z - techmat.vgtu.lt

12.2. Dviašio įtempimų būvio įtempimai įstrižuosiuose pjūviuose
• Tarkime, elementaraus stačiakampio gretasienio įtemptoji būsena apibūdinama dviašiu įtempimų
būviu ( σ x = 0 , σ y ≠ 0, σ z ≠ 0, τ xy = 0, τ zy ≠ 0, τ zx = 0 ). Iš šio elementaraus stačiakampio gretasienio
(12.4a pav.) išpjaukime stačiąją trikampę prizmę (12.4b pav.) ir nagrinėkime tik tas jos sieneles
(plokštumas), kurios yra statmenos neapkrautoms sienelėms (12.4c pav.).
dy
1
z
a
zy
a) b) c)
y
yz
zy
z
z
dA z =dA cos a
dy
a
dA
z a
a
z
z
zy
a
a
a
a
z a
z
yz
dz
y
y
dA =dA sin
y
a
dz
y
1
y a
y
y
zy
y a
12.4 pav.
Įtempimus, veikiančius nagrinėjamoje prizmės plokštumoje ( σ α , τα
), rasime iš pusiausvyros sąlygų.
Suprojektuokime visas stačiąją prizmę veikiančias jėgas į ašį z α :
∑ F zα = 0 ;
σ α ⋅ dA − σ z ⋅ dA ⋅ cos α ⋅ cosα
− σ y ⋅ dA ⋅ sinα
⋅ sinα
+ τ zy ⋅ dA ⋅ cosα
⋅ sinα
+ τ yz ⋅ dA ⋅ sinα
⋅ cosα
= 0 .
Prisiminkime, kad
τ zy = τ yz , 2sinα
⋅ cosα
= sin2α
, tuomet
2
2
σ α = σ z ⋅ cos α + σ y ⋅sin
α − τ zy ⋅ sin2α
. (12.1)
Suprojektuokime visas stačiąją prizmę veikiančias jėgas į ašį y α :
∑ F yα = 0 ;
τ α ⋅ dA − σ z ⋅ dA ⋅ cosα ⋅ sinα + σ y ⋅ dA ⋅ sinα ⋅ cosα − τ zy ⋅ dA ⋅ cosα ⋅ cosα + τ yz ⋅ dA ⋅ sinα ⋅ sinα = 0 .
Prisiminkime, kad
2 2
τ zy = τ yz , 2sin α ⋅ cos α = sin 2α
, cos α − sin α = cos 2α
, tuomet
τ α
σ z − σ y
= sin 2α + τ zy cos 2α . (12.2)
2
Normaliniai įtempimai, veikiantys plokštumoje, statmenoje nagrinėjamai, gaunami į (12.1) lygtį įrašius
o
kampo β reikšmę ( β = α + 90 ):
σ
2
2
β = zy
σ z ⋅sin
α + σ y ⋅ cos α + τ ⋅sin 2α . (12.3)
Tangentiniai įtempimai statmenose plokštumose pagal dualumo dėsnį yra tarp savęs lygūs:
τ = τ .
β
α
6