Variabili casuali bivariate

Distribuzioni marginaliA partire dalla funzione di probabilità congiunta è possibile definire le funzionidi distribuzione per ciascuna delle v.c. ignorando l'altraEsempioSupponiamo che la funzione di distribuzione congiunta sia definita come:Marginale della "X"N.B.Marginale della "Y"Per ottenere la distribuzione di probabilità marginale si sommarispetto alla variabile che NON interessaDa notare che sia P(X) che P(Y) verificano le condizioni per essere delle distribuzionidi probabilità: non negatività e somma unitariaAT93AT93EsercizioSia data la seguente funzione di distribuzione congiuntaDistribuzioni di probabilità condizionatel'interesse per le distribuzioni doppie nasce dalla scoperta della dipendenza.Solo in questo caso il conoscere una delle variabili aiuta a conoscere l'altra.Per studiare quale sia il comportamento della "Y" rispetto ai valori della "X" èpossibile segmentare la distribuzione doppia in tante sottodistribuzioniRicavare le funzioni di distribuzioni marginali:Da notare come la distribuzione marginale di una variabile NON dipenda piùdall'altra variabileAT93AT93

EsempioEsercizioLa distribuzione congiunta di due variabili casuali discrete è la seguente:a) Sviluppare la tabella a doppia entrata della funzione di distribuzione doppiab) Ottenere le distribuzioni marginali; c) Ottenere le condizionate;d) Definire la condizionata della X per y=1 e) Definire la condizionata della Y per X=3f) Verificare se X e Y sono indipendentiDeterminare la distribuzione condizionata di Y|X e di X|YCerchiamo prima le distribuzioni marginali:Per ricavare le distribuzioni marginali di una variabile occorre SOMMARE la congiuntarispetto ai valori dell'altra in modo da eliminarne l'influenzaPer ottenere una particolare distribuzioneparziale basta fissare il valoredi quella in base alla quale si vuolestudiare l'altraAT93AT93Continuazione esempioEsercizioDate la distribuzione doppiada queste si ottengono le particolari fissando i valori della condizionantePer verificare l'indipendenza basta controllare se il prodotto delle marginali coincideo no con la distribuzione congiuntaa) Individuare le distribuzioni marginali;b) Definire la condizionata della X per y=2c) Definire la condizionata della Y per X=2d) Verificare se X e Y sono indipendentiche è chiaramente diversa dalla congiunta:AT93AT93

Esempio di indipendenzaUn ipotetico campione di famiglie classificato perl'attenzione ai programmi televisiviDefinizione equivalente di indipendenzaDue v.c. sono indipendenti se la distribuzione condizionata Y|X non varia al variaredi Xovvero le probabilità con cui compaiono le modalità di Y rimangono costanti alvariare della XIndipendenza tra attenzione e canalisignifica che si tendono a guardare conla stessa probabilità tutti i networkovvero la probabilità con cui si tende aguardare la TV prescinde dal networkAT93AT93Distribuzioni di probabilità condizionatel'interesse per le distribuzioni doppie nasce dalla scoperta della dipendenza. Soloin questo caso il conoscere una delle variabili aiuta a conoscere l'altra.Per studiare quale sia il comportamento della "Y" rispetto ai valori della "X" èpossibile segmentare la distribuzione doppia in tante sottodistribuzioniIn queste definizioni entra in modo determinante il 5° postulatoAT93AT93

EsempioEsempioLa distribuzione congiunta di due variabili casuali discrete è la seguente:a) Sviluppare la tabella a doppia entrata della funzione di distribuzione doppiab) Ottenere le distribuzioni marginali; c) Ottenere le condizionate;d) Definire la condizionata della X per y=1 e) Definire la condizionata della Y per X=3f) Verificare se X e Y sono indipendentiDeterminare la distribuzione condizionata di Y|X e di X|YCerchiamo prima le distribuzioni marginali:Per ricavare le distribuzioni marginali di una variabile occorre SOMMARE lacongiunta rispetto ai valori dell'altra in modo da eliminarne l'influenzaPer ottenere una particolare distribuzioneparziale basta fissare il valoredella X o della Y in base alla qualesi vuole studiare l'altraAT93AT93Continuazione esempioLa uniforme discreta bivariataSe tutte le coppie di valori delle due variabili casuali sono equiprobabili allorala funzione di distribuzione congiunta è data daPoiché ci sono k*h combinazioni equiprobabili dei valori di X ed Yda queste si ottengono le particolari fissando i valori della condizionantePer verificare l'indipendenza basta controllare se il prodotto delle marginali coincideo no con la distribuzione congiuntaESEMPIONaturalmente le due variabili nella discretabivariata sono indipendenti dato cheche è chiaramente diversa dalla congiunta:AT93AT93

0.500.450.400.350.300.250.200.150.100.050.00Uniforme discreta bivariata/20.500.450.400.350.300.250.200.150.100.050.000.00.50 1.00.5 1.51 2.01.5 22.52.5 3.03Funzione di distribuzioney = 0 y = 1X = 0 1 411 41Funzione di ripartizioneEsercizioL'esperimento consiste nel lanciare 10 volte due dadi non truccati e su questo sidefiniscono due variabili casuali:X = Numero di volte che esce il "6"Y = Numero di volte che esce il "5"a) Si costruisca e rappresenti la funzione di distribuzione congiunta (X,Y) nonché lala funzione di ripartizione.b) Si calcolino le seguenti probabilità:AT93AT93I momenti delle v.c. doppieil concetto di VALORE ATTESO si applica anche alle v.c. doppie.Sia g(x,y) una qualche loro funzioneEsempioUn'urna contiene 8 dischetti: 3 hanno lo zero su entrambe le facce: (0,0) due hanno ununo sul dritto ed uno zero sul rovescio: (1,0), altri due hanno (0,1) ed uno ha (1,1).La loro funzione di distribuzione di probabilità congiunta èCalcoliamo il valore atteso della loro somma e del loro prodotto:AT93AT93

EsercizioDistribuzioni doppie (caso continuo)Consideriamo una popolazione di redditieri di cui si rilevano il reddito (Y) e l'età (X)divise in "k" ed "h" classiCalcolo delle medie marginaliCalcolo del momenti misto scarto di ordine (1,1)=0.2Nello scegliere classi sempre più piccole, leprobabilità tendono a descrivere unasuperficie continua. Questa è la funzione didensità bivariataAT93AT93Superficie di ProbabilitàDefinizione della densità bivariataLa variabile casuale doppia (X,Y) è di tipo continuo e con funzione di densità f(X,Y) se,per ogni evento "A" identificabile con una porzione del piano, la probabilità di taleevento è data da:Integrale doppio su "A"Xil SUPPORTO è ora unaporzione del piano e nonun intervallo della retta.Che rappresenta il volume del solidoche ha base definita da "A" copertodalla corrispondente porzione disuperficie descritta da f(x,y)La funzione di densità descrive una superfice. Il volume coperto da questa èpari ad uno;AT93AT93

Proprietà formaliPerché la f(x,y) sia una funzione di densità, deve verificare le seguenti condizioniLa funzione di ripartizione congiuntaDefinizione:Ha proprietà simili al caso univariato anche se ora si parla di volume piuttosto che diareaEsempio:AT93AT93La disuguaglianzaFunzione di ripartizione/2EsempioConsideriamo la seguente funzione di densità congiunta:[ C ]+[A+B+C+D] ![C+B] + [A+C]Indica semplicemente che la probabilitàin una regione rettangolare di tipo "D"è non negativa.A+B+C+D C+B C A+CQuanto vale ?In questo caso il calcolo può essere condotto insoli termini geometrici.Poiché il volume complessivo deve esserepari ad uno e poiché l'eventoSupportoSe questo non si verifica la "f" non potrà essere una funzione di densità congiunta.corrisponde ad una divisione in quattrocubetti di lato 1/2, allora il volume dipertinenza dell'evento è pari a 1/4.AT93AT93

Calcolo della funzione di ripartizionePer calcolare i valori della funzione di ripartizione occorre calcolare un integraledoppio.Se il supporto della v.c. doppia è una regione rettangolare, il calcolo è sempliceData la funzione di densità congiunta:calcoliamoEsempioFase_1: integrazione rispetto alla "X" tenendola "Y" costante:= f(y)Fase_2: integrazione rispetto alla "y"L'ordine di integrazione può esserescambiato rispetto alle due variabiliIdentico risultato si sarebbe ottenuto cominciando l'integrazione con la "Y" e tenendocostante la "X".AT93AT93EsercizioCalcolo della funzione di ripartizione/2Quando il supporto della funzione di densità ha forma diversa dalla rettangolare,il calcolo della F(x,y) richiede un accorgimento in più.Supponiamo ad esempio che il dominio sia definito con le relazioni seguentiAT93Il volume va calcolato limitatamenteal supporto della densità.La stessa impostazione andrà seguitanel caso di ruolo scambiato delle variabiliAT93

EsempioConsideriamo la funzione di densità congiuntaEsercizioLa v.c. doppia (X,Y) ha funzione di densitàCalcoliamoLe funzioni che delimitano il dominio della v.c.sono:Verifichiamo se è una funzione di densitàfAT93AT93AT93EsercizioI pneumatici anteriori di un certo tipo di automobile dovrebbero avere una pressionedi 2.6 atmosfere.Si supponga che la pressione reale dei due pneumatici anteriori sia una v.c. confunzione di densitàdove S è il pneumatico sul lato guida ed R quello a fiancoQuando deve essere la costante "k" perché la "f" sia una funzione di densità?32AT93Se il supporto è di tipo RETTANGOLAREa " XUna semplificazione" b;#####c " Y " de se la funzione di densità è scomponibile in duefattori moltiplicativif(X,Y)= g(X)*h(Y)In cui ogni fattore dipende da una sola variabile, alloraESEMPIO" x %F( X,Y ) = F( x) *F( y) = ! g( t)dt#$&' * " y!#$ h( t)dt%&'f ( x,y) = x * y16 ; 0 ! x ! 2; 0 ! y ! 4F4( 4, 2) = F( 4)* F( 2) =aYcdaabX" 4t$ !# 0 4 dt %'&* " 2t$ !# 0 4 dt %'&= 4 8 *16 8 =1

Distribuzioni marginaliLe distribuzioni marginali e condizionali delle doppie continue hanno strutturaidentica alle v.c. doppie discreteEsempioConsideriamo la seguente funzione di densità doppiaPer le marginali si haCioè si "integra" sul supporto di definizione rispetto alla variabile che NON interessaCostruiamo le marginali della "X" e della "Y"il solido è schiacciato con unoscorrimento lungo l'asse cheNON interessaAT93Direzione dello schiacciamentoper la marginale della "y"AT93occore tenere conto che i valori della "x" sono limitati inferiormenteda quelli della "y".Distribuzioni condizionaliEsercizioPer la funzione di densità doppiaY3La definizione parte sempre dal rapporto tra la congiuntae la marginale della variabile che condizionaf ( x, y) = 3( x ! y) 2 ; 0 " x " 2;x2 " y " 3x 2definire le marginali della "X" e della "Y"Esempio:Determiniamo f(y|x).parziale di Xdato Yè come se si fosse "affettato"del pane32 x3f ( x) = 3 ( x 2 + y 2 #" ! 2xy)dy;= 3 yx 2 + y3x3 ! &%$xy2 2 x(= x3' x 422#f ( y) = 8 + 6y2 !12y ! 2y 3 per 1" y " 3$ 2827 y3 per 0 " y "1%&00 ) x ) 2X22XAT93AT93La rotazione degli assi modifica -apparentementel’aspettodel dominio0 13Y

Consideriamo ancora la densità congiunta:Densità marginaliEsercizioRichiami sull'indipendenzaLa dipendenza di una v.c. X da un'altra Y significa che è possibile formarsi delleopinioni di probabilità sulla prima anche partendo dalla conoscenza della secondaLo stesso vale ovviamente perle v.c. doppie continue: sidicono indipendenti se ...Due v.c. sono indipendenti se la funzione di densità congiunta rispetta le duecondizioni seguenti:1. può essere scritta come il prodotto di due fattori in cui compaiono separatamentele due variabili;2. il campo di variazione di una variabile non dipende dall'altraPer ciascuno degli infiniti valori della x o dellay è possibile definire una densità condizionataEsempio di indipendenzaAT93AT93Indipendenza nelle doppie continueIn generale, abbiamo:Indipendenza nelle doppie continue/2Se gli estremi di variazione sono interconnessi le due variabili sono dipendentianche se la distribuzione può essere fattorizzata.SupportoEsempio:In questo caso le marginali sono:Da notare che in questo caso si può sfruttare la regola di integrazionee la funzione di ripartizione doppia diventa:E' evidente che:AT93AT93

EsercizioSupponiamo che due funzioni di densità doppia abbiano le stesse marginali.Se ne può concludere che pure esse siano uguali?Ancora sull'indipendenzaSe X ed Y sono indipendenti lo sono anche delle loro funzioni.dato che le trasformazioni possono essere applicate separatamente alle marginaliil contrario non è necessariamente vero:AT93La risposta è no: marginaliuguali non implicano congiunteuguali.Ciò succede solo in caso diindipendenzaAT93EsempioSupponiamo che X ed Y abbiano la densità congiuntaseguenteI momenti delle v.c. doppieLa struttura dei momenti è tale da non richiedere particolari modifiche quandodalle doppie discrete si passa alle doppie continueLa struttura della "f" non suggerisce la fattorizzazione e infatti le due varibili sonodipendenti:Per una funzione generica g(x,y) si haMomenti centraliMomenti scartoNe consegue che f(x,y) $ f(x)*f(y)Tuttavia, nella zona 0

EsempioEsercizioSi supponga che la v.c. doppia abbia funzione di densità:y"1-xCalcolare il valore atteso di g(x,y)=0.5+0.5X+YDa notare che le due variabili sono indipendenti:AT93AT93Calcolo della CovarianzaEsercizioCalcolare il coefficiente di correlazione0"y"1AT93AT93

EsercizioLa variabile casuale doppia (X,Y) ha densitàcalcolare il coefficiente di correlazioneEsercizioIl tempo che Caterina Ruffolo impiega da casa all'università è una v.c. X 1 con valoreatteso 25’ e deviazione standard 5’.il ritorno, è una v.c. X 2 , indipendente dalla prima, con valore atteso di 20’ edeviazione standard di 4’.Che comportamento ha la differenza ?Anche questa è una v.c. con valore atteso:e con varianza:Che comportamento ha il tempo medio ?AT93AT93EsercizioLa distribuzione uniforme doppiaPer la funzione di densità:Si tratta di una mera estensione della uniforme semplicedove "A" è il supporto su cui la densità è positiva e k è tale che il volume copertosia pari ad uno.ESEMPIO:a) Verificare che si tratti in effetti di una funzione di densità;b) Determinare le marginali f(X) e f(Y)c) Determinare le condizionate f(X|Y) e f(Y|X)d) Calcolaree) Calcolare r(x,y)AT93AT93

Ancora sulla uniforme doppiaRicavare le marginali e le condizionali nella uniforme doppia è facile data lastruttura molto semplice della funzione di densità:La Normale DoppiaTra le variabili continue bivariate ha rilevanza la distribuzione normale doppiaRispetto all'esempio si haLe marginali non sono necessariame delle uniformi a causa della dipendenza tragli estremi del campo di variazione della X e della Y.Le condizionate sono invece, necessariamente, delle uniformiLa funzione di densità dipende da 5 parametri: medie e varianze le conosciamo.Il parametro "!" esprime il coefficiente di correlazione tra la "X" e la "Y"che studieremo più avanti. Per ora cibasta sapere che -1" ! "1r(x,y)=!AT93AT93Ancora sulla normale doppiaEsempioRiproducibilitàSupponiamo cheLa distribuzione condizionale di Y dato X èCalcoliamoLa condizionata è ora:xQuindi:AT93AT93

EsercizioSi indichi con "X" il voto di diploma ed "Y" il voto di laurea. Siano dati i parametria) Calcolare:a') Calcolarec) Calcolare E(Y|X) e E(X|Y) d) Calcolare "(Y|X) e "(X|Y)e) Calcolare:f) CalcolareAT93