0.1. Koordinačių metodas. Vektorinė algebra - techmat.vgtu.lt

22
Plokštumos, einančios per tris taškus, lygtis
Tarkime, kad plokštuma eina per tris taškus M 1 (x 1 ,y 1 ,z 1 ), M 2 (x 2 ,y 2 ,z 2 ),
M 3 (x 3 ,y 3 ,z 3 ), kurie nepriklauso vienai tiesei. Tada, esant bet kuriam plokštumos
taškui M(x,y,z), vektoriai M 1 M, M 1 M 2 ir M 1 M 3 yra
−→ −→ −→
komplanarūs.
Taigi
( −→
−→
−→
)
M 1 M, M 1 M 2 , M 1 M 3 = 0. Arba koordinatėmis:
∣
x − x 1 y − y 1 z − z 1
x − x 2 y − y 2 z − z 2
x − x 3 y − y 3 z − z 3
∣ ∣∣∣∣∣
= 0.
−→
M 1 M 3 yra kolinearūs, šis determi-
Pastebėkime, kad jei vektoriai
nantas tapačiai lygus nuliui.
−→
M 1 M 2 ir
Tiesės ir plokštumos lygiagretumo sąlygos
Tiesė ⃗r−⃗r 0 = t⃗a yra lygiagreti plokštumai (arba yra šioje plokštumoje) Ax+
By + Cz + D = 0, kai vektorius ⃗a yra statmenas plokštumos normaliajam
vektoriui ⃗n = (A,B,C). Arba
(⃗a,⃗n) = 0.
Tarkime, kad tiesė apibrėžta tiesinėmis lygtimis
{
A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0,
A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0.
Tada vektorių ⃗a galima rasti, kaip šių plokštumų normaliųjų vektorių ⃗n 1 =
(A 1 ,B 1 ,C 1 ) ir ⃗n 2 = (A 2 ,B 2 ,C 2 ) vektorinę sandaugą
⃗a = ⃗n 1 × ⃗n 2 =
∣
∣
⃗i ⃗j ⃗ k ∣∣∣∣∣
A 1 B 1 C 1 .
A 2 B 2 C 2