Monotoninės funkcijos išvestinė

IŠVESTINIŲ TAIKYMAI
Pagrindinės analizės teoremos
Monotoninės funkcijos išvestinė
Funkcijos ekstremumai
Funkcijos didžiausia ir mažiausia
reikšmės intervale
Kreivės iškilumas
Funkcijos grafiko asimptotės
Liopitalio taisyklė
1

Pagrindinės analizės teoremos
Tarkime, kad funkcija y = f(x) tolydi intervale x ∈
(a, b). Sakome, kad taške c ∈ (a, b) ji įgyja didžiausią
(mažiausią) reikšmę, jei f(x) f(c) (f(x) f(c))
(∀x ∈ (a, b).
Jei taške x = c egzistuoja funkcijos y = f(x) išvestinė,
tai f ′ (c) = 0.
(Rolio teorema.) Tarkime, kad funkcija y = f(x) diferencijuojama
(turi išvestinę) kai x ∈ [a, b] ir f(a) =
f(b). Tada egzistuoja (bent vienas) taškas c ∈ (a, b),
kad f ′ (c) = 0.
(Lagranžo teorema). Tarkime, kad galioja Rolio teoremos
sąlygos. Tada egzistuoja (bent vienas) taškas c ∈ (a, b),
kad
f(b) − f(a)
= f ′ (c) = 0.
b − a
(Funkcijos pastovumo požymis). Tarkime, kad galioja
Rolio ir Lagranžo teoremų sąlygos ir(∀c ∈ (a, b)) f ′ (c) =
0. (Visame intervale išvestinė lygi nuliui). Tada(∀x 1
, x 2
∈
(a, b)) f(x 1
) = f(x 2
) , t. y. funkcija y = f(x) yra
pastovi (konstanta).
2

Monotoninės funkcijos išvestinė
Tarkime, kad (∀x 1
< x 2
∈ (a, b)) galioja viena nelygybė:
f(x 1 ) < f(x 2 ) didėjančioji funkcija
f(x 1 ) f(x 2 ) nedidėjančioji funkcija
f(x 1 ) > f(x 2 ) mažėjančioji funkcija
f(x 1 ) f(x 2 ) nemažėjančioji funkcija
Jei funkcija y = f(x) intervale (a, b) mažėja (didėja),
tai (∀x ∈ (a, b)) f ′ (x) 0 (f ′ (x) 0).
Jei f ′ (x) > 0 (f ′ (x) < 0), tai funkcija intervale didėja
(mažėja).
3

Funkcijos ekstremumai
Tarkime, kad ∀x ∈ (a, c) f ′ (x) > 0 ir ∀x ∈ (c, b)
f ′ (x) < 0. Tada intervele (a, c) funkcija yra didėjančioji,
o intevale (c, b) – mažėjančioji. Taigi taške x = c
funkcija įgyja maksimumą. Jei taške x = c funkcija diferencijuojama,
tai f ′ (c) = 0.
Užrašome funkcijos Teiloro formulę
f(x) ≈ f(c) + f ′ (c)(x − c) + f ′′ (c)
(x − c)2
2
Tarkime, kad f ′ (c) = 0. Tada iš formulės matome, kad
taške x = c gali būti funkcijos ekstremumas (maksimumas
arba minimumas). Jei
f ′′ (c) > 0 – minimumas
f ′′ (c) < 0 – maksimumas
f ′′ (c) = 0 – ?
PAVYZDYS
y = x 2 , y ′ (0) = 0, y ′′ (0) = 2 > 0 maksimumas
PAVYZDYS
y = x 3 , y ′ (0) = 0, y ′′ (0) = 0 nėra ekstremumo
4

Funkcijos didžiausia ir mažiausia reikšmės intervale
y = f(x), x ∈ [a, b]
x j ∈ [a, b] – kritiniai taškai:
f ′ (x j ) = 0, arba y ′ (x j ) neapibrėžta
(pavyzdžiui, |x| ′ neapibrėžta, kai x = 0)
Funkcijos y = f(x) didžiausia ir mažiausia reikšmės yra
tarp šių
f(a), f(x 1 ), f(x 2 ), . . ., f(x n ), f(b)
5

Kreivės iškilumas
Funkcijos y = f(x) grafikas vadinamas iškilu žemyn
(aukštyn) intervale x ∈ (a, b), kai kreivės lankas yra
virš liestinės (po liestine), nubrėžtos (nubrėžta) per bet
kurį to lanko tašką.
Liestinės lygtis taške y 0
= f(x 0
) lygtis
y = f ′ (x 0 )(x − x 0 ) + y 0
Jei y ′′ > 0, funkcijos grafikas iškilas žemyn. Pavyzdžiui,
y = x 2 , y ′′ = 2 > 0.
Jei y ′′ < 0, funkcijos grafikas iškilas aukštyn. Pavyzdžiui,
y = √ x, y ′′ = − 1
4x 3 < 0.
Kreivės taškas x = c vadinamas perlinkio tašku, jei intervale
(a, c) funkcijos grafikas iškilas aukštyn, o intervale
(c, b) – žemyn, arba atvirkščiai.
Jei taške x = c antroji funkcijos išvestinė keičia y ′′ (x)
ženklą, taškas c yra perlinkio taškas. Pavyzdžiui, y =
x 3 , y ′′ (x) = 6x < 0, kai x < 0 ir y ′′ (x) > 0, kai
x > 0. Taigi grafikas iškilas aukštyn, kai x ∈ (−∞,0)
ir iškilas žemyn, kai x ∈ (0,+∞). Taškas x = 0 –
perlinkio taškas.
6

Funkcijos grafiko asimptotės
Tiesė y = kx+b vadinama funkcijos grafiko y = f(x)
asimptote, kai x → +∞ (x → −∞), jei
lim (f(x) − kx − b) = 0
x→+∞
Tiesė y = kx+b yra grafiko asimptotė, tada ir tik tada,
kai
lim
x→+∞
f(x)
x
= k, lim (f(x) − kx) = b.
x→+∞
PAVYZDYS
y = x2 + x
x − 1 = x + 2 + 2
x − 1
7

Liopitalio taisyklė
Jei lim f(x) = 0 (arba = ∞) ir lim g(x) = 0
x→a x→a
(arba = ∞) ir egzistuoja riba
Tada egzistuoja riba
lim
x→a
lim
x→a
f ′ (x)
g ′ (x) = A.
f(x)
g(x) = A.
PAVYZDYS
lim
x→0
1 − cos x
x 2 =
[ 0
0]
= lim
x→0
sin x
2x = 1 2 . 8