1paskaita6

Kurso tikslai 

Kurso struktūra 

Skaitiniai metodai 

Matematinis modeliavimas 

Kompiuterių aritmetika ir algoritmai 

Olga Štikonienė 

Diferencialinių lygčių ir skaičiavimo matematikos katedra, MIF VU 

2012-02-05 

Skaitiniai metodai (MIF VU) Matematinis modeliavimas Komp.aritmetika ir algoritmai 1/36 

1 Įgyti galimybę skaitiškai spręsti taikomuosius uždavinius; 

2 Įvertinti skirtingus skaitinius sprendimo metodus (žinant jų 

privalumus ir trūkumus); 

3 Rašyti, taikyti ir testuoti kompiuterines programas. 

Sandas: 

Supažindinama su skaitiniais metodais sprendžiant įvairaus 

tipo uždavinius. 

Pateikiami teoriniai tokių uždavinių stabilumo ir 

konvergavimo analizės pagrindai. 

Supažindinama su aprioriniais ir aposterioriniais paklaidos 

nustatymo būdais. 

Mokoma kaip įveikti skaičiavimo metu iškylančius įvairius 

sunkumus. 


Turinys: 


Kurso struktūra: 


1 Kompiuterių aritmetika ir algoritmai. 

2 Tiesinių lygčių sistemų sprendimo metodai: 

tiesioginiai metodai; 

iteraciniai metodai; 

variaciniai metodai. 

3 Duomenų aproksimacija: 

Funkcijų interpoliavimas; 

Interpoliavimas splainais; 

Mažiausių kvadratų metodas. 

4 Tikrinių reikšmių uždavinys. 

5 Netiesinių lygčių sprendimas. 

6 Funkcijų optimizavimo metodai. 

7 Skaitinis integravimas: 

paklaidos įvertinimo būdai; 

adaptyvieji metodai. 

8 Diferencialinių lygčių skaitiniai sprendimo metodai. 

Paskaitos 

Kompiuterinės pratybos 

www.mif.vu.lt/~olgas Skaitiniai metodai 

Pažymys = AD+Egz arba Pažymys = AD+Kol+Egz 

10=5+5 arba 10 =5+2+3 



Literatūra 



1 V.Būda, R.Čiegis. Skaičiuojamoji matematika, Vilnius: TEV , 1997. 

2 B.Kvedaras, M.Sapagovas. Skaičiavimo metodai, V.: Mintis, 1974. 

3 K. Plukas. Skaitiniai metodai ir algoritmai, Kaunas: N. lankas, 2001. 

4 V.Būda, M.Sapagovas. Skaitiniai metodai. Algoritmai, uždaviniai, 

projektai. Vilnius: Technika 1998. 

5 J.H.Mathews, K.D.Fink. Numerical methods Using MATLAB, Prentice 

Hall, 2004. http://math.fullerton.edu/mathews/numerical.html 

6 R.Čiegis. Diferencialinių lygčių skaitiniai sprendimo metodai. 

Vilnius: Technika, 2003. 

7 A.Quarteroni, F.Saleri and P. Gervasio. Scientific Computing with 

MATLAB and Octave. Springer, 2010. 

8 Н.С.Бахвалов, Н.П.Жидков, Г.Н.Кобельков. Численные методы. 

Москва, Наука, 1978. 

9 A.Quarteroni, R.Sacco, F.Saleri. Numerical Mathematics, Springer, 2000. 

10 W.H.Press, S.A.Teukolsky, W.T.Vetterling, B.P.Flannery. Numerical Recipes in C. The Art 

of Scientific Computing. Second Edition Cambridge University Press. 

11 S.C. Charpa Applied Numerical Methods with MATLAB for Engineers and Scientists. 

McGraW-Hill, 2005. 



Taikomosios matematikos dalis, skirta įvairių sričių (fizikinių, 

biologinių, cheminių, ekonominių ir t.t.) uždavinių sprendimui 

naudojant virtualiojo eksperimento metodiką. 

Uždavinio sprendimo įrankiai: 

analiziniai sprendiniai, 

artutiniai metodai, 

skaitiniai metodai, 

statistiniai metodai, 

grafikai, ir t. t. 

Taikoma mokslinių tyrimų programinė įranga. 

Skaitiniai metodai (MIF VU) Matematinis modeliavimas Komp.aritmetika ir algoritmai 6/36


Dažniausiai taikoma mokslinių tyrimų programinė įranga 

MathCad http://www.mathsoft.com/ http://www.mathcad.com/ Gera vartotojo 

sąsaja. Tinka bakalauro studijoms, bet nera optimalus moksliniams skaičiavimams. 

Taikymo pavyzdžiai (Help->Resource Center). 

Maple http://www.maplesoft.com/ Simboliniai skaičiavimai. Gera grafika. Labai 

gerai tinka bakalauro studijoms. 

Mathematica, Wolfram Alpha www.wolfram.com/products/mathematica, 

http://www.wolframalpha.com Matematiniai skaičiavimai, puikios algebros 

uždavinių sprendimo ir analizės (taip pat grafinės) galimybes. Simboliniai 

skaičiavimai. Panašiai kaip ir Maple. 

MATLAB http://www.mathworks.com Skaitinių metodų taikymas. Turi daug modulių 

(Toolboxes): veiksmams su matricom, optimizavimui, neuroniniams tinklams, sistemų 

modeliavimui (Symulink) ir t.t. Tinka spręsti didelius uždavinius. Help, demo. 

Trūkumas – didelė kaina. 

Excel www.microsoft.com/office/excel Finansiniai skaičiavimai ir ataskaitos. Yra 

priedai (Add-Ins) specializuotom užduotims (pvz. duomenų analizei). 

SAS http://www.sas.com/ SAS (Statistical Analysis System) – galingiausia statistinės 

analizės programa. Trūkumas – didelė kaina. 

SPSS http://www.spss.com/ SPSS – populiariausia statistinė sistema. Siauresnių nei 

SAS galimybių, bet pigesnė. 

R http://www.r-project.org/ R - nemokama statistinės analizės programa su aukšto 

lygio grafika. 



Matematiniu uždaviniu sprendimo etapai 

Aiškiai suformuluoti problemą 

Aprašyti Įvestį/Išvestį (Input/Output) 

Matematinis (analizinis) sprendimas 

Algoritmas – skaitinis sprendimo metodas 

Programavimas 

Testavimas ir derinimas (Debugging) 

Rezultatų pateikimas ir jų analizė 

Matematinis 

modeliavimas: 

 

 

 

 

 

 



Taikomieji arba fizikiniai uždaviniai 

Formuluojami pagrindiniai dėsniai, valdantys tyrimo objektą 

Pavyzdys 

 

 

 

 


Matematinis modelis 

Dėsniai užrašomi kaip lygčių sistema (algebrinių, diferencialinių, 

integralinių, gali būti ir netiesinė) 

Algebrinė lygtis F = ma 

Paprastoji diferencialinė lygtis 

F = m dv 

dt , F = x 

md2 dt 2 

Diferencialinė lygtis dalinėmis 

išvestinėmis 

(matematinės fizikos lygtis) 

∂u 

∂t = ∂2 u 

∂x 2 + ∂2 u 

∂y 2 

Pavyzdys 

 

x = √ 2 

 

 

 




Skaitiniai metodai 

Skaitiniai metodai randa matematinių uždavinių, užrašytų 

algebrinėmis formulėmis (kurias vykdo kompiuteris), sprendinius. 

Mes išmoksime 

suformuluoti sprendimo metodą; 

įvertinti metodo tinkamumą, jo privalumus ir trūkumus. 


Skaitinis metodas 

Užrašomi diskretusis modelis ir skaičiavimo algoritmas 

Metodų savybės: 

Konvergavimas į sprendinį; 

Konservatyvumas; 

Korektiškumas; 

Realizavimo galimybės. 

nes jei 

Pavyzdys 

Diskretusis modelis 

x = √ 2 

x 0 < √ 2, 

Skaičiavimo algoritmas 

x n = 1 2 (x n−1 + 2 ), 

x n−1 

2 

> √ 2 = √ 2. 

x 0 2 

⇒ x 1 = 1 2 (x 0 + 2 x 0 

) yra geresnis artinys. 



M 

 

 

 

 

 

 

 

 

T 

 

 

 

 

 

S 

 

 

 

 

 

 



Algoritmas 

Sprendimo užrašymas tam tikra veiksmų seka, kurią reikia atlikti 

norint pasiekti tam tikrą rezultatą 

⇒algoritmo schema ir pseudokodas. 

Programavimas 

Algoritmo realizavimas kompiuterine programa. 

Testavimas 

Tikrinima ar kompiuterinė programa iš tikrųjų sprendžia būtent 

tą uždavinį, kurį reikia spręsti. 

Tikrinima ar tikrai randamas nagrinėjamo uždavinio 

sprendinys. 

Skaitinis tikslumas, stabilumas ir efektyvumas. 

Rezultatų analizė 

Gautų skaičiavimo rezultatų atitinkamumo realiam 

taikomajam uždaviniui kritinė analizė. 

Reikia nusimanyti ne tik programavime, bet ir technikoje, 

fizikoje ir t.t. 

Rezultatų pateikimas 

Skaičiavimo rezultatų perdavimas žmonėms, kurie nori žinoti 

atsakymą: 

Klientams; 

Darbdaviams, viršininkams; 

Tikrintojams; 

Sutarties dalyviams. 




Programavimas 

Paklaidos 

Uždavinio skaitinio sprendimo paklaida. 

Paklaidų šaltiniai ir klasifikacija 

Skaičiavimai ir rezultatų analizė 

√ 

2 = 1, 414213562 ... 

x 0 = 1 

x 1 = 1, 5 

x 2 = 1, 4167 

x 3 = 1, 414216 

Matematinio modelio paklaida 

(dėl atmestų faktorių) 

Metodo paklaida 

(dėl įtrauktų į modelį faktorių) 

Apvalinimo paklaida 

(uždavinio salygotumas, jautrumas, algoritmo stabilumas) 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 



Paklaidos 

Uždavinio skaitinio sprendimo paklaida I 

Paklaidos 

Uždavinio skaitinio sprendimo paklaida II 

Matematinio modelio paklaida (dėl atmestų faktorių): 

Netikslus uždavinio matematinis aprašymas; 

Duomenų paklaida. 

Nepašalinamoji paklaida 

x exp - tikslusis sprendinys, 

x - matematinio modelio sprendinys, 

ε m = x − x exp . 

Metodo paklaida 

(dėl įtrauktų į modelį faktorių): 

aproksimavimas ∫ −→ ∑ 

tikslumas, aritmetinių veiksmų skaičius. 

x - matematinio modelio sprendinys, 

x N - sprendinys, gaunamas realizuojant skaitinį metodą. 

ε t = x N − x. 



M 

 

 

 

 

 

 

T 

 

 

 

 

 

 

S 

 

 

 

 

Paklaidos 

Apvalinimo paklaida (uždavinio salygotumas, jautrumas, algoritmo 

stabilumas): 

įvedant duomenis; 

atliekant aritmetinius veiksmus; 

išvedant duomenis. 

Skaičiuojamoji paklaida 

x N - sprendinys, gaunamas realizuojant skaitinį metodą, 

ˆx - realiai gaunamas sprendinio artinys. 

ε h = ˆx − x N . 

Pilnoji paklaida 

ε = ε m + ε h + ε a . 

Dažnai įvedamas matas, pvz., skaliarų atvejų: 

Skaičiojamoji paklaida 

 

 

Paklaidos 

 

ε c = |x − ˆx|. 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Tegul ˆx yra skaičiaus x 

artinys. 

Absoliučioji paklaida 

Δx = |x − ˆx|. 

Santykinė paklaida 

δ x = ∣ x − ˆx ∣ 

∣. 

x 

ε = |ˆx − x exp |, ε ε m + ε h + ε a . 



Paklaidos 

Paklaidos (pavyzdžiai) 

Paklaidos 

Apytikslių skaičių sumos paklaida 

x = 3, 141592, ˆx = 3, 14 yra jo artinyss 

Δx = |x − ˆx| = 0, 001592; 

δ x = ∣ x−ˆx ∣ 

x 

= 0,001592 

3,141592 

= 0, 00507. 

y = 999990, ŷ = 1000000 yra jo artinys. 

Δy = 10 - didelė; 

δ y ≈ 0, 00001 - maža. 

ŷ yra geras skaičiaus y artinys. 

z = 0, 0000125, ẑ = 0, 00001 yra jo artinys. 

Δz = 0, 0000025; 

δ z = 0, 25 - didelė (25 %). 

ˆx = x ± Δx, ŷ = y ± Δy yra skaičių x ir y artiniai. 

Pagal trikampio nelygybę 

|(x + y) − (ˆx + ŷ)| = |(x − ˆx)+(y − ŷ)| |(x − ˆx)| + |(y − ŷ)| =Δx +Δy. 

Analogiškai 

|(x − y) − (ˆx − ŷ)| = |(x − ˆx) − (y − ŷ)| |(x − ˆx)| + |(y − ŷ)| =Δx +Δy. 

Dviejų apytikslių skaičių sumos ar skirtumo absoliučioji paklaida 

yra ne didesnė už tų skaičių absoliučiųjų paklaidų sumą. 

ẑ yra blogas skaičiaus z artinys. 



Paklaidos 

Apytikslių skaičių sandaugos paklaida 

Paklaidos 

Apytikslių skaičių dalmens paklaida 


Jų sandaugos 

ˆxŷ =(x ± Δx)(y ± Δy) =xy ± xΔy ± yΔx ± ΔxΔy 

santykinė paklaida 

δ xy = |xy|−ˆxŷ = 

|xy| 

|±xΔy ± yΔx ± ΔxΔy| 

|xy| 

±|xΔy|±|yΔx|±|ΔxΔy| 

|xy| 

≈ ±|xΔy|±|yΔx| 

|xy| 

= δ x + δ y . 


Analogiškai jų dalmens santykinė paklaida 

δ x/y = | x y − ˆx ŷ | |±xΔy ∓ yΔx| 

| x y | = 

|x(y ± Δy)| 

≈ 

|±xΔy ∓ yΔx| 

|xy| 

|Δx| 

|x| 

+ |Δy| 

|y| 

= δ x + δ y . 

Dviejų apytikslių skaičių sandaugos ar dalmens santykinė 

paklaida yra ne didesnė už tų skaičių santykinių paklaidų sumą. 



Paklaidos 

Aritmetinių veiksmų paklaidos 

Apskaičiuokime √ 2 ∗ √ 2 − 2 

1 naudojant simbolinius 

skaičiavimus (MATLAB, 

Symbolic Math 

Toolbox) 

2 be simbolinių 

skaičiavimų 

Matlab 

realmax = 1.7977e+308 

a=1.e+308; b=1.1e+308;c=-1.001e+308; 

a+b+c = Inf a+(b+c) = 1.0990e+308 


Paklaidos 

Aritmetinių veiksmų paklaidos. 1 pavyzdys. 

Kvadratinės lygties sprendimas: 

x 2 − bx + 1 = 0 D = b 2 − 4 

x 1 = b + √ D 

2 

, x 2 = b − √ D 

. 

2 

Tegul b 2 ir D yra dideli vienodo didumo skaičiai. Pertvarkome x 2 : 

x 2 = (b − √ D)(b + √ D) 

2(b + √ D) 

= b2 − D 

2(b + √ D) = 4 

2(b + √ D) = 2 

(b + √ D) . 

Dviejų artimų skaičių skirtumas ⇒ potencialus didelės paklaidos 

šaltinis! 


Paklaidos 

Aritmetinių veiksmų paklaidos. 1 pavyzdys. 

Paklaidos 

Apvalinimo paklaidos įtaka (pavyzdys) 

Kvadratinės lygties x 2 − 97x + 1 = 0 sprendimas: 

D = 9405, √ D = 96, 9794. 

tiksliai: x 2 = 0, 01031; 

Skaičiuojame apvalindami iki 5 skaitmenų po kablelio: 

standartiškai: 

x 2 = 0, 01050; 

racionalizuojant: x 2 = 0, 01031. 

1 taisyklė. 

Algoritmą reikia sudaryti taip, kad nebūtų atimami dideli 

(palyginant su skirtumu) vienodo didumo skaičiai. 

Kvadratinės lygties x 2 − 54, 32x + 0, 1 = 0 sprendimas. 

Tikslus sprendinys x 1 = 54, 318158995, x 2 = 0, 0018410049576. 

Apskaičiuokime x 1 ir x 2 naudojant 4 reikšminius skaitmenis 

(four-digit floating-point arithmetic). 

D = √ b 2 − 4ac = √ (−54, 32) 2 − 0, 4 = √ 2951 − 0, 4 = 54, 32. 

x 1,4sk = −b + √ D 

2a 

x 2,4sk = −b − √ D 

2a 

Santykinė paklaida 

= 

= 

54, 32 + 54, 32 

2, 000 

54, 32 − 54, 32 

2, 000 

δ x1 = ∣ ∣ x 1−x 1,4sk 

x 1 

∣ ∣ ∗ 100% =0, 033%, δ x2 = 100%. 

= 108, 6 = 54, 30. 

2, 000 

= 

0, 000 

= 0, 000. 

2, 000 



Paklaidos 

Aritmetinių veiksmų paklaidos (pavyzdys) 

x = 0, 1; ˆx = 0, 11; Δx = 0, 01; δ x = ∣ Δx 

∣ 

0, 01 

= = 0, 1. 

x 0, 1 

Tegul skaičius y = 

x 

0,01 

= 10. Tada 

ŷ = ˆx 

0, 01 = 11 ⇒ Δy = 1, δ y = 0, 1. 

Dalyba iš mažo skaičiaus => absoliuti paklaida didėja. 

Absoliuti paklaida padidėjo 100 kartų. 

Santykinė paklaida nepakito. 

2 taisyklė. 

Algoritmą reikia sudaryti taip, kad nebūtų dalybos iš mažo 

skaičiaus. 

Paklaidos 

Aritmetinių veiksmų paklaidos (pavyzdžiai) 

Aritmetinių veiksmų eiliškumas 

Sumavimas: 

0, 99 + 0, 0044 + 0, 0042 = 0, 9986. 

Aritmetika su trimis reikšminiais skaitmenimis: 

(0, 99 + 0, 0044)+0, 0042 = 0, 994 + 0, 0042 = 0, 998. 

0, 99 +(0, 0044 + 0, 0042) =0, 99 + 0, 0086 = 0, 999. 

Apvalinimo paklaida 

3 taisyklė. 

Algoritmą reikia sudaryti taip, kad skaičiai būtų sudedami jų 

didėjimo tvarka – kompiuterių aritmetikoje skaičių perstatomumo 

ir jungiamumo dėsnis veikia ne visada. 



Aritmetinių veiksmų skaičius 

Aritmetinių veiksmų skaičius 1 

Apskaičiuokime daugianario 

reikšmę taške x = c. 

1 algoritmas 

i=1 

f (x) =a n x n + a n−1 x n−1 + ···+ a 1 x + a 0 

f := a 0 

Atskirai apskaičiuokime 

x, x 2 ,...,x n , 

po to 

n∑ 

a i x i 

su visais i nuo 1 iki n 

x i := 1 

su visais j nuo 1 iki i 

x i := x i ∗ c 

ciklo pagal j pabaiga 

f := f + a i ∗ x i 

ciklo pagal i pabaiga 

(1 + 2 + ···+ n)+n = n(n+1) 

2 

+ n = n(n+3) 

2 

daugybos veiksmų 

n sudėties veiksmų 




Apskaičiuokime daugianario reikšmę taške x=c: 


2 algoritmas 

f := a 0 

x i := c 

su visais i nuo 1 iki n 

f := f + a i ∗ x i 

x i := x i ∗ c 


Kai n ≫ 1 

2n daugybos veiksmų 


1 algoritmo daugybų skaičius n(n + 3) 

= = 0, 25(n+3). 

2 algoritmo daugybų skaičius 2(2n) 

2 algoritmas taupesnis už 1 algoritmą 0,25(n+3) kartų. 




3 algoritmas – Hornerio schema 


=(···((a n x + a n−1 )x + a n−2 )x + ···+ a 1 )x + a 0 

f := a n 

su visais i nuo n iki 1 žingsniu -1 

f := f ∗ c + a i−1 


n daugybos veiksmų 


3 algoritmas: daugybos veiksmų sumažėja 2 kartus, palyginti su 2 

algoritmu. 


Reikšminiai skaitmenys (angl. Significant Digits ) 

Reikšminis skaitmuo 

Skaitmuo, turintis įtakos skaičiaus reikšmei. Jį pašalinus, pakinta 

skaičiaus reikšmė. 

50500 - visi skaitmenys reikšminiai, 

50,500 - du paskutiniai skaitmenys (nuliai) nereikšminiai. 

32-bitų sistemose: 7 reikšminiai skaitmenys; 

64-bitų sistemose: 17 reikšminių skaitmenų; 

Dvigubas tikslumas (double precision): apvalinimo paklaida 

sumažinama, skaičiavimo laikas (CPU time) didėja. 

π = 3, 141592653589793238462643383 ...- transcendentinis skaičius 

⇒ skaičiuojant naudojama jo aproksimacija (pvz., 3,14 arba 

22/7; 3,14159 didesniam tikslumui). 

√e = 2, 71828182845904523536028747135 ... 

2 = 1, 414213562373095048801688724 ... 




Nereikšminiai skaitmenys 


Slankiojo kablelio skaičiai 

3, 25/1, 96 = 1, 65816326530162 ... (MATLAB) 

Praktiškai atsakymas suapvalintas 1, 65 arba 1, 66. 

Kodėl 

Nežinomas yra sekantis (po šimtųjų) reikšmingas skaitmuo: 

{ 

3, 259/1, 960 = 1, 66275510204082, 

3, 250/1, 969 = 1, 65058405281869. 

{ 

3, 254/1, 955 = 1, 66445012787724, 

3, 245/1, 964 = 1, 65224032586558. 

Realieji skaičiai (floating-point numbers - slankiojo kablelio 

skaičiai). 

sign signed exponent mantissa 

sign (ženklas) 1 (neigiamiems) arba 0 (teigiamiems) 

exponent (laipsnio rodiklis) teigiamas arba neigiamas 

mantissa (skaičiaus mantisė) reikšminiai skaitmenys

1paskaita6

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?