8 SKYRIUS Variaciniai metodai

8.11. ELIPSINIŲ OPERATORIŲ TIKRINĖS REIKŠMĖS IR TIKRINĖS FUNKCIJOS 313
Kartu galime tvirtinti, kad λ 1 yra (8.49) Šturmo–Liuvilio uždavinio tikrinė reikšmė, o
u 1 – ją atitinkanti tikrinė funkcija.
Imkime (8.50) tapatybėje η = u 1 . Kadangi (u 1 , u 1 ) = 1, tai
J(u 1 ) = |u 1 | 2 = λ 1 ,
t.y. mažiausia funkcionalo J reikšmė aibėje M 1 lygi λ 1 .
Tegu
M 2 = {u ∈ ˚W 1 2(Ω) : l(u) = 1, l 1 (u) = 0}, l 1 (u) = (u, u 1 ).
Funkcionalas l 1 yra silpnai tolydus erdvėje ˚W 1 2(Ω) (patikrinkite). Todėl egzistuoja
toks elementas u 2 ∈ M 2 , kad
J(u 2 ) =
inf J(u).
u∈M 2
Be to, u 2 nėra funkcionalu˛ l ir l 1 stacionarusis taškas. Pagal Oilerio teoremą (žr.
8.4 skyrelį) egzistuoja tokie skaičiai λ 2 ir µ 2 , kad u 2 yra stacionarusis funkcionalo
J − λ 2 l − µ 2 l 1 taškas, t.y.
δJ(u 2 , η) − λ 1 δl(u 2 , η) − µ 2 δl 1 (u 2 , η) = 0, ∀η ∈ ˚W 1 2(Ω) .
Šią sąlygą galima perrašyti taip:
[u 2 , η] − λ 2 (u 2 , η) − µ 2 (u 1 , η) = 0, ∀η ∈ ˚W 1 2(Ω) . (8.51)
Imkime čia η = u 1 . Pagal aibės M 2 apibrėžimą (u 2 , u 1 ) = 0. Be to,
[u 2 , u 1 ] = λ 1 (u 2 , u 1 ) = 0.
Todėl µ 2 = 0 ir (8.51) sąlygą galima perrašyti taip:
[u 2 , η] − λ 2 (u 2 , η) = 0, ∀η ∈ ˚W 1 2(Ω) .
Taigi λ 2 yra (8.49) Šturmo–Liuvilio uždavinio tikrinė reikšmė, o u 2 – ją atitinkanti
tikrinė funkcija.
Imkime šioje tapatybėje η = u 2 . Tada
J(u 2 ) = |u| 2 = λ 2 ;
t.y. mažiausia funkcionalo J reikšmė aibėje M 2 lygi λ 2 .
Taip samprotaudami toliau, gausime, kad egzistuoja toks elementas
u k ∈ M k = {u ∈ ˚W 1 2(Ω) : l(u) = 1, l i (u) = 0, ∀i = 1, . . . , k − 1},
ir skaičius λ k , kad
l k−1 (u) = (u, u k−1 ),
J(u k ) =
inf J(u),
u∈M k
[u k , η] − λ k (u k , η) = 0, ∀η ∈ ˚W 1 2(Ω) .
Kartu galime tvirtinti, kad λ k yra (8.49) Šturmo–Liuvilio uždavinio tikrinė reikšmė, o
u k – ją atitinkanti tikrinė funkcija. Be to, J(u k ) = λ k , t.y. mažiausia funkcionalo J
reikšmė aibėje M k lygi λ k .