.6462 241.2381i∑(X ij-µ i) 2 172 176 332 680Il valore della F è 3.1929 . I valori elevati della F sono da considerarsi una evidenza contro l’ipotesi che la classificazione abbia introdottocategorie effettivamente distinte, almeno dal punto di vista della media aritmetica. Poiché F è basso, la suddivisione per laurea nonsembra costituire motivo di attendersi una diversità sui punteggi medi.

188Eccoci però di nuovo al problema di stabilire che cosa debba intendersi per “basso”. Anche qui lo zero è l’unicovalore inequivoco: significa che non c’è effetto. Ma F>0 significa che l’effetto c’è? Una certa differenza tra igruppi dobbiamo comunque aspettarcela non fosse altro che per errori di misurazione e per il fatto che nonabbiamo esaminato tutti i candidati possibili, ma solo un campione. Resta perciò da chiedersi se il valore positivodi F sia da ascriversi ad una reale scostamento della media di uno o più gruppi oppure si tratti di una diversificazionetenue che non suscita particolari riflessioni. Non ci vuole molto per rendersi conto della portata delquesito: tenuto conto dei dati osservati, fino a che livello il valore di F è compatibile con delle diversificazioniaccidentali ovvero da quale valore di F in poi si devono ritenere patologiche le differenze riscontrate?La Statistica non è in grado di dare una risposta globale: all’aumentare di F saremo sempre più convinti chel’effetto ci sia, ovvero giudicheremo inverosimile un diversificazione accidentale che porti a valori così grandidi F. Tuttavia, se ricorrono alcune condizioni è possibile trarre conclusioni attendibili in base ai quantili di unmodello: la cosiddetta F di Fisher, facilmente calcolabili con il foglio elettronico EXCEL. I gradi di libertà delnumeratore n 1sono dati dal numero di gruppi (diminuito di una unità) e quelli del denominatore n 2dal numerodi rilevazioni (diminuito del numero di gruppi). La soglia corrispondente a n 1=2, n 2=18 è 6.01 che deve esserecosì interpretato: per la combinazione di gradi di libertà (2,18), valori inferiori o uguali a 6.01 sono da ritenersiordinari ovvero regolarmente riscontrabili anche in presenza di uguaglianze tra le medie: è questo il casodell’esempio con F=3.19; valori superiori a 6.01 (sempre con n 1=2, n 2=18 ) sono da considerarsi significativicioè le differenze tra le medie sono reali aldilà di ogni ragionevole dubbio e non solo apparenti. Più grande è loscarto tra la soglia teorica e quella calcolata, tanto più fondata sarà la nostra conclusione.Esercizio_SD62: 30 uomini suddivisi per il livello di stress accumulato sul posto di lavoro e per numero di volteche hanno sottoposto i figli minori a punizioni corporali.Alto 4 6 12 10 5 9 8 11 10 8Medio 2 4 5 3 0 3 2 5 5 4Basso 3 1 2 0 2 2 4 1 0 1Valutate se risulta provato un legame tra i livello dello stress e le punizioni.Di quanto può deviare una modalità?Consideriamo la devianza di una serie di “n” osservazioni ordinate in senso ascendente e scriviamola isolandola modalità più grande:n[ x ( i)−µ ] 2 n−1= ∑ x ii=1i=1∑ [ ( ) −µ* ] 2 + nn − 1[ x ( n) −µ ] 2; con µ* =n−1∑ x ( i)i=1n − 1Dividendo entrambi i membri per “n” e portando a sinistra lo scarto relativo ad X (n)si ha:[ x( n)−µ ]n−12[ ]n− x( n)−µ2 1 122= σ − ∑[ x()−µ *xni ] ⇒ ≤σ ⇒[ ( n)−µ ]≤σ−1n i=1n − 12Pertanto, nessuna osservazione può eccedere di un fattore √(n-1) lo scarto quadratico medio e la prossimità aquesta soglia indicherà un’anomalia. Tale risultato è molto popolare ed è stato scoperto e riscoperto più volte.Esempio:Finanziamenti dalla Banca europea degli investimenti. Valori in milioni di ECU. Anno 1989.µ=975.42, σ = 1060.4, σ n − 1 = 3673.3nella colonna intestata “scarto rel.” è riportato il valore del rapporto:xi −µσ n − 1L’avvicinarsi all’unità di tale rapporto è un indicatore di anomalia. Il valore per l’Italia è di 0.78che è in effetti elevato rispetto agli altri e desta una certa perplessità. Quale potrebbe essereil motivo di tale prevalenza?Paese Finanziamenti Scarto rel.Belgio 206.3 -0.21Danimarca 564.7 -0.11Germania 863.5 -0.03Grecia 176.3 -0.22Spagna 1942.0 0.26Francia 1684.6 0.19Irlanda 217.7 -0.21Italia 3855.7 0.78Lussemburgo 11.8 -0.26Paesi Bassi 245.3 -0.20Portogallo 794.7 -0.05Regno unito 1892.8 0.25Altri 225.1 -0.20

189Esercizio_SD63: Olkin (1992) dimostra che per un qualsiasi modalità vale:2 n2 nc( xi−µ ) ≤ ∑( xj−µ ) per c ≤j = 1 n − 1a) E’ in contraddizione con quanto si è trovato in precedenza?b) Proporre un’altra disuguaglianza che aiuti a trovare i valori remoti.I momentiLa media aritmetica è stata interpretata in una chiave fisica richiamando il concetto di “momento” che però nonè un’unità di tempo più o meno breve: “aspetta un momento”, ma significa tendenza a ruotare intorno ad un centro.Anche lo scarto quadratico medio, per la sua intrinseca natura di “media”, può essere interpretato come momento.In generale si ha:rispetto all' origine : µ = ∑ X f ;rispetto alla media : µ = X −µ fr'rki=1ki=1ri i∑( )con “r” intero non negativo (µ 0=µ’ 0=1). I momenti rispetto a µ (che abbrevia il simbolo µ 1) si ricavano daimomenti rispetto all’origine:iri' ' 2 ' 3 '21 2 23 3 1 24 4 1 3 2 1µ = 0; µ =µ −µ ; µ =µ − 3µµ + 2µ ; µ =µ − 4µµ + 6µ µ − 3µOgni momento fornisce un’informazione sulla distribuzione: la centralità, la variabilità ed altre caratteristiche chevedremo nel prossimo paragrafo. Anzi, sotto certe condizioni, la loro conoscenza è equivalente alla conoscenzadell’intera distribuzione e due distribuzioni tendono sempre di più a somigliarsi all’aumentare del numero deimomenti che condividono.41Esempi:a) I maggiori terremoti dell’ultimo secolo in Italia. Magnitudo in scala Richter. Calcolo dei momenti centrati.Regione Magnitudo 2 3 4 5 6Calabria 6.8 46.2 314.4 2138.1 14539.3 98867.5Calabria 5.9 34.8 205.4 1211.7 7149.2 42180.5Sicilia 7.5 56.3 421.9 3164.1 23730.5 177978.5Campania 6.0 36.0 216.0 1296.0 7776.0 46656.0Sicilia 4.3 18.5 79.5 341.9 1470.1 6321.4Abruzzo 5.0 25.0 125.0 625.0 3125.0 15625.0Friuli 5.9 34.8 205.4 1211.7 7149.2 42180.5Campania 6.5 42.3 274.6 1785.1 11602.9 75418.9Sicilia 6.0 36.0 216.0 1296.0 7776.0 46656.0Friuli 6.5 42.3 274.6 1785.1 11602.9 75418.9Campania 7.2 51.8 373.2 2687.4 19349.2 139314.1Sicilia 7.0 49.0 343.0 2401.0 16807.0 117649.0Umbria 6.3 39.7 250.0 1575.3 9924.4 62523.56.2 39.4 253.8 1655.3 10923.2 72830.0Da notare l’aumento dei valori numerici dei momenti all’aumentare dell’ordine con la conseguente complessità di calcolo e difficoltàdi contenere gli errori di arrotondamento. L’importanza delle modalità più grandi ai fini della determinazione del momento cresce edassume un risalto che va spesso oltre quello loro attribuibile in base alla frequenza.b) Un gruppo di n=15 pazienti è sottoposto ad una terapia che riduce la pressione arteriosa. In tabella è riportata la distribuzione delnumero dei successi per poco più di mille sperimentazioni.''µ 1 = 11. 7 µ 1 = 0; µ 2 = 142. 2; µ 2 = 5.3''µ 3 = 1781. 5 µ 3 = − 33. 3; µ 4 = 21997. 3; µ 4 = 455.3Xin i0 1 8 211 2 9 462 2 10 1053 6 11 1884 1 12 2545 6 13 2346 10 14 1347 9 15 3810570.250.200.150.100.050.00oooooooo o o o o o o o0 3 6 9 12 15Il momento 3° rispetto alla media con segno negativo è connesso all’allungamento verso i valori bassi; il valore positivo ed elevato delmomento 4° è un indicatore sia del grado di appuntimento al centro che del diverso spessore nelle due code.Se la rilevazione è in classi, il calcolo dei momenti potrà basarsi sui valori centrali con gli inevitabili errori diapprossimazione cui si aggiungono quelli di arrotondamento.

190Esempi:a) Vendite di motocicli in Italia per cilindrata.Cilindrata Moto ci fi c ifi2°c 3°c 4°c50 80 615 65 0.0054 0.35 753.9 -281'351.4 105'000'337.181 125 41250 103 0.3631 37.39 40'792.6 -13'673'667.7 4'583'413'400.3126 250 5642 188 0.0497 9.34 3'108.5 -777'757.2 194'594'849.2251 380 348 315.5 0.0031 0.97 46.1 -5'658.0 694'235.0381 500 12251 440.5 0.1078 47.50 0.6 1.3 3.0501 800 36994 650.5 0.3256 211.80 14'675.1 3'115'518.3 661'424'543.6800 1000 16519 900 0.1454 130.85 31'005.6 14'318'402.8 6'612'238'423.3113619 1.0000 438.20 90'382.4 2'695'488.2 12'157'365'791.6Il 1° momento dall’origine (la media aritmetica) non presenta problemi di interpretazione: la cilindrata è, in media, 438. Il momento2° centrato è la varianza. Gli errori di arrotondamento incidono meno sui momenti rispetto alla media aritmetica per gli effetti dibilanciamento propri di questo indice.b) Koop (200, pp. 27) discute un data set relativo al prezzo delle abitazioni in Canada. Nella tabella che viene fornita su floppy diskabbiamo selezionato 136 rilevazioni relative alle abitazioni con due stanze da letto ed altrettante abitazioni con tre camere da letto.Bedrooms Min Max µ Std.Dev.µ '3σ 3 µ '4σ 42 25000 101000 51886.03 14343.20 0.8901 4.43693 25000 128000 59288.20 21814.02 1.3591 5.0643Le due distribuzioni sono effettivamente diverse: non solo nella media e nella deviazione standard, ma anche rispetto ai momenti 3°e 4° che qui, per ridurne l’ordine di grandezza, abbiamo rapportato allo scarto quadratico medio.Esercizio_SD64: distribuzione secondo le ore di lavoro giornaliero dei bambini in età compresa tra i 12 ed i 15anni impiegati nelle fabbriche italiane nel 1913.Ore di lavoro Fanciulli FanciulleFino a 8 3090 15888-8.5 668 7888.5-9 3661 22499-9.5 1800 17919.5-10 15199 2429610-10.510.5-1111-12.012 e più6401 272894985 19889162 524294 37936260 78793a) Calcolare i primi quattro momenti delle distribuzioni;b) Quali evidenze mostrano i momenti nel confronto tra le due distribuzioni?Lo scarto assoluto medianoNel paragrafo 3.1 si è visto come in certe occasioni sia necessario esprimere la centralità con la mediana inveceche con la media aritmetica. In questi casi sembra corretto quantificare la variabilità con gli scarti dalla mediana.La misura che si è affermata in questo senso è lo scarto assoluto mediano:che usa gli scarti in modulo dalla mediana.kS Me = ∑ X i − M e f i ;i =1Esempi:a) Spesa in pubblicità per l’olio di oliva in alcuni Paesi della Comunità europea. Valori in miliardi.Me= X( 6)= 240; SMe= 125.1Paese Spesa Paese Spesa Paese SpesaItalia 512 R.U. 240 Olanda 128Francia 240 Benelux 128 Irlanda 80Grecia 240 Spagna 640 Danim. 80Germ. 384 Portog. 256In media i Paesi deviano dalla mediana di 125 miliardi. Da notare che la mediana minimizza la somma assoluta degli scarti.b) Un campione di frutti è stato classificato per numero di semi.Semi Frutti f i F i |X i -Me|f i0 1 0.0070 0.0070 0.04201 4 0.0280 0.0350 0.13992 6 0.0420 0.0769 0.16783 9 0.0629 0.1399 0.18884 16 0.1119 0.2517 0.22385 31 0.2168 0.4685 0.21686 76 0.5315 1.0000 0.0000143 1.0000 0.9790L’applicazione della formula è semplice: in media le modalità differiscono di un seme (circa) dalla mediana.

191c) Un parco di veicoli è stato classificato per capacità di carico in tonnellate.Carico Veicoli fi Fi |X-Me|f0 10 406 0.2929 0.2929 3.146111 20 545 0.3932 0.6861 0.094421 25 169 0.1219 0.8081 0.885236 40 124 0.0895 0.8975 1.991541 50 99 0.0714 0.9690 2.125751 60 43 0.0310 1.0000 1.23351386 1.0000 9.4764La capacità mediana è M e =15.74 cioè circa 16 tonnellate con uno scarto assoluto mediano di circa 9 tonnellate.Esercizio_SD65: tempo di permanenza in un quartiere prima del trasferimento. Valori in anni e frazioni di anno.X n f F0.0 0.5 2 0.013 0.0130.5 1.0 6 0.038 0.0501.5 2.0 11 0.069 0.1192.0 3.0 14 0.088 0.206a) Calcolare lo scarto assoluto mediano;b) In quale unità di misura è espresso S Me?3.0 4.0 20 0.125 0.3314.0 6.0 39 0.244 0.5756.0 10.0 31 0.194 0.76910.0 15.0 24 0.150 0.91915.0 20.0 13 0.081 1.000160 1.000Lo S Mesi annulla solo nel caso di modalità tutte uguali ed è insensibile a modifiche che diano luogo a compensinegli scarti sullo stesso lato dalla mediana. Supponiamo di sottrarre la quantità positiva d alla modalità X ie disommarla alla quantità X jposte sullo stesso lato della mediana, diciamo maggiori (e con un entità di d che nonmodifichi tale condizione). Lo scarto assoluto mediano rimarrà invariato. Infatti:X + δ − M + X −δ − M = X + δ − M + X −δ− M = X − M + X − Mi e j e i e j e i e j e= X − M + X − Mi e j eAlcuni aumenti della variabilità non sono perciò intercettabili con lo scarto assoluto mediano.Esercizio_SD66: rocce per percentuali di porosità:Porosità Rocce12 14 215 18 319 20 521 22 723 24 825 26 2327 28 1229 30 2731 32 833 34 5100a) Calcolare lo scarto assoluto mediano;b) L’uso dei valori centrali può impedire alla mediana di minimizzare la somma assoluta degli scarti?Esercizio_SD67: nel mese di giugno 25 alberi di clementine sono stati irrorati con un antiparassitario. Inun’altra zona, distante dalla prima, ma con lo stesso microclima, 20 alberi nella stessa fase dello sviluppo deiprecedenti sono stati lasciati intonsi. Ecco la produzione in chilogrammi.Irrorate 123 124 122 124 134 143 141 121 121 140 135 123 139 144 127 125 137 127 126 123 142 128 134 128 134Non irrorate 144 130 132 128 139 112 136 115 124 119 112 132 117 137 131 118 138 116 129 137a) Calcolare lo scarto quadratico medio e lo scarto assoluto mediano;b) Ritenete che l’antiparassitario abbia avuto effetto?Mediana degli scarti dalla medianaLo scarto assoluto mediano non convince come misura di variabilità perché è un ibrido tra una media lasca dimodalità e una media ferma di scarti. Varrebbe forse la pena di considerare non la media aritmetica degli scartidalla mediana, ma la mediana degli scarti dalla mediana:{ }S = M X − M ; i = 12 , ,…,ne e i eLa S eè espressa nella stessa unità di misura della X e si annulla se e solo se le modalità sono tutte uguali tra diloro.

192Esempio:Occupati per settore nelle province della Lombardia. Dati in migliaia di unità.Province Sondrio Lodi Cremona Lecco Mantova Pavia Como Varese Bergamo Brescia MilanoOccupati 72 82 133 136 163 198 226 332 402 436 1571|Xi-Me| 126 116 65 62 35 0 28 134 204 238 1373Dopo aver ordinato gli scarti dalla mediana: 0, 2, 35, 62, 65, 116, 126, 134,204, 238, 1373 si accerta che S e =116/11=10.54. Tale misuraè agevolmente interpretabile: la metà delle province ha un numero di occupati che dista mediamente 10.54 occupati o meno dallamediana degli occupati della regione.Esercizio_SD68: seggi nell’attuale parlamento europeo.Paese SeggiGermania 99Gran Bretagna 87Francia 87Italia 87Spagna 64a) Calcolare la mediana degli scarti dalla mediana;b) E’ utile in presenza di valori remoti?Olanda 31Grecia 25Belgio 25Portogallo 25Svezia 22Austria 21Danimarca 16Finlandia 16Irlanda 15Lussemburgo 6La deviazione mediaNel corso del tempo si è guadagnata una posizione di rilievo come indice di variabilità anche la media degli scartiin valore assoluto dalla media aritmetica (deviazione media o scarto semplice medio)kS µ = ∑ X i −µ f i ;i=1Esempi:a) Reddito medio unitario per categorie di dipendenti.Qualifica R.M.U. Qualifica R.M.U. Qualifica R.M.U.Operai 17.767 Doc. Univ. 61.787 Magistrati 78.754Impiegai 25.175 Ins. Scuola 26.539 Parlamentari 50.818Funzionari 44.851 Sottuf. 25.753 Religiosi 18.053Dirigenti 86.828 Ufficiali 32.115n∑ X i −µµ=42.59 ; S µ = i=1n= 20.02Il calcolo elimina il segno dagli scarti rispetto alla media aritmetica. L’R.M.U. si attesta al livello µ= 42.5 milioni con una deviazionemedia di 20 milioni.b) Squadre di calcio di serie A e B: numero di elementi nella rosa dei calciatori convocabili.Calciatori Squadre f i Xfi |Xi-µ|f18 4 0.1053 1.8947 0.315819 3 0.0789 1.5000 0.157920 5 0.1316 2.6316 0.131621 8 0.2105 4.4211 0.000022 14 0.3684 8.1053 0.368423 3 0.0789 1.8158 0.157924 1 0.0263 0.6316 0.078938 1.0000 21.0000 1.2105In media le “rose” differiscono dalla media “21 giocatori” per poco più di un giocatore.c) I venditori di prodotti finanziari per vendite realizzate nell’ultimo trimestre.Vendite Operatori ci fi Xifi |ci-µ|fi10 14 5 12.0 0.0357 0.4286 0.646815 19 9 17.0 0.0643 1.0929 0.842820 24 19 22.0 0.1357 2.9857 1.100625 29 41 27.0 0.2929 7.9071 0.910830 34 26 32.0 0.1857 5.9429 0.351035 39 18 37.0 0.1286 4.7571 0.885940 44 12 42.0 0.0857 3.6000 1.019145 50 10 47.5 0.0714 3.3929 1.2421140 1.0000 30.1071 6.9991Gli operatori effettuano in media 30 vendite con una deviazione, in più o in meno, mediamente pari a 7.La deviazione media è simile allo scarto assoluto mediano (per le proprietà di minimo della mediana rispetto aivalori assoluti si ha comunque: S µ>S Me); inoltre, risulta espresso nella stessa unità di misura della variabile e siannulla solo in caso di modalità costanti.Esempi:a) Nel misurare la variabilità, Pearce (1965, p.7) ritiene preferibile lo scarto quadratico medio rispetto alla deviazione media perchédà peso maggiore agli scarti più grandi. Per le due distribuzioni: A={9, 6, 5, 8} con µ A =7, S µA =1.5, σ A =1.58 e B={10, 7, 4, 7} con µ B =7,S µB =1.5,σ B =2.12. Gli scarti maggiori potrebbero derivare da un agente sconosciuto o incontrollato laddove una serie di scarti moderaticonfermerebbe l’assenza di tali forze.

193Rispetto alla sensibilità ai cambiamenti, la deviazione media non reagisce a modifiche compensative su uno deilati della media aritmetica. In effetti, se consideriamo due modalità minori della media aritmetica: x i

194c) La deviazione media interviene nel taglio delle offerte estreme nelle gare pubbliche di appalto. In altre parole, per stabilire la dittaaggiudicatrice di una gara con offerte al ribasso si elimina il 20% delle offerte. Supponiamo che siano state effettuale le offerte: {13, 14, 15,16, 17, 19, 20, 21, 22, 28}. Per ottenere la soglia di esclusione occorre scartare il 10% più alto ed il 10% più basso (con arrotondamentoall’intero superiore). Nell’esempio si esclude il 13 ed il 28 ottenendo una media potata pari ad un ribasso del 18%. A questo punto occorrecalcolare un fattore correttivo dato dalla deviazione media sulle offerte rimaste dopo la potatura (e non su quelle originali visto che alcunesono già state escluse) che superano la media aritmetica: |19-18|+|20-18|+|21-18|+|22-18|)/4=2.5 che porta ad una soglia di esclusione del20.5% per cui sono anomale le offerte “21” e “22”; la gara è aggiudicata alla ditta che ha offerto un ribasso del 20%. Se lo scarto fosse statocalcolato su tutte le offerte superiori alla media la correzione sarebbe stata di (10+|28-18|)/5=4 con soglia pari al 22% e l’appalto sarebbestato vinto dalla ditta che ha offerto proprio un ribasso del 22%. Il problema è controverso e, allo stato attuale della legislazione, prevalel’esclusione dei valori anomali sia dalla media potata che dalla deviazione media. Provate infine a pensare ad una gara in cui tutte le ditteancora in gara presentino ribassi dell’x%. Quale che sia il ribasso questo sarà giudicato valido se si considerano anomale solo leofferte strettamente superiori alla media.Esercizio_SD71: un gruppo di bambini è sottoposto ad un test di apprendimento.Per ciascuno è stato rilevato il tempo (in minuti) resosi necessario per imparare adeffettuare un semplice compito. Giudicate -in base alle formule di Beesack- se iltempo di 25 minuti è un valore remoto.10 12 10 14 11 11 9 14 1115 14 13 11 9 10 12 11 1313 15 11 9 11 14 10 10 1510 15 14 13 14 13 14 12 2515 20 15 13 10 12 13 9 8Le differenze medieLa variabilità può essere misurata considerando il confronto di una modalità con tutte le altre indipendentementedalla sequenza con cui sono state rilevate ovvero valutando l’entità della variazione che in media si dovrebbeapplicare se ogni modalità dovesse essere resa uguale a tutte le altre. Un indice sintetico di variabilità basato suquest’idea è la differenza media di ordine α:nn1α⎡α ⎤⎢ ∑ ∑ X i − X j ⎥∆ α i=1j=1R = ⎢⎢ n 2 ⎥⎥⎣⎢⎦⎥n−1⎡α ⎤⎢2 ∑ ∑ X i − X j ⎥; ∆ α i=1 j=i+1= ⎢⎥⎢ nn− ( 1)⎥⎣⎢⎦⎥che misura il valor medio dello scarto tra due modalità qualsiasi. Il pedice R indica che il calcolo avviene “conripetizione” cioè si considerano i confronti di una modalità con sé stessa anche se il contributo alla variabilitàè nullo. Se è opportuno escluderli, la differenza media è “senza ripetizione” e si considerano meno confronti.Le differenze medie rispecchiano l’unità di misura delle variabili su cui si calcolano e si annullano se solose le modalità sono tutte uguali.n1αEsempio:Produzione di acciaio grezzo in migliaia di tonnellate. Calcolo della differenza media per α=1.∆R = 737068= ∆ = 73706815' 042;4942= 17549Paese ProduzioneSpagna 12444Regno Unito 18733Francia 19061Italia 25179Germania 51078Giappone 58743USA 97943In media, la produzione di acciaio tra due Paesi qualsiasi (anche uguali) differisce di 15’042 tonnellate. Se i paesi a confronto debbonoessere diversi, allora in media le produzioni differiscono di 17’549 tonnellate.Le differenze medie si basano sul confronto diretto di tutte le modalità senza riferimento ad un fittizio termine diparagone perciò sviluppano un’idea di variabilità diversa rispetto agli scostamenti da un valor medio: in questi siquantifica l’ammontare delle modifiche da apportare alle modalità per renderle uguali alla media; nelle differenzemedie, il ruolo dello standard è interpretato, a turno, da tutte le modalità. Tale questione appassionò gli statistici tra il1912 ed il 1935, e si concluse con l’osservazione di V. Castellano (1935) che sottolineò come ogni indice misurasseun aspetto diverso della variabilità ed era inutile dibattere su quale fosse il migliore da usare in tutte le occasioni.La differenza media che ha trovato più applicazioni è la differenza semplice media con α=1 il cui calcolopuò essere molto semplificato. Infatti, tenuto conto cheX() iX( j) X() iX( j) 2 Min X() i, X( j)− = + − { }

195La differenza semplice media può essere espressa come:1 ⎡⎣∆ R =nn∑ ∑i=1j=1( ) − − +X ( i)− X ( j)n 2 =⎤⎦n n∑ ∑ X ( i ) + X ( j ) − 2 min{ X ( i),Xj=1[ ( j }])i=1n 21 ⎡⎤2 2 2 2 2 1 ( 2 1 )⎣⎦nnn nn∆ R = i iii i i in⎢ ∑ nX + nµ∑( n i ) X ⎥ = n X n i X w X w i niin− ∑( − + )2 () 2 2 2 1 () 2 ⎢ ∑ () () ⎥ = ∑ ();= 2iiin− −= 1= 1= 1 = 1= 1I valori ordinati delle modalità entrano nel calcolo con pesi simmetrici e di segno opposto per posizioni equidistantidalla mediana (i pesi sono a somma zero); inoltre, man mano che le modalità si allontanano dalla mediana,aumenta il loro contributo all’indice. In caso di “n” dispari, la modalità centrale avrà associato peso zero e nonpotrà quindi contribuire alla determinazione della variabilità.Esempi:a) Riconsideriamo la produzione di acciaio . I calcoli sono ora più rapidi. Inoltre, poiché∆=n∆ R /(n-1), non è necessario effettuare un calcolo diverso o rifare quello precedenteper la differenza media senza ripetizione. Si può notare che se si modifica la modalitàmediana l’indice non si accorge del cambiamento ovvero fintanto che si toglie la medianae la si sostituisce con un altro valore intermedio tra quello che precede e quello che seguela mediana, la differenza semplice media rimarrà invariata mancando di segnalare ilcambiamento nella variabilità.Paese Produzione i Wi XiwiSpagna 12444 1 -0.245 -3047.5Regno Unito 18733 2 -0.163 -3058.4Francia 19061 3 -0.082 -1556.0Italia 25179 4 0.000 0.0Germania 51078 5 0.082 4169.6Giappone 58743 6 0.163 9590.7USA 97943 7 0.245 23986.030084.4b) Confronto della diffusione di alcune tra le maggiori testate dei quotidiani in Italia. I pesi sono comuni ad entrambe le serie (e sonocomuni a tutte le serie formate da otto modalità distinte ed ordinate). Solo una posizione si è scambiata nell’anno : Sole-24 Ore eGazzetta dello Sport, ma anche così, per il calcolo sono stati necessari due ordinamenti diversi delle testate.Testata Diff. 2/2000 Pesi C2000 C2001 Testata Diff. 2/2001Il Secolo XIX 122'500 -0.219 -26'796.9 -26'621.9 Il Secolo XIX 121'700Il Giornale 234'590 -0.156 -36'654.7 -35'655.8 Il Giornale 228'197Il Messaggero 279'000 -0.094 -26'156.3 -26'507.8 Il Messaggero 282'750La Stampa 383'900 -0.031 -11'996.9 -12'087.5 La Stampa 386'800Il Sole-24 Ore 426'033 0.031 13'313.5 12'906.3 La Gazzetta dello Sport 413'000La Gazzetta dello Sport 436'000 0.094 40'875.0 39'986.3 Il Sole-24 Ore 426'521La Repubblica 670'456 0.156 104'758.8 103'920.6 La Repubblica 665'092Corriere della Sera 740'000 0.219 161'875.0 157'500.0 Corriere della Sera 720'000219'217.6 213'440.3La differenza media è diminuita a fronte di un leggero appiattimento delle copie circolate. Quello che non possiamo ancora stabilire,almeno con gli strumenti della statistica descrittiva, è se tale differenza sia da considerarsi importante oppure rientri in un quadro disostanziale stabilità.Esercizio_SD72: peso di un campione di n=136 passeri.21.4 22.6 22.6 22.8 23.2 23.2 23.2 23.3 23.3 23.5 23.6 23.6 23.7 23.8 23.9 23.9 23.9 24.0 24.0 24.0 24.1 24.1 24.2 24.2 24.224.2 24.2 24.3 24.3 24.3 24.3 24.4 24.4 24.5 24.6 24.6 24.6 24.6 24.6 24.6 24.6 24.7 24.7 24.7 24.7 24.8 24.8 24.8 24.8 24.824.8 24.9 24.9 24.9 24.9 24.9 25.0 25.0 25.0 25.0 25.1 25.1 25.1 25.3 25.4 25.5 25.5 25.5 25.6 25.6 25.6 25.7 25.7 25.7 25.725.7 25.8 25.8 25.9 25.9 25.9 26.0 26.0 26.0 26.0 26.0 26.0 26.0 26.0 26.1 26.1 26.1 26.1 26.1 26.2 26.2 26.2 26.3 26.3 26.326.4 26.5 26.5 26.5 26.5 26.5 26.6 26.6 26.7 26.7 26.7 26.8 26.8 26.9 26.9 26.9 26.9 26.9 26.9 27.0 27.0 27.1 27.3 27.4 27.527.5 27.6 27.7 27.9 28.0 28.3 28.3 28.6 29.0 30.5 31.0Calcolare la differenza semplice media con ripetizione.Esercizio_SD73: dimostrare che la differenza semplice media con ripetizione, rapportata la doppio della mediaaritmetica, può essere espressa come:n∆i−R i 122µ = =n2∑( 1)Xµ() i− 1La mediana non compare esplicitamente nella formula della differenza semplice media. Il suo ruolo può essereevidenziato ricorrendo alla formula proposta da Berrebi e Silber (1987):

196n'w ii=1∆ R = ∑'X ( i)− M e con w i=i − (n − i + 1)n 2che ingloba la differenza media nello schema di variabilità come scarti da un valore di riferimento (la mediana).Non è proprio il caso di riaprire una polemica da tempo sopita, ma rimane il dubbio che i due approcci allavariabilità siano realmente diversi.Esempio:Consideriamo la differenza media di ordine α=2.n n2 n n n n n nn n n222nXi − XjX j XiXX i j n X2j n X X⎛ n∑ ∑∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ij Xi2 i ji j i j i jj ij i∆ 2 ∑ ∑2 ⎞∑ X= 1 = 1= 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1= 1 = 1 = 1 = 1 ⎜∑ ii=1 2⎟2R = + − 2 = + − 2 * = 2 −µ22222 2⎜ ⎟ = 2σnn nn n n n n n⎜ ⎟⎝ ⎠( ) =Come si vede, c’è un rapporto costante tra la differenza media di ordine α=2 e lo scarto quadratico medio: ∆ R 2 = σ√2. La diversità diapproccio alla misura della variabilità non impedisce la prossimità algebrica tra gli indici.Rispetto a modifiche compensative ∆ Rrisulta insensibile -è facile dimostrarlo- se le modalità coinvolte sonodisposte sullo stesso lato della mediana.Esercizio_SD74: personale della scuola in pensione nel 1990.a) Calcolare la differenza media di ordine uno e due;b) E’ un caso oppure un fatto sistematico che la seconda sia maggiore dellaprima?Esercizio_SD75: verificare la validità della seguente formula:4∆=( − ) ∑ n− 2( n + 1)iXnn 1 ( − ) µ() ii=1 n 1Provincia Docenti Provincia DocentiTorino 1190 Reggio Em. 294Milano 2137 Firenze 520Genova 271 Ancona 382Bologna 566 Roma 1582Modena 370 Bari 920Catania 713Nel caso di modalità ripetute la formula di calcolo può sfruttare l’ordinamento delle modalità:k k∑ ∑ X i − X j f i f ji=1j=1k∆ R =n 2 = 2 ∑ X () i f i ( F i−1 + F i )− 1i=1[ ]La stessa formula può essere applicata a distribuzioni in classi, ma l’esito è quasi sempre insoddisfacente.Esempio:Una società di sondaggi ha intervistato alcune persone chiedendo quale fosse il numero ideale di figli in una famiglia.Figli Interviste f i Fi X f (F + Fi i i i-10 15 0.0109 0.0109 0.0000)-11 24 0.0175 0.0285 -0.01682 742 0.5416 0.5701 -0.43493 359 0.2620 0.8321 0.31624 185 0.1350 0.9672 0.43175 25 0.0182 0.9854 0.08696 15 0.0109 0.9964 0.06457 5 0.0036 1.0000 0.02551370 2.3744 0.9461Fra due persone intervistate qualsiasi il numero di figli differisce in media di uno (circa).Esercizio_SD76: nello studio della migliore organizzazione dei servizi alla clientela di una banca è stato rilevatoil numero di cassieri impegnati in n= 160 periodi di controllo.Sportelli Periodi0 21 42 73 84 155 176 227 398 309 16160a) Calcolare la differenza semplice media.b) Che succede alla differenza semplice media se non si conteggia una delle ripetizioni della modalità mediana?

1973.2.3 Centralità e variabilità per trasformazioni lineariGli indici di centralità e di variabilità sono espressi nelle medesime unità di misura del fenomeno cui si riferiscono.Ad esempio se la variabile è l’età in anni compiuti, media e scarto quadratico saranno espressi in anni, sela variabile rileva il numero di sportelli bancari questo sarà pure l’unità di misura di mediana e scarto assolutomediano; ciò significa che se si trasforma il dominio della variabile cambieranno conseguentemente le statistichedella distribuzione. In che modo è possibile confrontare valori singoli acquisiti in due diverse rilevazioni? In chemodo utilizzare correttamente la flessibilità delle scale intervallari e proporzionali?Supponiamo che {X 1, X 2, ..., X n} siano trasformate linearmente: Y i=a+bX i. Per quanto attiene alla modal’effetto sarà solo la trasformazione della moda stessa (tale caratteristica è detta riproducibilità) in quanto ilcalcolo è basato sulle frequenze relative che non sono toccate dalla trasformazione. Anche la mediana è riproduttivain quanto non si modifica la posizione centrale; per gli altri quantili non c’è modifica se la trasformazioneè ascendente, si invertono le posizioni se il coefficiente angolare della trasformazione è negativo. Quindi:⎧a+ bXp;b>0Mo( Y)= Mo( a + bX)= a + bMo( X) ; Yp= ⎨⎩a+ bX1−p;b

198Esempi:a) Un gruppo di pazienti di una clinica oculistica è stato raggruppato per classi di pressione intraoculare misurata con un tonometroottenendo:Pressione Pazienti c i f i f i*c i (c -µ) 2 f7.5 11.5 3 9.50 0.0123 0.1173 1.053311.5 13.5 17 12.50 0.0700 0.8745 2.721313.5 15.5 20 14.50 0.0823 1.1934 1.477515.5 17.5 43 16.50 0.1770 2.9198 0.885417.5 19.5 63 18.50 0.2593 4.7963 0.014619.5 21.5 57 20.51 0.2346 4.8110 0.737521.5 23.5 23 22.50 0.0947 2.1296 1.340323.5 25.5 7 24.50 0.0288 0.7058 0.956825.5 27.5 4 26.50 0.0165 0.4362 0.992027.5 29.5 3 28.50 0.0123 0.3519 1.176831.5 33.5 3 32.50 0.0123 0.4012 2.3386243 1.0000 18.7369 13.6940con µ=18.74, e σ=3.7. Supponiamo che, per un errore di taratura, si sia sfasato il tonometro in modo che ogni misura valida è stataprima dimezzata e poi aumentata di 0.05. Quali erano media e scarto per i valori corretti? Non è necessario ripetere i calcoli. Infatti:µ c=2(µ-0.05)=37.38; σ c=2σ=7.4b) Le trasformazioni lineari influenzano la collocazione e la scala dell’asse delle ascisse, ma non alterano la forma dell’istogrammao del poligono delle frequenze. Data la distribuzione del tempo (in giorni) necessari a completare le pratiche in una Camera dicommercio si è costruito l’istogramma delle frequenze; successivamente si sono trasformati i giorni in settimane. Come si vede, ilgrafico si è spostato verso i valori più piccoli e la scala delle ascisse è cambiata (ogni valore è stato diviso per sette), ma nessunamodifica interviene nella struttura dell’istogramma.0.250.25Pratiche 0.2036 42 1243 49 28 0.1550 56 345770628348596384699775410.100.0598 126 23320 0.000 20 40 60 80 100 120 1400.200.150.100.050.000 2 4 6 8 10 12 14 16 18Esercizio_SD77: una trasformazione interessante è la seguente:Y i = X i*100; per XX ( n)≠ 0, i = 1, 2, … ,n( n)a) Si tratta di una trasformazione lineare? b) Come cambiano moda, mediana, media aritmetica e mediageometrica? c) Come cambiano deviazione media, scarto quadradico medio e differenza media?Esercizio_SD78: dal bilancio 1989 delle società di gestione aeroporti si evincevano i fatturati-in miliardi di lire- riportati in tabella.a) Calcolare il fatturato mediano e lo scarto assoluto mediano;b) Calcolate gli indici, ma per importi espressi in milioni di euri (ipotizzare L 1=2 e U k=72).Alcune speciali trasformazioniDiverse trasformazioni rientrano nello schema lineare:Fatturato Società

199il cui effetto è di portare tutte le modalità nell’intervallo [0,100] oppure [0,1] se la costante è uno e non cento.Di solito questa trasformazione è richiamata nelle rappresentazioni grafiche perché delimita e unifica gli estremida rappresentare.Esempio:Un comune ha ricevuto 2.5 miliardi per lavori di pubblica utilità; un ‘altro comune, con un numero di abitanti uguale, ma di una diversaprovincia ha ricevuto 4.8 miliardi (cioè quasi il doppio). Se, però, si tiene conto del campo di variazione rilevato nelle due province:0-3 per quella del primo e 0-7 per quella dell’altro si ottiene: (2.5-0)/(3-0)=0.83 e (4.8-0)/(7-0)=0.69 che è molto più piccolo.StandardizzazioneLa trasformazione di gran lunga più conosciuta èZi( Xi−µ )=σi = 12 , ,…,ndetta variabile standardizzata (punteggi zeta o zeta score) che rende pari a zero la media della trasformata edunitario lo scarto quadratico medio, indipendentemente dai valori di questi nelle variabili originarie.k k ⎛ x −µ ⎞µ = ∑ = ∑ ⎜ ⎟ =− µ + ∑ =− µ + µ i xx1 kx xyyfi ifixifi= 0i= 1 i= 1⎝σ ⎠ σ σ i=1 σ σxx2k2 kk2⎛ x −µ ⎞ ⎛i x1 ⎞ k2 σxσy= ∑ ( yi −µy) fi= ∑ yifi= ∑ ⎜ ⎟ fi= ⎜ ⎟ ∑ ( xi −µx)fi= = 12i= 1i= 1 i=1⎝σ ⎠ ⎝ σ ⎠ i=1σxIl punteggio standard indica di quanti σ una data modalità dista dalla media aritmetica. Ad esempio, Z i=0.7significa che il valore rilevato è più grande della media aritmetica e la supera per il 70% di σ.x2xx2xxEsempio:Produzione olearia 91-92.Regione Resa Z_resa Regione Resa Z_resa Regione Resa Z_resaPuglia 19.40 0.49 Abruzzo 16.60 -1.03 Molise 16.20 -1.25Calabria 19.90 0.76 Sardegna 19.20 0.38 Veneto 16.20 -1.25Sicilia 20.00 0.81 Basilicata 20.70 1.19 Lombardia 15.90 -1.41Campania 18.40 -0.05 Liguria 22.30 2.06 Emilia Rom. 15.50 -1.63Lazio 18.50 0.00 Marche 18.20 -0.16 Trentino A.A. 19.30 0.43Toscana 18.20 -0.16 Umbria 20.00 0.81La resa in Emilia Romagna è 15.5 quintali di olio per 100 quintali di olive. Questo, a livello di confronto regionale, non è moltoinformativo. Il punteggio standard relativamente alle altre regioni con produzione olearia è Z=(15.5-18.5)/1.84=-1.63 è quindi inferiorealla media. Inoltre, dalla disuguaglianza di Tchebycheff, sappiamo che in µ±1.63σ è compreso almeno [1-1/(1.63) 2 ]=62.36% ed èperciò un valore basso.Esercizio_SD79: costi (in lire) delle tariffe postali.Paesi Lettere Raccom. EspressiBelgio 497 3205 3551Danimarca 677 5206 6169Francia 497 3160 4589Germania 737 1851 3687G. Bretagna 406 3145 3551Grecia 316 1625 1941Irlanda 587 1958Italia 700 2800Lussemburgo 421 1775Paesi Bassi 497 2618Portogallo 271 1008Spagna 226 391a) Calcolare punteggi unitari e standard per ogni Paese;b) Quale delle trasformazioni lineari può meglio servire ad individuare i valori anomali?La variabilità relativaPer confrontare la variabilità tra fenomeni aventi ordini di grandezza ineguali (voto d’esame nella facoltà dilettere e nella facoltà di economia) o campi di variazione diversi (circonferenza del polso e lunghezza del braccioin centimetri) o con unità di misura eterogenee (produzione in quintali e produttività in ore lavorate) oppure condiverse unità di conto (esportazioni in euri ed importazioni in dollari) dobbiamo far intervenire altre trasformazioni,nella fattispecie i rapporti statistici (approfonditi nel capitolo 5).

200Questi hanno il compito di eliminare dal confronto ciò che è inutile e nel contempo preservare il legame tra lavariabilità e la sua misura.Esempio:F. Vinci (1920) riflette: Occorre distinguere due scopi diversi ai quali una misura della variabilità di rapporti può essere rivolta. Quando,infatti, dalla variabilità della serie dei rapporti in esame interessi di risalire alla variabilità della serie dei numeratori, sarebbe erratofondarsi su medie di scostamenti o differenze desunte direttamente dai rapporti medesimi e su coefficienti di variabilità ottenutiragguagliando tali medie al valor medio dei rapporti o dei valori singoli, ma converrebbe, invece, determinare la relazione in cui codestemisure di variabilità stanno a quelle relative ai singoli elementi dei rapporti, al fine di poter correttamente calcolare i coefficienti divariabilità dei numeratori attraverso quelli dei rapporti. Ma quando, invece, una serie di rapporti abbia un significato a sé stante, diversoda quello degli elementi che la compongono ed interessi misurare appunto la variabilità delle nuove misure risultanti da quei rapporti,è legittima l’applicazione di indici che ignorino la natura di rapporto della variabile.Tra le trasformazioni più frequenti vi è:Y i =X i −X ( 1)X ( n)+ X 1; i = 1,2,…,n; con campo di variazione: R = X ( n) − X ( 1)( ) X ( n)+ X ( 1)Ora R è “normalizzato” cioè ha valori nell’intervallo unitario con R=0 che denota l’assenza di variabilità e conR=1 che descrive una situazione di variabilità massima (“una” e non “la”, perché la massima dispersione puòessere definita in modi alternativi secondo il tipo di fenomeno analizzato). La normalizzazione rende comparabilidistribuzioni con differenti campi di variazione. Non solo, ma il campo di variazione ora esprime la variabilitàriscontrata come percentuale del massimo raggiungibile in quella rilevazione aggiungendo così un utile elementointerpretativo. Inoltre, R è invariante rispetto a modifiche proporzionali ed è quindi anche “standardizzato”:bX ( i)− bX ( 1)bX ( n)+ bX 1= b b * X ( i) − X ( 1)= X ( i) − X ( 1)per ogni b ≠ 0( ) X ( n)+ X ( 1)X ( n)+ X ( 1)Un’altra trasformazione interessante è: Y i=X i/|M e| che standardizza le modalità. Ad esempio, la differenzainterquartilica e lo scarto assoluto mediano diventano:DI = Q 3 − Q 1M e;k∑i=1X i − M eM ef i = S MeM e= CDSe le {X i} subiscono una trasformazione moltiplicativa la DI ed il coefficiente di dispersione CD (scarto assolutomediano rapportato alla mediana) adesso non cambiano.Esempio:Gastwirth (1982) illustra un interessante uso del coefficiente di dispersione nella tassazione dei cespiti immobiliari. Se X i =V i /P i è ilrapporto tra il valore presunto V i di un bene e P i è il suo prezzo di mercato allora il CD di “n” cespiti è:CD =V i⎛ 1 ⎞ X i − M e⎝ n ⎠∑ ki=1 M = ⎛ 1 − Pk i⎞ M ee⎝ n ∑⎠ i=1 P ie CD misura l’accuratezza delle stime del valore di valore di mercato di terreni e fabbricati.Altre trasformazioni utili sono: 1) Y i=X i/|µ|; 2) Y i=0.5(X i/|µ|); della prima interessa lo scarto quadratico medionoto come coefficiente di variazione; della seconda si considera la deviazione media.Coeff . di var.:2k ⎛ X i −µ ⎞∑ ⎜⎝ µ⎟ f i = σ⎠ µ ; Dev. media rel.: 1 k X i −µ∑ f i = S µ2 µ 2µi=1i=1

201Sia il coefficiente di variazione che la deviazione media relativa sono misure standardizzate, ma la seconda èanche normalizzata, pone cioè un limite alla variabilità riscontrabile in una rilevazione. Il coefficiente di dispersionedovrebbe risultare meno sensibile a modalità vicine agli estremi vista la loro ridotta influenza, almeno sulsuo denominatore.Esempio:Un’impresa multinazionale ha due stabilimenti di cuscinetti a sfere: uno in Irlanda eduno in Italia. Un ispettore ha rilevato i diametri di un lotto di produzione in entrambigli stabilimenti ottenendo:Irlanda (in.)Italia (cm)0.000 0.006 35 0.000 0.012 160.006 0.008 28 0.012 0.022 420.008 0.010 15 0.022 0.028 160.010 0.012 10 0.028 0.034 130.012 0.014 8 0.034 0.040 90.014 0.016 3 0.040 0.046 4100 100CV, CD, DMR Irlanda:{0.04276, 0.48682, 0.41054}CV, CD, DMR Italia: {0.06893, 0.39512, 0.70514}Dai tre indici non emerge in modo univoco quale sia lo stabilimento in cui èmaggiore la variabilità. Per il coefficiente di variazione e la deviazione media èquello italiano, per il coefficiente di dispersione è quello irlandese. Maggiorevariabilità implica minore qualità, ma non è chiaro dove intervenire.Esercizio_SD80: alla chiusura della contrattazione decentrata in due impresesimili si erano configurate le seguenti distribuzioni degli addetti perclassi di salario.a) Confrontate la variabilità calcolando La D.M.R. il CV ed il CD;b) Verificate le indicazioni disegnando i due poligoni di frequenza.Salari giornalieriImpresaA B10 000 - 15 000 7.2% 3.8%15 000 - 20 000 9.6% 8.1%20 000 - 25 000 14.3% 15.2%25 000 - 30 000 16.9% 14.7%30 000 - 35 000 32.4% 26.2%35 000 - 40 000 13.5% 25.4%40 000 - 45 000 6.1% 6.6%Totale 100.0% 100.0%Addetti 1874 961Se le unità di misura sono in rapporto costante (pollici/ centimetri) si potrà usare uno degli indici proposti senon ci sono altre ragioni contrarie (cfr. De Cristofaro, 1988). Questo problema tocca le variabili su scala proporzionaleperché sono loro a non modificare la loro relazione con il concetto se la misura è dilatata o contrattalinearmente. Se la trasformazione è additiva (tipo Celsius/Fahrenheit) gli indici risulteranno alterati.Esempio:Ad esempio, se Y i =a+bX i , il coefficiente di variazione sarà:CV2k ⎛ Yi−µ( Y)=∑ ⎜i 1⎝µ yy2⎞ k ⎛ a+ bXi−a− bµ⎟ fi= ∑ ⎜⎠ i 1⎝a+ bµxx2⎞⎟ fi= b⎠= = =2k ⎛ Xi−µ∑ ⎜i 1⎝a+ bµ2x⎞⎟x ⎠Applichiamolo ai dati sui partecipanti ai test per maestri sul grado di conoscenzadelle lingue straniere.Francese Inglese TedescoCV= 0.7989 0.7125 1.0078CD= 0.7338 0.5374 1.0421DMR= 0.6263 0.5304 0.8292DI*= 1.4802 0.9700 3.0000Il confronto evidenzia un ordinamento di variabilità che vede il tedesco sempre superiore al francese e questo superiore all’inglese.E’ peraltro intuitiva la non usabilità della D.M.R. o del CV quando la media aritmetica è prossima allo zero (odel coefficiente di dispersione quando la mediana è quasi nulla) dato che si potrebbero trovare valori enormi senzache se ne possa dare una interpretazione in termini di variabilità. In questi casi converrebbe, ad esempio,standardizzare le modalità dividendole per (|X (1)|+|X (n)|)/2 che ha la stessa efficacia delle altre misure di centralitàper l’eliminazione delle costanti moltiplicative ed aggira il problema di un denominatore troppo piccolo.Esercizio_SD81: un modo alternativo (cfr. Weisberg, 1992, p.64) di rendere la DI comparabile è di dividerla perla somma dei quartili: DI + =(Q 3-Q 1)/|Q 3+Q 1| .a) E’ normalizzato? b) E’ standardizzato?fiRegioni Fr. Ing. Td. Regioni Fr. Ing. Td.Liguria 235 393 5 Marche 87 178 6Lombardia 674 1434 79 Molise 22 82 5Piemonte 695 600 20 Umbria 84 182 6Emilia-Rom. 254 706 29 Basilicata 187 140 4Friuli V.G. 45 272 45 Calabria 814 504 8Trentino A.A. 6 53 98 Campania 500 715 12Toscana 226 434 20 Puglia 313 462 13Veneto 218 642 79 Sardegna 227 267 10Abruzzo 146 179 4 Sicilia 423 524 52Lazio 279 591 23

2023.2.4 La mutabilità e le sue misureL’idea di differenziazione richiama in genere il concetto di variabilità che però è applicabile alle sole variabilimetriche. Quando la scala di misurazione non è metrica la variabilità, o meglio, la mutabilità, si può interpretarein termini di eterogeneità (per variabili qualitative) e di bipolarità (variabili quantitative ordinali).La eterogeneitàUna variabile è eterogenea se tutte le categorie sono presenti con uguale frequenza: il fenomeno non mostrapreferenza evidente per nessuna modalità; la variabile è omogenea se tutte le unità presentano la stessa modalità.Esempio:Stanziamenti per opere pubbliche.Settori Nord Centro Sud TotaleTrasporti 27.39% 20.78% 51.83% 100.00Edilizia 43.60% 19.70% 36.70% 100.00%Ambiente 25.09% 7.12% 67.80% 100.00%Reti 23.13% 18.02% 58.84% 100.00%Varie 1.46% 1.51% 97.04% 100.00%Se i settori ricevessero finanziamenti eterogenei per comparto territoriale ognuno riceverebbe un terzo (33.33%) dell’importo complessivamentestanziato. L’omogeneità si avrebbe nel caso in cui un settore venisse finanziato in un solo comparto.Requisiti degli indici di eterogeneitàPer misurare l’eterogeneità debbono essere approntati indici I(k;f 1, f 2,…,f k) che rispecchino la distribuzionedegli attributi ricalcando ciò che è stato richiesto agli indici di variabilità (tranne, è ovvio, questioni legateall’unità di misura). Quindi, dovrebbero:1) Essere basati esclusivamente sulle frequenze.2) Essere nulli per la distribuzione degenere.3) Assumere valori crescenti all’aumentare della eterogeneità.4) Avere un valore massimo che aumenta con “k”, numero delle modalità.Esempi:a) Un indice di eterogeneità grezzo, ma molto espressivo è la frequenza non modale (noto come variance ratio nei testi USA):f = 1 − Max{ f 1 , f 2 ,…, f k }= 1 − f Moche è nullo se la distribuzione è omogenea: f Mo =1 cioè tutte le unità presentano la stessa modalità ed è pari a (k-1)/k (quindi tendentead uno per k crescente) se la distribuzione è eterogenea. Indirettamente l’indice ci dice quanto rappresentativa è la moda: valori viciniallo zero indicheranno che c’è una moda spiccata ovvero poco rilevante se sono vicini all’unità (cfr. Naddeo, 1986, p.140).b) La proprietà “4” è suggerita da Frosini (1987, p. 134) ed è opportuna per gestire il confronto dell’eterogeneità di distribuzioni aventiun diverso numero di categorie. Sembra cioè ragionevole ritenere che il passaggio da I(2;1/2,1/2) a I(4;1/4,1/4,1/4,1/4) si debbariflettere in un aumento dell’indice dato il logico aumento di eterogeneità che è possibile riscontrare. Patil e Taillie (1982) ritengonoche l’eterogeneità (vista come diversità di specie presenti in un’area) aumenti con la comparsa di una nuova categoria o con ladivisione di una già esistente in due categorie distinte. La misura della eterogeneità della composizione di una polvere deve tenereconto della distribuzione tra i vari tipi di rocce, ma anche del numero di rocce presenti.Dei vari indici di eterogeneità esistenti (cfr. Leti, 1965, Patil e Taillie, 1982) ne consideriamo solo alcuni:kk⎡ ⎤2Indice di eterogeneità di Gini : E1= ∑ fi( 1−fi)1 fi;⎣⎢i1 ⎦⎥ = ⎛− ∑ ⎞= ⎝ i=1 ⎠L’indice è nullo per la distribuzione degenere e vale (k-1)/k (crescente con “k”) in caso di perfetta eterogeneità:( )Entropia della distribuzione: E 2 =−∑f i Ln f iTale indice misura il grado di indeterminatezza riscontrato nella rilevazione: se la variabile può mostrare una solacategoria allora, prima di analizzare una qualsiasi unità, è già nota la categoria in cui ricadrà: se si rilevasse il numerodi facce in un cubo sapremmo che l’esito è X=6, l’entropia è nulla ed infatti si ha E 2=0 (poiché xLn(x)→0 se x→0).La quantità di informazione che si può ricavare dalla conoscenza di una sola manifestazione decresce all’aumentareki=1

203della diversificazione tra le categorie fino ad approssimarsi allo stato di totale ignoranza (massima entropia) allorchétutte le categorie si manifestano con la stessa frequenza; in tal caso si ha E 2=Ln(k) che aumenta con “k”.Una statistica che ricorre spesso nelle analisi politologiche e sociometriche è:Coefficiente di dissimilarità: E 3 = 2⎛ k − 1 ⎞⎝ k ⎠ −k∑ f i − 1 kbasato sulla deviazione media delle frequenze dal valore osservabile in caso di uniformità ed è interpretabile comefrazione di unità che occorre complessivamente spostare da una categoria all’altra per ottenere l’uniformità. L’E 3variatra zero (valore assunto solo in caso di perfetta omogeneità) e 2(k-1)/k per la perfetta eterogeneità.Bachman e Paternoster (1996, pp. 114-116) propongono l’uso del seguente indice:i=1E 4 =k −1∑k∑i =1 j=i +1che sembra coinvolgere le frequenze in modo più completo. Anche E 4è nullo nel caso si verifichi una solacategoria ed ha valore massimo (k-1)/2k -crescente con “k”- ottenuto per la distribuzione uniforme.Cisbani (1938) e Frosini (1987, pp. 136-137) propongono di misurare l’eterogeneità con lo scarto quadraticomedio relativo delle frequenze relative:f i f jE 5 = k − 1k−k⎛f i − 1 ⎞∑⎝ k ⎠i=12che ha gli estremi: zero e [(k-1)/k] 0.5 rispettivamente nella distribuzione degenere ed in quella uniforme.Esempio:In un sistema elettorale i candidati possono presentarsi in più collegi, ma la loro posizione sulla scheda elettorale può essere diversanei vari collegi. Ecco le percentuali di voto per i tre candidati maggiori per due formazioni politiche.Posizioni dei 3 maggiori candidatiA-B-C A-C-B B-C-A B-A-C C-A-B C-B-AConservatori 0.25 0.15 0.15 0.05 0.25 0.15 1.00Liberali 0.14 0.23 0.14 0.12 0.21 0.16 1.00E1 0.1875 0.1275 0.1275 0.0475 0.1875 0.1275 0.19500.1204 0.1771 0.1204 0.1056 0.1659 0.1344 0.1762E2 0.3466 0.2846 0.2846 0.1498 0.3466 0.2846 1.69660.2753 0.3380 0.2753 0.2544 0.3277 0.2932 1.7639E3 0.0833 0.0167 0.0167 0.1167 0.0833 0.0167 1.33330.0267 0.0633 0.0267 0.0467 0.0433 0.0067 1.4533E4 1.40251.4119E5 0.0069 0.0003 0.0003 0.0136 0.0069 0.0003 0.74450.0007 0.0040 0.0007 0.0022 0.0019 0.0000 0.8152Le misure non sembrano indicare un effetto-posizione particolarmente forte anche se qualche sospetto in più lo si ha per la distribuzionedei conservatori che ha indici sistematicamente più bassiLa scelta tra questi indici dipende da quale caratteristica della mutabilità interessa e dalla sensibilità che l’indicemostra nel distinguere non le situazioni estreme, che quelle non creano alcun problema, ma le situazioni intermediespesso così ravvicinate da non potersi analizzare senza un buon indicatore.Esercizio_SD82: nella tabella è riportata la situazione dei detenuti al 1997.a) Calcolare i cinque indici di eterogeneità;b) Che succede agli indici se si sdoppiano tutte le modalità (con delle opportunesottocategorie) e si considera una rilevazione con k=10?Posizioni DetenutiAttesa primo giudizio 12'419Appellanti 5'811Ricorrenti 2'280Condannati 26'762Internati 1'223

204La bipolaritàPer variabili ordinali è applicabile il concetto di bipolarità che è del tutto analogo alla eterogeneità nel caso incui tutte le unità rilevate abbiano la stessa frequenza. Cambia, però il significato di differenziazione massimache nel caso della bipolarità si realizza se una metà presenta la prima modalità e l'altra metà, l'ultima.Esempio:Massima bipolaritàMassima eterogeneitàX1 X2 X3 X4 X5Le due situazioni estreme danno luogo a distribuzioni di frequenza che hanno una palese difformità di struttura. Invece, la perfettaeterogeneità ha la stessa conformazione sia per le variabili nominali che per le ordinali: uguali frequenze relative in tutte le categorie.Per misurare la bipolarità si possono sfruttare le frequenze relative cumulate con requisiti identici alle misuredell’eterogeneità ad esclusione dell’estremo superiore che deve essere raggiunto nel caso di bipolarità massima.Che poi, tale estremo, debba dipendere dal numero di categorie “k” è evidente perché altrimenti quando k=2,massima e minima bipolarità verrebbero a coincidere. Fra i vari indici proposti consideriamo:Indice di Gini: D 1 =k −1( )∑ F i 1 − F iSe le modalità si presentano con uguale frequenza cioè in caso di assenza di ogni forma di polarizzazione si haD 1=[(k 2 -1)/6k]; se le frequenze si bipartiscono tra le categorie agli estremi si ha f 1= 0.5, f k=0.5 e quindi F i=0.5per i 0.5L’indice è zero in caso perfetta omogeneità cioè quando è presente una sola modalità della graduatoria; si ha D 2=kper la distribuzione uniforme e raggiunge il valore (k-1)/2 se la frequenza relativa cumulata è 0.5 per la primamodalità e tale rimane fino alla penultima inclusa.

205Esempio:Cifre iniziali dei dati su popolazione residente nei comuni italiani. Calcolo dell’indice di Leik.Il valore dell’indice D 2 =1.924 è in una posizione equidistante tra lo zero della perfetta eterogeneitàe il valore massimo 4 della perfetta bipolarità. In fatti, c’è l’abnorme rilevanza della cifra “1” chefa traino all’indice che però non è bilanciata da una presenza altrettanto forte della cifra “9”.Cifre Comuni fi Fi di1 2397 0.298 0.298 0.2982 1496 0.186 0.485 0.4853 1037 0.129 0.614 0.3864 842 0.105 0.718 0.2825 634 0.079 0.797 0.2036 508 0.063 0.860 0.1407 396 0.049 0.910 0.0908 399 0.050 0.959 0.0419 326 0.041 1.0008035 1.000 1.924Altri due indici si ricavano dalla dissomiglianza tra frequenze relative cumulate osservate e quelle ottenibiliin caso di distribuzione uniforme (F i=i/k):D3k −1ik'( k −k'−1)k= ∑ Fi− ; D3( max bip)=; k' = ⎡ k 2kk ⎣ ⎢ ⎤ 2⎦ ⎥ ; >i=1D4k −1ik 3k2=⎛Fi−⎞− +∑ ; D4( max bip)=;⎝ k⎠12ki=122k > 2Gli indici sono nulli se F i=i/k come è evidente dalle espressioni. In caso di perfetta bipolarità: F i=0.5 per i=1,2,…, k-1 e F k=1, D 3e D 4hanno gli estremi correttamente legati in modo monotono crescente al numero dicategorie (se k=2 si ha 0≤D 3,D 4≤0.5).Esempi:a) Le abitazioni di un comune sono state classificate secondo i tipi e le categorie delle rendite catastali:Categorie Abitazioni f i F i D1 D2 D3 D4A1-Signorili 21 0.0288 0.0288 0.0279 0.0288 0.1379 0.0190A2-Civili 86 0.1178 0.1466 0.1251 0.1466 0.1868 0.0349A3-Economiche 127 0.1740 0.3205 0.2178 0.3205 0.1795 0.0322A4-Popolari 40 0.0548 0.3753 0.2345 0.3753 0.2913 0.0849A5-Ultra popolari 18 0.0247 0.4000 0.2400 0.4000 0.4333 0.1878A6-Rurali 438 0.6000 1.0000 0.8453 1.2712 1.2288 0.5990730 Max= 1.2500 2.5000 2.0000 0.7454In grassetto sono riportati i valori degli indici ed in corsivo i valori di massima bipolarità con k=6 categorie ordinali. Gli indici descrivonouna situazione intermedia in quanto al polo rurale “A6” non è contrapposto l’estremo “A1” e le categorie sono tutte abbastanza presenti.b) Kempton (1979) presenta la distribuzione delle specie per classi di numerosità degli alberi presenti una zona (le classi sono indicatecon i soli limiti inferiori).Alberi ni fi Fi E1 D11 17 0.0702 0.0702 0.0653 0.06532 18 0.0744 0.1446 0.0688 0.12374 22 0.0909 0.2355 0.0826 0.18018 16 0.0661 0.3017 0.0617 0.210716 24 0.0992 0.4008 0.0893 0.240232 28 0.1157 0.5165 0.1023 0.249764 25 0.1033 0.6198 0.0926 0.2356128 17 0.0702 0.6901 0.0653 0.2139256 23 0.0950 0.7851 0.0860 0.1687512 8 0.0331 0.8182 0.0320 0.14881024 4 0.0165 0.8347 0.0163 0.13802048 2 0.0083 0.8430 0.0082 0.1324204 Val. eff. 0.7706 2.1069Val.max. 0.9167 2.7500L ‘eterogeneità è molto vicina al massimo e questo non è sorprendente. Sembra invece poco coerente l’indice di bipolarità del Giniche risulta troppo elevato.Esercizio_SD83: esercizi alberghieri in Napoli e negli altri comuni della provincia.Napoli capoluogoAltri comuniCategoria Esercizi fi Fi Esercizi fi Fi5 stelle 4 0.0046 0.0046 0 0.0000 0.00004 stelle 89 0.1031 0.1078 9 0.0756 0.07563 stelle 207 0.2399 0.3476 39 0.3277 0.40342 stelle 253 0.2932 0.6408 38 0.3193 0.72271 stella 310 0.3592 1.0000 33 0.2773 1.0000863 1.0000 119 1.0000a) Calcolare gli indici di bipolarità. Quale indicatore risulta più sensibile?b) Come variano gli indici se le modalità accentratrici sono la seconda e la penultima?

2063.3 L’asimmetria della distribuzioneNei paragrafi precedenti si è analizzata la possibilità di ricondurre le distribuzioni di frequenza a degli indicidescrittivi della centralità e variabilità. Ma sono sufficienti? Esistono cioè distribuzioni che, pur avendo la stessatendenza centrale e la stessa dispersione, siano diverse per altri aspetti importanti?Esempio:Distribuzioni ipotetichex n 1 n2 n31 10 3 42 10 6 63 10 20 114 10 13 135 10 12 226 10 11 137 10 10 118 10 8 69 10 7 490 90 90Le differenze di aspetto delle distribuzioni possono essere rilevanti anche quando la media aritmetica (m=5) è la stessa e gli scartisono simili: 2.58, 2.18, 1.97. L’esempio mostra come possano essere necessarie altre informazioni per identificare la distribuzionee per discriminare tra situazioni dissimili.Nelle distribuzioni in cui i due lati si equivalgono, l’analisi o il confronto della centralità porta naturalmente ascegliere un indice che è insieme mediana e media aritmetica (anche moda se c’è unimodalità) lasciando pocaincertezza su che cosa debba costituire la centralità. Nelle distribuzioni con forti squilibri tra i due lati, la presenzadi un certo numero di valori inusuali può complicare la misura della centralità e anche la misura della variabilitàdiventa questionabile. Infine, alcuni importanti risultati di statistica inferenziale sono ottenuti per rilevazionimeno numerose (e quindi meno costose) e con maggiore semplicità in caso di distribuzioni simmetriche.Definizione di asimmetriaZanardi (1965) definisce simmetria di una distribuzione l’attitudine della variabile a determinare un poligonodi frequenza simmetrico rispetto alla mediana. Ciò implica che:fr. rel. ( M − ε) − fr. rel. ( M + ε)= 0 ovvero fr. rel. ( x) − fr. rel.( 2M −ε)= 0 per ogni ε > 0e e eper cui è assegnata la stessa frequenza a modalità equidistanti dalla mediana. Una distribuzione è simmetricaquando il poligono di frequenza coincide con la sua immagine speculare:f( M e−ε)f( M e+ )εf( M e−ε)f( M e+ε)M e−εM e M e+εM e−εM e M e+εSe si piega il poligono o l’istogramma delle frequenze della distribuzione simmetrica lungo la mediana, ciò chesi trova su di un lato si sovrapporrà esattamente a ciò che su trova sull’altro. Plurimodalità e simmetria sonoperfettamente compatibili.La definizione di simmetria può anche basarsi sulla funzione di ripartizione. Si dirà simmetrica la distribuzioneper la quale F(M e-ε)=1-F(M e+ε) per ogni ε. La parte della curva superiore alla linea F=0.5 è ottenutapiegando verso l’alto quella inferiore con rotazione speculare.

207( X p − M e )− ( X 1−p − M e )= 0 per 0< p < 0.5Analogamente, la simmetria può essere presentata con la curva di graduazione intendendo simmetrica ladistribuzione per la quale la funzione:C = M − X per 0 < p < 1p e pè simmetrica intorno a 0.5 (Cleveland, 1993, pp. 44-45). La definizione di simmetria, in qualunque forma la siconsideri, permette solo di stabilire la presenza o l’assenza della simmetria, ma non di quantificare né didiversificare i gradi di scostamento dalla situazione di simmetria. Per arrivare alla definizione operativa dellaasimmetria dobbiamo coinvolgere i valori empirici e, soprattutto, la loro mediana.Si supponga che le modalità siano in ordine crescente di grandezza. Perché la distribuzione osservata possaconsiderarsi simmetrica è necessario che i valori centrali tra modalità equidistanti dalla mediana coincidano conquest’ultima:X ( i)+ X ( n−i+1)2[ ] = [ M e − X ( i)] per i = 1, 2,…, [ n 2]= M e ovvero X ( n−i+1)− M eRisulta quindi simmetrica la distribuzione in cui gli scarti negativi dalla mediana sono uguali in numero ed ingrandezza a quelli positivi.Grafico di TukeySe si rappresentano graficamente i punti di coordinate:( X (n−i+1) − M e ) 2 + ( M − X (i) ) 2;4M eX (n−i+1) + X (i); i = 1, 2,…, [ n 2]2per una distribuzione simmetrica correranno paralleli all’asse delle ascisse lungo il livello della mediana, sarannocrescenti se c’è uno sbilanciamento sia verso i valori alti che verso i valori bassi (l’eliminazione del segnodall’ordinata del grafico preclude la possibilità di individuare la direzione degli squilibri).Esempio:Siano A: {0, 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50, 55}, B={0, 1, 2, 4, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55}3026221814"A"Me"B"104 9 14 19 24 29 34 39 44Per la A i punti sono allineati lungo la retta y=M e =27.5; per la B seguono una curva che evidenzia lo sbilanciamento verso i valorigrandi. Il grafico è proposto da Emerson e Stoto (1983) non solo per verificare la simmetria, ma anche per proporre una trasformazioneche renda simmetrica la distribuzione.

208Esercizio_SD84: tasso di occupazione camere alberghiere (in percentuale) e ricavo medio per camera occupata.Provincia T.O.C. R.M.C.O.Bologna 55.2 178Firenze 62.3 225Genova 50.8 155Messina 44.2 111Milano 65.2 208Napoli 73.8 121Ravenna 49.0 121Roma 67.1 234Torino 53.6 157Trieste 49.9 139Venezia 62.1 329Verona 47.7 143Vicenza 48.1 129Lecce 59.9 197Disegnate il diagramma di Tukey e valutate la presenza di asimmetria.Se le modalità sono in classi la definizione di simmetria diventa più ostica: le classi debbono avere ampiezzeuguali per classi equidistanti da quella mediana e la classe mediana deve essere simmetrica intorno a M e. Inoltre,le frequenze relative debbono essere uguali a coppie di classi corrispondenti.⎧( c k −i+1 − M e )= ( M e − c i )⎪⎨f k −i+1 = f i; per i = 1, 2,…, k 2⎪⎩( U k −i+1 − L k −i+1 )= ( U i − L i )[ ]L’ipotesi di distribuzione uniforme all’interno delle classi evoca una distribuzione simmetrica delle modalità,almeno all’interno di ogni classe.Esempio:Distribuzione dell’intake (assunzione) di calcio da parte di un gruppo di donne adulte.Milligrammi Donne c i f i0 100 4 50.00 0.010100 200 11 150.00 0.028200 400 66 300.00 0.170400 600 59 500.00 0.152600 800 108 700.00 0.278800 1000 59 900.00 0.1521000 1200 66 1100.00 0.1701200 1300 11 1250.00 0.0281300 1400 4 1350.00 0.010388 1.000E’ evidente la simmetria rispetto al polo X=M e . Se riflesso in uno specchio, il poligono di frequenza è poco o per niente distinguibiledal disegno originario.Esercizio_SD85: Lee (1980, p.14) riporta la distribuzione dei mesi di sopravvivenzadi 40 pazienti affetti da mieloma.a) Costruire il poligono di frequenza;b) Può ritenersi simmetrico? Se vi sembra asimmetrico, con quali elementi può essereillustrata la asimmetria?Mesi Sopravviventi0 5 405 10 3510 15 2815 20 2220 25 1825 30 1330 35 935 40 540 45 545 50 3≥50 2La mancanza di simmetria (presenza di asimmetria) è il frutto di uno scompenso tra le modalità ricadenti su diun lato della mediana rispetto alle modalità sul lato opposto e l’asimmetria è tanto più spiccata quanto maggiorisono le differenze tra le due parti a confronto. In genere, gli squilibri vicino al centro non sono consideratipreoccupanti e sono di fatto ignorati. Molto più rilevanti sono quelli concernenti il diverso comportamento nellecode soprattutto ai fini dello spessore delle code e per la presenza di valori remoti. Nella rappresentazioneanalitica o tabellare, la simmetria si riconosce in una perfetta compensazione tra tutte le statistiche calcolabilisulla parte destra e sinistra (rispetto alla mediana) della distribuzione. Vedremo tra poco come sfruttare questapeculiarità.

209Asimmetria con segnoOltre che alla quantificazione assoluta della asimmetria, si è anche interessati al segno (per le distribuzioniunimodali). Si parlerà di asimmetria positiva se gli scostamenti dovuti a valori minori della mediana hanno piùpeso dei corrispondenti scostamenti per valori superiori alla mediana. Si parlerà di asimmetria negativa nel casoopposto. Gli scostamenti possono verificarsi al centro della distribuzione (ad esempio, moda e mediana noncoincidono) e/o realizzarsi nelle code per la presenza di modalità anomale su di un solo lato della distribuzione.Asimmetriapositiva o a destraAsimmetrianegativa o a sinistraL’asimmetria negativa può risultare da una “accelerazione” del fenomeno che esaurisce la sua spinta solo dopo unlivello molto elevato. Questo si può osservare nella distribuzione delle patologie da ambiente di lavoro in cui le personesono suscettibili di ammalarsi in ragione della durata dell’esposizione oppure nella perdita di liquidi a causa di unafessura in un contenitore. Anche la distribuzione di fenomeni che inglobano un processo di lenta accumulazione tendead avere distribuzione asimmetriche a sinistra (ad esempio, le malattie legate all’età). Caso estremo di asimmetrianegativa è la curva a “J” che è un modello ideale per fenomeni poco frequenti ai livelli bassi, ma che si manifestanocon assiduità via via crescente man mano che i livelli aumentano: finanziamenti in cui le imprese grandi sono piùfavorite, possibilità di impiego in ragione dell’esperienza acquisita, vendite di beni in relazione alla loro qualità.Esempi:a) Il numero di quiz risolti dagli studenti in una prova intermedia ha mostrato l’andamento qui riportato. Sono rari gli studenti con pochesoluzioni corrette. Il numero di studenti che non commette errori aumenta con l’aumentare del numero di risposte esatte. La prova-evidentemente- non era molto selettiva.60Risolti Studenti 53 1 84 35 56 1219269 3910 4811 51204504030201003 4 5 6 5 8 9 10 11b) Boldrini (1968, pp. 403-404) cita un interessante esempio di distribuzione con massima asimmetria negativa: la rilevazione,secondo la distanza da una sorgente luminosa, di un campione di moscerini il cui fototropismo li indirizza verso il punto di illuminazione.c) Rosner (1990, p.11) segnala come distribuzione con asimmetria negativa la rilevazione dei giorni per tasso di umidità in una zonamolto umida: la maggioranza delle osservazioni produrrebbe modalità elevate con rari elementi per i livelli più moderati di umidità.Riuscite a proporre un fenomeno in cui, per le stesse ragioni dovrebbe riscontrarsi asimmetria negativa? Ad esempio il numero di reaticommessi da minori in un quartiere a rischio, il numero di infortuni sul lavoro in un cantiere in cui si violino le norme di sicurezza.Esercizio_SD86: liquidazioni di sinistri in cui sono rimasti coinvolti camper e roulotte.Li Ui n fi100 200 2 0.007200 300 4 0.015300 400 8 0.030400 500 10 0.037500 600 16 0.059600 700 21 0.078700 800 38 0.141800 900 47 0.174900 1000 79 0.2931000 1100 34 0.1261100 1200 11 0.041270 1.000Valori in decine di migliaia di lire. Costruite il poligono di frequenza per asseverare la presenza di asimmetrianegativa ed eventualmente spiegatene la ragione.L’asimmetria positiva può derivare dalla presenza di un “freno” che si attiva ad un livello piuttosto basso. Ad esempiola distribuzione di celibi/nubili secondo l’età; nella distribuzione dei redditi in cui raggiungere un certo livello èrelativamente semplice, ma poi pochi riescono a distanziarsi dai livelli centrali; i casi di una malattia infettiva seguonola stessa evoluzione se si considerano le nuove insorgenze per numero di giorni dallo scoppio dell’epidemia.

210Esempi:a) Miller (1955) ritiene che la fonte della asimmetria positiva nella curva dei redditi sia dovuta alla contemporanea presenza di redditieri diversiper fascia d’età e/o sesso le cui distribuzioni -prese separatamente- sarebbero simmetriche, ma generano asimmetria con l’aggregazione.L’asimmetria -positiva o negativa- può in effetti derivare dal fatto che la rilevazione analizzata è in realtà un misto di almeno due distribuzionicon diversa centralità e/o variabilità.b) Cleveland (1993, p. 46) sostiene che ogni insieme di numeri positivi che variano su diverse potenze del dieci è un candidato naturalea presentarsi secondo una distribuzione con asimmetria positiva.c) Hoel (1971, p. 101) presenta una distribuzione con forte asimmetria positiva relativa ai casi di morte per scarlattina secondo l’età.d) Rosner (1990, p.10) propone come caso di asimmetria positiva la distribuzione di alcune donne comprese nella fascia d’età 20-29 per il numero di anni d’uso della pillola anticoncezionale.e) Sull’interpretazione della asimmetria Clifford (1982, pp. 81-82) fornisce uno splendido esempio di non identificabilità (la presenzadi più di una spiegazione ragionevole dei fatti) discutendo la distribuzione degli incidenti secondo il numero degli autisti per un fissatoperiodo di tempo e che presenta asimmetria positiva. 1ª spiegazione: la tendenza a provocare incidenti è costante per ogni autista,ma varia da autista ad autista ed alcuni ne hanno una più elevata degli altri. Per ridurre il numero di incidenti si deve ridurre l’impiegodi coloro che hanno provocato più sinistri. 2ª spiegazione: tutti gli autisti hanno la stessa tendenza a provocare incidenti, ma dopo cheli hanno provocati diventano più prudenti e più ne provocano e più li evitano. Per ridurre il numero di incidenti si deve aumentarel’impiego di coloro che hanno provocato più sinistri. La non identificabilità non è una situazione molto piacevole per chi deve prenderedecisioni e può essere superata aumentando le variabili del confronto.Caso estremo di asimmetria positiva è la curva a “L” che è tipica di eventi soggetti a rarefarsi man mano che sene considerano il numero di manifestazioni: interruzioni di energia elettrica, esplosioni in una conduttura di gas,esondazioni di un fiume.Esempio:Nel prospetto sono stati classificati, per numero di incidenti sul lavoro, i dipendenti di alcuni stabilimenti in cui si seguono correttamentele norme antinfortunistiche.Incidenti Lavoratori fi0 763 0.92711 26 0.03162 14 0.01703 8 0.00974 5 0.00615 4 0.00496 2 0.00247 1 0.0012823 1.0000La grande maggioranza dei dipendenti non subisce infortuni e la loro frequenza relativa decade molto rapidamente all’aumentare delnumero di infortuni.Esercizio_SD87: numero di fratelli e sorelle sopravviventi dopo una certa età:F. & S. 8 7 6 5 4 3 2 1 0Persone 19 28 41 50 85 106 306 672 413 1720a) Rappresentare la funzione di graduazione; b) Che tipo di asimmetria presenta?3.3.1 Misura della asimmetriaLa misura della asimmetria mira a quantificare lo scostamento da una situazione di simmetria nonché, per ledistribuzioni unimodali, a specificare, attraverso il segno, le zone di maggiore scompenso rispetto al polo disimmetria. Zanardi (1965) distingue due piani: quello concettuale in cui si definisce la asimmetria e quellooperativo in cui la si traduce in quantità misurabili. Il concetto di simmetria può avere diverse definizionioperative e questo ha portato due conseguenze: la proposta di una moltitudine di indici di asimmetria e lacontraddittorietà tra le indicazioni che forniscono sia tra di loro che rispetto alla morfologia della distribuzione.Osserva G. Leti (1983, p. 446): “La misura dell’asimmetria, nonostante l’affinamento che col tempo hannosubito gli strumenti statistici, sono rimaste rudimentali ed equivoche”. I requisiti per un indice di asimmetriaα(X) della variabile X sono:1) α(X)=0 se la distribuzione è simmetrica;2) α(X) aumenta all’aumentare dello scostamento dalla situazione di simmetria;3) Nel caso di distribuzioni unimodali si deve avere α(X)0 se l’allungamento è verso i valori grandi.4) α[g(x)]=α(X) se la derivata prima g’(x) è positiva e α[g(x)]=−α(X) se g’(X)

211Indice semplice di asimmetriaNelle distribuzioni simmetriche, il baricentro fisico della distribuzione: la media aritmetica, coincide con il polodi simmetria: la mediana. Ogni allontanamento da questa condizione indica asimmetria. Nelle distribuzioniunimodali simmetriche, l’aumento delle modalità superiori alla mediana -a parità di ampiezza della rilevazionenonaltera la mediana, ma fa aumentare la media aritmetica irrobustendo il lato destro per cui µ>M e. D‘altra parte,una riduzione delle modalità inferiori alla mediana, a parità di ampiezza, lascia invariata la mediana e riduce lamedia aritmetica per cui µ0.5; si ha α 1= 1 se la frequenza relativa della modalità minima f( X (1)) >0.5Esempio:Consideriamo tre distribuzioni ipotetiche molto semplici.Le indicazioni fornite dall’indice corrispondono in effetti a degli squilibritra i due lati della mediana.x A:negativa B: positiva C: simmetrica0 5 51 51 5 24 202 15 15 503 24 5 204 51 5 5100 100 100A B CM e4 0 2µ 3.11 0.89 2SMe0.89 0.89 0.6α1−1 1 0

212Esercizio_SD88: pazienti affetti da schizofrenia (A) o da disordini affettivi (B) per episodi di stress.a) Calcolare α 1per entrambe le distribuzioni;Episodi Schizof. Dis.Aff.0 23 71 39 102 46 283 21 424 21 755 13 346 9 157 2 3174 214b) Analizzare le differenze di asimmetria che risultano dal grafico e quelle mostrate da α 1.Esercizio_SD89: classificazione di due allevamenti: A e B, di mucche da latte per i giorni-mucca.Latte All. A7 9 12310 12 87513 17 157218 22 239923 27 177728 32 43933 35 27187Latte All.B7 10 17810 12 165913 15 262415 20 106120 25 78425 30 28030 35 126598a) Calcolare gli indici semplici di asimmetria;b) E’ rilevante la diversa struttura delle classi?Indice di asimmetria di K. PearsonLe distribuzioni unimodali e simmetriche sono caratterizzate dalla relazione media aritmetica = mediana = moda.In particolare, lo sbilanciamento verso uno dei lati della distribuzione è segnalato da un addensamento dellefrequenze in un punto distante dal baricentro fisico della distribuzione. Pearson nel 1920 propose di utilizzarecome misura della asimmetria l’indice:α2 = µ−M oσAsimmetrianegativaAsimmetriapositivaµM e M 0M 0 M eµSe c’è asimmetria positiva la media aritmetica è maggiore della moda a causa della “coda” allungata verso i valoripiù grandi. Per ragioni analoghe µ risulterà inferiore alla moda in caso di asimmetria negativa. Anche per α 2sussistono le stesse remore di α 1: l’identità M o=µ non è un segnale univoco di distribuzione simmetrica e puòben verificarsi anche per distribuzioni asimmetriche.Esempio:X i 1 2 3 4 5n i 5 3 8 5 4 25La distribuzione ha media aritmetica e moda pari a tre, ma non può considerarsi simmetrica.L’indice non cambia per una trasformazione lineare crescente e può quindi servire per il confronto di distribuzioniche abbiano diversa unità di misura o diversa origine. Contrariamente però all’altro, l’a 2non è normalizzato.E’ stato però osservato che per distribuzioni poco asimmetriche (ferma restando l’unimodalità) ricorre la relazione:M o-µ=3(M e-µ) il che implicherebbe che le tre misure di centralità si possano presentare solo in ordinealfabetico o in ordine alfabetico inverso: M a< M e M e>M o. Se ciò fosse vero allora poiché loscarto assoluto mediano è minore della deviazione media e la deviazione media minore di s si avrebbe: -3≤α 2≤3.

213Esercizio_SD90: famiglie italiane per elettrodomestici posseduti.Elletrodom. Famiglie1 9692 7853 6624 4855 4296 3887 1678 1209 10110 3011 912 613 24153a) Calcolare l’indice di asimmetria di K. Pearson (moda come valore centrale della classe modale);b) Verificare la corrispondenza tra segno e forma della distribuzione.Esercizio_SD91: comuni per costo di 200m 3 di acqua potabile.Costo Comuni150 180 9180 210 20210 240 65240 270 98270 300 150300 330 296330 360 159360 390 32390 430 21850a) Calcolare l’indice di K. Pearson;b) Che effetto può avere la diversa tecnica di calcolo della moda?Indice di Yule-BowleyGli indici basati su differenze tra misure di centralità hanno il difetto di guardare molto al centro della distribuzionee solo indirettamente a ciò che succede nelle code. Un indice che misura l’asimmetria con attenzione a zonepiù lontane dal centro è lo Yule-Bowley:(YB = Q 3 − M e)− M e − Q 1( Q 3 − M e )+ M e − Q 1( )( ) = Q 3 + Q 1 − 2M eQ 3 − Q 1YB è nullo per distribuzioni simmetriche. Infatti, queste presentano le stesse frequenze su entrambi i lati dellamediana e quindi lo scarto positivo (Q 3-M e) è esattamente compensato dallo scarto negativo (Q 1- M e). Sedominano i valori medio-bassi (asimmetria positiva) YB sarà positivo ad indicare che a sinistra della medianasi concentrano più modalità che non a destra; l’indice è negativo per distribuzioni con asimmetria negativa incoerenza con il prevalere di valori medio-alti.Esempio:Simmetria:MeMinQ1Q3MaxSe conveniamo che l’altezza del rettangolo sia uno allora l’indice di Yule-Bowley è dato dalla differenza tra i rettangoli interni al boxrapportata all’area complessiva del box. In caso di simmetria (ma non solo) l’area dei due rettangoli interni è uguale.Asimmetria positiva:MeMinQ1Q3Maxil rettangolo che rappresenta le modalità medio-piccole ha area inferiore rispetto a quello che rappresenta le modalità medio grandi,perché queste -più sparse- si presentano su di un più ampio arco di valori.Asimmetria negativa:MeMinQ1Q3Maxadesso sono i valori medio-grandi a dar luogo al rettangolo di area più piccola in quanto la base che ne racchiude il 25% è più cortadi quanto non succeda per i valori medio-piccoli.L’indice di YB è normalizzato perché al suo denominatore c’è il massimo raggiungibile dal numeratore. Questo,infatti, è espresso come scarto tra le distanze di un punto intermedio (la mediana) da altri due (1° e 3° quartile)

214per cui il numeratore potrà arrivare, alpiù, allo scarto tra i due estremi: -1≤ YB≤ 1. Il minimo è ottenuto perdistribuzioni con simmetria negativa in cui almeno la metà del 50% più piccolo ha la modalità mediana ed ilmassimo è raggiunto da distribuzioni in cui la mediana è attribuita ad almeno il 50% più grande. Inoltre, YBrimane uguale per trasformazioni ascendenti. All’indice Yule-Bowley si applicano le critiche già svolte per lealtre misure di asimmetria e, in particolare, la non esclusività del valore nullo per le distribuzioni simmetriche.Esempi:a)E’ stata condotta un’indagine fra gli acquirenti di una marca di detersivo e fra quelli delle concorrenti al fine di accertare il numerodi spot televisivi visti nelle ultime tre settimane.Spot Clienti f i F0 191 0.0817 0.08171 265 0.1133 0.19502 270 0.1155 0.31053 437 0.1869 0.49744 310 0.1326 0.63005 315 0.1347 0.76486 291 0.1245 0.88927 259 0.1108 1.00002338 1.00000.2000.160 00.12 0 0000.08 00.040.000 1 2 3 4 5 6 7In questo caso YB=-1/3. La distribuzione mostra una sostanziale simmetria che si riflette nel valore basso dello YB.b) Confronto della distribuzione per età della popolazionedi due Paesi in fasi diverse di sviluppo economico.Ordine K JQ15. 085 5.045Me25. 007 15.064Q235. 087 35.036YB −0. 328 0.332Il poligono è simile ovvero le diversità non giustificanovalori di asimmetria addirittura opposti. E’ evidente che YBè ingannato dalla struttura delle classi la cui ampiezzacostante non è appropriata in questa applicazione.Età K J1 1577 2281 4 6268 8765 14 20223 181715 24 17627 132325 34 15727 103435 44 11057 77945 54 9018 60355 64 6573 39565 74 3724 21275 84 1438 8385 188 2293420 73720.250.200.150.100.050.00JK0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100Esercizio_SD92: un indice per misurare lo sbilanciamento verso una delle code è:[ X( Q Q Xn) −3]−[ 1−( 1)]c =X − X[ ( n) ( 1)]a) E’ un indice normalizzato e standardizzato? b) Che indicazioni fornisce sulla asimmetria?Esercizio_SD93: pazienti affetti da sarcoma dei tessuti molli.Anni M F F i(M) F i(F)0 1 22 70 0.191 0.0801 2 26 80 0.417 0.1602 3 15 85 0.548 0.2513 4 12 88 0.652 0.3494 5 11 92 0.748 0.4495 6 10 98 0.835 0.5546 7 9 97 0.913 0.6667 8 6 92 0.965 0.7778 9 3 91 0.991 0.8829 10 1 82 1.000 0.986115 875Confrontare l’asimmetria delle due distribuzioni con dell’indice di Yule-Bowley.Funzione di asimmetriaL’indice di Yule-Bowley rientra in una vasta categoria di misure (cfr. Velleman e Hoaglin, 1981; Frosini, 1987,p. 244) ottenute dalla funzione di asimmetria:(A p = X 1−p − M e )− M e − X p( X 1−p − M e )+ M e − X p( )( ) = X 1−p + X p − 2M eX 1−p − X p; 0 < p < 0.5che corrisponde all’indice di Yule-Bowley per p=0.25. Ogni scelta di “p” determina un indice che è nullo in casodi simmetria e diverso da zero per distribuzioni asimmetriche; in particolare è positivo se il p% a destra dellamediana impegna un intervallo di valori più grande rispetto a quello necessario per delimitare il p% posto allasua sinistra. E’ negativo nel caso opposto.

215Se non si hanno ragioni per scegliere uno specifico valore di “p” si può analizzare A psull’intervallo unitario.Esempi:a) Tempi medi in minuti di attesa ad uno sportello del PRA. Analizziamo l’asimmetria con la A p valutata per decili.X n i0 5 75 10 1310 20 1420 30 2830 45 2645 60 1160 75 975 90 690 120 2116La funzione si mantiene costantemente positiva confermando il segno della asimmetria e lo sbilanciamento verso la coda a sinistra (valoripiccoli). La funzione A p sembra pertanto uno strumento interessante, ma forse tedioso di analisi della morfologia delle distribuzioni.b) Età in anni compiuti di pazienti affetti da leucemia distinti tra rispondenti alla terapia ed non rispondenti (Lee, 1980, p. 340).Rispondenti 20 25 26 26 27 28 28 31 33 33 36 40 40 45 45 50 50 53 5662 71 74 75 77 18 19 22 26 27 28 28 28 34 37 47 56 19Non Rispon. 27 33 34 37 43 45 45 47 48 51 52 53 57 59 59 60 60 61 6161 63 65 71 73 73 74 80 21 28 36 55 59 62 83La funzione di asimmetria può essere calcolata per ogni coppia equidistante dalla mediana (asimmetria puntuale)Ai−05.nX( n+ 1−i)+ Xi −2Me=; i 12 , , , nX( n+ 1−i)− X2i= … [ ]Il comportamento delle due rilevazioni è profondamente diverso: nei rispondenti prevalgono i valori piccoli e quindi l’asimmetria èpositiva. Avviene il contrario nei non rispondenti la cui asimmetria, sistematicamente negativa, denota un addensamento verso i valorialti. L’età, almeno come prima evidenza, sembra un fattore rilevante per la risposta alla terapia.Esercizio_SD94: età al primo matrimonio di un campione di 220donne. Studiare l’asimmetria rappresentando graficamente la funzioneA pin cui le “p” siano date dai decili.Indice di asimmetria di FisherLe distribuzioni simmetriche unimodali hanno il centro di simmetria (la mediana) uguale alla media aritmeticaper cui possono essere di un certo interesse anche gli scarti dalla media aritmetica (X i-µ). Poiché non si puòconsiderare la somma degli scarti semplici visto che è sempre nulla né i quadrati poiché è importante anche ilsegno, l’attenzione si ferma sugli scarti al cubo standardizzati:kγ 1 =⎛∑⎝i=1X i −µσ⎞⎠Età n f F14 18 9 0.041 0.04118 22 18 0.082 0.12322 24 21 0.095 0.21824 26 37 0.168 0.386326 28 48 0.218 0.60530 32 57 0.259 0.86432 36 20 0.091 0.95536 40 7 0.032 0.98640 48 3 0.014 1.000220 1.000

216Nelle distribuzioni simmetriche gli scarti negativi dalla media aritmetica sono bilanciati da scarti positivi cosicchéil momento terzo dalla media aritmetica si annulla (in effetti si annullano tutti i momenti dalla mediaaritmetica di ordine dispari). Nelle distribuzioni con asimmetria positiva ovvero con coda distesa verso i valorigrandi, gli scarti positivi dalla media saranno, in modulo, più grandi di quelli negativi per la prevalenza dei valorisuperiori alla media per cui si ha γ 1>0. Nelle distribuzioni con asimmetria negativa gli scarti negativi (modalitàinferiori alla media) prevarranno su quelli positivi e si ha γ 1

217Esercizio_SD95: pazienti inseriti in un programma di controllo del peso corporeo perkilo-calorie consumate giornalmente prima della cura.a) Calcolare l’indice γ 1;b) La scelta del valore centrale come tipico della classe presuppone che la distribuzionesia simmetrica all’interno della classe. In che modo può incidere la violazione di questaipotesi sul calcolo degli indici di asimmetria?Calorie Pazienti f i2.5 2.8 7 0.0372.8 3.1 10 0.0533.1 3.4 15 0.0793.4 3.7 38 0.2013.7 4.0 51 0.2704.0 4.3 39 0.2064.3 4.6 18 0.0954.6 5.0 11 0.058189 1.000Esercizio_SD96: punti vendita di una catena commerciale per importo delle vendite inmigliaia di euro.a) Disegnare l’istogramma delle frequenze;b) Calcolare i quattro indici di asimmetria;c) Verificare che gli indici abbiano il segno corretto e spiegare eventualmente il perché di unsegno sbagliato.Vendite Negozi200 400 13401 600 32601 800 48801 900 39901 1000 421001 1100 511101 1300 221301 1500 5252Esercizio_SD97: l’indice di asimmetria proposto da S. Vianelli nel 1939 è definito come:Dd− DsV =Dd+ Dsdove D dindica la differenza media tra gli scostamenti positivi dalla mediana e D squella tra scostamenti negativia) E’ normalizzato? E’ standardizzato? b) Il suo segno coglie correttamente la forma del poligono unimodale?Indici di asimmetria basati sulle frequenzeIpotizziamo che le modalità X iaumentino in progressione aritmetica. Perché si abbia una distribuzione simmetricabisogna e basta che: f i=f k+1-iper i=1,2,…,k. Gini (1952) ha proposto di misurare l’asimmetria con l’indice:[ k 2]g = ∑ f i − f k −i+1i=1( )che è zero in caso di simmetria; è positivo per distribuzioni tendenti alla forma “L” ed è negativo per quelletendenti alla forma “J”. I valori estremi “-1” (o “+1”) sono ottenuti quando le modalità precedenti la mediana(o successive a quella mediana) sono nulle.Se si ragiona con le frequenze relative cumulate la distribuzione sarà simmetrica se: F i=1-F k-iper i=1,2,…,k.Tale condizione si riflette nell’indice di Vinci (1932) che ha caratteristiche analoghe all’indice “g”.[ k 2]∑ ( F i + F k −i − 1)v =i=1[ k 2]Esempi:Riprendiamo le distribuzioni ipotetiche estreme: v(A)=-0.445, v(B)=0.445, v(C)=0, g(A)=-0.65, g(B)=0.65, g(C)=0.In “g” gli scarti tra frequenze relative entrano nel calcolo con lostesso peso, in “v” entrano con peso decrescente man mano che dagli estremi ci si avvicinaalla mediana.x A:negativa B: positiva C: simmetrica0 5 51 51 5 24 202 15 15 503 24 5 204 51 5 5100 100 100Esercizio_SD98: condizionatori d’aria per tempi di regolare funzionamento (in mesi).Durata Freq.0.0 5.5 15.5 11.5 411.5 17.5 317.5 23.5 723.5 29.5 829.5 35.5 10Quantificare l’asimmetria con gli indici di Gini e di Vinci.35.5 41.5 1241.5 47.5 947.5 53.5 753.559.559.565.55470