transporto priemonių dinamika - Vilniaus Gedimino technikos ...
transporto priemonių dinamika - Vilniaus Gedimino technikos ...
transporto priemonių dinamika - Vilniaus Gedimino technikos ...
Create successful ePaper yourself
Turn your PDF publications into a flip-book with our unique Google optimized e-Paper software.
Marijonas BOGDEVIČIUS<br />
Raimundas JUNEVIČIUS<br />
Vidmantas VANSAUSKAS<br />
TRANSPORTO PRIEMONIŲ<br />
DINAMIKA<br />
Projekto kodas<br />
VP1-2.2-ŠMM 07-K-01-023<br />
Vilnius „Technika“ 2012<br />
Studijų programų atnaujinimas<br />
pagal ES reikalavimus, gerinant<br />
studijų kokybę ir taikant<br />
inovatyvius studijų metodus
VilniAUS GEDIMINO TECHNIKOS UNIVERSITETAS<br />
Marijonas BOGDEVIČIUS<br />
Raimundas JUNEVIČIUS<br />
Vidmantas VANSAUSKAS<br />
TRANSPORTO PRIEMONIŲ<br />
DINAMIKA<br />
Metodiniai praktinių užsiėmimų nurodymai<br />
Vilnius „Technika“ 2012
M. Bogdevičius, R. Junevičius, V. Vansauskas. Transporto priemonių<br />
<strong>dinamika</strong>: metodiniai praktinių užsiėmimų nurodymai. Vilnius:<br />
Technika, 2012, 90 p. [3,0 aut. l. 2012 09 17]<br />
Knygoje dėstomos bendros žinios apie dinaminių sistemų elementus ir jų<br />
taikymą kuriant <strong>transporto</strong> priemonių modelius. Pateikiami uždavinių sudarymo<br />
ir sprendimo pavyzdžiai,automobilių pakabų supaprastinimo metodai,<br />
uždavinio suformavimo ir sprendimo eigos eiliškumas bei užduotys savarankiškam<br />
darbui.<br />
Leidinį rekomendavo VGTU Transporto inžinerijos fakulteto studijų komitetas<br />
Recenzavo: dr. Vladimiras Suslavičius, VGTU Transporto technologinių<br />
įrenginių katedra<br />
doc. dr. Olegas Prentkovskis, VGTU Transporto technologinių<br />
įrenginių katedra<br />
Leidinys parengtas ir išleistas už Europos struktūrinių fondų lėšas, jomis finansuojant<br />
VGTU Transporto inžinerijos, Biomechanikos ir Aviacinės mechanikos<br />
inžinerijos projektą „Studijų programų atnaujinimas pagal ES reikalavimus,<br />
gerinant studijų kokybę ir taikant inovatyvius studijų metodus“ pagal Lietuvos<br />
2007–2013 m. Žmogiškųjų išteklių veiksmų programos 2 prioriteto „Mokymasis<br />
visą gyvenimą“ VP1-2.2-ŠMM-07-K priemonę „Studijų kokybės gerinimas,<br />
tarptautiškumo didinimas“. Projekto kodas Nr. VP1-2.2-ŠMM 07-K-01-023, finansavimo<br />
ir administravimo sutartis Nr. VP1-2.2-ŠMM-07-K-01-023.<br />
VGTU leidyklos TECHNIKA 1381-S mokomosios<br />
metodinės literatūros knyga<br />
http://leidykla.vgtu.lt<br />
Redaktorė Stasė Simutytė<br />
Maketuotoja Daiva Šepetauskaitė<br />
eISBN 978-609-457-276-0<br />
doi:10.3846/1381-S<br />
© Marijonas Bogdevičius, 2012<br />
© Raimundas Junevičius, 2012<br />
© Vidmantas Vansauskas, 2012<br />
© <strong>Vilniaus</strong> <strong>Gedimino</strong> <strong>technikos</strong> universitetas, 2012
Turinys<br />
Įvadas ........................................................................................................... 4<br />
1. Spyruoklių parametrų nustatymas ............................................................ 5<br />
1.1. Spyruokliniai plienai ...................................................................... 5<br />
1.2. Cilindrinės spyruoklės parametrų nustatymas ................................ 6<br />
1.3. Spyruoklės, dirbančios susukimui, parametrų nustatymas ............. 9<br />
2. Standumas .............................................................................................. 12<br />
3. Slopinimas .............................................................................................. 17<br />
4. Slopinamieji virpesiai ............................................................................ 19<br />
5. Q faktorius ............................................................................................. 23<br />
6. Sausoji trintis ......................................................................................... 24<br />
7. Amplitudinė-dažnuminė charakteristika ................................................ 25<br />
8. Transporto priemonės svorio centro ir inercijos momentų nustatymas . 27<br />
9. Uždavinių sprendimo pavyzdžiai ........................................................... 30<br />
10. Uždaviniai savarankiškam darbui ........................................................ 40<br />
Literatūra .................................................................................................... 57<br />
Priedai ........................................................................................................ 58<br />
A priedas. Rungės ir Kuto metodo algoritmas ..................................... 58<br />
B priedas. Lygčių užrašymo paprogramė ............................................ 60<br />
C priedas. Maple programine kalba parašytos programos pavyzdys .. 61<br />
D priedas. Maple programinėje kalboje naudojami pagrindiniai<br />
operatoriai ............................................................................................ 65<br />
E priedas. Skaičiavimo schemos namų darbams ................................. 66<br />
F priedas. x i , y i – i-osios masės koordinatės, nuo koordinačių<br />
ašių X ir Y ............................................................................................ 86<br />
G priedas. m i – i-osios masės, I i – i-osios masės ašinis inercijos<br />
momentas, I ixy – i-osios masės išcentrinis inercijos momentas ........... 88<br />
H priedas. Spyruoklinių plienų markių atitikmenys pagal skirtingus<br />
standartus ............................................................................................. 90<br />
3
Įvadas<br />
Metodiniuose nurodymuose pateikta standžiųjų ir slopinimo elementų<br />
apskaičiavimo metodika bei nuosavų sistemos kampinių dažnių<br />
skaičiavimo metodika. Knygelėje pateikiami praktiniai pavyzdžiai,<br />
kaip suformuoti ir spręsti dinamikos uždavinius.<br />
Skiriami du skyriai: pirmoje dalyje pateikiama automobilių pakabos<br />
elementų standumo ir slopinimo elementų geometrinių parametrų<br />
apskaičiavimo metodika. Modeliuojant <strong>transporto</strong> priemonių elementus<br />
dažnai reikia nustatyti tampriųjų elementų standumo ir slopinimo<br />
konstantas. Tokių nustatymų metodikos pateiktos šioje knygoje.<br />
Pateikiami medžiagų, iš kurių gaminamos spyruoklės, naudojimą reglamentuojantys<br />
standartai.<br />
Antroje dalyje pateikiami didelių uždavinių supaprastinimo ir suskaidymo<br />
į smulkias dalis pavyzdžiai, standumo ir slopinimo konstantų<br />
apskaičiavimo bei slopinimo koeficientų apskaičiavimo metodikos.<br />
Pateikiami pavyzdžiai, kaip paruošti uždavinį sprendimui skaitiniais<br />
metodais.<br />
Uždaviniai sprendžiami naudojant Maple programinį paketą.<br />
Prieduose pateikti lygčių formavimo ir skaitinio metodo, kuriuo uždaviniai<br />
sprendžiami, algoritmai, parašyti Maple programavimo kalba.<br />
4
1. Spyruoklių parametrų nustatymas<br />
1.1. Spyruokliniai plienai<br />
Spyruoklių plienų markės labai skiriasi priklausomai nuo to, kokiu<br />
standartu vadovausimės parinkdami jų medžiagą. Pagal GOST<br />
standartą spyruoklių gamybai galima parinkti šių markių spyruoklinius<br />
plienus (Борисоич, 1980):<br />
49A GOST 1435-74; U12A, GOST 1435-74;<br />
65G GOST 14959-79; 50XGAGOST 14959-79;<br />
50XFA GOST 14959-79; 65S2VA, GOST 14959-79.<br />
Pagal Vakarų Europoje galiojančius standartus spyruoklės gaminamos<br />
iš vielos ruošinių, kurių plieno markės regalmetuojamos<br />
EN 10270 standartu. Šį standartą sudaro trys dalys: EN 10270–1,<br />
EN 10270-2, EN 10270-3. Standarte EN 10270-1 pateikiama medžiaga<br />
apie spyruoklių gamybai naudojamus plienus, kai viela yra šaltai<br />
tempiama (Steel wire for mechanical springs Part 1: Patented cold<br />
drawn unalloyed spring steel wire DIN EN 10270-1, 2001). Standarte<br />
EN 10270-2 pateikiama medžiaga apie spyruoklių gamybai naudojamus<br />
plienus, kai spyruoklės gamybai naudojamos medžiagos yra<br />
grūdinamos alyvoje (Steel wire for mechanical springs Part 2: Oil<br />
hardened and tempered spring steel wire DIN EN 10270-2, 2001).<br />
Standarte EN 10270-3 pateikiama medžiaga apie spyruoklių gamybai<br />
naudojamus nerūdijančius plienus (Steel wire for mechanical springs<br />
Part 3: Stainless spring steel wire DIN EN 10270-3, 2001).<br />
EN 10270 standartai taip pat reglamentuoja spyruoklių darbinių<br />
temperatūrų intervalus, medžiagos takumo ribos, stiprumo ribos ir kritinių<br />
tangentinių įtempimų apskaičiavimo metodiką.<br />
Spyruoklių plienų markių palyginimas pateiktas H priede.<br />
Modeliuojant <strong>transporto</strong> priemonių elementus dažnai reikia nustatyti<br />
tampriųjų elementų standumo ir slopinimo konstantas. Tokių<br />
parametrų nustatymo metodikos pateiktos šioje knygoje.<br />
5
1.2. Cilindrinės spyruoklės parametrų nustatymas<br />
Cilindrinės spyruoklės skaičiavimo metodika pateikta vadovaujantis<br />
literatūros šaltiniu (Борисоич 1980).<br />
1 pav. Cilindrinės spyruoklės skaičiavimo schema<br />
D – vidutinis spyruoklės skersmuo, m,<br />
d – vielos, iš kurios padaryta spyruoklė, diametras, m,<br />
d + D– išorinis spyruoklės skersmuo, m,<br />
D− d – vidinis spyruoklės skersmuo, m,<br />
D<br />
c = – spyruoklės indeksas,<br />
d<br />
h – vijų žingsnis, m,<br />
α – vijos kilimo kampas, ° . Vijos kilimo kampas yra α< 10 ÷ 12 ° .<br />
h<br />
tg ( α)= ; (1)<br />
πD<br />
čia H p – darbinis spyruoklės ilgis, m,<br />
H p<br />
i = – darbinių vijų skaičius.<br />
h<br />
Kuo spyruoklė liaunesnė, tuo didesnis spyruoklės indeksas c.<br />
1 lentelė. Spyruoklės indekso reikšmės<br />
d, mm iki 2,5 3–5 6–12<br />
c 5–12 4–10 4–9<br />
Suspaudimo spyruoklės tarpai tarp vijų sudaro 10–20 % viso cilindro<br />
skersinio ploto.<br />
6
Spyruoklės suminis momentas apskaičiuojamas pagal formulę:<br />
M<br />
FD = 2<br />
. (2)<br />
Spyruoklės momento vektorius yra statmenas spyruoklės ašiai ir<br />
veikiančiai jėgai F. Šis momentas dalinamas į sukimo T ir lenkimo M l<br />
momentus.<br />
Didžiausi sukimo įtempimai skaičiuojami pagal formulę:<br />
τmax ≈ kc1T<br />
≈ 8kc1FD<br />
τ<br />
π<br />
≤ [ ] , (3)<br />
W<br />
3 s<br />
0 d<br />
čia k c1 – koeficientas, įvertinantis vijos kreivumą.<br />
kc1 = 1+ 145 , . (4)<br />
c<br />
Spyruoklės vijos vielos diametras:<br />
kc1F<br />
d = 16<br />
τ<br />
,<br />
max<br />
[ ]<br />
s<br />
c<br />
. (5)<br />
Ašinė spyruoklės deformacija (suspaudimo eiga) skaičiuojama<br />
pagal formulę:<br />
3<br />
ΘD 8FDi<br />
λ= = = λi 2<br />
4<br />
Gd<br />
iF , (6)<br />
čia Θ – spyruoklės vijų užsukimo kampas, λ i – vienos vijos tamprus<br />
susispaudimas, G – šlyties modulis.<br />
c<br />
λ i = 8 3 . (7)<br />
Gd<br />
Spyruoklės vijų skaičius nustatomas iš sąlygos – veikiant jėgoms<br />
nuo F min iki F max spyruoklės darbinė eiga turi būti x.<br />
x= λii( Fmax −Fmin ). (8)<br />
x<br />
i =<br />
λ Fmax − Fmin . (9)<br />
i<br />
( )<br />
Spyruoklės ilgis suspaudimo spyruoklei, kai ji neapkrauta, lygus:<br />
H = i − , d . (10)<br />
( )<br />
0 0 05<br />
7
Spyruoklės vijos žingsnis tada yra:<br />
h= d +<br />
( )<br />
11 , ÷ 12 , λmax<br />
, (11)<br />
i<br />
čia λ max – tamprusis spyruoklės suspaudimas (deformacija) nuo veikiančios<br />
jėgos F max , 1,1–1,2 – koeficientas, užtikrinantis tarpelį tarp<br />
spyruoklės vijų veikiant jėgai F max .<br />
Spyruoklės ilgis tempiamajai spyruoklei, kai ji neapkrauta:<br />
čia h pr –spyruoklės prikabinimo kilpos ilgis, m.<br />
H 0 = id + 2h pr , (12)<br />
Spyruoklės didžiausias ištempimo ilgis veikiant jėgai F max :<br />
( )<br />
H = H + λ i Fmax − F , (13)<br />
0 i<br />
0<br />
čia F 0 – spyruoklės pradinio įveržimo jėga.<br />
2 lentelė. Pagrindinės vytų cilindrinių ir kūginių spyruoklių parametrų skaičiavimo<br />
formulės (Борисоич 1980)<br />
Schema<br />
Vielos<br />
skerspjūvio<br />
forma<br />
Sukimo<br />
įtempimai<br />
τ k ,<br />
Pa<br />
Spyruoklės<br />
deformacija, x, m<br />
Spyruoklės<br />
standumas k, N/m<br />
16Fr<br />
2<br />
3<br />
πd<br />
16Fr<br />
2<br />
3<br />
νa<br />
( ) +<br />
16Fn r1+<br />
r2 r1 2 r2 2<br />
Gd<br />
2F∆ n r1+<br />
r2 r1 2 r2 2<br />
Ga<br />
4<br />
( ) +<br />
4<br />
4<br />
Gd<br />
( )<br />
16 n( r1+<br />
r2) ( r1 2 + r2 2<br />
)<br />
4<br />
( )<br />
Ga<br />
2∆ n( r1+<br />
r2) ( r1 2 + r2 2<br />
)<br />
8FD<br />
πd<br />
3<br />
3<br />
8FD n<br />
Gd<br />
4<br />
Gd<br />
3<br />
4<br />
8Dn<br />
8FD<br />
πa<br />
3<br />
3<br />
8FD n<br />
Ga<br />
4<br />
Ga<br />
3<br />
4<br />
8Dn<br />
8
2 lentelės pabaiga<br />
ab 1 1,5 1,75 2 2,5 3 4<br />
ν 0,208 0,231 0,239 0,246 0,258 0,267 0,282<br />
∆ 5,576 2,67 2,086 1,713 1,256 0,995 0,698<br />
Čia ν ir ∆ – koeficientai, priklausantys nuo santykio a b<br />
(2 lentelė),<br />
F – jėga, spaudžianti spyruoklę, n – darbo vijų skaičius.<br />
1.3. Spyruoklės, dirbančios susukimui,<br />
parametrų nustatymas<br />
Cilindrinės spyruoklės skaičiavimo metodika pateikta vadovaujantis<br />
literatūros šaltiniu (Борисоич 1980).<br />
2 pav. Cilindrinės spyruoklės, dirbančios susukimui, skaičiavimo schema<br />
M – momentas, sukantis spyruoklę,<br />
M l – viją lenkiantis momentas,<br />
T – viją sukantis momentas.<br />
Momentas, sukantis spyruoklę, skaidomas į dvi dedamąsias – vielą<br />
lenkiantį momentą ir vielą sukantį momentą.<br />
Vielą lenkiantis momentas skaičiuojamas pagal formulę:<br />
Mlenk = M cos( α ).<br />
Vielą sukantis momentas skaičiuojamas pagal formulę:<br />
T Msin α . (14)<br />
Susukimo spyruoklėse vyraujanti yra vielą lenkianti apkrova.<br />
Tada atsparumo lenkimui sąlyga užrašoma pagal formulę:<br />
= ( )<br />
9
σmax = k1 cMl<br />
≤[ σ ] , (15)<br />
W<br />
lenk<br />
lenk<br />
čia k 1c – koeficientas, įvertinantis vijos kreivumą, W lenk – atsparumo<br />
lenkimui momentas.<br />
Koeficiento k 1c reikšmės priklauso nuo vielos skerspjūvio formos.<br />
Kai viela apvali:<br />
4c<br />
−1<br />
kc1<br />
=<br />
4c<br />
− 4<br />
. (16)<br />
Kai viela stačiakampė:<br />
3c<br />
−1<br />
kc1<br />
=<br />
3c<br />
− 3<br />
, (17)<br />
D<br />
čia c = – spyruoklės indeksas.<br />
d<br />
Spyruoklės vielos diametras apskaičiuojamas pagal formulę:<br />
k M<br />
d<br />
c 1<br />
= 216 , ⋅ l<br />
3 . (18)<br />
σ<br />
[ ]<br />
[ σ] = 125[ τ]<br />
lenk<br />
lenk<br />
, . (19)<br />
Spyruoklės vijos kilimo kampas Θ skaičiuojamas pagal formulę:<br />
ML Mπ D<br />
Θ= = , (20)<br />
EI EI<br />
čia L – vielos ilgis, E – medžiagos, iš kurios, suvyta spyruoklė, tamprumo<br />
modulis, I – ašinis vielos skerspjūvio inercijos momentas.<br />
Spyruoklės darbinių vijų skaičius nustatomas iš sąlygos, kad spyruoklė<br />
turi susisukti veikiant sukimo momentams nuo M min iki M max ir<br />
turi būti pasiektas pasirinktas susukimo kampas.<br />
( Mmax − Mmin ) Di<br />
Θ=<br />
π . (21)<br />
EI<br />
Tada darbinių vijų skaičius apskaičiuojamas pagal formulę:<br />
s<br />
i =<br />
ΘEI<br />
.<br />
Mmax<br />
− Mmin<br />
πD<br />
*****<br />
10<br />
( )<br />
(22)
Pavyzdys<br />
Apskaičiuoti cilindrinės spyruoklės vidutinį skersmenį ir vielos<br />
diametrą, kai reikalingas spyruoklės standumas k = 10 000 N/m, medžiagos,<br />
iš kurios padaryta spyruoklė, šlyties modulis G = 80 GPa ir<br />
spyruoklė turi n = 10 darbinių vijų.<br />
Sprendimas<br />
Priimam, kad spyruoklės indeksas c = 8. Kadangi spyruoklės<br />
indeksas skaičiuojamas pagal formulę c = , todėl spyruok-<br />
D<br />
d<br />
lės standumo konstantą galima skaičiuoti pagal formulę<br />
4<br />
Gd Gd<br />
k = = . Iš šios formulės išsireiškiame vielos diametrą:<br />
3 3<br />
8Dn<br />
8cn<br />
3 3<br />
k8c n 10 000 ⋅88 ⋅ ⋅10<br />
d = =<br />
= 0, 00512 m.<br />
G<br />
9<br />
80 ⋅10<br />
Žinodami vielos diametrą apskaičiuojame spyruoklės vidutinį<br />
skersmenį:<br />
D= c⋅ d = 8000512 ⋅ , = 0, 041m.<br />
*****<br />
11
2. Standumas<br />
Elemento standumo konstantos sukamajam ir slenkamajam judėjimui<br />
skaičiuojami pagal formules, pateiktas 3 lentelėje.<br />
3 lentelė. Tampriųjų elementų standumo skaičiavimo metodika<br />
Slenkamajam judėjimui<br />
k<br />
F<br />
= – spyruoklei<br />
x<br />
F – jėga, veikianti spyruoklę<br />
x – spyruoklės linijinis poslinkis<br />
(deformacija)<br />
AE<br />
k = – strypui<br />
L<br />
A – elemento skerspjūvio plotas<br />
E – medžiagos, iš kuriospadarytas<br />
kūnas, tamprumo modulis<br />
L – elemento ilgis<br />
Sukamajam judėjimui<br />
k<br />
M<br />
= θ<br />
– spyruoklei<br />
M – momentas, sukantis spyruoklę<br />
θ – posūkio kampas<br />
(kampinė deformacija)<br />
GI p<br />
k = – strypui<br />
L<br />
I p – polinis skerspjūvio inercijos<br />
momentas<br />
E – medžiagos, iš kuriospadarytas<br />
kūnas, tamprumo modulis<br />
L – elemento ilgis<br />
4 pav. Sąryšis tarp spyruoklės standumo konstantos,<br />
deformacijos ir veikiančios jėgos<br />
Tempiamai spyruoklei galioja Huko dėsnis: jėga, reikalinga spyruoklei<br />
ištempti dydžiu x, yra lygi spyruoklės standumo konstantos ir<br />
šio poslinkio sandaugai, o jos kryptis yra priešinga poslinkiui:<br />
12
F<br />
k<br />
=− kx . (23)<br />
Jeigu spyruoklė bus suspaudžiama – galioja tas pat dėsnis tik jėgos<br />
kryptis bus priešinga.<br />
Sukamai spyruoklei sukimo momentas skaičiuojamas pagal formulę:<br />
M =−kθ , (24)<br />
čia spyruoklės susukimo kampas θ imamas prieš laikrodžio rodyklės<br />
judėjimo kryptį, tada momentas yra neigiamas. Sukant pagal<br />
laikrodžio rodyklę susukimo kampas θ yra neigiamas, o momentas<br />
teigiamas.<br />
Galimi spyruoklių jungimo būdai pateikti 5 paveiksle.<br />
5 pav. Tampriųjų elementų jungimo schemos: a) lygiagretus, b) nuoseklus<br />
Jungiant spyruokles lygiagrečiai spyruoklių eiga (deformacija)<br />
visose spyruoklėse yra vienoda, x1 = x2, ir ekvivalentinis spyruoklių<br />
standumas skaičiuojamas pagal formulę:<br />
kekv = k1 + k2, (25)<br />
o sugeneruota energija:<br />
E1<br />
k1<br />
= , (26)<br />
E2<br />
k2<br />
čia formulių indeksas 1 ir 2 nurodo spyruoklių numerius sistemoje.<br />
Jungiant spyruokles nuosekliai spyruoklių eigos (deformacijos)<br />
kiekvienai spyruoklei yra skirtingos – x1 ≠ x2<br />
– ir ekvivalentinis spyruoklių<br />
standumas skaičiuojamas pagal formulę:<br />
1 1 1<br />
= + , (27)<br />
k k k<br />
ekv<br />
13<br />
1 2
o sugeneruota energija:<br />
E<br />
E<br />
1<br />
2<br />
k2<br />
= . (28)<br />
k<br />
*****<br />
Pavyzdys<br />
Apskaičiuoti ekvivalentinį spyruoklės standumą, kai k1 = 100 N / m,<br />
k2 = 200 N / m, k3 = 200 N / m, o spyruoklės sujungtos pagal schemą<br />
1<br />
Sprendimas<br />
Iš (27) lygties išreiškiamas k ekv .<br />
k1⋅<br />
k2<br />
kekv12<br />
= .<br />
k1+<br />
k2<br />
Apskaičiuojamas nuosekliai sujungtų spyruoklių ekvivalentinis<br />
standumas<br />
100 ⋅ 200<br />
kekv12<br />
= = 66, 67 N / m .<br />
100 + 200<br />
Pagal (25) apskaičiuojamas pateiktos sistemos spyruoklių ekvivalentinis<br />
standumas.<br />
kekv<br />
= kekv12 + k3 = 66, 67 + 200 = 266, 67 N / m .<br />
*****<br />
Spyruoklės generuojama potencinė energija<br />
2<br />
Π= 1 kx . (29)<br />
2<br />
6 pav. Slenkančio kūno su spyruokle dinaminė sistema<br />
14
6 paveiksle parodytos sistemos svyravimo periodas užrašomas<br />
formule:<br />
m 2π<br />
T = 2π<br />
=<br />
k ω , (30)<br />
čia m – prie spyruoklės galo prikabinta masė, k – spyruoklės standumo<br />
konstanta. Naudojant šią formulę visada galima apsiskaičiuoti vieną<br />
kintamąjį iš trijų, kai žinomos likusių dviejų kintamųjų reikšmės.<br />
Išmatavus svyravimų periodą ir prikabinto kūno masę galima apskaičiuoti<br />
spyruoklės standumą arba išmatavus spyruoklės standumą ir<br />
svyravimų periodą galima nustatyti prikabinto kūno masę, arba išmatavus<br />
kūno masę ir spyruoklės standumą nustatyti svyravimų periodą.<br />
Svyravimų periodas nepriklauso nuo spyruoklę veikiančios jėgos<br />
ir taip pat nepriklauso nuo svyravimo amplitudės.<br />
Kūno svyravimai aprašomi naudojant antrąjį Niutono dėsnį.<br />
ma =− kx , (31)<br />
čia dešinėje lygybės pusėje yra užrašyta jėga, apskaičiuojama pagal<br />
Huko dėsnį. Kairėje lygybės pusėje kūno judėjimo pagreitis a gali būti<br />
užrašomas kaip poslinkio antroji išvestinė pagal laiką a= x. Tada lygtis<br />
(31) užrašoma:<br />
mx =− kx . (32)<br />
Padalinę (32) lygties abi puses iš m gauname:<br />
k<br />
x =−<br />
m x . (33)<br />
Svyravimų kampinis dažnis užrašomas formule:<br />
ω= k m , (34)<br />
o sistemos savieji virpesiai:<br />
1 k 1<br />
f = = . (35)<br />
2π<br />
m T<br />
15
Tada lygtį (33) užrašome taip (Ostaševičius 1998):<br />
x<br />
=−ω 2 x. (36)<br />
Nagrinėjama sistema yra harmoninio žadinimo, todėl lygties (36)<br />
sprendinys yra:<br />
x= A cos ωt<br />
+ ϕ , (37)<br />
s<br />
( )<br />
čia A s – svyravimų amplitudė, φ – svyravimo fazė, t – laikas.<br />
Lygties (37) pirmo laipsnio išvestinė aprašo kūno judėjimo greitį:<br />
x=− A ωsin ωt<br />
+ ϕ . (38)<br />
s<br />
( )<br />
Lygties (38) pirmo laipsnio išvestinė aprašo kūno judėjimo pagreitį:<br />
x=− A ω<br />
2 cos ωt<br />
+ ϕ . (39)<br />
s<br />
( )<br />
16
3. Slopinimas<br />
Spyruoklės sugeneruojama disipatyvinė energija:<br />
Spyruoklės slopinimo jėga:<br />
2<br />
Φ= 1 cx . (40)<br />
2<br />
F =− cx =−cv<br />
. (41)<br />
c<br />
čia c – spyruoklės slopinimo konstanta, kūno judėjimo greitis v gali<br />
būti užrašomas kaip poslinkio pirmoji išvestinė pagal laiką v= x .<br />
Kritinio slopinimo konstanta c kr užrašoma lygtimi (Augustaitis<br />
2000), (Ostaševičius 1998):<br />
ckr = 2 km . (42)<br />
Slopinimo koeficientas x užrašomas lygtimi (7 paveikslas):<br />
ξ= c . (43)<br />
c kr<br />
Taip pat slopinimo koeficientą galima išreikšti per logaritminį dekrementą<br />
δ:<br />
δ<br />
ξ = . (44)<br />
( 2 π )<br />
2 +<br />
2<br />
δ<br />
7 pav. Mechaninių sistemų su skirtingais slopinimo<br />
koeficientais palyginimas<br />
17
Logaritminis dekrementas – tai greta esančių svyravimo amplitudžių<br />
santykio natūrinis logaritmas (Augustaitis 2000):<br />
ξ<br />
δ= ⎛ ξ<br />
⎝ ⎜ x0<br />
⎞ T<br />
ln ⎟ = ln ( e )= T, (45)<br />
xn<br />
⎠<br />
čia x 0 , x n atitinkamai didesnioji ir mažesnioji svyravimo amplitudė,<br />
T – svyravimų periodas.<br />
18
4. Slopinamieji virpesiai<br />
Realiomis sąlygomis visos mechaninės sistemos yra slopinamos.<br />
Jeigu, nagrinėjamoje sistemoje nėra priverstinio žadinimo, sistemą<br />
galima aprašyti tokio pavidalo lygtimi:<br />
mx + cx<br />
+ kx = 0 . (46)<br />
Padalinę (46) lygtį iš m gauname:<br />
x + c<br />
<br />
m x + k<br />
m x = 0 . (47)<br />
Bendruoju atveju lygtį (47) galima užrašyti taip:<br />
2<br />
x+ 2ξωx<br />
+ ω x = 0. (48)<br />
Pagal tiesinių diferencialinių lygčių su pastoviais koeficientais<br />
sprendimo teoriją ieškoma tokio pavidalo šios lygties atskirojo sprendinio:<br />
x=<br />
Ce λ t , (49)<br />
čia e – natūrinio logaritmo pagrindas, C – konstanta, priklausanti nuo<br />
sistemos pradinės padėties, λ – konstanta, randama iš sąlygos, kad<br />
(49) sprendinys tenkintų (48) lygtį.<br />
Lygties (49) išvestinės laiko atžvilgiu bus<br />
λ t<br />
2 λt<br />
x<br />
= Cλe , x=<br />
Cλ<br />
e<br />
. (50)<br />
Įrašę koordinatės x ir jos išvestinių reikšmes į lygtį (48) ir supaprastinus<br />
ją iš e λt<br />
gaunama:<br />
( 2 2<br />
) =<br />
λ + 2ξωλ + ω C 0. (51)<br />
Jeigu C = 0 sistemoje virpesių nebūtų, todėl imama teigiama C<br />
reikšmė ir (51) lygtis yra:<br />
2 2<br />
λ + 2ξωλ + ω = 0. (52)<br />
19
Priklausomai nuo kompleksinio skaičiaus reikšmės, lygties (52)<br />
sprendinys gali būti trejopas.<br />
Kai ξ>1 sistemos judėjimas aperiodinis, λ – kompleksinis skaičius,<br />
o lygties (52) sprendinys turi dvi šaknis λ + ir λ − .<br />
Tada lygties (46) sprendinys užrašomas tokia išraiška:<br />
λ t t<br />
xt Ae<br />
+ λ<br />
Be<br />
− , (53)<br />
()= +<br />
čia koeficientų A ir B reikšmės nustatomos iš išraiškų:<br />
( )− ( )<br />
λ+<br />
x 0 x<br />
0<br />
A= x( 0)+<br />
λ − λ<br />
− +<br />
( )− ( )<br />
λ+<br />
x 0 x<br />
0<br />
B =−<br />
λ − λ<br />
− +<br />
, (54)<br />
. (55)<br />
Kai ξ=1 sistemos slopinimas kritinis, λ – realusis skaičius, o lygties<br />
(52) sprendinys turi tik vieną šaknį l.<br />
Tada lygties (46) sprendinys užrašomas tokia išraiška:<br />
t<br />
( ) −ω , (56)<br />
xt A B t e<br />
()= + ⋅<br />
čia koeficientų A ir B reikšmės nustatomos iš išraiškų:<br />
A= x( 0 ), (57)<br />
B x 0 ω x 0 . (58)<br />
= ( )+ ( )<br />
Kai 0< ξ < 1 sistemos judėjimas slopinamas, o (47) lygties sprendinys<br />
yra harmoninis su eksponentiškai gęstančia amplitude:<br />
( )<br />
−ξωt<br />
()= ( d )+ ( d )<br />
xt e Acos ω t Bsin ω t , (59)<br />
čia slopinamų virpesių kampinis dažnis:<br />
ω ω 1−<br />
ξ<br />
2 . (60)<br />
d =<br />
Koeficientų A ir B reikšmės nustatomos iš išraiškų:<br />
A= x( 0 ), (61)<br />
20
1<br />
B= ( ξωx( 0)+ x ( 0)<br />
). (62)<br />
ω<br />
Šiuo atveju slopinimo koeficientą x galima nustatyti pasinaudojant<br />
logaritminio dekremento išraiška (45).<br />
*****<br />
Pavyzdys<br />
Dinaminės sistemos modelis pateiktas 8 paveiksle. Kūno masė<br />
m= 446, 5kg, spyruoklės standumo konstanta k1 = 34 000 N / m<br />
ir k2 = 1610 N / m, sistemos slopinimo konstanta c=1700 Ns/ m.<br />
Masės m kūnas pradiniu laiko momentu t = 0 perstumiamas į naują<br />
padėtį iš pusiausvyros padėties ir priimama, kad kūno poslinkis<br />
qt ( = 0) = 0,<br />
05 m, o kūno judėjimo greitis pradiniu laiko momentu<br />
q ( t= 0) = 0 m/<br />
s. Nustatyti kūno padėtį po 4 s, kai spyruoklės standumas<br />
k = k 1 ir k = k 2<br />
. Nubraižyti kūno poslinkio priklausomybes nuo<br />
laiko, kai laikas t kinta nuo 0 iki 4 s.<br />
8 pav. Vieno laisvėslaipsnio mechaninė sistema su standumo ir<br />
slopinimo elementais<br />
Kai ξ=1 sistemos judėjimas slopinamas, kūno svyravimo amplitudė<br />
skaičiuojama pagal (56) formulę, o koeficientai A ir B atitinkamai<br />
pagal (57) ir (58) formules.<br />
Kai 0< ξ < 1dinaminė sistema slopinama, kūno svyravimo amplitudė<br />
skaičiuojama pagal (59) formulę, o koeficientai A ir B atitinkamai<br />
pagal (61) ir (62) formules.<br />
Skaičiavimo rezultatai pateikti 4 lentelėje.<br />
21
4 lentelė. Mechaninės sistemos parametrų skaičiavimai<br />
Pavadinimas<br />
Žymėjimai /<br />
formulės<br />
0< ξ < 1 ξ=1<br />
Kūno masė, kg m 446,5 446,5<br />
Slopinimo konstanta, Ns/m c 1700 1700<br />
Standumo konstanta, N/m k 34 000 1610<br />
Sistemos kampinis dažnis, rad/s ω= k m<br />
8,726 1,899<br />
Kritinė slopinimo konstanta, Ns/m ckr = 2 km 7792,56 1695,72<br />
Slopinimo koeficientas<br />
ξ= c<br />
0,2183 1,00<br />
c kr<br />
Slopinamų virpesių kampinis dažnis,<br />
rad/s ωd = ω 1−<br />
2<br />
ξ 8,516 –<br />
Koeficientas A 0,05 0,05<br />
koeficientas B 0,0109 0,0949<br />
Kūno svyravimo amplitudė, m<br />
qt ( = 4 ) –0,19e–4 0,22e–3<br />
Kūno poslinkio grafikai, priklausomai nuo slopinimo koeficiento<br />
reikšmės, pateikti 9 paveiksle.<br />
9 pav. Vieno laisvės laipsnio mechaninės sistemos su standumo ir slopinimo<br />
elementais poslinkiai, kai 0< ξ < 1 ir ξ=1<br />
*****<br />
22
5. Q faktorius<br />
Q faktorius, tai – kokybinis slopinimo, sužadinimo ar svyravimo<br />
rodiklis (10 paveikslas).<br />
. (63)<br />
Mechaninėms sistemoms:<br />
Q =<br />
mk<br />
,<br />
c<br />
(64)<br />
čia m – kūno masė, k – spyruoklės standumo konstanta, c – slopinimo<br />
konstanta.<br />
10 pav. Rezonansinės kreivės statumo matavimas (Ostaševičius 1998)<br />
antros eilės sistemose, kai ξ
6. Sausoji trintis<br />
Sausoji trintis tarp kietųjų kūnų skirstoma į statinę ir dinaminę<br />
trintis (Michnevič et al. 2003).<br />
Statinė trintis – tai trintis tarp nejudančių kūnų. Didžiausia statinės<br />
trinties jėga atitinka mažiausią jėgą, kuriai veikiant kūnas pradeda<br />
judėti (11 paveikslas).<br />
11 pav. Trinties jėga<br />
Maksimali statinės trinties jėgos reikšmė:<br />
Ftr<br />
max =µ sN, (66)<br />
čia µ s – statinės trinties koeficientas, N – atraminės reakcijos jėga.<br />
Statinės trinties kampas (12 paveikslas):<br />
Ftr<br />
max µ sN<br />
tg ( α)= = = µ s . (67)<br />
N N<br />
Dinaminės trinties jėga pasireiškia kūnui slystant tam tikru paviršiumi.<br />
Jėga veikia besitrinančių paviršių plokštumoje, yra priešinga<br />
slydimo krypčiai ir proporcinga normalinei reakcijai:<br />
FDtr<br />
=µ DN, (68)<br />
čia m D – dinaminės trinties koeficientas, priklausantis nuo judėjimo<br />
greičio, kontakto paviršių apdirbimo ir yra mažesnis už statinį trinties<br />
koeficientą.<br />
12 pav. Trinties kampas<br />
Dinaminės trinties jėga yra mažesnė už didžiausią statinę jėgą<br />
F trmax (11 paveikslas).<br />
24
7. Amplitudinė-dažnuminė<br />
charakteristika<br />
Harmoninio išorinio žadinimo mechaninės sistemos judėjimo<br />
lygtį galima užrašyti:<br />
mx + cx<br />
+ kx = F0 cos( Ω t)<br />
, (69)<br />
čia m – kūno masė, c ir k – atitinkamai slopinimo ir standumo konstantos,<br />
F 0 – išorinės jėgos amplitudė, W – išorinės jėgos svyravimo<br />
kampinis dažnis.<br />
Lygties (69) sprendinys gali būti išreikštas tokiu pavidalu:<br />
x= A cos Ωt<br />
−ϕ , (70)<br />
s<br />
( )<br />
čia A s – svyravimo amplitudė, φ – fazinis kampas.<br />
Lygties (70) pirmoji ir antroji išvestinė laiko atžvilgiu:<br />
x=−A Ωsin Ωt<br />
− ϕ , (71)<br />
s<br />
( )<br />
x=−A Ω<br />
2 cos Ωt<br />
− ϕ . (72)<br />
s<br />
( )<br />
Įstatę (70), (71), (72) išraiškas į (69) lygtį ir išreiškę A s gauname:<br />
F<br />
As = 0 1<br />
. (73)<br />
k<br />
⎛ 2<br />
2<br />
⎞<br />
−<br />
⎜ ⎟ + ⎛ 2<br />
Ω<br />
⎝ ⎠ ⎝ ⎜<br />
Ω⎞<br />
1 2ξ 2 ⎟<br />
ω ω ⎠<br />
Fazinio kampo išraiška:<br />
tg ( ϕ)=<br />
2ξω<br />
⎛ 2<br />
Ω ⎞<br />
. (74)<br />
1−<br />
⎜ 2 ⎟<br />
⎝ ω ⎠<br />
Amplitudinio rezonanso dažnis visada yra mažesnis už neslopinamos<br />
sistemos dažnį ir skaičiuojamas pagal formulę:<br />
ω<br />
a =<br />
1−<br />
ξ<br />
2 . (75)<br />
25
Tada sistemos reakcijos amplitudė yra:<br />
A<br />
s max =<br />
F<br />
k<br />
0<br />
1<br />
2ξ<br />
1<br />
1−<br />
ξ<br />
2<br />
. (76)<br />
Fazinis rezonansas atsiranda, kai sužadinimo dažnis sutampa su<br />
neslopinamos sistemos rezonanso dažniu. Šiuo atveju virpesių amplitudė<br />
būtų truputį mažesnė už absoliutų maksimumą.<br />
F<br />
As = 0 1<br />
k 2ξ . (77)<br />
Rezonanso statumas apibūdinamas kokybės kriterijumi – Q faktoriumi.<br />
26
8. Transporto priemonės svorio centro<br />
ir inercijos momentų nustatymas<br />
Turint sudėtingą dinaminę sistemą (pvz., <strong>transporto</strong> priemonę su<br />
keleiviais ir kroviniu) reikia žinoti, kiek ją sudaro masių, kad būtų galima<br />
sudaryti tikslią mechaninės sistemos judėjimo lygtį, nes kiekviena<br />
masė turės savo svorio centrą, ašinį ir išcentrinį inercijos momentą.<br />
Kaip pavyzdį paimsime lengvąjį automobilį (13 paveikslas).<br />
13 pav. Lengvojo automobilio masės, jų svorio centrai,<br />
ašiniai ir išcentriniai inercijos momentai<br />
Tad lengvojo automobilio suminė masė nustatoma:<br />
m<br />
s<br />
n<br />
= ∑ m , (78)<br />
i=<br />
1<br />
čia m s – suminė masė, m i – i-oji masė.<br />
Svorio centro koordinačių nustatymas:<br />
x<br />
n<br />
C = = i=<br />
1<br />
i<br />
∑ xm i i<br />
i 1<br />
,<br />
n<br />
(79)<br />
∑ m<br />
i<br />
27
y<br />
n<br />
∑ ym<br />
i i<br />
i<br />
C = = 1<br />
n<br />
∑ mi<br />
i=<br />
1<br />
, (80)<br />
čia x C , y C – koordinatės iki suminio svorio centro, x i , y i – i-osios masės<br />
koordinatės, nuo koordinačių ašies XY.<br />
Ašinis ir išcentrinis inercijos momentas nustatomas pasinaudojus<br />
tokiomis formulėmis:<br />
n<br />
a<br />
i=<br />
1<br />
i<br />
Iia<br />
iš<br />
n<br />
i=<br />
1<br />
ixy<br />
2 2<br />
i C i C i<br />
I = ∑ ( I + m (( x − x ) + ( y − y ) ),<br />
I = ∑ ( I + m ( x −x )( y − y )),<br />
i i C i C<br />
(81)<br />
(82)<br />
čia I a – ašinis dinaminės sistemos inercijos momentas, I iš – išcentrinis<br />
dinaminės sistemos inercijos momentas, I i – i-osios masės ašinis inercijos<br />
momentas, I ixy – i-osios masės išcentrinis inercijos momentas.<br />
Pavyzdys<br />
Surasti lengvojo automobilio (13 paveikslas) suminę masę m s<br />
(priedas G), svorio centro koordinates Cxy ( , ) (priedas F), ašinį<br />
inercijos momentą I a ir išcentrinį inercijos momentą I iš . Čia automobilio<br />
kėbulo masė m1 = 600kg, ašinis I1<br />
= 300 kg⋅ m ir iš-<br />
2<br />
centrinis inercijos momentas I 1xy<br />
= 0 , automobilio variklio masė<br />
2<br />
m2 = 300 kg, ašinis I2<br />
= 61 kg⋅ m ir išcentrinis inercijos momentas<br />
2<br />
I2xy<br />
= 05 , kg⋅m<br />
, vairuotojo ir keleivio masė m3 = 150 kg , ašinis<br />
2<br />
2<br />
I3<br />
= 35 kg⋅ m ir išcentrinis inercijos momentas I3xy<br />
= 015 , kg⋅m<br />
,<br />
2<br />
2<br />
keleivių masė m4 = 150kg<br />
, ašinis I4<br />
= 35 kg⋅ m ir I4xy<br />
= 08 , kg⋅m<br />
išcentrinis inercijos momentas, krovinio masė m5 = 100 kg,<br />
2<br />
ašinis I5<br />
= 20, 3 kg⋅m<br />
ir I 5xy<br />
= 0 išcentrinis inercijos momentas,<br />
svorio centrai C1( 2012 , ;, ), C2(,; 0807 , ), C3(, 1706 ; , ), C4( 2706 , ; , ), C5(, 3708 ; , ).<br />
C4( 2706 , ; , ), C5(, 3708 ; , ). Savarankiškam skaičiavimui duomenys pateikiami F ir<br />
G prieduose.<br />
28
Sprendimas<br />
Surandame automobilio suminę masę pagal (78) formulę:<br />
ms = m1 + m2 + m3 + m4 + m5 = 600 + 300 + 150 + 150 + 100 = 1300 kg.<br />
Apskaičiuosime svorio centro koordinates pagal (79)ir (80) formules:<br />
x m x m x m x m x m<br />
xC = 1⋅ 1+ 2⋅ 2 + 3⋅ 3 + 4⋅ 4 + 5⋅<br />
5<br />
=<br />
m1 + m2 + m3 + m4 + m5<br />
20 , ⋅ 600 + 0,8 ⋅ 300 + 17 , ⋅ 150 + 27150 , ⋅ + 37 , ⋅100<br />
=<br />
=<br />
600 + 300 + 150 + 150 + 100<br />
2470<br />
1300<br />
y m y m y m y m y m<br />
yC = 1⋅ 1+ 2⋅ 2 + 3⋅ 3 + 4⋅ 4 + 5⋅<br />
5<br />
=<br />
m1 + m2 + m3 + m4 + m5<br />
12 , ⋅ 600 + 0,7 ⋅ 300 + 06150 , ⋅ + 06150 , ⋅ + 08100 , ⋅ 1190<br />
=<br />
=<br />
600 + 300 + 150 + 150 + 100<br />
1300<br />
=19 , m<br />
= 092 , m.<br />
Apskaičiuosime ašinį ir išcentrinį inercijos momentą, kuris nustatomas<br />
pasinaudojus tokiomis formulėmis (81) ir (82):<br />
I = I + m (( x − x ) + ( y − y ) ) + I + m (( x − x ) + ( y − y ) ) + I +<br />
a 1 1 C 1 2 C 1 2 2 2 C 2 2 C 2 2 3<br />
+ m (( x − x ) + ( y − y ) ) + I + m (( x − x ) + ( y − y ) ) + I +<br />
3 C 3 2 C 3 2 4 4 C 4 2 C 4 2 5<br />
+ m (( x −x ) + ( y − y ) ) = 300 + 600(, 01 + 028 , ) + 61+ 300(( − 11 ,) +<br />
5<br />
+− ( 02 , )<br />
C 5 2 C 5 2 2 2 2<br />
2 2 2 2 2<br />
) + 35 + 150(( − 02 , ) + ( − 032 , ) ) + 35 + 150( 08 , + ( − 032 , ) ) + 203 , +<br />
2 2 2<br />
+ 100(, 18 + ( − 012 , ) ) = 1340,<br />
02 kg ⋅m<br />
I iš = I1xy = I+ m1( x1− y1− C)) + I2xy + m2( x −xC)( y2 − yC)) + I3xy<br />
+ m3( x<br />
−<br />
C ) ⋅<br />
1xy + m1( x1−xC)( y1− yC)) + I2xy + m2( x2 −xC)( y2 − yC)) + I3xy<br />
+ m3( x3<br />
− xC<br />
) ⋅<br />
⋅( y3⋅( − yyC)) + I4xy + m4( x −xC)( y4 − yC)) + I5xy + m5( x −xC)(<br />
y5 − yC<br />
)) = 0 +<br />
3 − yC)) + I4xy + m4( x4 −xC)( y4 − yC)) + I5xy + m5( x5 −xC)(<br />
y5 − yC<br />
)) = 0 +<br />
+ 600 + ( 600 2−( 19 2, −)( 19 1, , 2)( − 1, 02, − 920) , 92 + 05 ), + + 05 , 300 + 300 08(, −08 19 , −)(, 19 07 , )(, 07 − 092 , − 092 ), + 015 ),<br />
+ 015 + , 15017 + (, 15017 (, −19<br />
, −)<br />
19 ⋅, ) ⋅<br />
⋅(, 06⋅(, − 06 092 , − 092 ), + 0) , + 8 + 0, 150 8 + ( 150 27 , ( 27 −, 19 , −)( 19 06 ,,)( − 06 , 092 , − 092 ), + 0) + 1000 + (, 137 00 −37 19 , )(, 19 08− 08 092 , 092 ) = 4045 , 4045 kg ⋅m<br />
2<br />
(, − , )(, − , ) = , kg ⋅m<br />
2<br />
29
9. Uždavinių sprendimo pavyzdžiai<br />
1. Uždavinys. Sudaryti 14 paveiksle pateiktos automobilio ketvirčio<br />
pakabos dinaminį modelį. Apskaičiuoti ekvivalentinę spyruoklės<br />
standumo konstantą ir ekvivalentinę amortizatoriaus slopinimo konstantą,<br />
kai schemoje pateikti matmenys a, b, φ atitinkamai lygūs 300,<br />
400, 10. Pakabos spyruoklės standumo konstanta k = 34 000 N / m,<br />
amortizatoriaus slopinimo konstanta h=1700 Ns/ m.<br />
14 pav. Vieno laisvės laipsnio automobilio ketvirčio dinaminės sistema:<br />
a) automobilio ketvirčio schema;<br />
b) automobilio ketvirčio dinaminis modelis<br />
Sprendimas<br />
Supaprastintas sistemos dinaminis modelis pateiktas 14 paveiksle.<br />
Sudarant šį modelį reikia apskaičiuoti pakabos spyruoklės standumo<br />
konstantos ir amortizatoriaus slopinimo konstantų ekvivalentines<br />
reikšmes (Jazar 2008).<br />
Ekvivalentinė spyruoklės standumo konstanta skaičiuojama pagal<br />
formulę<br />
a<br />
keq = ( )<br />
2<br />
⎛ ⎞<br />
⎜ k N m<br />
⎝ b ⎠<br />
⎟ = ⎛<br />
⎜ ( )<br />
2<br />
300 ⎞<br />
cos α<br />
cos 10 ⎟ 34000 = 18548 / .<br />
⎝ 400 ⎠<br />
c<br />
Amortizatoriaus slopinimo konstanta skaičiuojama pagal formulę:<br />
⎛ a ⎞<br />
⎜ c<br />
Ns m<br />
⎝ b ⎠<br />
⎟ = ⎛ 300<br />
⎜ ( ) ⎞<br />
cos α<br />
cos 10 ⎟ 1700 = 927, 4 / .<br />
⎝ 400 ⎠<br />
eq = ( )<br />
2 2<br />
30
2. Uždavinys Pagal prieš tai pateikto uždavinio sąlygoje pateiktus<br />
duomenis ir apskaičiuotą spyruoklės standumo konstantos reikšmę,<br />
tam pačiam pakabos dinaminiam modeliui apskaičiuoti sistemos savąjį<br />
kampinį dažnį, kritinę slopinimo konstantą ir slopinimo koeficientą,<br />
kai automobilio ketvirčio masė lygi 300 kg.<br />
Sprendimas<br />
Svyravimų kampinis dažnis skaičiuojamas pagal (34) formulę:<br />
keq 18548<br />
ω= = = 786 , rad / s.<br />
m 300<br />
Kritinis slopinimo koeficientas skaičiuojamas pagal formulę (42)<br />
c = 2 k m = 2 18548⋅ 300 = 4717, 84 Ns/ m.<br />
kr<br />
eq<br />
Slopinimo koeficientas x skaičiuojamas pagal formulę (43):<br />
ceq<br />
927,<br />
4<br />
ξ= = = 0, 197.<br />
c 4717,<br />
84<br />
kr<br />
3. Uždavinys Užrašyti prieš tai pateikto uždavinio sąlygoje pateiktam<br />
dinaminiam modeliui Lagranžo antro laipsnio diferencialinę<br />
judėjimo lygtį.<br />
Sprendimas<br />
Lagranžo antro laipsnio diferencialinė lygtis užrašoma tokia forma:<br />
d ⎛ ∂T<br />
⎞ T<br />
⎜<br />
F<br />
dt ⎝ ∂q<br />
⎠<br />
⎟ − ∂ ∂ q + ∂ Φ<br />
∂ q + ∂ Π<br />
∂ q<br />
= { } , (83)<br />
čia T – sistemos kinetinė energija, F – sistemos slopinimo energija,<br />
P – sistemos potencinė energija, F – apibendrintų jėgų vektorius<br />
q, q<br />
, q– atitinkamai apibendrintas kūno pagreitis, greitis ir poslinkis.<br />
Lagranžo antro lygties sudarymo algoritmas.<br />
1. Sprendžiamajam uždaviniui užrašoma sistemos kinetinė energija:<br />
2<br />
T = 1 mq . (84)<br />
2<br />
31
1a). Skaičiuojama kinetinės energijos dalinė išvestinė pagal<br />
apibendrintą greitį q :<br />
∂T<br />
∂ q<br />
= mq . (85)<br />
<br />
1b). Skaičiuojama paskaičiuotos dalinės išvestinės pagal apibendrintą<br />
kūno greitį pilnoji išvestinė:<br />
d ⎛ ∂T<br />
⎞<br />
⎜ ⎟ = mq . (86)<br />
dt ⎝ ∂q<br />
⎠<br />
1c). Skaičiuojama kinetinės energijos dalinė išvestinė pagal<br />
apibendrintą poslinkį q:<br />
∂T<br />
∂ q<br />
= 0 . (87)<br />
2. Sprendžiamajam uždaviniui užrašoma sistemos disipatyvinė<br />
energija.<br />
1<br />
2<br />
Φ= ceq ( q − z () t ) . (88)<br />
2<br />
2a). Skaičiuojama disipatyvinės energijos dalinė išvestinė pagal<br />
apibendrintą greitį q<br />
∂Φ<br />
∂ = c ( − ())<br />
eq q z t . (89)<br />
q<br />
3. Sprendžiamajam uždaviniui užrašoma sistemos potencinė<br />
energija<br />
1<br />
2<br />
Π= keq ( q− z()<br />
t ) . (90)<br />
2<br />
3a). Skaičiuojama potencinės energijos dalinė išvestinė pagal<br />
apibendrintą poslinkį q :<br />
∂Π<br />
∂ = k ( − ())<br />
eq q z t . (91)<br />
q<br />
Apskaičiuotos energijų dalinės išvestinės įstatomos į antro laipsnio<br />
Lagranžo lygtį (83):<br />
mq + ceq<br />
( q − z<br />
() t )+ keq<br />
( q− z()<br />
t )= 0 . (92)<br />
32
Užrašyta lygtis pertvarkoma į dešinę lygybės pusę perkeliant žadinimo<br />
funkciją ir priskiriant ją prie išorinių sistemą veikiančių jėgų ir<br />
papildomai pridedama svorio jėga F=mg.<br />
mq c q k q c z<br />
t k z t mg<br />
+ + = ()+ ()− . (93)<br />
eq eq eq eq<br />
Iš (93) lygties išreiškiamas apibendrintas kūno pagreitis q :<br />
ceqq<br />
keqq ceq z<br />
t keq<br />
z t mg<br />
q<br />
= − − + ()+ ()− . (94)<br />
m<br />
Norint (94) lygtį spręsti skaitiniais metodais reikia linearizuoti<br />
lygtį – vietoj antros eilės diferencialinės lygties užrašomos dvi pirmos<br />
eilės diferencialinės lygtys ir įvedami papildomi kintamieji.<br />
dq dq<br />
dq<br />
= YR1; = YR2; q= Y1; = Y2.<br />
(95)<br />
dt dt<br />
dt<br />
Naudojant išraiškas (90) lygtis (89) užrašoma tokiomis dviem<br />
lygtimis:<br />
YR = Y ;<br />
1 2<br />
−ceqY2 − keqY1+ ceqz<br />
()+ t keqz()−<br />
t mg<br />
YR2<br />
= . (96)<br />
m<br />
Užrašyta lygčių sistema (96) gali būti sprendžiama skaitiniais<br />
metodais (Oilerio, Rungės ir Kuto, kt.).<br />
4. Uždavinys. (96) lygčių sistemą išspręsti Rungės ir Kuto metodu,<br />
kai uždaviniui išspręsti naudojamos tokios parametrų reikšmės:<br />
slopinimo konstanta ceq = 927 , 4 Ns/ m, standumo konstanta<br />
keq =18 548 N / m, automobilio ketvirčio masė lygi m= 300 kg , laisvo<br />
2<br />
kritimo pagreitis g = 981 , m/ s . Kelio paviršius aprašomas, kaip laike<br />
nekintanti funkcija, kurios poslinkio pokytis nuo laiko z()= t 0 m ir<br />
greičio pokytis nuo laiko z()= t 0 m/ s. Pradiniu laiko momentu ieškomi<br />
parametrai q= Y m dq<br />
1 = 0 , = Y2<br />
= 0 m/ s.<br />
dt<br />
Sprendimas<br />
Nustatome integravimo žingsnį dt = 10 , E−4<br />
s ir maksimalų<br />
skaičiavimo laiką Tmax = 5 s .<br />
Išsprendę uždavinį gauname tokius rezultatus.<br />
33
15 pav. Kūno poslinkio priklausomybė nuo laiko vieno<br />
laisvės laipsnio sistemoje<br />
16 pav. Kūno judėjimo greičio priklausomybė nuo laiko vieno<br />
laisvės laipsnio sistemoje<br />
5. Uždavinys. Sudaryti harmoninę funkciją, kuri imituotų kelio<br />
dangos kitimą ir vertintų tokius parametrus kaip: kelio dangos nelygumo<br />
aukštis, automobilio judėjimo greitis, nelygumo pasikartojimo<br />
periodas. Nubraižyti žadinimo funkcijų (poslinkio ir greičio) grafikus,<br />
kai laikas kinta nuo 0 iki 5 s.<br />
Sprendimas<br />
Aprašysime kelio žadinimo funkciją, kurios žadinimo periodas<br />
kinta priklausomai automobilio judėjimo greičio. Šiuo tikslu įvedami<br />
tokie kelio parametrai: kelio dangos nelygumo aukščiai hc1 = 001 , m,<br />
hs1 = 001 , m, automobilio judėjimo greitis v1 = 30 m/ s, nelygumo<br />
pasikartojimo periodas Lx = 50 m .<br />
Kelio dangos paviršiaus vertikalaus poslinkio pokytis nuo laiko<br />
užrašomas tokia lygtimi:<br />
34
⎛ 2π⋅v1<br />
⋅t<br />
⎞ ⎛ 2π⋅v1<br />
⋅t<br />
⎞<br />
z()=<br />
t hc1<br />
cos⎜<br />
⎟ + hs1<br />
sin⎜<br />
⎟ . (97)<br />
⎝ Lx<br />
⎠ ⎝ Lx<br />
⎠<br />
Lygtis (97) gali būti supaprastinta įvedant išorinio žadinimo dažnį:<br />
2π ⋅ v<br />
= . (98)<br />
L x<br />
Ω 1<br />
1<br />
Tada (97) lygtis įgauna tokį pavidalą:<br />
z t h cos Ω t h sin Ω t . (99)<br />
()= ( )+ ( )<br />
c1 1 c1 1<br />
Kelio dangos paviršiaus vertikalaus greičio pokytis nuo laiko užrašomas<br />
apskaičiuojant (99) lygties išvestinę pagal laiką ir užrašomas<br />
tokia lygtimi:<br />
z t h sin Ω t Ω h cos Ω t Ω . (100)<br />
()=− ( ) + ( )<br />
c1 1 1 c1 1 1<br />
Formulių (99) ir (100) grafikai pateikti17 ir 18 paveiksluose.<br />
17 pav. Žadinimo funkcijos, kelio dangos vertikalaus poslinkio,<br />
pokytis nuo laiko<br />
18 pav. Žadinimo funkcijos, kelio dangos vertikalaus<br />
greičio, pokytis nuo laiko<br />
35
6. Uždavinys. (91) lygčių sistemą išspręsti Rungės ir Kuto metodu,<br />
kai uždaviniui išspręsti naudojamos tokios parametrų reikšmės:<br />
slopinimo konstanta ceq = 927 , 4 Ns/ m, standumo konstanta<br />
keq =18548 N / m , automobilio ketvirčio masė lygi m = 300 kg ,<br />
2<br />
laisvo kritimo pagreitis g = 981 . m/ s . Kelio paviršius aprašomas<br />
kaip laike kintanti funkcija, kurios poslinkio pokytis nuo laiko<br />
z() t ir greičio pokytis nuo laiko z() t užrašomi pagal 5 uždavinyje<br />
pateiktas išraiškas. Pradiniu laiko momentu ieškomi parametrai<br />
q= Y m dq<br />
1 = 0 , = Y2<br />
= 0 m/ s.<br />
dt<br />
Sprendimas<br />
Nustatome integravimo žingsnį dt = 10 , E−4<br />
s ir maksimalų<br />
skaičiavimo laiką Tmax = 5 s .<br />
Išsprendę uždavinį gauname tokius rezultatus.<br />
19 pav. Kūno poslinkio priklausomybė nuo laiko vieno<br />
laisvės laipsnio sistemoje<br />
20 pav. Kūno judėjimo greičio priklausomybė nuo laiko<br />
vieno laisvės laipsnio sistemoje<br />
36
7. Uždavinys. Sudaryti kelio dangos kitimo funkciją, kuri imituotų<br />
kelio dangos nelygumą ir vertintų tokius parametrus kaip: kelio<br />
dangos nelygumo aukštis, automobilio judėjimo greitis, kelio dangos<br />
nelygumo ilgis. Nubraižyti žadinimo funkcijų (poslinkio ir greičio)<br />
grafikus, kai laikas kinta nuo 0 iki 5 s.<br />
Sprendimas<br />
Aprašysime kelio žadinimo funkciją, kurios žadinimo periodas<br />
kinta priklausomai automobilio judėjimo greičio. Šiuo tikslu įvedami<br />
tokie kelio parametrai: kelio dangos nelygumo aukščiai hc1 = 001 , m,<br />
automobilio judėjimo greitis v1 = 9 m/ s, nelygumo pasikartojimo<br />
periodas Lx = 50 m .<br />
Kelio dangos paviršiaus vertikalaus poslinkio pokytis nuo laiko<br />
užrašomas pasinaudojant Maple pakete naudojama funkcija Heviside<br />
tokia lygtimi:<br />
⎛ 2π<br />
⋅v1<br />
⋅t<br />
⎞<br />
z()= t Heaviside( t−const)⋅<br />
hc1<br />
cos⎜<br />
⎟. (101)<br />
⎝ Lx<br />
⎠<br />
Lygtis (101) gali būti supaprastinta įvedant išorinio žadinimo<br />
dažnį (93). Tada (101) lygtis įgauna tokį pavidalą:<br />
()= ( − )⋅ ( )<br />
z t Heaviside t const h cos Ω t , (102)<br />
c1 1<br />
čia const – laisvai pasirenkama konstanta. Nuo jos reikšmės priklauso,<br />
kuri funkcijos dalis bus uždengiama, o jos vietoje turėsim 0. (102)<br />
Lygties grafikas, kai const = 0, pateiktas 21 paveiksle.<br />
21 pav. Žadinimo funkcijos, kelio dangos vertikalaus poslinkio,<br />
pokytis nuo laiko, kai const = 0<br />
(102) lygties grafikas, kai const = 4,16, pateiktas 22 paveiksle.<br />
37
22 pav. Žadinimo funkcijos, kelio dangos vertikalaus poslinkio,<br />
pokytis nuo laiko, kai const = 4,16<br />
(102) lygties grafikas, kai const = –4,16, pateiktas 23 paveiksle.<br />
23 pav. Žadinimo funkcijos, kelio dangos vertikalaus<br />
poslinkio, pokytis nuo laiko, kai const = – 4,16<br />
Žadinimo funkcija taip pat gali būti apribojama iš abiejų pusių.<br />
Tokiu atveju lygtis (102) gali būti užrašoma taip:<br />
( )⋅ ( )−<br />
z()= t Heaviside t−const1 hc1cos Ω1t<br />
−Heaviside( t−const<br />
)⋅ h cos ( Ω t)<br />
.<br />
2<br />
c1 1<br />
(103)<br />
Šios lygties grafikas pateiktas 24 paveiksle. Konstantos<br />
const 1 = 416 , , const 2 = 695 , .<br />
38
24 pav. Žadinimo funkcijos, kelio dangos vertikalaus poslinkio, pokytis<br />
nuo laiko, kai žadinimo funkcijos reikšmė apribojama iš abiejų pusių<br />
Kelio dangos paviršiaus vertikalaus greičio pokytis nuo laiko užrašomas<br />
apskaičiuojant (103) lygties pirmo laipsnio išvestinę pagal<br />
laiką. Žadinimo funkcijos grafinis vaizdas pateiktas 25 paveiksle.<br />
25 pav. Žadinimo funkcijos, kelio dangos vertikalaus greičio, pokytis<br />
nuo laiko, kai žadinimo funkcijos reikšmė apribojama iš abiejų pusių<br />
39
10. Uždaviniai savarankiškam darbui<br />
1. Nustatyti spyruoklės (cilindrinė, kūginė) geometrinius parametrus,<br />
kai žinomas darbinis spyruoklės ilgis ir reikiamas spyruoklės<br />
standumas<br />
2. Nustatyti spyruoklės standumo konstantą (26 paveikslas), kai<br />
spyruoklė, veikiant kūno svorio jėgai, gali susispausti dydžiu .....<br />
26 pav. Vieno laisvės laipsnio mechaninės sistemos modelis<br />
3. Nustatyti 27 paveiksle pateiktos dinaminės sistemos standumo<br />
ir slopinimo konstantas, kai kūnas veikiant svorio jėgai spaudžia<br />
spyruokle ... mm.<br />
27 pav. Vieno laisvės laipsnio mechaninės sistemos modelis<br />
4. Nustatyti 26 paveiksle pateiktos mechaninės sistemos savuosius<br />
dažnius, svyravimų amplitudę ir nubrėžti amplitudės priklausomybės<br />
nuo dažnio grafiką, kai mechaninės sistemos žadinimo dažnis ...,<br />
slopinimo konstanta ..., kūno masė ..., standumo konstanta ... .<br />
5. Parinkti 27 paveiksle pateiktos mechaninės sistemos standumo<br />
ir slopinimo konstantas taip, kad slopinimo koeficientas būtų lygus ..., o<br />
mechaninės sistemos savasis dažnis kistų intervale ω ≤ω≤ ω .<br />
40<br />
min<br />
max
6. Nustatyti spyruoklės standumo konstantą 28 paveiksle, kai<br />
spyruoklė, veikiant kūno svorio jėgai, gali susispausti dydžiu .....<br />
28 pav. Vieno laisvės laipsnio mechaninės sistemos modelis<br />
7. Nustatyti 29 paveiksle pateiktos dinaminės sistemos standumo<br />
ir slopinimo konstantas, kai kūnas veikiant svorio jėgai suspaudžia<br />
spyruoklę ... mm.<br />
29 pav. Vieno laisvės laipsnio mechaninės sistemos modelis<br />
8. Nustatyti 28 paveiksle pateiktos mechaninės sistemos savuosius<br />
dažnius, svyravimų amplitudę ir nubrėžti amplitudės priklausomybės<br />
nuo dažnio grafiką, kai mechaninės sistemos žadinimo dažnis ...,<br />
slopinimo konstanta ..., kūno masė ..., standumo konstanta ... .<br />
9. Parinkti 29 paveiksle pateiktos mechaninės sistemos standumo<br />
ir slopinimo konstantas taip, kad slopinimo koeficientas būtų lygus ..., o<br />
mechaninės sistemos savasis dažnis kistų intervale ωmin<br />
≤ω≤ ωmax.<br />
10. Pagal 30 paveiksle pateikto automobilio pakabos ketvirčio dinaminį<br />
modelį apskaičiuoti ekvivalentinę spyruoklės standumo konstantą<br />
ir ekvivalentinę amortizatoriaus slopinimo konstantą, kai schemoje<br />
pateikti matmenys a, b, φ atitinkamai lygūs 300, 400, 10. Pakabos<br />
spyruoklės standumo konstanta k2 = 34 000 N / m , amortizatoriaus<br />
slopinimo konstanta h2 = 1700 Ns/ m, padangos standumo konstanta<br />
k1 = 120 000 N / m , padangos slopinimo konstanta h2 = 100 Ns/ m.<br />
41
30 pav. Vieno laisvės laipsnio automobilio ketvirčio dinaminė sistema:<br />
a) automobilio ketvirčio schema; b) automobilio ketvirčio dinaminis modelis<br />
11. Pagal 10 uždavinio sąlygoje pateiktus duomenis ir apskaičiuotą<br />
spyruoklės standumo konstantos reikšmę, tam pačiam pakabos<br />
dinaminiam modeliui, apskaičiuoti sistemos savąjį kampinį dažnį,<br />
kritinę slopinimo konstantą ir slopinimo koeficientą, kai automobilio<br />
ketvirčio masė lygi 300 kg.<br />
12. Užrašyti 11 uždavinio sąlygoje pateiktam dinaminiam modeliui<br />
Lagranžo antro laipsnio diferencialinę judėjimo lygtį.<br />
13. 12 uždavinio lygčių sistemą išspręsti Rungės ir Kuto metodu,<br />
kai uždaviniui išspręsti naudojamos tokios parametrų reikšmės:<br />
slopinimo konstanta ceq = 927, 4 Ns / m, standumo konstanta<br />
keq =18 548 N / m, automobilio ketvirčio masė lygi m= 300 kg, laisvo<br />
2<br />
kritimo pagreitis g = 981 , m/ s . Kelio paviršius aprašomas kaip laike<br />
nekintanti funkcija, kuriosposlinkio pokytis nuo laiko z()= t 0 m ir<br />
greičio pokytis nuo laiko z()= t 0 m/ s.<br />
14. Sudaryti harmoninę funkciją, kuri imituotų kelio dangos kitimą<br />
ir vertintų tokius parametrus kaip: kelio dangos nelygumo aukštis, automobilio<br />
judėjimo greitis, nelygumo pasikartojimo periodas. Nubraižyti<br />
žadinimo funkcijų (poslinkio ir greičio) grafikus, kai laikas kinta nuo 0<br />
iki 5 s ir išspręsti 13 uždavinį su šiomis žadinimo funkcijomis.<br />
15. Sudaryti 31paveiksle pateiktos automobilio ketvirčio pakabos<br />
dinaminį modelį. Apskaičiuoti ekvivalentinę spyruoklės standumo<br />
konstantą ir ekvivalentinę amortizatoriaus slopinimo konstantą, kai<br />
schemoje pateikti matmenys a, b atitinkamai lygūs 300 mm, 400 mm.<br />
Pakabos spyruoklės standumo konstanta k = 34 000 N / m , amortizatoriaus<br />
slopinimo konstanta h=1700 Ns/ m.<br />
42
31 pav. Vieno laisvės laipsnio automobilio ketvirčio dinaminės sistema<br />
16. Pagal 15 uždavinio sąlygoje pateiktus duomenis ir apskaičiuotą<br />
spyruoklės standumo konstantos reikšmę, tam pačiam pakabos<br />
dinaminiam modeliui, apskaičiuoti sistemos savąjį kampinį dažnį,<br />
kritinę slopinimo konstantą ir slopinimo koeficientą, kai automobilio<br />
ketvirčio masė lygi 300 kg. F = 100 N.<br />
17. Užrašyti 16 uždavinio sąlygoje pateiktam dinaminiam modeliui<br />
Lagranžo antro laipsnio diferencialinę judėjimo lygtį.<br />
18. 17 uždavinio lygčių sistemą išspręsti Rungės ir Kuto metodu,<br />
kai uždaviniui išspręsti naudojamos tokios parametrų reikšmės:<br />
slopinimo konstanta ceq = 927 , 4 Ns/ m, standumo konstanta<br />
keq =18 548 N / m, automobilio ketvirčio masė lygi m = 300 kg ,<br />
2<br />
laisvo kritimo pagreitis g = 981 , m/ s . Kelio paviršius aprašomas,<br />
kaip laike nekintanti funkcija, kurios poslinkio pokytis nuo laiko<br />
z()= t 0 m ir greičio pokytis nuo laiko z()= t 0 m/ s.<br />
19. Sudaryti harmoninę funkciją, kuri imituotų kelio dangos kitimą<br />
ir vertintų tokius parametrus kaip: kelio dangos nelygumo aukštis, automobilio<br />
judėjimo greitis, nelygumo pasikartojimo periodas. Nubraižyti<br />
žadinimo funkcijų (poslinkio ir greičio) grafikus, kai laikas kinta nuo 0<br />
iki 5 s ir išspręsti 18 uždavinį su šiomis žadinimo funkcijomis.<br />
20. Sudaryti 32 paveiksle pateiktos automobilio ketvirčio pakabos<br />
dinaminį modelį. Apskaičiuoti ekvivalentinę spyruoklės standumo<br />
konstantą ir ekvivalentinę amortizatoriaus slopinimo konstantą, kai<br />
schemoje pateikti matmenys a, b, φ atitinkamai lygūs 300 mm, 400 mm,<br />
10 o . Pakabos spyruoklės standumo konstanta k2 = 34 000 N / m,<br />
amortizatoriaus slopinimo konstanta h2 = 1700 Ns/ m, padangos stan-<br />
43
dumo konstanta k1 = 120 000 N / m, padangos slopinimo konstanta<br />
h2 = 100 Ns/ m.<br />
32 pav. Dviejų laisvės laipsnių automobilio ketvirčio dinaminės sistema<br />
21. Pagal 20 uždavinio sąlygoje pateiktus duomenis ir apskaičiuotą<br />
spyruoklės standumo konstantos reikšmę, tam pačiam pakabos<br />
dinaminiam modeliui, apskaičiuoti sistemos savąjį kampinį dažnį,<br />
kritinę slopinimo konstantą ir slopinimo koeficientą, kai automobilio<br />
ketvirčio masė lygi 300 kg, rato masė 30 kg.<br />
22. Užrašyti 20 uždavinio sąlygoje pateiktam dinaminiam modeliui<br />
Lagranžo antro laipsnio diferencialinę judėjimo lygtį.<br />
23. 20 uždavinio lygčių sistemą išspręsti Rungės ir Kuto metodu,<br />
kai uždaviniui išspręsti naudojamos tokios parametrų reikšmės:<br />
slopinimo konstanta ceq = 927 , 4 Ns/ m, standumo konstanta<br />
keq =18 548 N / m, automobilio ketvirčio masė lygi m= 300 kg, laisvo<br />
2<br />
kritimo pagreitis g = 981 , m/ s . Kelio paviršius aprašomas kaip laike<br />
nekintanti funkcija, kurios poslinkio pokytis nuo laiko z()= t 0 m ir<br />
greičio pokytis nuo laiko z()= t 0 m/ s.<br />
24. Sudaryti harmoninę funkciją, kuri imituotų kelio dangos kitimą<br />
ir vertintų tokius parametrus kaip: kelio dangos nelygumo aukštis, automobilio<br />
judėjimo greitis, nelygumo pasikartojimo periodas. Nubraižyti<br />
žadinimo funkcijų (poslinkio ir greičio) grafikus, kai laikas kinta nuo 0<br />
iki 5 s, ir išspręsti 23 uždavinį su šiomis žadinimo funkcijomis.<br />
25. Sudaryti 33 paveiksle pateiktos automobilio ketvirčio pakabos<br />
dinaminį modelį. Apskaičiuoti ekvivalentinę spyruoklės standumo<br />
konstantą ir ekvivalentinę amortizatoriaus slopinimo konstantą, kai<br />
44
schemoje pateikti matmenys a, b, φ atitinkamai lygūs 300 mm, 400 mm,<br />
10 o . Pakabos spyruoklės standumo konstanta k = 34 000 N / m, amortizatoriaus<br />
slopinimo konstanta h=1700 Ns/ m.<br />
33 pav. Dviejų laisvės laipsnių automobilio ketvirčio dinaminės sistema<br />
26. Pagal 25 uždavinio sąlygoje pateiktus duomenis ir apskaičiuotą<br />
spyruoklės standumo konstantos reikšmę, tam pačiam pakabos<br />
dinaminiam modeliui, apskaičiuoti sistemos savąjį kampinį dažnį,<br />
kritinę slopinimo konstantą ir slopinimo koeficientą, kai automobilio<br />
ketvirčio masė lygi 300 kg, rato masė 30 kg.<br />
27. Užrašyti 26 uždavinio sąlygoje pateiktam dinaminiam modeliui<br />
Lagranžo antro laipsnio diferencialinę judėjimo lygtį.<br />
28. 27 uždavinio lygčių sistemą išspręsti Rungės ir Kuto metodu,<br />
kai uždaviniui išspręsti naudojamos tokios parametrų reikšmės:<br />
slopinimo konstanta ceq = 927 , 4 Ns/ m, standumo konstanta<br />
keq =18 548 N / m, automobilio ketvirčio masė lygi m= 300 kg, laisvo<br />
2<br />
kritimo pagreitis g = 981 , m/ s . Kelio paviršius aprašomaskaip laike<br />
nekintanti funkcija, kurios poslinkio pokytis nuo laiko z()= t 0 m ir<br />
greičio pokytis nuo laiko z()= t 0 m/ s.<br />
29. Sudaryti harmoninę funkciją, kuri imituotų kelio dangos kitimą<br />
ir vertintų tokius parametrus kaip: kelio dangos nelygumo aukštis, automobilio<br />
judėjimo greitis, nelygumo pasikartojimo periodas. Nubraižyti<br />
žadinimo funkcijų (poslinkio ir greičio) grafikus, kai laikas kinta nuo 0<br />
iki 5 s ir išspręsti 28 uždavinį su šiomis žadinimo funkcijomis.<br />
30. Uždavinys. Sudaryti skaičiavimo schemą pateiktam 34 paveikslui<br />
pagal užduoties variantą (5 lentelė). Pagal sudaryta schemą rasti<br />
ekvivalentinio (redukuoto) elemento standumą (k E ) ir slopinimą (c E ).<br />
45
34 pav. Standumo ir slopinimo elementų sudarymo schema<br />
5 lentelė. Variantai standumo ir slopinimo schemai sudaryti<br />
Varianto Nr.<br />
Užduoties schemos Nr.<br />
I II III IV V<br />
1 1 2 3 4 5<br />
2 1 5 3 4 2<br />
3 1 2 5 4 3<br />
4 1 2 3 5 4<br />
5 5 2 3 4 1<br />
6 5 1 3 4 2<br />
7 5 2 1 4 3<br />
8 5 2 3 1 4<br />
9 5 1 2 3 4<br />
10 5 1 3 2 4<br />
11 5 1 3 4 2<br />
12 5 1 2 4 3<br />
13 5 1 4 2 3<br />
14 1 5 3 2 4<br />
15 1 5 3 4 2<br />
16 1 5 2 4 3<br />
17 1 2 5 3 4<br />
18 1 3 5 2 4<br />
19 2 1 5 3 4<br />
20 2 3 5 1 4<br />
21 2 4 5 1 3<br />
22 2 4 5 3 1<br />
23 2 3 5 4 1<br />
24 3 2 5 1 4<br />
25 3 1 5 2 4<br />
26 3 2 1 5 4<br />
27 3 2 1 4 5<br />
28 3 1 2 5 4<br />
46
5 lentelės pabaiga<br />
29 3 2 4 1 5<br />
30 3 2 4 5 1<br />
31 3 5 2 1 4<br />
32 3 5 1 2 4<br />
33 3 5 2 4 1<br />
34 4 3 1 5 2<br />
35 4 3 1 2 5<br />
36 4 3 2 5 1<br />
37 4 3 2 1 5<br />
38 4 2 3 1 5<br />
39 4 2 1 3 5<br />
40 4 2 1 5 3<br />
41 4 5 1 2 3<br />
42 4 5 1 3 2<br />
43 4 5 2 3 1<br />
44 4 5 3 2 1<br />
45 4 5 3 1 2<br />
46 4 1 5 3 2<br />
47 4 1 5 2 3<br />
48 4 1 2 5 3<br />
49 4 1 2 3 5<br />
50 4 1 5 3 2<br />
Sprendimas<br />
Sudaroma schema, kuriosstandumo ir slopinimo elementai išsidėsto<br />
pagal tokia skaičių seką: 34125. Gauname tokią skaičiavimo<br />
schemą:<br />
47
Pasinaudoę 25 ir 27 lygtimis atliekame skaičiavimus sudarytai<br />
schemai. Kad butų paprasčiau skaičiuoti, atskiriame standumus ir slopinimus<br />
į atskiras schemas.<br />
Pirmiausia bus apskaičiuojamas standumas.<br />
Skaičiavimai pradedami nuo arčiausiai tarpusavyje sujungtų elementų:<br />
k = k + k ;<br />
45 4 5<br />
k = k + k ;<br />
23 2 3<br />
1 1 1 k + k<br />
= + =<br />
k k k kk<br />
67 6 7<br />
k<br />
67<br />
kk 6 7<br />
= .<br />
k + k<br />
6 7<br />
48<br />
6 7<br />
6 7<br />
;
Atlikus skaičiavimus supaprastėja schema:<br />
Gautai schemai atliekame tolesnius skaičiavimus:<br />
1 1 1 1 kk 1 23 + k45k23 + k45k1<br />
= + + =<br />
;<br />
k k k k kk k<br />
12345 45 1 23<br />
k<br />
12345<br />
1 23 45<br />
kk 1 23k45<br />
=<br />
.<br />
kk + k k + k k<br />
1 23 45 23 45 1<br />
Po atliktų skaičiavimų schema visai supaprastėjo ir liko apskaičiuoti<br />
tik paskutinį lygiagretų sujungimą:<br />
kk 1 23k45<br />
k1234567 = k12345 + k67<br />
=<br />
kk + k k + k k<br />
1 23 45 23 45 1<br />
kk 6 7<br />
+<br />
k + k<br />
= kk 1 23 k 45( k 6 + k 7) + k 6 k 7( k 1 k 23 + k 45 k 23 + k 45 k 1)<br />
=<br />
( kk + k k + k k )( k + k )<br />
1 23 45 23 45<br />
1 6 7<br />
6 7<br />
kk 1 23k45k6+ kk 1 23k45k7+ kkkk 6 7 1 23 + kkk 6 7 45k23 + k6kk 7 45k1<br />
=<br />
.<br />
kk k + k k k + k k k + k k k + k k k + k kk<br />
1 23 6 45 23 6 45 1 6 1 23 7 45 23 7 45 1 7<br />
Atlikę paskutinį skaičiavimą gauname ekvivalentinį sistemos<br />
standumą k E :<br />
=<br />
kk k k kk k k kkkk kkk k kkk k<br />
kE = 1 23 45 6+ 1 23 45 7+ 6 7 1 23 + 6 7 45 23 + 6 7 45 1=<br />
kk k + k k k + k k k + k k k + k k k + k kk<br />
1 23 6 45 23 6 45 1 6 1 23 7 45 23 7 45 1 7<br />
kk 1 6kk<br />
2 4 + kk 1 6kk 3 4+ kk 1 6kk 2 5+ kk 1 6kk 3 5+ k1kkk 7 2 4 + kk 1 7kk 3 4+ k1kkk 7 2 5+ kk 1 7kk<br />
3 4 +<br />
=<br />
kk k + k kk + kkk + kkk + k kk + kkk + k kk + k kk + kk k +<br />
1 6 2 1 6 3 2 4 6 3 4 6 2 5 6 3 5 6 4 1 6 5 1 6 1 7 2<br />
+ kkkk 6 7 1 2+ kkkk 6 7 1 3+ kkkk 2 4 6 7 + k3kkk 4 6 7 + k2kkk<br />
5 6 7 + kkkk 3 5 6 7 + kk 1 6kk 7 4 + kk 1 6kk<br />
7 5.<br />
+ kk k + kkk + kkk + k kk + k kk + kkk + k kk<br />
1 7 3 2 4 7 3 4 7 2 5 7 3 5 7 4 1 7 5 1 7<br />
49
Apskaičiavę sistemos ekvivalentinį standumą, toliau skaičiuosime<br />
ekvivalentinį slopinimą.<br />
Skaičiavimai pradedami nuo arčiausiai tarpusavyje sujungtų elementų:<br />
c = c + c ;<br />
45 4 5<br />
c = c + c ;<br />
12 1 2<br />
1 1 1 c + c<br />
= + =<br />
c67 c6 c7<br />
cc 6 7<br />
cc 6 7<br />
c67<br />
= .<br />
c + c<br />
6 7<br />
6 7<br />
Atlikus skaičiavimus supaprastėja schema:<br />
;<br />
Gautai schemai atliekame tolesnius skaičiavimus:<br />
1 1 1 1 c c + c c + c c<br />
= + + =<br />
c12345 c45 c3 c12<br />
c12c3c45<br />
c12c3c45<br />
c12345<br />
=<br />
.<br />
c c + c c + c c<br />
12 3 45 3 45 12<br />
12 3 45 3 45 12<br />
Po atliktų skaičiavimų schema visai supaprastėjo ir liko apskaičiuoti<br />
tik paskutinį lygiagretų sujungimą:<br />
;<br />
50
c12c3c45<br />
c1234567 = c12345 + c67<br />
=<br />
c c + c c + c c<br />
12 3 45 3 45 12<br />
cc 6 7<br />
+<br />
c + c<br />
6 7<br />
= c 12 c 3 c 45( c 6 + c 7) + c 6 c 7( c 12 c 3+ c 45 c 3 + c 45 c 12)<br />
=<br />
( c12c3 + c45c3+ c45c12)( c6 + c7)<br />
c12c3c45c6+ c12c3c45c7+ c12c3cc 6 7 + c45c3cc 6 7 + c45c12c6c7<br />
=<br />
.<br />
c c c + c cc + c c c + c cc + c c c + c c c<br />
12 3 6 45 3 6 45 12 6 12 3 7 45 3 7 45 12 7<br />
Atlikę paskutinį skaičiavimą gauname ekvivalentinį sistemos slopinimą<br />
c E :<br />
=<br />
c c c c c c c c c c cc c c cc c c cc<br />
cE = + + + +<br />
c cc + c c c + c c c + c c c + c cc + c c c<br />
12 3 45 6 12 3 45 7 12 3 6 7 45 3 6 7 45 12 6 7<br />
12 3 6 45 3 6 45 12 6 12 3 7 45 3 7 45 12 7<br />
cc 1 4cc<br />
3 6+ cccc 2 4 3 6+ c1ccc 5 3 6+ c2ccc 5 3 6+ c1ccc 4 3 7+ cccc 2 4 3 7+ c1ccc 5 3 7+ c2c5cc<br />
3 7+<br />
=<br />
ccc + c cc + ccc + c cc + cc c + c cc + ccc + c cc + ccc +<br />
1 3 6 2 3 6 4 3 6 5 3 6 1 4 6 1 5 6 2 4 6 2 5 6 1 3 7<br />
+ cccc 1 3 6 7+ cccc 2 3 6 7+ cccc 4 3 6 7+ cccc 5 3 6 7 + cc 1 4cc<br />
6 7+ cccc 2 4 6 7+ c1ccc 5 6 7+<br />
c2ccc<br />
5 6 7<br />
.<br />
+ ccc + c cc + ccc + c cc + c cc + ccc + ccc<br />
2 3 7 4 3 7 5 3 7 1 4 7 2 5 7 1 5 7 2 4 7<br />
33. Uždavinys. 34 paveiksle pateiktai schemai užrašyti dinaminio<br />
modelio Lagranžo antro laipsnio diferencialines judėjimo lygtis (daugiau<br />
schemų skaičiavimams pateikiama E priede).<br />
=<br />
35 pav. Dinaminio modelio schema<br />
51
Sprendimas<br />
Lagranžo antro laipsnio diferencialinė lygtis užrašoma tokia forma<br />
(83):<br />
d ⎛ ∂T<br />
⎞ T<br />
⎜<br />
F<br />
dt ⎝ ∂q<br />
⎠<br />
⎟ − ∂ ∂ q + ∂ Φ<br />
∂ q + ∂ Π<br />
∂ q<br />
= { } ,<br />
čia T – sistemos kinetinė energija, F – sistemos slopinimo energija,<br />
P – sistemos potencinė energija, F – apibendrintų jėgų vektorius,<br />
q, q<br />
, q– atitinkamai apibendrintas kūno pagreitis, greitis ir poslinkis.<br />
Lagranžo antro laipsnio lygtis sudaroma taip:<br />
1. Sprendžiamajai schemai užrašoma sistemos kinetinė energija (84).<br />
1 1 1 1 1 1 1<br />
T = m1q1 2 + m2q2 2 + m3q3 2 + I1ϕ 2 + mq 44 2 + mq 55 2 + m6q6 2 1<br />
+ m7q7 2 .<br />
2 2 2 2 2 2 2 2<br />
1.1. Skaičiuojama kinetinės energijos išvestinė kiekvienam kūnui<br />
pagal apibendrintus kūnų greičius q , q , q , q , q , q , q ,ϕ :<br />
1 2 3 4 5 6 7<br />
d ⎛ ∂T<br />
⎞<br />
⎜ ⎟ = mq 11+ mq 22 + mq 33 + I1 + m4q4 + m5q5<br />
+ m q<br />
dt ⎝ ∂q<br />
i ⎠<br />
+ .<br />
ϕ 6 6 m7q7<br />
1.2. Skaičiuojama kinetinės energijos dalinė išvestinė pagal apibendrintą<br />
poslinkį q. Kadangi sistemoje nėra poslinkio, todėl visos<br />
išvestinės bus lygios nuliui.<br />
∂T<br />
∂ q<br />
= 0.<br />
2. Sprendžiamajai schemai užrašoma sistemos disipatyvinės<br />
energijos (88):<br />
1<br />
2<br />
Φ 1 = c 1 ( q 1 − z 1 () t ) ;<br />
2<br />
2<br />
Φ 2 = 1 c 2 ( q 3 −q 1 − ϕ a 1 ) ;<br />
2<br />
1<br />
2<br />
Φ 3 = c 3 ( q 2 − z 2 () t ) ;<br />
2<br />
2<br />
Φ 5 = 1 c 5 ( q 4 − q 3 + ϕ a 3 ) ;<br />
2<br />
52
1<br />
= ( − ) ;<br />
2<br />
= 1 c ( q −q − ϕ a ) ;<br />
2<br />
1<br />
= c ( q −q ) .<br />
2<br />
2<br />
Φ 6 c 6 q 5 q 4<br />
Φ 7 7 6 3 4<br />
2<br />
Φ 8 8 7 6<br />
2<br />
2.1. Skaičiuojama disipatyvinės energijos dalinės išvestinės pagal<br />
apibendrintus greičius q1 , q2, q3, q4, q5, q6, q 7,ϕ :<br />
∂Φ<br />
= c1( q 1− z 1()<br />
t )−c2( q3 −q1−<br />
ϕ a1<br />
);<br />
∂q<br />
1<br />
∂Φ<br />
= c3( q 2 − z 2()<br />
t )−c4( q3 − q2 + ϕ a2<br />
);<br />
∂q<br />
2<br />
∂Φ<br />
= c2( q3 −q1−<br />
ϕ a1)+ c4( q3 − q2 + ϕ a2)−c5( q4 − q3 + ϕ a3)<br />
;<br />
∂q<br />
3<br />
∂Φ<br />
= c5( q4 − q3 + ϕ a3)−c6( q5 −q4<br />
);<br />
∂q<br />
4<br />
∂Φ<br />
= c6( q5 −q4 )<br />
∂q<br />
;<br />
5<br />
∂Φ<br />
= c7( q6 −q3 − ϕ a4)−c8( q7 −q6<br />
);<br />
∂q<br />
6<br />
∂Φ<br />
= c8( q7 −q6 )<br />
∂q<br />
;<br />
7<br />
∂Φ<br />
∂ =− ac ( − − )+ ( 1 2 q3 q1 ϕ a1 a2c4 q3 <br />
− q2 + ϕ a2 )+ ac 3 5( q4 − q3 + ϕ<br />
a3<br />
)−<br />
ϕ<br />
( )<br />
−ac q −q − ϕ a .<br />
4 7 6 3 4<br />
3. Sprendžiamajai schemai užrašoma sistemos potencinės energijos<br />
(90):<br />
1<br />
2<br />
Π 1 = k 1 ( q 1 − z 1 () t ) ;<br />
2<br />
2<br />
Π 2 = 1 k 2 ( q 3 −q 1 − ϕ a 1 ) ;<br />
2<br />
53
1<br />
= k ( q − z () t ) ;<br />
2<br />
= 1 k ( q − q + ϕ a ) ;<br />
2<br />
= 1 k ( q − q + ϕ a ) ;<br />
2<br />
1<br />
= k ( q −q ) ;<br />
2<br />
= 1 k ( q −q − ϕ a ) ;<br />
2<br />
1<br />
= k ( q −q ) .<br />
2<br />
Π 3 3 2 2<br />
2<br />
Π 4 4 3 2 2<br />
2<br />
Π 5 5 4 3 3<br />
2<br />
Π 6 6 5 4<br />
2<br />
Π 7 7 6 3 4<br />
2<br />
Π 8 8 7 6<br />
2<br />
3.1. Skaičiuojama potencinės energijos dalinės išvestinės pagal<br />
apibendrintus poslinkius q1 , q2, q3, q4, q5, q6, q7<br />
,ϕ (91):<br />
∂Π<br />
= k1( q1− z1()<br />
t )−k2( q3 −q1−<br />
ϕa1<br />
)<br />
∂q1<br />
∂Π<br />
= k3( q2 − z2()<br />
t )−k4( q3 − q2 + ϕa2<br />
)<br />
∂q2<br />
∂Π<br />
= k ( q −q − ϕa )+ k ( q − q + ϕa )−k q − q + ϕa<br />
∂q<br />
3<br />
54<br />
( )<br />
2 3 1 1 4 3 2 2 5 4 3 3<br />
∂Π<br />
= k ( q − q + ϕa )−k q −q<br />
∂q<br />
4<br />
( )<br />
5 4 3 3 6 5 4<br />
∂Π<br />
= k6( q5 −q4<br />
)<br />
∂q5<br />
∂Π<br />
= k ( q −q − ϕa )−k q −q<br />
∂q<br />
6<br />
4 7 6 3 4<br />
( )<br />
7 6 3 4 8 7 6<br />
∂Π<br />
= k8( q7 −q6<br />
)<br />
∂q7<br />
∂Π<br />
=−ak 1 2( q3 −q1−ϕa1)+ a2k4( q3 − q2 + ϕa2)+ ak 3 5( q4 − q3 + ϕa3<br />
)−<br />
∂ϕ<br />
−ak<br />
( q −q −ϕa<br />
)
4. Apskaičiuotos energijų dalinės išvestinės įstatomos į antro<br />
laipsnio Lagranžo lygtį (83). Kadangi pateiktoje schemoje turime aštuonis<br />
( q1 , q2, q3, q4, q5, q6, q7<br />
,ϕ ) poslinkius, tai ir turėsime iš viso aštuonias<br />
lygtis:<br />
mq 11+ c1( q 1− z 1()<br />
t )−c2( q3 −q1−<br />
ϕ<br />
a1)+ k1( q1− z1()<br />
t )−k2( q3<br />
−q1−<br />
ϕa1)=<br />
0<br />
mq 22 + c3( q 2 − z 2()<br />
t )−c4( q3 − q2 + ϕ<br />
a2)+ k3( q2 − z2()<br />
t )−<br />
−k4( q3<br />
−q2 + ϕa2)=<br />
0<br />
mq 33 + c2( q3 −q1−<br />
ϕ a1)+ c4( q3 − q2 + ϕ a2)−c5( q4 − q3 + ϕ<br />
a3)+<br />
+ k ( q −q − ϕa )+ k ( q − q + ϕa )−k ( q − q + ϕa<br />
)=<br />
2 3 1 1 4 3 2 2 5 4 3 3 0<br />
I1ϕ +−a1c2( q3 −q1−ϕ a1)+ ac 2 4( q3 − q2 + ϕ a2)+ a3c5( q4 − q3<br />
+ϕ<br />
a3<br />
)−<br />
−ac 4 7( q6 −q3 − ϕ a4)−a1k2( q3 −q1−<br />
ϕa1)+ ak 2 4( q3 − q2 + ϕa2<br />
) +<br />
+ ak ( q − q + ϕa )−a k ( q −q − ϕa<br />
)=<br />
3 5 4 3 3 4 7 6 3 4 0<br />
mq + c ( q − q + ϕ a )−c ( q −q<br />
)+ k ( q − q + ϕ a )−k ( q −q<br />
) = 0<br />
4 4 5 4 3 3 6 5 4 5 4 3 3 6 5 4<br />
mq + c ( q −q<br />
)+ k ( q −q<br />
)=<br />
5 5 6 5 4 6 5 4 0<br />
mq + c ( q −q − ϕ a )−c ( q −q<br />
)+ k ( q −q − ϕ a )−k ( q −q<br />
) = 0<br />
6 6 7 6 3 4 8 7 6 7 6 3 4 8 7 6<br />
mq + c ( q −q<br />
)+ k ( q −q<br />
)= .<br />
7 7 8 7 6 8 7 6 0<br />
5. Užrašytas lygtis pertvarkome į dešinę lygybės pusę perkeldami<br />
žadinimo funkciją ir priskirdami ją prie išorinių į sistemą veikiančių<br />
jėgų.<br />
mq + cq − cq + cq + c ϕ a + kq − kq + kq+ k ϕa = cz<br />
()+ t k z () t<br />
1 1 1 1 2 3 2 1 2 1 1 1 2 3 2 1 2 1 1 1<br />
mq + cq − cq + cq − c ϕ a + kq − kq + kq − k ϕa = cz<br />
t k z t<br />
2 2 3 2 4 3 4 2 4 2 3 2 4 3 4 2 4 2 3 2<br />
1 1<br />
()+ ()<br />
mq 33 + cq 23 −cq 21− c2ϕ a1+ cq 43 − cq 42 + c4ϕ a2 − cq 54 + cq 53<br />
− c5ϕ<br />
a3 + k2q3 −k2q1−<br />
− k ϕa + kq − kq + k ϕa − kq + kq − k ϕa<br />
=<br />
2 1 4 3 4 2 4 2 5 4 5 3 5 3 0<br />
3 2<br />
55
I ϕ − a cq + ac q + a c ϕ + a cq − acq + a c ϕ<br />
+ a c q − a cq + acϕ<br />
−<br />
1 1 2 3 1 2 1 1 2 2 2 4 3 2 4 2 2 2 4 3 5<br />
56<br />
4 3 5 3 3 2 5<br />
− acq + a cq + ac<br />
− ak q + a kq+ akϕ+ akq − a kq + akϕ+<br />
4 7 6 4 7 3 4 2 7ϕ 1 2 3 1 2 1 1 2 2 2 4 3 2 4 2 2 2 4<br />
+ akq − a kq + akϕa −a k q + a kq + akϕ<br />
=<br />
3 5 4 3 5 3 3 5 3 4 7<br />
6 4 7 3 4 2 7 0<br />
mq 44 + cq 54 − cq 53 + c5ϕ a3 − cq 65 + cq 64 + kq 5 4 − kq 5 3 + k5ϕ a3 − kq 6 5 + kq =<br />
mq 55 + cq 65 − cq 64 + kq 6 5 − kq 6 4 = 0<br />
6 4 0<br />
mq 66 + cq 76 −cq 73 −c7ϕ a4 − cq 87 + cq 86 + kq 7 6 −kq 7 3 −k7ϕ a4 − kq 8 7 + kq 8 6 = 0<br />
mq 77 + cq 87 − cq 86 + kq 8 7 − kq 8 6 = 0 .<br />
6. Iš užrašytų lygčių sudarome vieną apibendrintą matricinės formos<br />
antro laipsnio Lagranžo lygtį:<br />
m1<br />
0 0 0 0 0 0 06q<br />
1 <br />
<br />
<br />
<br />
<br />
0 m2<br />
0 0 0 0 0 0<br />
<br />
q<br />
2 <br />
0 0 m<br />
<br />
<br />
2<br />
0 0 0 0 0 q<br />
3<br />
<br />
<br />
<br />
0 0 0 I 0 2 0 0 <br />
<br />
1<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
0 0 0 0 m<br />
<br />
4 0 0 0 q<br />
<br />
4<br />
<br />
<br />
0 0 0 0 0 m <br />
5<br />
0 0 q<br />
5<br />
<br />
<br />
0 0 0 0 0 0 m <br />
6<br />
0 q<br />
6<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
0 0 0 0 0 0 0 m7<br />
<br />
q<br />
7 <br />
c1<br />
c2<br />
0<br />
c2<br />
a1c<br />
2<br />
0<br />
<br />
<br />
0 c3<br />
c4<br />
c4<br />
a2c4<br />
0<br />
c2<br />
c4<br />
c2<br />
c4<br />
c5<br />
a1c<br />
2 a2c4<br />
a3c5<br />
c5<br />
<br />
2 2 2 2<br />
a1c<br />
2 a2c4<br />
a1c2<br />
a2c4<br />
a3c5<br />
a4c7<br />
a1<br />
c2<br />
a2c4<br />
a3c5<br />
a4c7<br />
a3c5<br />
<br />
0 0<br />
c5<br />
a3c5<br />
c5<br />
c6<br />
<br />
0 0<br />
0<br />
0<br />
c6<br />
<br />
<br />
0 0<br />
c7<br />
a4c7<br />
0<br />
<br />
0 0<br />
0<br />
0<br />
0<br />
k1<br />
k2<br />
0<br />
k2<br />
a1k<br />
2<br />
0<br />
<br />
<br />
0 k3<br />
k4<br />
k4<br />
a2k4<br />
0<br />
k2<br />
k4<br />
k2<br />
k4<br />
k5<br />
a1k<br />
2 a2k4<br />
a3k5<br />
k5<br />
<br />
2 2 2 2<br />
a1k<br />
2 a2k4<br />
a1k<br />
2 a2k4<br />
a3k5<br />
a4k7<br />
a1<br />
k2<br />
a2k4<br />
a3<br />
k5<br />
a4k7<br />
a3k5<br />
<br />
0 0<br />
k5<br />
a3k5<br />
k5<br />
k6<br />
<br />
0 0<br />
0<br />
0<br />
k6<br />
<br />
<br />
0 0<br />
k7<br />
a4k7<br />
0<br />
<br />
0 0<br />
0<br />
0<br />
0<br />
c1<br />
0 0 0 0 0 0 0z<br />
1(<br />
t)<br />
k1<br />
0 0 0 0 0 0 0z1(<br />
t)<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
0 c3<br />
0 0 0 0 0 0<br />
<br />
z<br />
2(<br />
t)<br />
<br />
0 k3<br />
0 0 0 0 0 0<br />
<br />
z2(<br />
t)<br />
<br />
0 0 0 0 0 0 0 0z<br />
( ) 0 0 0 0 0 0 0 0<br />
( ) <br />
3 t<br />
z3<br />
t<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
0 0 0 0 0 0 0 0<br />
z<br />
4(<br />
t)<br />
0 0 0 0 0 0 0 0<br />
z4(<br />
t)<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
0 0 0 0 0 0 0 0<br />
<br />
z<br />
5(<br />
t)<br />
0 0 0 0 0 0 0 0<br />
<br />
z5(<br />
t)<br />
<br />
0 0 0 0 0 0 0 0z<br />
( ) 0 0 0 0 0 0 0 0<br />
( ) <br />
6 t<br />
z6<br />
t<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
0 0 0 0 0 0 0 0<br />
<br />
z<br />
7(<br />
t)<br />
0 0 0 0 0 0 0 0<br />
<br />
z7(<br />
t)<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
0 0 0 0 0 0 0 0z<br />
8(<br />
t)<br />
0 0 0 0 0 0 0 0z8(<br />
t)<br />
<br />
0 0 0 q<br />
1 <br />
0 0 0<br />
<br />
<br />
<br />
q<br />
2 <br />
0 0 0 q<br />
3<br />
<br />
<br />
<br />
0 a4c<br />
0 <br />
<br />
7 <br />
<br />
c<br />
<br />
6<br />
0 0 q<br />
4<br />
<br />
c<br />
<br />
6<br />
0 0 q<br />
5<br />
<br />
0 c <br />
7 c8<br />
c8<br />
q<br />
6<br />
<br />
0 c <br />
<br />
8 c8<br />
q<br />
7 <br />
0 0 0 q1<br />
<br />
0 0 0<br />
<br />
<br />
<br />
q2<br />
<br />
0 0 0 q<br />
<br />
3<br />
<br />
<br />
0 a4k7<br />
0 <br />
<br />
<br />
k 0 0 <br />
6<br />
<br />
q4<br />
<br />
k 0 0 <br />
<br />
6<br />
q5<br />
<br />
0 k7<br />
k8<br />
k8q6<br />
<br />
0 k <br />
<br />
8 k8<br />
q7
Literatūra<br />
Augustaitis, K. V. 2000. Mechaninių virpesių pagrindai. Vilnius: Žiburio leidykla.<br />
Jazar, R. N. 2008. Vehicle Dynamics: Theory and Aplications. Springer<br />
Science +Bisns Media, LLC.<br />
Michnevič, E.; Syrus, L.; Belevičius, R. 2003. Teorinė mechanika. Statika.<br />
Vilnius: Technika.<br />
Ostaševičius, V. 1998. Mechaninių konstrukcijų <strong>dinamika</strong> ir modeliavimas.<br />
Kaunas: Technologija.<br />
Steel Wire for Mechanical Springs Part 1: Patented Cold Drawn Unalloyed<br />
Spring Steel Wire DIN EN 10270-1. 2001.<br />
Steel Wire for Mechanical Springs Part 2: Oil Hardened and Tempered Spring<br />
Steel Wire DIN EN 10270-2. 2001.<br />
Steel Wire for Mechanical Springs Part 3: Stainless Spring Steel Wire DIN<br />
EN 10270-3. 2001.<br />
Борисоич, Б. И. 1980. Конструирование и расчет тракторов. Ленинград:<br />
Машиностроение.<br />
57
Priedai<br />
A priedas. Rungės ir Kuto metodo algoritmas<br />
Priede pateiktas Maple programine kalba užrašytas skaitinio metodo<br />
algoritmas.<br />
Užrašius pateiktą procedūrą, atliekant skaičiavimus, yra rašomas<br />
toks kreipinys:<br />
>runkut45(N,H,T,X);<br />
čia:<br />
runkut45 – sučia: tos procedūros vardas;<br />
N – lygčių skaičius;<br />
H – integravimo žingsnis;<br />
T – laikas;<br />
X– kintamojo reikšmė.<br />
Kreipinys rašomas po programos tekste po procedūros.<br />
Procedūros užrašymo tvarka<br />
>runkut45:=proc(N,H,T,X)<br />
><br />
>local TE, i1, i, j, k, Y, YR, YF, A;<br />
><br />
>A[1]:=0.5*H;<br />
>A[2]:=A[1];<br />
>A[3]:=H;<br />
>A[4]:=H;<br />
>A[5]:=A[1];<br />
><br />
>TE:=T;<br />
><br />
58
for i1 to N do<br />
> Y[i1]:=X[i1];<br />
> YF[i1]:=X[i1];<br />
>end do;<br />
><br />
>for i to 4 do<br />
><br />
>lygtys(TE,Y,YR,N);<br />
> TE:=T+A[i];<br />
><br />
> for k to N do<br />
> Y[k] :=X[k]+A[i]*YR[k];<br />
> YF[k]:=YF[k]+A[i+1]*YR[k]/3.0;<br />
> end do;<br />
><br />
>end do;<br />
><br />
>for j to N do<br />
> X[j]:=YF[j]:<br />
>end do:<br />
><br />
>end proc;<br />
Skaičiavimo algoritmo procedūra visada į darbinį dokumentą dedama<br />
prieš kreipinį.<br />
59
B priedas. Lygčių užrašymo paprogramė<br />
Priede pateikta Maple programine kalba užrašyta procedūra, kurioje<br />
surašomos sistemą aprašančios lygtys.<br />
Užrašius pateiktą procedūrą, atliekant skaičiavimus, yra rašomas<br />
toks kreipinys:<br />
lygtys (TE,Y,YR,N)<br />
čia:<br />
TE – laikas;<br />
Y – kintamasis parametras;<br />
YR – kintamojo parametro pirmoji išvestinė pagal laiką;<br />
N – lygčių skaičius.<br />
Kreipinys rašomas programos tekste po procedūros.<br />
Procedūros užrašymo tvarka<br />
>lygtys:=proc(TE,Y,YR,N)<br />
><br />
> YR[1]:= Y[2];<br />
><br />
> YR[2]:= (-h[1]*(Y[2]-dz[1])-k[1]*(Y[1]-z[1])-m[1]*g)/m[1];<br />
><br />
> end proc;<br />
Procedūra lygtys į darbinį dokumentą visada dedama prieš kreipinį.<br />
60
C priedas. Maple programine kalba parašytos programos<br />
pavyzdys<br />
Komanda, išvalanti laikiną atmintį. Ją patartina naudoti naujo<br />
lango pirmoje eilutėje.<br />
>restart:<br />
Procedūra, kurioje aprašytas Rungės ir Kuto skaitinio metodo algoritmas<br />
> runkut45:=proc(N,H,T,X)<br />
><br />
> local TE, i1, i, j, k, Y, YR, YF, A;<br />
><br />
> A[1]:=0.5*H;<br />
> A[2]:=A[1];<br />
> A[3]:=H;<br />
> A[4]:=H;<br />
> A[5]:=A[1];<br />
><br />
> TE:=T;<br />
><br />
> for i1 to N do<br />
> Y[i1]:=X[i1];<br />
> YF[i1]:=X[i1];<br />
> end do;<br />
><br />
> for i to 4 do<br />
><br />
>lygtys(TE,Y,YR,N);<br />
> TE:=T+A[i];<br />
><br />
> for k to N do<br />
> Y[k] :=X[k]+A[i]*YR[k];<br />
> YF[k]:=YF[k]+A[i+1]*YR[k]/3.0;<br />
> end do;<br />
61
> end do;<br />
><br />
> for j to N do<br />
> X[j]:=YF[j]: #YF[j]:=NULL: Y[j]:=NULL:<br />
> end do:<br />
><br />
> end proc:<br />
Procedūra, į kurią surašytos dinaminę sistemą aprašančios lygtys:<br />
>lygtys:=proc(TE,Y,YR,N)<br />
><br />
> YR[1]:= Y[2];<br />
><br />
> YR[2]:= (-h[1]*(Y[2]-dz[1])-k[1]*(Y[1]-z[1])-m[1]*g)/m[1];<br />
><br />
> end proc:<br />
Žadinimo funkcija<br />
> z[1]:=hc[1]*cos(Omega[1]*T)+hs[1]*sin(Omega[1]*T);<br />
dz[1]:=diff(z[1],T);<br />
Išorinio harmoninio žadinimo dažnis<br />
> Omega[1]:=evalf(2*Pi*v[1]/Lx);<br />
Sistemos parametrai<br />
> m[1]:=300;h[1]:=927.4;k[1]:=18548; g:=9.81; hc[1]:=0.01:<br />
hs[1]:=0.01: v[1]:=9.0: Lx:=50.0:<br />
Sistemos pradiniai parametrai, reikalingi spręsti uždavinį skaitiniu<br />
metodu.<br />
Lygčių (kintamųjų) skaičius<br />
> N:=2;<br />
Integravimo žingsnis<br />
62
H:=1.0e-4;<br />
Skaičiavimo laikas<br />
Tmax:=15.0.<br />
Pradinės reikšmės priskyrimo kintamajam algoritmas<br />
>for i to N do X[i]:= 0.0: end do:<br />
Komanda algebrinei lygčiai arba lygčių sistemai nubraižyti, kai<br />
kintamasis yra laikas kintantis nuo 0 iki 15 s.<br />
> plot([dz[1]],T=0..15,color=[blue,red],thickness=3,labe<br />
ls = [“laikas, s”, “greitis, m/s”], labeldirections = [“horizontal”,<br />
“vertical”], labelfont = [“TIMES”, “ROMAN”, 17],axesfont =<br />
[“TIMES”, “ROMAN”, 15]);<br />
Skaitliuko sukūrimas. Naudojamas, kai norime išsaugoti ne visas,<br />
o tik tam tikras apskaičiuotas kintamojo reikšmes.<br />
> isk:=0:<br />
Rezultatų masyvų sukūrimas. Naudojami apskaičiuotoms kintamoms<br />
reikšmėms talpinti. Šie masyvai vėliau gali būti atspausdinti<br />
dgrafikų pavidalu.<br />
for i to N do G[i]:=NULL: end do:<br />
Pagrindinis ciklas, kuriame kreipiamasi į lygčių ir skaitinio metodo<br />
procedūras (lygtys, runkur45)<br />
> for T from 0 by H to Tmax do<br />
>nstep:=Tmax/H:<br />
63
unkut45(N,H,T,X):<br />
> if (isk=100) then<br />
> G[1]:=G[1],[T,X[1]]:<br />
> G[2]:=G[2],[T,X[2]]:<br />
><br />
>printf(“time= %g, X[1]= %e, X[2]= %e\n”, T, X[1], X[2] );<br />
>isk:=0:<br />
> else<br />
>isk:=isk+1:<br />
> end if:<br />
> end do:<br />
Apskaičiuotų rezultatų spausdinimas. Spausdinami prieš tai sukurti<br />
masyvai G[1] ir G[2].>plot([[G[1]],[G[2]]],color=[red,blue],th<br />
ickness=3,labels = [“laikas, s”, “greitis, poslinkis”], labeldirections<br />
= [“horizontal”, “vertical”], labelfont = [“TIMES”, “ROMAN”,<br />
17],axesfont = [“TIMES”, “ROMAN”, 15]);<br />
64
D priedas. Maple programinėje kalboje naudojami pagrindiniai<br />
operatoriai<br />
:= – priskyrimo operatorius<br />
Vector(n) – masyvas vektorius su n elementų<br />
Matrix(n,m)– masyvas matrica su n eilučių ir m stulpelių<br />
NULL – operatorius, kuriuo kintamajam arba masyvui gali būti<br />
priskirta reikšmė nieko.<br />
A[ ] – masyvo elementas<br />
proc() – procedūra<br />
end proc – procedūros užbaigimo operatorius<br />
for i to n do ką atlikti end do – ciklo operatorius<br />
end do – ciklo uždarymo operatorius<br />
if (i>a) then ką atlikti end if – sąlygos tikrinimo operatorius<br />
end if – ciklo uždarymo operatorius;<br />
plot() – grafikų spausdinimo operatorius<br />
print() – kintamųjų arba masyvų išvedimo nurodytu formatu<br />
operatorius<br />
65
E priedas. Skaičiavimo schemos namų darbams<br />
1 schema<br />
66
2 schema<br />
3 schema<br />
67
4 schema<br />
5 schema<br />
68
6 schema<br />
7 schema<br />
69
8 schema<br />
9 schema<br />
70
10 schema<br />
11 schema<br />
71
12 schema<br />
13 schema<br />
72
14 schema<br />
15 schema<br />
73
16 schema<br />
17 schema<br />
74
18 schema<br />
19 schema<br />
75
20 schema<br />
21 schema<br />
76
22 schema<br />
23 schema<br />
77
24 schema<br />
25 schema<br />
78
26 schema<br />
27 schema<br />
79
28 schema<br />
29 schema<br />
80
30 schema<br />
31 schema<br />
81
32 schema<br />
33 schema<br />
82
34 schema<br />
35 schema<br />
83
36 schema<br />
37 schema<br />
84
38 schema<br />
85
F priedas. x i , y i – i-osios masės koordinatės,<br />
nuo koordinačių ašiųX ir Y<br />
Eil. C 1 C 2 C 3 C 4 C 5<br />
Nr. x 1 y 1 x 2 y 2 x 3 y 3 x 4 y 4 x 5 y 5<br />
1. 1,94 1,05 0,77 0,76 1,53 0,51 2,51 0,51 3,86 0,77<br />
2. 1,93 1,25 0,86 0,66 1,78 0,56 2,93 0,56 4,14 0,86<br />
3. 2,09 1,18 0,87 0,63 1,77 0,64 2,87 0,64 3,65 0,87<br />
4. 1,95 1,24 0,78 0,79 1,63 0,58 3,01 0,58 3,81 0,78<br />
5. 2,13 0,97 0,79 0,58 1,73 0,62 2,63 0,62 3,65 0,79<br />
6. 1,85 1,25 0,75 0,66 1,56 0,59 2,96 0,59 3,47 0,75<br />
7. 1,92 1,13 0,74 0,72 1,66 0,58 2,49 0,58 3,79 0,74<br />
8. 1,90 1,31 0,77 0,71 1,90 0,57 2,37 0,57 3,79 0,77<br />
9. 2,07 1,22 0,84 0,62 1,56 0,54 2,89 0,54 3,69 0,84<br />
10. 1,85 1,32 0,82 0,68 1,74 0,62 2,85 0,62 3,72 0,82<br />
11. 2,04 1,22 0,81 0,71 1,72 0,61 2,70 0,61 3,48 0,81<br />
12. 1,98 1,02 0,77 0,74 1,69 0,67 2,80 0,67 3,62 0,77<br />
13. 2,00 1,11 0,77 0,75 1,52 0,57 2,81 0,57 3,86 0,77<br />
14. 1,99 1,04 0,78 0,71 1,83 0,57 2,59 0,57 3,41 0,78<br />
15. 1,95 1,15 0,76 0,69 1,63 0,65 2,81 0,65 3,54 0,76<br />
16. 2,12 1,27 0,78 0,74 1,65 0,56 2,65 0,56 3,61 0,78<br />
17. 2,08 1,11 0,83 0,67 1,74 0,54 3,13 0,54 3,76 0,83<br />
18. 1,86 1,16 0,79 0,73 1,51 0,63 2,61 0,63 3,91 0,79<br />
19. 1,96 1,11 0,87 0,66 1,66 0,56 2,91 0,56 3,99 0,87<br />
20. 2,02 1,12 0,80 0,69 1,61 0,60 2,67 0,60 3,82 0,80<br />
21. 2,05 1,24 0,78 0,65 1,80 0,62 2,73 0,62 3,46 0,78<br />
22. 1,90 1,13 0,82 0,76 1,75 0,67 2,72 0,67 3,76 0,82<br />
23. 1,80 1,26 0,77 0,71 1,83 0,62 2,20 0,62 3,38 0,77<br />
24. 2,15 1,23 0,80 0,75 1,60 0,53 2,72 0,53 3,74 0,80<br />
25. 2,04 1,27 0,86 0,74 1,76 0,63 2,82 0,63 3,52 0,86<br />
26. 1,92 1,31 0,74 0,68 1,75 0,61 2,62 0,61 3,52 0,74<br />
27. 1,95 1,28 0,83 0,69 1,68 0,60 2,77 0,60 3,61 0,83<br />
28. 1,95 1,18 0,76 0,71 1,57 0,64 2,43 0,64 3,59 0,76<br />
29. 1,98 1,09 0,82 0,70 1,84 0,59 2,61 0,59 3,67 0,82<br />
30. 1,87 1,27 0,77 0,71 1,91 0,63 2,99 0,63 3,58 0,77<br />
86
F priedo lentelės pabaiga<br />
31. 2,00 1,18 0,79 0,82 1,80 0,60 2,58 0,60 3,74 0,79<br />
32. 2,13 1,05 0,81 0,61 1,61 0,60 2,51 0,60 3,63 0,81<br />
33. 1,89 1,15 0,75 0,70 1,81 0,46 2,87 0,46 3,41 0,75<br />
34. 1,87 1,17 0,79 0,66 1,59 0,56 2,89 0,56 3,69 0,79<br />
35. 2,06 1,18 0,80 0,69 1,71 0,56 2,62 0,56 3,67 0,80<br />
36. 2,10 1,20 0,80 0,61 1,53 0,56 2,67 0,56 3,48 0,80<br />
37. 1,98 1,13 0,85 0,76 1,61 0,58 2,63 0,58 4,08 0,85<br />
38. 2,09 0,94 0,87 0,75 1,44 0,59 2,39 0,59 3,67 0,87<br />
39. 2,20 1,12 0,78 0,70 1,45 0,57 2,50 0,57 3,66 0,78<br />
40. 1,83 1,14 0,78 0,56 1,65 0,68 3,11 0,68 3,64 0,78<br />
41. 2,00 1,13 0,79 0,66 1,60 0,59 2,70 0,59 3,68 0,79<br />
42. 2,05 1,31 0,78 0,69 1,69 0,63 2,54 0,63 4,09 0,78<br />
43. 1,90 1,16 0,73 0,67 1,89 0,57 2,39 0,57 4,03 0,73<br />
44. 1,98 1,12 0,75 0,67 1,77 0,61 2,51 0,61 3,79 0,75<br />
45. 1,85 1,19 0,92 0,80 1,56 0,61 2,79 0,61 3,97 0,92<br />
46. 2,05 1,15 0,72 0,64 1,68 0,66 2,70 0,66 3,76 0,72<br />
47. 1,81 1,11 0,81 0,78 1,72 0,59 2,90 0,59 3,52 0,81<br />
48. 2,03 1,20 0,70 0,65 1,76 0,59 2,82 0,59 3,46 0,70<br />
49. 2,00 1,21 0,81 0,76 1,55 0,65 2,83 0,65 3,83 0,81<br />
50. 2,07 1,18 0,78 0,72 1,75 0,57 2,64 0,57 3,46 0,78<br />
87
Eil.<br />
Nr.<br />
G priedas. m i – i-osios masės, I i – i-osios masės ašinis<br />
inercijos momentas, I ixy – i-osios masės išcentrinis<br />
inercijos momentas<br />
m 1 I 1 I 1xy m 2 I 2 I 2xy m 3 I 3 I 3xy m 4 I 4 I 4xy m 5 I 5 I 5xy<br />
1. 525 295 0,3 389 70 0,4 181 15 0,14 181 15 0,9 80 46 0,3<br />
2. 443 122 0 323 58 0,6 208 39 0,21 208 39 0,9 93 14 0<br />
3. 663 253 0,3 307 54 0,5 136 37 0,17 136 37 0,6 110 32 0,3<br />
4. 710 142 0 313 58 0,5 220 45 0,20 220 45 0,9 82 43 0<br />
5. 860 319 0,3 336 57 0,3 223 34 0,19 223 34 0,7 101 24 0,3<br />
6. 839 392 0 248 50 0,4 167 32 0,21 167 32 0,9 99 33 0<br />
7. 342 365 0 232 62 0,4 112 32 0,10 112 32 0,8 66 39 0<br />
8. 378 401 0 295 48 0,5 157 41 0,22 157 41 0,8 106 42 0<br />
9. 554 249 0 298 57 0,6 213 39 0,19 213 39 0,9 70 31 0<br />
10. 345 293 0,5 255 56 0,5 191 24 0,07 191 24 0,8 102 13 0,5<br />
11. 454 218 0 316 42 0,4 179 24 0,20 179 24 0,9 122 27 0<br />
12. 569 253 0,8 342 70 0,6 155 37 0,12 155 37 0,6 76 25 0,8<br />
13. 485 325 0 210 58 0,7 124 22 0,18 124 22 0,7 104 34 0<br />
14. 378 276 0,0 270 61 0,6 208 44 0,23 208 44 0,8 85 17 0,0<br />
15. 701 19 0 331 50 0,6 263 37 0,18 263 37 0,6 91 30 0<br />
16. 409 300 0,3 399 74 0,5 155 23 0,13 155 23 0,6 123 25 0,3<br />
17. 727 220 0 281 35 0,6 134 38 0,18 134 38 0,7 137 31 0<br />
18. 771 133 0 338 67 0,6 120 20 0,15 120 20 0,8 71 24 0<br />
19. 507 364 0 227 69 0,5 156 27 0,05 156 27 0,8 83 11 0<br />
20. 639 481 0,1 293 50 0,5 143 35 0,15 143 35 0,9 103 33 0,1<br />
21. 660 227 0,1 277 63 0,6 220 14 0,15 220 14 0,8 131 12 0,1<br />
22. 475 537 0 283 57 0,5 156 39 0,22 156 39 0,8 122 11 0<br />
23. 715 432 0,1 219 58 0,5 165 29 0,11 165 29 1,0 92 14 0,1<br />
24. 588 278 0,7 326 67 0,4 96 49 0,00 96 49 0,8 99 43 0,7<br />
25. 552 203 0,3 346 28 0,5 167 38 0,23 167 38 0,7 78 24 0,3<br />
26. 283 201 0,3 374 82 0,5 156 30 0,34 156 30 0,7 76 43 0,3<br />
27. 187 423 1,0 339 66 0,4 180 52 0,20 180 52 0,7 94 42 1,0<br />
28. 664 311 0,4 176 73 0,5 99 27 0,18 99 27 0,8 103 25 0,4<br />
29. 768 349 0 220 50 0,5 161 48 0,20 161 48 0,7 111 45 0<br />
30. 921 554 0 331 63 0,6 214 20 0,15 214 20 0,8 94 17 0<br />
88
G priedo lentelės pabaiga<br />
31. 538 151 0,1 251 65 0,5 107 29 0,02 107 29 0,8 104 35 0,1<br />
32. 868 252 0,1 323 62 0,6 165 42 0,16 165 42 0,7 102 27 0,1<br />
33. 557 220 0,0 260 62 0,5 204 23 0,12 204 23 0,8 104 27 0,0<br />
34. 460 303 0,3 336 53 0,5 151 42 0,26 151 42 0,8 91 19 0,3<br />
35. 339 340 0,4 312 81 0,4 197 34 0,09 197 34 0,7 112 22 0,4<br />
36. 707 262 0 375 45 0,4 134 21 0,23 134 21 0,8 85 39 0<br />
37. 580 343 0,1 299 74 0,4 139 36 0,16 139 36 0,9 106 16 0,1<br />
38. 357 322 0,5 273 74 0,5 169 24 0,26 169 24 0,8 121 29 0,5<br />
39. 410 328 0 259 64 0,6 218 45 0,30 218 45 0,8 108 10 0<br />
40. 1043 302 0 307 43 0,5 158 41 0,16 158 41 0,8 102 44 0<br />
41. 245 212 0 321 55 0,5 146 26 0,14 146 26 0,9 86 30 0<br />
42. 170 402 0 277 58 0,5 179 32 0,04 179 32 0,8 57 36 0<br />
43. 150 313 0 256 43 0,6 163 43 0,17 163 43 0,6 114 25 0<br />
44. 735 289 0 288 51 0,5 207 38 0,22 207 38 0,9 133 35 0<br />
45. 495 291 0 297 75 0,4 216 40 0,09 216 40 0,9 105 15 0<br />
46. 637 332 0,1 181 57 0,5 180 29 0,18 180 29 0,7 94 28 0,1<br />
47. 724 344 0 343 47 0,6 215 39 0,23 215 39 1,0 143 32 0<br />
48. 685 442 0 296 52 0,5 93 43 0,08 93 43 0,9 106 35 0<br />
49. 1098 366 0,4 259 66 0,6 120 41 0,24 120 41 0,9 103 32 0,4<br />
50. 736 109 0,1 247 59 0,5 149 29 0,24 149 29 0,9 105 31 0,1<br />
89
H priedas. Spyruoklinių plienų markių atitikmenys pagal<br />
skirtingus standartus<br />
Table B.1 – Cross references of steel grade designations<br />
Designation in EN<br />
10270-3<br />
According<br />
to EN<br />
10027-1<br />
X10CrNi<br />
18-8<br />
X5CrNiMo<br />
17-12-2<br />
X7CrNiAl<br />
17-7<br />
According<br />
to EN<br />
10027-2<br />
1,4310 X 12 CrNi<br />
17-7<br />
Corresponding former designation<br />
DIN 17224: 1982<br />
1,4401 X 5 CrNiMo<br />
18-10<br />
1,4568 X 7 CrNiAl<br />
17-7<br />
AFNOR<br />
1,4310 Z 12 CN<br />
18-09<br />
1,4401 Z 7 CND<br />
17-11-02<br />
1,4568 Z 9 CNA<br />
17-07<br />
BS<br />
2056:<br />
1991<br />
302S26<br />
316S42<br />
301S81<br />
MMS<br />
900<br />
ISOdesignation<br />
SSsteel<br />
2331<br />
SSsteel<br />
2347<br />
SSsteel<br />
2388<br />
ISO 6931-1:<br />
1994<br />
Number 1<br />
X 9 CrNi<br />
18-8<br />
Number 2<br />
X 5 CrNiMo<br />
17-12-2<br />
Number 3<br />
X 7 CrNiAl<br />
17-7<br />
90