8 SKYRIUS Variaciniai metodai

8.3. NETIESINIŲ FUNKCIONALŲ DIFERENCIJAVIMAS 289
8.4 teorema. (baigtiniu˛ pokyčiu˛ formulė) Tarkime, taško u aplinkoje U funkcionalas
f : X → R turi Gato išvestinę. Tada su kiekvienu h ∈ X : u + h ∈ U egzistuoja
toks θ ∈ (0, 1), kad
f(u + h) − f(u) = 〈f ′ (u + θh), h〉 . (8.12)
⊳ Tegu ϕ(t) = f(u + th) yra kintamojo t ∈ R funkcija. Jos išvestinė
ϕ ′ f(u + th + εh) − f(u + th)
(t) = lim
= 〈f ′ (u + th), h〉 , ∀t ∈ (0, 1).
ε→0 ε
Pagal baigtiniu˛ pokyčiu˛ formulę vieno kintamojo funkcijoms egzistuoja toks θ ∈
(0, 1), kad
ϕ(1) − ϕ(0) = 1 · ϕ ′ (θ).
Iš čia išplaukia (8.12). ⊲
A p i b r ė ž i m a s. Tegu df(u, ·) : X → R yra tiesinis funkcionalas. Reiškinį
df(u, v) vadinsime funkcionalo f Frešė diferencialu taške u ∈ X, jeigu
f(u + v) − f(u) = df(u, v) + o(‖v‖ X ). (8.13)
Jeigu funkcionalas df(u, ·) dar yra ir tolydus, tai jį vadinsime funkcionalo f Frešė
išvestine ir žymėsime f ′ (u).
Tegu funkcionalas f : X → R yra diferencijuojamas pagal Frešė taške u ∈ X, t.y.
f ′ (u) ∈ X ∗ . Tada
df(u, v) = 〈f ′ (u), v〉 , ∀v ∈ X.
Be to, jis yra tolydus taške u. Iš tikru˛ju˛ jeigu v → 0, tai iš (8.13) išplaukia, kad
f(u + v) → f(u).
8.5 teorema. Tegu funkcionalas f yra diferencijuojamas taške u pagal Frešė. Tada jis
yra diferencijuojamas taške u pagal Gato ir ju˛ išvestinės sutampa.
⊳ Imkime (8.13) formulėje v = th ir perrašykime ją taip:
f(u + th) − f(u)
t
= 〈f ′ (u), h〉 + o(t) ‖h‖ X .
t
Reiškinys dešiniojoje šios lygybės pusėje turi rbą, kai t → 0, ir ji lygi 〈f ′ (u), h〉 ; čia
f ′ (u) – Frešė išvestinė. Todėl reiškinys kairiojoje lygybės pusėje taip pat turi ribą, kai
t → 0, ir δf(u, h) = 〈f ′ (u), h〉 . Iš čia išplaukia, kad egzistuoja funkcionalo f Gato
išvestinė ir ji sutampa su Frešė išvestine. ⊲
P a v y z d ž i a i :
1. Apibrėžkime funkciją f : R 2 → R formule
{
f(x, y) = 1, kai y = x 2 , x ≠ 0,
0 kituose erdvės R 2 taškuose.